26 Jul গণিত পাঠ – ১১ : কেইটামান বিখ্যাত অসীম শ্ৰেণী

১)

প্ৰথমে দুটা ১ লোৱা। দুয়োটাকে কাষে কাষে বহুওৱা। তেতিয়া পাবা: ১, ১।

এতিয়া, দুয়োটা ১ যোগ কৰি যোগফলটো একেবাৰে সোঁকাষত বহুওৱা। তেতিয়া পাবা: ১, ১, ২।

এইবাৰ, একেবাৰে সোঁকাষৰ দুটা পদ যোগ কৰি পুনৰ সিহঁতৰ সোঁকাষত বহুওৱা। তেতিয়া পাবা: ১, ১, ২, ৩।

এইদৰে একেবাৰে সোঁপিনৰ দুটা দুটা পদ যোগ কৰি সোঁকাষত বহুৱাই গ’লে আমি এই শ্ৰেণীটো পাম: ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ….।

এই শ্ৰেণীটোক ফিব’নাচ্চি শ্ৰেণী (Fibonacci series) বুলি কোৱা হয়। আৰু এই শ্ৰেণীটোত থকা সংখ্যাবোৰক ফিব’নাচ্চি সংখ্যা (Fibonacci number) বোলে।

এনেকৈয়ো ক’ব পাৰি: ফিব’নাচ্চি শ্ৰেণীৰ প্ৰথম পদ দুটা ১ আৰু ১। বাকী প্ৰতিটো পদ পূৰ্বৱৰ্তী দুটা পদৰ যোগফলৰ সমান।

১০০০০তকৈ সৰু ফিব’নাচ্চি সংখ্যা মাথোঁ ১৯ টা।

এই শ্ৰেণীটোৰ কিছুমান ৰহস্য আছে। যেনে: ফুলৰ পাহীবোৰ হিচাপ কৰি চাবাচোন। সাধাৰণতে একোপাহ ফুলৰ পাহীৰ সংখ্যাটো ফিব’নাচ্চি সংখ্যা হয়। কিছুমান ফুলৰ নহয়, কিন্তু বহুতো ফুলৰ ক্ষেত্ৰত হয়। মুঠ পাহী ৫টা থাকে, ৮টা থাকে, ৩টা থাকে….।

২)

\text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৩}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৪}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৫}}}\dots

এইটো এটা বিশেষ গুণোত্তৰ শ্ৰেণী। এনেধৰণৰ গুণোত্তৰ শ্ৰেণীবোৰৰ যোগফল উলিওৱাৰ এটা ফৰ্মূলা আছে।

a + ar + ar^{\text{২}} + ar^{\text{৩}} + ar^{\text{৪}} + \dots = \frac{a}{\text{১}-r} , যদিহে  -১ < r < ১।

ইয়াৰ সহায়ত আমি অংক কৰিলে এই অসীম শ্ৰেণীটোৰ যোগফল পাম ২।

ইয়াত অসীম সংখ্যক পদ আছে, আৰু সকলো যোগ হৈ আছে। অথচ যোগফলটো ইমান সৰু এটা সংখ্যা, মাথোঁ ২।

ছবিৰ সহায়তো এই যোগফলটো এইদৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি:

এই বৰ্গক্ষেত্ৰটোতে যোগফলটো আছে, দেখা পাইছানে বাৰু?

বৰ্গক্ষেত্ৰটোৰ বাহুৰ দীঘ ১ একক। গতিকে কালি ১ বৰ্গ একক। ইয়াক সমানে দুভাগ কৰিলে দুয়োটা ভাগৰে কালি পাম \frac{\text{১}}{\text{২}} আৰু \frac{\text{১}}{\text{২}}। ইয়াৰে এটা অংশ একেই ৰাখি, আনটো অংশ পুনৰ সমানে দুভাগ কৰিম। চিত্ৰত আমি ক অংশটো একেই ৰাখিলোঁ, সোঁফালৰ অংশটো সমানে দুভাগ কৰিলোঁ। তাৰমানে এইবাৰ \frac{\text{১}}{\text{২}}ক দুভাগ কৰিছোঁ। গতিকে নতুন ভাগ দুটাৰ কালি পাম \frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}} আৰু \frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}। ইয়াৰে খ অংশটো একেই ৰাখি ওপৰৰ অংশটো পুনৰ সমানে দুভাগ কৰিলোঁ।

এইদৰে এভাগ ৰাখি, আনভাগ সমানে দুভাগ কৰি কৰি গৈ থাকিম। তেতিয়া ক, খ, গ, ঘ,…… এনেকৈ অংশবোৰ পাই গৈ থাকিম। এই গোটেই অংশবোৰৰ যোগ ফলটো হ’ব:

\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৩}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৪}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৫}}}\dots

গতিকে, \frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৩}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৪}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৫}}}\dots = ১

⇒ \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৩}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৪}}}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{৫}}}\dots = ২

৩)

\text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{৩}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৫}}+\dots

ইয়াৰ যোগফলটো জানিলে হয়তো তোমালোকৰ বহুতেই আচৰিত হ’বা। ২)ত দিয়া শ্ৰেণীটো দেখি এই শ্ৰেণীটোৰ যোগফলটোৱো সৰু সংখ্যা এটা হ’ব যেন লাগিছে নেকি? ইয়াতো যোগ কৰা সংখ্যাবোৰ সৰু হৈ হৈ গৈ আছে, গতিকে যোগফলটোৱো সৰু সংখ্যা এটা হ’ব নেকি? নাই, নহয়। ইয়াৰ যোগফলটো অসীম। সামান্য পৰিৱৰ্তনতে যে কিমান ৰহস্যপূৰ্ণ কথা ওলাব পাৰে চোৱা।

তলত আমি শ্ৰেণীটোক সজাই লিখিবলৈ চেষ্টা কৰিম:

অসমতাৰ ধৰ্ম মতে:  \frac{\text{১}}{\text{৩}}>\frac{\text{১}}{\text{৪}},\frac{\text{১}}{\text{৫}}>\frac{\text{১}}{\text{৮}},\frac{\text{১}}{\text{৬}}>\frac{\text{১}}{\text{৮}},\dots

এইখিনি কথা নিশ্চয় জানা। ওপৰৰ শ্ৰেণীটোত থকা প্ৰতিটো পদত এই কথাখিনি ব্যৱহাৰ কৰিম। তেতিয়া আমি পাম:

\text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{৩}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৫}}+\frac{\text{১}}{\text{৬}}+\frac{\text{১}}{\text{৭}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৯}}+\dots

> \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{১৬}}+\dots

= \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+(\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}})+(\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}}+\frac{\text{১}}{\text{৮}})+\dots

= \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{২}}{\text{৪}}+\frac{\text{৪}}{\text{৮}})+\dots

= \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{২}})+\dots

= ∞ [কাৰণ, এটা ধণাত্মক সংখ্যাক অসীম বাৰ যোগ কৰি থাকিলে যোগফলটো সদায় অসীমেই পাম।]

অৰ্থাৎ, আমি লোৱা শ্ৰেণীটোৰ যোগফল অসীমতকৈ ডাঙৰ। অসীমতকৈ ডাঙৰ হোৱা মানে, সি নিজেও অসীম হ’ব লাগিব।

অৰ্থাৎ, \text{১}+\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{৩}}+\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৫}}+\dots = ∞

৪)

\text{১}-\frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{৩}}-\frac{\text{১}}{\text{৪}}+\frac{\text{১}}{\text{৫}}-\dots=\text{০.৬৯৩১৪}\dots

এইটো এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

এইটোৱো ধুনীয়াকৈ প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। প্ৰমাণটো ইয়াত নিদিওঁ। আন এটা কথা চোৱা:

ইয়াত সমান চিনৰ বাওঁ পিনে কি আছে? ইয়াৰ প্ৰতিটো পদ পৰিমেয় সংখ্যা। তাৰমানে অসংখ্য পৰিমেয় সংখ্যা আমি যোগ-বিয়োগ কৰি আছোঁ। অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা যোগ-বিয়োগ কৰি কৰি আমি ফলাফলৰূপে এটা অপৰিমেয় সংখ্যা পাই গ’লোঁ। সীমিত সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা যোগ-বিয়োগ কৰিলে এইটো কেতিয়াও নাপাওঁ।

৫)

\text{১}+\frac{\text{১}}{{\text{২}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{৩}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{৪}}^{\text{২}}}+\frac{\text{১}}{{\text{৫}}^{\text{২}}}\dots=\frac{{\pi}^{\text{২}}}{\text{৬}}

পাইৰ মানটো আয়ত্ব কৰাত এই শ্ৰেণীটোৰ বহু গুৰুত্ব আছে।

ইয়াত অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা যোগ কৰি কৰি ফলাফলৰূপে এটা অপৰিমেয় সংখ্যা পোৱা গৈছে। কিন্তু সীমিত সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা যোগ কৰিলে ফলাফল সদায় পৰিমেয়ই হ’ব।

৬)

\frac{\text{১}}{\text{০!}}+\frac{\text{১}}{\text{১!}}+\frac{\text{১}}{\text{২!}}+\frac{\text{১}}{\text{৩!}}+\frac{\text{১}}{\text{৪!}}+\frac{\text{১}}{\text{৫!}}+\dots=\text{২.৭১৮২}\dots

এইটোৱো এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। ইয়াক e ৰে বুজোৱা হয়।