গণিত পাঠ – ১০ : “অসীম”টো সংখ্যা নহয়, ই এক ধাৰণাহে

দশমিকৰ সোঁপিনে লিখি শেষ নোহোৱা অংকবোৰ” শীৰ্ষক পাঠটোত অসীমৰ সম্পৰ্কে এটা ধাৰণা দিয়া হৈছে। ১ আৰু ০.৯৯৯৯৯৯৯……. যে একেটাই সংখ্যা, ইহঁত দুটাৰ মাজৰ পাৰ্থক্য যে ০, সেয়া তাত কোৱা হৈছিল। ইয়াত, অসীমৰ সম্পৰ্কে আন কেইটামান কথা ক’ম।

অগণন মানুহ মানে কি:

“এইবাৰ সাহিত্য সভাৰ অধিবেশনত অগণন মানুহ”, “আজি প্ৰধান মন্ত্ৰী আহিছিল নিৰ্বাচনী প্ৰচাৰৰ বাবে, সভাত অগণন মানুহ”, “ফৰ্মখন জমা দিবলৈ গ’লো আজি; শাৰীত ৰৈ ৰৈ আমনি লাগি গ’ল, অগণন মানুহ” এনেধৰণৰ কথা তোমালোকে নিশ্চয় শুনিছা বা নিজেও কেতিয়াবা কৈছা। কিন্তু, লোকপিয়লত আমাৰ গোটেই দেশখনৰে মুঠ জনসংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা হয়। এনেদৰে গোটেই পৃথিৱীৰে মুঠ জনসংখ্যা গম পোৱা যায়। ই এটা সসীম সংখ্যা। তেন্তে সভাখনত বা শাৰীটোত অগণন মানুহ থাকিব পাৰিব জানো? অগণন মানুহ দেখোন পৃথিৱীতেই নাই!

আচলতে, এই ক্ষেত্ৰত অগণন শব্দটোৰ জৰিয়তে এই কথাকে বুজুৱা হয়— ইমানেই অধিক মানুহ আছে যে সেই মুহূৰ্তত সেইখিনি গণনা কৰাটো আমাৰ সামৰ্থ্যৰ বাহিৰত। গতিকে, তুমি তেনেকুৱা কথা এষাৰ ক’লে আনে বুজি পায় যে সাধাৰণতে ভবাতকৈ বহুত বেছি মানুহ হৈছে। এই ধাৰণাটো queuing theory নামৰ এটা বিষয়ত ব্যৱহাৰ হয়। শাৰী এটাত সাধাৰণ জোখতকৈ বহুত বেছি মানুহ বা বস্তু থাকিলে, অসীম সংখ্যক মানুহ বা অসীম সংখ্যক বস্তু থকা বুলি কোৱা হয়। ইয়াত মানুহ বা বস্তু সীমিত পৰিমাণৰেই থাকে, কিন্তু যেতিয়া সাধাৰণ পৰিসৰটোৰ পৰা বহুত বেছি বাহিৰ হৈ যায় তেতিয়াই এই ক্ষেত্ৰত কোৱা হয় যে সেয়া অসীম।

অসীম হ’ল এটা ধাৰণা:

“অসীম”টো এটা ধাৰণা, ই এটা সংখ্যা নহয়। আমি ১ যেনেকৈ পাওঁ, ২ যেনেকৈ পাওঁ, তেনেকৈ অসীমটো নাপাওঁ। অসীমক মাথোঁ ধাৰণাহে কৰিব পাৰোঁ। কিন্তু এই ধাৰণাবোৰ লওঁতে বহুতৰ ভুল হয়। বেলেগ এটা পাঠত লিখিছোঁ : আজিৰ পৰা ১৫০ বছৰ আগতে গণিতজ্ঞই ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰক অসীমতকৈয়ো ডাঙৰ বুলি ভাবিছিল

অসীম দূৰত্ব বুলি ক’লে বহুতৰ মনলৈ কেৱল এনেকুৱা ভাৱ আহে : একদম দীগন্ত পাৰ হৈ মহাকাশৰ বহু দূৰলৈ গৈ থাকিলেও কেতিয়াও পাবগৈ নোৱৰা দূৰত্ব। কিন্তু তুমি বহী এখনত সৰু আঁচ এডাল কল্পনা কৰাচোন। সেই আঁচডালত থকা বিন্দুবোৰ গণনা কৰি কেতিয়াও শেষ কৰিব নোৱাৰা। যদি তুমি আঁচডালৰ এটা মূৰৰ পৰা যাত্ৰা আৰম্ভ কৰি তাৰ প্ৰতিটো বিন্দু স্পৰ্শ কৰি কৰি আগবাঢ়ি যাব বিচাৰা তেন্তে সেই আঁচডালৰ আনটো মূৰ কেতিয়াও নোপোৱাগৈ। কাৰণ, ধৰা তুমি এটা বিন্দু পাৰ হৈ আন এটা বিন্দু স্পৰ্শ কৰিছা। এই বিন্দু দুটাৰ মাজতো এটা দূৰত্ব থাকিব। এই দূৰত্বটোৰ আধা লৈ চোৱাচোন, সেই স্থানতে এটা বিন্দু থাকিব, যিটো তুমি স্পৰ্শ কৰিবলৈ থাকি গ’ল। এনেদৰে প্ৰতিটো বিন্দু স্পৰ্শ কৰিব বিচাৰিলে, তুমি আনটো মূৰ কেতিয়াও নোপোৱাগৈ। গতিকে ক’ব পাৰি: ইমান সীমিত দূৰত্বতো অসীমৰ ধাৰণা সোমাই আছে। এই সম্পৰ্কীয় কেইটামান বিখ্যাত সাঁথৰ আছে।

শূন্যৰে হৰণ:

\frac{\text{১}}{\text{২}},\frac{\text{১}}{\text{৬}},\frac{\text{৪}}{\text{৭}} এইকেইটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশ। হৰটো লবতকৈ ডাঙৰ হ’লে প্ৰকৃত ভগ্নাংশ বুলি কোৱা হয়। তাৰমানে প্ৰকৃত ভগ্নাংশবোৰ ০তকৈ ডাঙৰ, ১তকৈ সৰু। সংখ্যাৰেখাডালত প্ৰকৃত ভগ্নাংশবোৰ কল্পনা কৰি চোৱাচোন। ০ৰ পৰা ১ৰ মাজত সিহঁত আছে। বাওঁপিনৰ খিনি সৰু, সোঁপিনৰখিনি ডাঙৰ।

আটাইতকৈ ডাঙৰ প্ৰকৃত ভগ্নাংশটো কি? আটাইতকৈ সৰু প্ৰকৃত ভগ্নাংশটো কি? এই প্ৰশ্ন দুটাৰ উত্তৰ আমি দিব নোৱাৰোঁ। মাথোঁ ধাৰণাহে কৰিব পাৰিম। সংখ্যাৰেখাডালত ১ৰ একেবাৰে কাষতে বাওঁপিনে, আটাইতকৈ ডাঙৰ প্ৰকৃত ভগ্নাংশটো আছে। ১ৰ একেবাৰে কাষত আছে, কিন্তু সেইটো কি আমি কৈ দিব নোৱাৰোঁ। সেইদৰে একেবাৰে সৰু প্ৰকৃত ভগ্নাংশটো ০ৰ একেবাৰে কাষতে আছে, কিন্তু সেইটো কি আমি কৈ দিব নোৱাৰো। তাৰমানে, আটাইতকৈ সৰু ধণাত্মক সংখ্যাটো কি, আমি কৈ দিব নোৱাৰোঁ।

তলৰ হৰণফলখিনি এটা এটাকৈ এফালৰ পৰা চাই যোৱা:

\frac{\text{১}}{\text{২০}}=\frac{\text{১}}{\text{২০}},

\frac{\text{১}}{\text{১০}}=\frac{\text{১}}{\text{১০}},

\frac{\text{১}}{\text{৫}}=\frac{\text{১}}{\text{৫}},

\frac{\text{১}}{\text{২}}=\frac{\text{১}}{\text{২}},

\frac{\text{১}}{\text{১}}=\text{১},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{২}}}=\text{২},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{৩}}}=\text{৩},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{১০}}}=\text{১০},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{২০}}}=\text{২০},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{২০০}}}=\text{২০০},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{১০০০০}}}=\text{১০০০০},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{১০০০০০০০০০০}}}=\text{১০০০০০০০০০০},

\frac{\text{১}}{\frac{\text{১}}{\text{১০০০০০০০০০০০০০০০}}}=\text{১০০০০০০০০০০০০০০০},

.

.

.

.

.

ইয়াত প্ৰত্যেকবাৰ আমি ১ ক হৰণ কৰিছোঁ, আৰু ক্ৰমে ক্ৰমে সৰু সংখ্যাৰে হৰণ কৰি গৈ আছোঁ।

হৰণ কৰা সংখ্যাবোৰ সৰু হৈ হৈ গৈ আছে। আৰু ফলত, আমি সমান চিনৰ সোঁফালে ক্ৰমে ডাঙৰ সংখ্যা পাই গৈ আছোঁ।

এইদৰে আমি হৰণ কৰা সংখ্যাটো যেতিয়া বহুত সৰু কৰি গৈ থাকিম, তেতিয়া সমান চিনৰ সোঁফালে হৰণফলটো ডাঙৰ হৈ হৈ গৈ থাকিব।

হৰণ কৰা সংখ্যাটো যেতিয়া ০ ৰ একেবাৰে ওচৰ পাবগৈ, তেতিয়া হৰণফলটো সাংঘাটিক ডাঙৰ সংখ্যা এটা হৈ পৰিবগৈ। ধৰি লোৱা, শেষত আমি আটাইতকৈ সৰু প্ৰকৃত ভগ্নাংশটোৰে হৰণ কৰিছোঁ। তেতিয়া আমি হৰণফলটো আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা এটা সংখ্যা পাম। আটাইতকৈ সৰু প্ৰকৃত ভগ্নাংশটো একেবাৰে ০ৰ দৰেই, সি ঠিক ০ নহয়, কিন্তু ০ৰ প্ৰায় সমান। তাতকৈ সৰু ধণাত্মক সংখ্যা বেলেগ নাই। গতিকে হৰণফলটো এনেকুৱা ডাঙৰ সংখ্যা হ’ব, তাতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা বেলেগ এটাও নাই। এই সংখ্যাটোকে অসীম বুলি ধৰা হয়।

সেয়েহে \frac{\text{১}}{\text{০}}=\infty আৰু \frac{\text{১}}{\infty}=\text{০} বুলি লিখা হয়। এইটো বুজিবলৈহে লিখা হয়, এনেদৰে লিখা লগে লগে ওপৰৰ ধাৰণাখিনি আমাৰ মনলৈ আহিব লাগিব।

আমি প্ৰায়ে এনেকুৱাবোৰ পাই থাকোঁ: \frac{\text{৩}}{\text{২}}\times\text{২}=\text{৩} , \frac{\text{৩}}{\text{২}}\times\frac{\text{২}}{\text{৩}}=\text{১}

সেইদৰে কিন্তু \frac{\text{৩}}{\text{০}}\times\text{০}=\text{৩} , \frac{\text{৩}}{\text{০}}\times\frac{\text{০}}{\text{৩}}=\text{১} , \frac{\text{৩}}{\infty}\times\infty=\text{৩} এইবোৰ শুদ্ধ নহয়।  কাৰণ, এই হৰণ-পূৰণবোৰ সংখ্যাৰ বাবেহে দিয়া হৈছিল। ∞ ৰ বাবে এইবোৰ সত্য নহয়। কাৰণ ই এটা ধাৰণাহে, সি এইবোৰ সংখ্যাৰ লগত নিমিলে। গতিকে, তাৰ যোগ-বিয়োগ-পূৰণ-হৰণৰ কথাবোৰ এটা বেলেগ বিষয়।

দুটা অসীম সমান নহ’বও পাৰে:

কেণ্টৰ (১৮৪৫-১৯১৮) নামৰ গণিতজ্ঞজনে অসীম সম্পৰ্কীয় ধাৰণাত বহু গভীৰতা প্ৰদান কৰিছিল। গাণিতিক ভাৱনাত মহাপৰিৱৰ্তন অনা, তেওঁৰ কেইটামান সিদ্ধান্ত হ’ল:

* সকলো অসীম সংহতিৰে মাত্ৰা একে নহয়।

* অপৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতিটো পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতিতকৈ ডাঙৰ।

* স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিৰ মাত্ৰা পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতিৰ মাত্ৰাৰ সৈতে একে।

* কোনো এটা সংহতিৰ উপসংহতিবোৰৰ সংহতিটো, সংহতিটোতকৈ ডাঙৰ। অৰ্থাৎ এটা সংহতিৰ ঘাট সংহতিটোৰ (power set) মাত্ৰা সংহতিটোৰ মাত্ৰাতকৈ ডাঙৰ।

* সংখ্যাৰেখাডালৰ যিকোনো এটা অন্তৰালত (interval) থকা বিন্দুবোৰৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰা (অন্তৰালটো যিমানেই সৰু নহওক লাগিলে) সংখ্যাৰেখাডালৰ সকলো বিন্দুৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰাৰ সৈতে একে।

* সমতল ক্ষেত্ৰখনত বা ত্ৰিমাত্ৰিক ক্ষেত্ৰখনত (three-dimensional space) বা যিকোনো এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে n-মাত্ৰিক ক্ষেত্ৰখনত থকা বিন্দুবোৰৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰা এডাল ৰেখাত থকা বিন্দুবোৰৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰাৰ সৈতে একে।

► তলৰ চিত্ৰটোলৈ মন কৰা:

 

ইয়াত আমি এটা বৃত্ত লৈছোঁ, আৰু তলত পঠালিকৈ এডাল ৰেখা লৈছোঁ। ৰেখাডাল দুয়োপিনে অহৰহ বাঢ়ি গৈ আছে। বৃত্তটোৰ পৰিধিত যিকোনো এটা বিন্দু “ক” ল’লো। এতিয়া পঠালি ৰেখাডালৰ যিকোনো বিন্দুৰ পৰা যদি “ক” বিন্দুটোলৈ এডাল ৰেখা টানো তেন্তে সেই ৰেখাডালে বৃত্তটোৰ পৰিধিত এটা বিন্দুত কাটিবই। চিত্ৰত ৬টা বিন্দু দেখুওৱা হৈছে। এনেকৈ পঠালি ৰেখাডালৰ যিকোনো দূৰত্বত থকা বিন্দু ল’লেও বৃত্তটোৰ পৰিধিত এটা বিন্দু পোৱা যাব। তাৰমানে, বৃত্তটোৰ পৰিধিত যিমান বিন্দু আছে, সিমান বিন্দুৱেই ৰেখাডালতো আছে নেকি? ভাবি চাবা প্ৰশ্নটো।

স্বাভাৱিক সংখ্যা আৰু যুগ্ম সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ:

স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ অসীম বুলি আমি জানোঁ। ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ……., ১০০০০, ১০০০১, ……  এইদৰে আমি যিমানেই গৈ নাথাকোঁ কিয় স্বাভাৱিক সংখ্যা পায়েই থাকিম।

ইয়াৰ পৰা যুগ্ম সংখ্যাবোৰ বাছি লোৱা: ২, ৪, ৬, ……., ১০০০০, ……  । আমি এটা এৰি এটাকৈ ল’ব লগা হৈছে। মুঠ যুগ্ম সংখ্যাৰ পৰিমাণো অসীম।

তাৰ মানে, যুগ্ম সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণৰ আধা নেকি? নহয়। কিয় নহয় সেইটো বুজিবলৈ আমি তলত দিয়া দৰে সজাম:

আমি ইয়াৰ পৰা দেখিলোঁ প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাক দুগুণ কৰি গৈ থাকিলেই, এফালৰ পৰা গোটেই যুগ্ম সংখ্যাবোৰ পাই যাম। যিমানেই ডাঙৰ যুগ্ম সংখ্যা নহওক কিয়, তাৰ লগত এইদৰে সম্পৰ্ক থকা এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা পামেই। বা ওলোটাকৈ, যিমানেই ডাঙৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা নহওক কিয়, তাক দুগুণ কৰি দিলে এটা যুগ্ম সংখ্যা পামেই। তাৰমানে যুগ্ম সংখ্যা যিমান আছে, স্বাভাৱিক সংখ্যাও সিমানেই। আধা নহয়। মানে দুয়োটা অসীম সমান।

এনেদৰে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ লগত যদি কিবা এটা সম্পৰ্ক উলিয়াব পৰা যায়, তেন্তে সেই অসীমটো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণৰ সমান।

এইদৰে দেখুৱাব পাৰি যে মুঠ অযুগ্ম সংখ্যাও অসীম, মুঠ পৰিমেয় সংখ্যাও অসীম। এই দুটা “অসীম” স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ “অসীম”টোৰ সমান।

কিন্তু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত এনেদৰে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সৈতে সম্পৰ্ক উলিয়াব নোৱাৰি। অপৰিমেয় সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ “অসীম”টো, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণ “অসীম”টোতকৈ ডাঙৰ। তাৰমানে, দুটা অসীম সমান নহ’বও পাৰে।

∞ – ∞ = ?

ওপৰৰ ব্যাখ্যাটোলৈ পুনৰ চোৱা। এইবাৰ, এফালে গোটেই স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ কল্পনা কৰা আৰু আন এফালে গোটেই যুগ্ম সংখ্যাবোৰ কল্পনা কৰা। যেন দুটা পাত্ৰ লৈছা, এটাত স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ ৰাখিছা আৰু আনটোত যুগ্ম সংখ্যাবোৰ ৰাখিছা। স্বাভাৱিক সংখ্যাও অসীম আছে, যুগ্ম সংখ্যাও অসীম আছে।

এতিয়া, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দ’মটোৰ পৰা যুগ্ম সংখ্যাবোৰ আঁতৰাই গৈ থাকা। তাৰমানে তুমি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দ’মটোৰ পৰা অসীম বস্তু আঁতৰাই দিলা। এতিয়া তাত কি বাকী থাকিব? গোটেই অযুগ্ম সংখ্যাবোৰ বাকী থাকিব। অযুগ্ম সংখ্যাৰ মুঠ পৰিমাণো অসীম। অৰ্থাৎ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দ’মটোত এতিয়াও অসীম বস্তুৱেই থাকি যাব।

তাৰমানে আমি পালোঁ কি: ∞ – ∞ = ∞

আকৌ আনধৰণে এটা কথা ভাবা। গোটেই স্বাভাৱিক সংখ্যাখিনি এঠাইত লোৱা হৈছে। তাৰ পৰা গোটেই স্বাভাৱিক সংখ্যাখিনিকেই আঁতৰাই লৈ যোৱা। বাকী কি থাকিব? পাত্ৰটো সম্পূৰ্ণ খালি হৈ পৰিব। তাৰমানে ∞ – ∞ = ০?

এই খেলিমেলিটো কিয় হ’ল? দুটা বেলেগ বেলেগ উত্তৰ কিয় পালোঁ?

আচলতে, ওপৰত কৈছোৱেই, “অসীম”টো এটা ধাৰণা। ই ক’ত কেনেকৈ কাম কৰিব, তাক পৰীক্ষা কৰিহে বিবেচনা কৰিব পাৰি। “অসীম”টো এটা সংখ্যা নহয়।

অসীম বাহুযুক্ত সুষম বহুভূজবোৰ কেনেকুৱা:

(আমি ত্ৰিভূজ, চতুৰ্ভূজ, বৃত্ত আদিৰ কালি কিয় উলিয়াব লগা হয়, কেতিয়াবা ভাবি চাইছানে? সিহঁতৰ পৰিধিটো দি দিলেই সঠিক জোখৰ আকৃতিটো নাপাম নেকি? মাটি বেচা-কিনা কৰোতে কিয় মাটিকালি উলিয়াব লাগে? চাৰিওপিনে জুখি মুঠ পৰিসীমাটো দি দিলে কিয় নহয়? এইবোৰ প্ৰশ্ন কেতিয়াবা ভাবি চাইছানে নিজে?)

তোমাক এডাল সূঁতা দিয়া হৈছে। সেই সূঁতাডালেৰে তুমি টেবুলৰ ওপৰত ত্ৰিভূজ আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰ এটা সাজিলা। তুমি বিভিন্ন আকৃতিৰ ত্ৰিভূজ সাজি চোৱা। কোনটো আকৃতিৰ ত্ৰিভূজে বাকী সকলোতকৈ অধিক ঠাই আগুৰি থাকিব?

আকৌ, একেডাল সূঁতাৰে বৰ্গক্ষেত্ৰ এটা সাজি চোৱা। পুনৰ একেডাল সূঁতাৰে বৃত্ত এটা সাজিবলৈ চেষ্টা কৰা। এই ক্ষেত্ৰসমূহৰ কোনটোৱে আটাইতকৈ বেছি ঠাই আগুৰি থকা দেখিবলৈ পাবা? (ক্ষেত্ৰসমূহলৈ চাই কোনটোৰ ভিতৰত বেছি ঠাই আছে, কোনটোৰ ভিতৰত আটাইতকৈ কম ঠাই আছে, অনুমান কৰিবলৈ হয়তো টান পাবা।) অংকৰ সহায়ত প্ৰমাণ কৰিব পাৰি যে বৃত্তটোৰ ভিতৰত আটাইতকৈ বেছি ঠাই আছে

আচলতে, এটা নিৰ্দিষ্ট পৰিসীমা লৈ তুমি যিমানবোৰ সুষম ক্ষেত্ৰ তৈয়াৰ কৰি চোৱা, সেই আটাইবোৰতকৈ বৃত্তই আগুৰা ঠাইয়েই আটাইতকৈ বেছি।

সুষম বহুভূজ: যিবোৰ বহুভূজৰ বাহুবোৰৰ দীঘ সমান, সেইবোৰক সুষম বহুভূজ বোলে। সমবাহু ত্ৰিভূজ একোটাৰ তিনিওটা বাহু সমান, সিও এটা সুষম বহুভূজ। বৰ্গবোৰৰ চাৰিওটা বাহু সমান, সিহঁতো এটা এটা সুষম বহুভূজ। সেইদৰে পাঁচটা বাহুৰ বাবে সুষম পঞ্চভূজ। ছটাৰ বাবে সুষম ষড়ভূজ….। এনেদৰে কোৱা হয়।

একেটা জোখৰ পৰিসীমা লৈ তুমি যেতিয়া বিভিন্ন বাহু যুক্ত সুষম বহুভূজ সাজিবা, তেতিয়া সুষম বহুভূজৰ বাহুৰ সংখ্যা বেছি হ’লে সি আগুৰা ঠাইৰ পৰিমাণো বাকীবোৰতকৈ বেছি হয়।

মানে, এটা সমবাহু ত্ৰিভূজে যিমান ঠাই আগুৰিব; একেটা পৰিসীমাৰ এটা বৰ্গই বেছি ঠাই আগুৰিব। একেটা পৰিসীমাৰ সুষম পঞ্চভূজটোৱে সিহঁত দুয়োটাতকৈ বেছি ঠাই আগুৰিব। একেটা পৰিসীমাৰ সুষম ষড়ভূজটোৱে সিহঁত তিনিওটাতকৈ বেছি ঠাই আগুৰিব। এইদৰে আমি একেটা পৰিসীমা লৈ সুষম বাহুভূজৰ বাহুৰ সংখ্যা বঢ়াই গৈ থাকিলে সিহঁতে আগুৰা ঠাইৰ পৰিমাণো বাঢ়ি গৈ থাকিব।

বাহুৰ সংখ্যা যদি আমি বঢ়াই গৈয়েই থাকোঁ, গৈয়েই থাকোঁ, তেন্তে কি হ’ব? বাহুৰ দৈৰ্ঘটো কমি কমি গৈ থাকিব। যদি বাহুৰ সংখ্যা অসীমলৈকে বঢ়াই যাওঁ, তেন্তে বাহুৰ দৈৰ্ঘটো সৰু হৈ হৈ একেবাৰে শূন্য নিচিনা হৈ পৰিব। সেই আকৃতিটো কল্পনা কৰাচোন। সেই সুষম বহুভূজটো এটা বৃত্তৰ নিচিনা হৈ নপৰিব জানো? গতিকে, একেটা পৰিসীমাৰ বৃত্তটোৱে আগুৰা ঠাইৰ পৰিমাণ আটাইতকৈ বেছি। গতিকে ভাবি চোৱাচোন: একোটা বৃত্ত মানে সি অসীম বাহু যুক্ত একোটা সুষম বহুভূজ!

No Comments

Post A Comment

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.