গণিত পাঠ – ২০ : অংক একোটা কিমান ধৰণে কৰি দেখুৱাব পাৰি?

কিছুমান উপপাদ্য একাধিক ধৰণে প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। অনুশীলনীত দিয়া অংক কিছুমানো বিভিন্ন ধৰণে কৰি উত্তৰ উলিয়াব পাৰি।

এটা উপপাদ্য: x^n+y^n=z^n সমীকৰণটোৰ কোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ সমাধান পোৱা নাযায়, য’ত n>২ আৰু xyz≠০।

এইটোক কোৱা হয় ফাৰ্মাৰ অন্তিম উপপাদ্য। এইটো সমাধান কৰিবলৈ সমগ্ৰ মানৱ জাতিক ৩৫০ বছৰৰো অধিক সময় লাগিছিল। যি দুখন গৱেষণা-পত্ৰৰ জৰিয়তে এই উপপাদ্যটোৰ প্ৰমাণ দিয়া হৈছিল সেই দুখনৰ মুঠ পৃষ্ঠা ১২৯টা। ভৱিষ্যতে বেলেগ ধৰণে সেইটো প্ৰমাণ কৰিব পৰা যাব নে নাযায় এতিয়া কোনেও নাজানে।

কিছুমান সৰু সৰু প্ৰমাণ আমি বেলেগ বেলেগ সময়ত পাঠ্যপুথিত বেলেগ বেলেগ ধৰণে পাওঁ। উদাহৰণ স্বৰূপে, {(a+b)}^{\text{২}}=a^{\text{২}}+\text{২}ab+b^{\text{২}} ফৰ্মূলাটোৰ প্ৰমাণ আমি বীজগণিতত একধৰণে পাওঁ; আৰু জ্যামিতিৰ সহায়তো সেইটো প্ৰমাণ কৰিব পাৰি।

একেটা প্ৰশ্নৰে বেলেগ বেলেগ প্ৰমাণবোৰ দেখিলে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে কেতিয়াবা ভয় খায়। কোনোবা এটা ধৰণ ভুল হৈছে নেকি? কোনটো নিজে মনত ৰাখিব? এইটো পদ্ধতি শিকোৱা শিক্ষকজন বেয়া, আনটো শিকোৱাজনহে ভাল। এনেকুৱা ভাৱ কিছুমান তেওঁলোকৰ মনলৈ আহে। এনে কিছুমান ভয় কাৰোবাৰ মনত স্নাতকোত্তৰ শ্ৰেণী পৰ্যন্ত থাকি যোৱা দেখিছোঁ।

{(a+b)}^{\text{২}}ৰ ফৰ্মূলাটোৰ ক্ষেত্ৰতে দেখা যায় যে বহুতে জ্যামিতিৰ প্ৰমাণটো সহজ পায়। কাৰণ বস্তুটো চিত্ৰৰ সহায়ত দেখনীয়া হয়। গতিকে, কেতিয়াবা কোনোবাই আমোদ দিবলৈ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক জ্যামিতিৰ সহায়ত প্ৰমাণটো কৰি দেখুৱালে, কোনো কোনো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বীজগণিতৰ শিক্ষকজনে ইমান ধুনীয়াকৈ বুজাব নাজানে বুলি শিক্ষকজনক বেয়া পাবলৈ আৰম্ভ কৰে। ফলত তেওঁ বুজোৱা বাকী কথাবোৰত পিছলৈ মন নিদিয়া হয়। কিন্তু সেইটো একেবাৰে ভাল কথা নহয়। ইমান সহজ ফৰ্মূলা এটাতে এনে ঘটনা ঘটে। গতিকে এই কথাটোত সচেতন হোৱা ভাল।

আজিকালি ছোচিয়েল নেটৱৰ্কিং ছাইটবোৰতো এনেকুৱা কিছুমান আমোদ দিব পৰা প্ৰমাণ আকৰ্ষণীয়কৈ ভিডিঅ’ কৰি প্ৰচাৰ কৰা হয়। তাত দেখা যায়, বহু বছৰ আগতেই গণিত পঢ়িবলৈ এৰা মানুহবোৰেও এই আকৰ্ষণীয় প্ৰমাণটো দেখি আগৰ শিক্ষকসকলক গালি পাৰে। প্ৰকৃততে কথাটো তেনেকুৱা হ’ব নালাগে, তেনেকৈ ভবাটো তেওঁলোকৰ চূড়ান্ত অজ্ঞতাহে। কাৰণ, তুমি ভাবি চোৱাচোন, {(a+b)}^{\text{২}}ৰ ফৰ্মূলাটোৰ দৰে {(a+b)}^{\text{৩}}ৰ ফৰ্মূলাটো জ্যামিতিৰ সহায়ত প্ৰমাণ কৰিব পাৰিবা জানো? বা ঘাত চাৰি হ’লে পাৰিবানে? বা তাতকৈ অধিক ঘাতৰ সূত্ৰবোৰ??

শ্ৰেণীত বা পৰীক্ষাত এইবোৰ বীজগণিতীয় পদ্ধতিৰে প্ৰমাণ কৰিবলৈ দিয়াৰ কাৰণটো হ’ল, তুমি বীজগণিতীয় পদ্ধতিটো আয়ত্ব কৰিছা নে নাই সেইটো পৰীক্ষা কৰি চাব বিচৰা হৈছে। বীজগণিত শিকিবলৈ তোমাক দিয়া হৈছে। কাৰণ, তাৰ দ্বাৰা তুমি সকলো ঘাতৰ বাবে সূত্ৰবোৰ এদিন প্ৰমাণ কৰিব পাৰিবা। সেয়াহে ভৱিষ্যতে উচ্চশিক্ষাত কামত আহিব। আৰু তুমি জ্যামিতি খটুৱাই প্ৰমাণটো কৰি আহিলে পৰীক্ষাত নম্বৰ নিদিব। আনহাতে, জ্যামিতি খটুৱাই তুমি কেৱল দ্বিতীয় ঘাতৰ বাবেহে সহজে প্ৰমাণ কৰিব পাৰিবা।

একেদৰেই, দশম শ্ৰেণীৰ প্ৰথম অধ্যায়টোত তোমালোকক ইউক্লিডৰ বিভাজন বিধি খটুৱাই দুটা সংখ্যাৰ গঃসাঃউঃ উলিয়াবলৈ শিকোৱা হৈছে। কিন্তু সৰুতেই তুমি দুটা সংখ্যাৰ গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ আন এটা নিয়ম শিকি থৈছা। গতিকে নতুন নিয়মটো দেখি ভয় খাব নালাগে বা বিৰক্ত হ’ব নালাগে। ইউক্লিডৰ বিভাজন বিধিটো শিকি ল’লে কিছুমান অংকৰ উত্তৰ সোনকালে উলিওৱাত সহায় হ’ব, আৰু তাৰ দ্বাৰা আন বহুতো কঠিন সমস্যা সমাধান কৰাত সহায় হয়।

উচ্চশিক্ষা গ্ৰহণ কৰি গৈ থাকিলে কিছুমান অধ্যায়ত দেখিবা, স্কুলীয়া জীৱনত কোনোবা এটা অংক কৰিবলৈ যদি তিনিটা পৃষ্ঠা লগা হৈছে, উচ্চ স্তৰত কিছুমান উপপাদ্য বা নতুন পদ্ধতি খটুৱাই সেইটো অংক মাথোঁ আধা পৃষ্ঠাতে কৰিব পৰা হৈছে। যেনে: {\text{১৭}}^{\text{১০২}} সংখ্যাটোৰ একেবাৰে সোঁপিনে থকা অংক তিনিটা কি?

এনে অংক স্কুলীয় পৰ্যায়ৰ গণিত অলিম্পিয়াডত সঘনাই আহে। CAT, Bank PO আদি স্নাতক পৰ্যায়ৰ পৰীক্ষাবোৰতো মাজে মাজে আহে। আৰু গণিতৰ স্নাতকোত্তৰ ডিগ্ৰীৰ পাছত অধ্যাপক হ’বলৈ যোগ্যতা নিৰূপনৰ বাবে দিবলগীয়া পৰীক্ষা NETতো আহে।

এই প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰ দিবলৈ তোমাক বহুকেইটা পৃষ্ঠা লাগিব। কিন্তু স্নাতকোত্তৰ শ্ৰেণীৰ উপপাদ্য খটুৱাই মাথোঁ তিনিশাৰী অংক কৰি উত্তৰটো উলিয়াই দিব পাৰি। আৰু সেইদৰে স্নাতকোত্তৰতকৈ তলৰ শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বেলেগ এটা নিময় খটুৱাই এটা পৃষ্ঠাত ইয়াৰ উত্তৰ উলিয়াব পাৰিব।

সেয়েহে, টান পালেও নতুন পদ্ধতি বা নতুন উপপাদ্যবোৰ শিকা উচিত। উপপাদ্যটো শিকোতেহে অকণমান কষ্ট হ’ব, কিন্তু সেইটো খটুৱাই পিছত বহুত অংক সহজে কৰিব পৰা যাব। তাৰ পৰা সময় বাচিব, আৰু মাজত অংক কৰি থাকোঁতে ভুল হোৱাৰ সম্ভৱনা কমি যাব। ওপৰত দিয়া উদাহৰণটোত তিনিওটা পদ্ধতিৰেই উত্তৰ ওলাব; কিন্তু উন্নত পদ্ধতি তথা উপপাদ্য খটুৱাই কম সময়ত অধিক সমাধান দি প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাবোৰত কিছুমান ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে কৃতকাৰ্যতা অৰ্জন কৰিব পাৰে।

একেটা অংককে সমাধান কৰাৰ একাধিক নিয়ম দেখি ভয় নাখাবলৈ আন কেইটামান কথা কওঁ। আটাইতকৈ অধিক সংখ্যক পদ্ধতিৰে প্ৰমাণ কৰিব পৰা উপপাদ্যটো কি বাৰু? ধাৰণা কৰা হয় যে— পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যটোৱেই আটাইতকৈ অধিক ধৰণে প্ৰমাণ কৰা হৈছে। পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যটো হ’ল— সমকোণী ত্ৰিভূজৰ অতিভুজৰ বৰ্গ বাকী দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান। অৰ্থাৎ, এটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ অতিভূজৰ দৈৰ্ঘ্য c আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য a আৰু b হ’লে a^{\text{২}}+b^{\text{২}}=c^{\text{২}} হ’ব। এই উপপাদ্যটো এহেজাৰতকৈয়ো অধিক ধৰণে প্ৰমাণ কৰা হৈছে। ইউক্লিড, লিঅ’নাৰ্ডো দা ভিন্সি আদিয়ে বেলেগ বেলেগ ধৰণে ইয়াৰ নতুন প্ৰমাণ দিছিল। আইনষ্টাইনে ১২ বছৰ বয়সত এটা নতুন প্ৰমাণ দিছিল। স্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বুজিব পৰা চাৰিটা বেলেগ বেলেগ প্ৰমাণ বাচি উলিয়াই তলত আগবঢ়ালোঁ। বাকী প্ৰমাণবোৰো তোমালোকে পিছত কেতিয়াবা চকু ফুৰাই চাবা।

১)

ইয়াত আমি একেধৰণৰ চাৰিটা সমকোণী ত্ৰিভূজ ল’ম। প্ৰতিটোৰে অতিভূজৰ দৈৰ্ঘ্য c আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য a আৰু b।

চাৰিওটা ত্ৰিভূজ লৈ, তলৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে সজাম:

ই আমাক দুটা বৰ্গ দিব। ডাঙৰ বৰ্গটোৰ বাহুৰ দীঘ a+b আৰু সৰু বৰ্গটোৰ বাহুৰ দীঘ c।

গতিকে ডাঙৰ বৰ্গটোৰ কালি = {(a+b)}^{\text{২}}

ডাঙৰ বৰ্গটো চাৰিটা ত্ৰিভূজ আৰু এটা বৰ্গৰে গঠিতে। সিহঁতৰ মুঠ কালি = ৪ × \frac{ab}{\text{২}} + c^{\text{২}} = ২ab + c^{\text{২}}

গতিকে, {(a+b)}^{\text{২}} = ২ab + c^{\text{২}}

=> a^{\text{২}}+b^{\text{২}}=c^{\text{২}}

২)

এইবাৰ একেধৰণৰ দুটা সমকোণী ত্ৰিভূজ ল’ম। প্ৰতিটোৰে অতিভূজৰ দৈৰ্ঘ্য c আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য a আৰু b। আৰু তলৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে সজাম:

ইয়াৰ দ্বাৰা আমি এটা ট্ৰেপিজিয়াম পালোঁ।

ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}} × (সমান্তৰাল বাহু দুডালৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল) × (সমান্তৰাল বাহু দুডালৰ দূৰত্ব)

গতিকে, ইয়াত ট্ৰেপিজিয়ামটোৰ কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}} × (a+b) × (a+b) = \frac{\text{১}}{\text{২}}{(a+b)}^{\text{২}}

ট্ৰেপিজিয়ামটো গঠিত হৈছে তিনিটা ত্ৰিভূজে। সিহঁতৰ মুঠ কালি = ২ × \frac{ab}{\text{২}}+\frac{c^{\text{২}}}{\text{২}} = ab + \frac{c^{\text{২}}}{\text{২}}

গতিকে, \frac{\text{১}}{\text{২}}{(a+b)}^{\text{২}} = ab + \frac{c^{\text{২}}}{\text{২}}

=> a^{\text{২}}+b^{\text{২}}=c^{\text{২}}

এই প্ৰমাণটো দিছিল জেমছ গাৰ্ফিল্ডে। তেওঁ পিছলৈ আমেৰিকাৰ বিংশতম ৰাষ্ট্ৰপতি হৈছিলগৈ।

৩)

ইয়াত, c ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত অংকণ কৰা হ’ল। চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ অংকণ কৰা হ’ল, যাৰ অতিভূজৰ দৈৰ্ঘ্য c আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য a আৰু b।

আমি যদি GKF আৰু FKH ত্ৰিভূজ দুটা গঠন কৰোঁ, তেন্তে পাম যে দুয়োটা ত্ৰিভূজ সদৃশ। এতিয়া তোমালোকে সদৃশ ত্ৰিভূজৰ কথা জানিব লাগিব, এই দুটা সদৃশ বুলি প্ৰমাণ কৰাটো তেনেই সহজ, প্ৰমাণটো পাঠ্যপুথিত পোৱা যায়েই।

ইয়াৰ পৰা আমি পাম:

\frac{GK}{KF}=\frac{FK}{KH}

=> \frac{c+b}{a}=\frac{a}{c-b}

=> a^{\text{২}}+b^{\text{২}}=c^{\text{২}}

৪)

এই প্ৰমাণটোত কেৱল সজোৱা হয়। ইয়াত প্ৰথমে চাৰিটা সমকোণী ত্ৰিভূজ লোৱা হৈছে, যাৰ অতিভূজৰ দৈৰ্ঘ্য c আৰু বাকী দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য a আৰু b। এতিয়া, a+b দৈৰ্ঘ্যৰ দুটা বৰ্গ লোৱা হ’ল। তলৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে প্ৰথম বৰ্গটোত, চাৰিটা একে জোখৰ ত্ৰিভূজ সজোৱা হ’ল। চাৰিওটা ত্ৰিভূজ পূৰণ সজাই দ্বিতীয় বৰ্গটোৰ দৰে কৰা হ’ল।

এতিয়া চোৱা। দুয়োটা একে জোখৰ বৰ্গ। আৰু সিহঁতৰ ভিতৰটো একে জোখৰ চাৰিটা ত্ৰিভূজে দখল কৰি আছে। গতিকে, ত্ৰিভূজসমূহ আঁতৰাই দিলে দুয়ো়টা বৰ্গৰে যি অংশ বাকী থাকিব, সিহঁত সমান হ’ব। মানে, চিত্ৰত দেখাৰ দৰে, এটা বৰ্গৰ বগা অংশ আনটোৰ বগা অংশৰ সৈতে সমান।

বগা অংশসমূহৰ কালি স্পষ্টকৈ ওলাই আছে।

গতিকে, a^{\text{২}}+b^{\text{২}}=c^{\text{২}}

এইটোৱেই হৈছে পাইথাগোৰাছে নিজে দিয়া প্ৰমাণটো আজি দেখাত তেনেই সহজ। আজি আমি যিমানবোৰ উপপাদ্য জানো সেইবোৰৰ প্ৰায়ভাগ সেই সময়ত আৱিষ্কাৰেই হোৱা নাছিল। মাথোঁ কেইটামান উপপাদ্যহে তেওঁলোকৰ দিনত জানিছিল। তেওঁ কেৱল জ্যামিতীয় সাজ-সজ্জা ইফাল-সিফাল কৰি প্ৰমাণটো দিছিল।

সমকোণী ত্ৰিভূজৰ এই ধৰ্মটো তেওঁৰ আগতেও বহুতে জানিছিল, কিন্তু সঠিক প্ৰমাণ তেওঁতকৈ আগতে কোনোবাই দিছিল বুলি  বুৰঞ্জীবিদসকলে আজিলৈকে জানিবলৈ নাপালে সেই কাৰণতেই এইটো পাইথাগোৰাছৰ সূত্ৰ বুলি জনাজাত হ’ল।

প্ৰথম nটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফলৰ ফৰ্মূলাটোৰ প্ৰমাণ:

১ + ২ + ৩ + …. + n = n(n + ১)/২

সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফলৰ ফৰ্মূলাটো খটুৱাই এইটো প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। পাঠ্যপুথিত এইটো দিয়া আছে।

“গাণিতিক আৱেশ তত্ত্ব” বোলা এটা তত্ত্বৰ সহায়তো এইটো প্ৰমাণ কৰিব পাৰি।

আকৌ, গাণিতিক আৱেশ তত্ত্বটো দুটা ধৰণে প্ৰকাশ কৰা হয়। সেই দুয়োটা ধৰণ এটা আনটোৰ সমতুল্য। মানে, দুয়োটাই শুদ্ধ, দুয়োটাই একে অৰ্থকে বুজায়। মাথোঁ, কিছুমান কথা প্ৰমাণ কৰোঁতে ইয়াৰ এটা নিৰ্দিষ্ট ধৰণ খটুৱালেহে সহজ হয়। এই তত্ত্বটো গণিতজ্ঞসকলক সদায় প্ৰয়োজন হৈ থাকে, বিশেষকৈ সংখ্যাতত্ত্ব অধ্যয়নত বহুত প্ৰয়োজন।

এইসমূহৰ এটাও ব্যৱহাৰ নকৰাকৈয়ো এই ফৰ্মূলাটো প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। তেনেকুৱা তিনিটা প্ৰমাণ তলত দিলোঁ:

১]

ধৰোঁ,

S =    ১    +    ২    +    ৩    +   ….   +   (n – ১)  +   n

ওলোটাকৈ সজাই পাম—

S =    n   +  (n – ১)  + (n- ২)  +   ….   +     ২    +    ১

এতিয়া আমি দুয়োটা S এটা বিশেষ ধৰণে যোগ কৰিম। দুয়োটা Sৰ সমান চিনৰ সোঁপিনে, একেটা স্তম্ভত থকা পদবোৰ যোগ কৰিম। মানে, ১ৰ লগত যোগ কৰিম তাৰ তলতে থকা nক। ২ৰ লগত যোগ কৰিম তাৰ তলতে থকা (n – ১)ক। গতিকে,

   ২S = (n + ১) + (n – ১ + ২) + (n – ২ + ৩) +  …. +  (২ + n – ১)  + (১ + n)

=> ২S = (n + ১) + (n + ১)  +  (n + ১) + ……. +  (n + ১) +  (n + ১)

[সোঁপিনে মুঠ পদ আছে nটা।]

=> ২S = n(n + ১)

=> S = n(n + ১) / ২

২]

তলৰ চিত্ৰটোত কিছুমান ধেলা ৰঙৰ বৃত্ত আছে, কিছুমান ডাঠ ৰঙৰ বৃত্ত আছে আৰু দুয়োখিনি বৃত্তক বেঁকা-বেকি ৰেখা এডালে ভাগ কৰি ৰাখিছে।

এতিয়া, বাওঁপিনে তলৰ চুকটোৰ পৰা ধেলা ৰঙৰ বৃত্তবোৰ চাই যোৱাচোন। ১, ২, ৩, …. কৈ বৃত্তবোৰ এটা এটাকৈ বাঢ়ি গৈ আছে। আৰু বক্ৰৰেখাডালৰ ওচৰত বৃত্ত হৈছেগৈ মুঠ ৬টা। সেইদৰে সোঁপিনৰ ওপৰৰ চুকটোৰ পৰা চালেও দেখিবা ডাঠ ৰঙৰ বৃত্তবোৰ এক এককৈ বাঢ়ি গৈ আছে, আৰু শেষত মুঠতে ৬টা আছে।

চিত্ৰত কেইটামান বৃত্তহে দেখুওৱা হৈছে, কিন্তু এনেকৈ আমি অগণন বৃত্ত সজাই গৈয়েই থাকিব পাৰিম, চিৰদিন। এনেকৈ সজাই সজাই গৈ আছোঁ; ধৰাহওক ৰেখাডালৰ ওচৰত nটা বৃত্ত হওঁতে ৰৈ গ’লোঁ।

তাৰমানে, ৰেখাডালৰ এটা কাষত থকা মুঠ বৃত্তৰ সংখ্যা = ১ + ২ + ৩ + …. + n

আৰু আনটো কাষেও মুঠ বৃত্তৰ সংখ্যা হ’ব = ১ + ২ + ৩ + …. + n

অৰ্থাৎ, গোটেই সজ্জাটোত মুঠ বৃত্তৰ সংখ্যা = ২ (১ + ২ + ৩ + …. + n)

এইবাৰ আমি চিত্ৰটো আন এক ধৰণে চাম। এইবাৰ কোণীয়াকৈ নাচাওঁ। এইবাৰ ঠিয়কৈ চাম আৰু পঠালিকৈ চাম। ওপৰৰ সজ্জাটোত শাৰী আছে ৬টা। স্তম্ভ আছে ৭টা।

গতিকে, nৰ বাবে পাম: শাৰী থাকিব nটা, আৰু স্তম্ভ থাকিব (n + ১) টা।

তাৰমানে মুঠ বৃত্তৰ সংখ্যা = n(n + ১)

গতিকে, ২ (১ + ২ + ৩ + …. + n) = n(n + ১)

=> ১ + ২ + ৩ + …. + n = n(n + ১)/২

৩]

তলৰ চিত্ৰটোত একেবাৰে বাওঁকাষত এটা বৰ্গ আছে। তাৰ সোঁকাষে একে জোখৰ দুটা বৰ্গ আছে। এনেদৰে এটা এটাকৈ বৰ্গৰ সংখ্যা বাঢ়ি গৈ আছে।

এই বৰ্গবোৰৰ দীঘ ১ বুলি ধৰিলে, এটা বৰ্গৰ কালি হ’ব ১।

গতিকে বৰ্গসমূহৰ মুঠ কালি হ’ব ১ + ২ + ৩ + …., সোঁপিনে বৰ্গৰ সংখ্যা বঢ়াই গৈ থাকিলে মুঠ কালিটো এইদৰে বাঢ়ি গৈ থাকিব।

চিত্ৰটোত একেবাৰে সোঁপিনে ৭টা বৰ্গ আছে। যদি একেবাৰে সোঁপিনে nটা বৰ্গ থাকে, তেন্তে মুঠ কালি হ’ব = ১ + ২ + ৩ + …. + n।

এইবাৰ ডাঠ ৰং থকা অংশবোৰৰ মুঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা। আৰু সেই অংশটো বাদ দিলে বাকী থকা ডাঙৰ ত্ৰিভূজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

তেতিয়া আমি পাম:

১ + ২ + ৩ + …. + n = ডাঠ ৰং থকা অংশবোৰৰ মুঠ কালি + ডাঙৰ ত্ৰিভূজটোৰ কালি।

=> ১ + ২ + ৩ + …. + n = \frac{\text{১}}{\text{২}}n + \frac{\text{১}}{\text{২}}n.n

=> ১ + ২ + ৩ + …. + n  = \frac{\text{১}}{\text{২}}n(n+১)

[Featured image courtesy: Shutterstock]

No Comments

Post A Comment

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.