07 May ২০২১ বৰ্ষৰ এবেল বঁটা বিজয়ী লাছল’ ল’ভাজ আৰু আভি ৱিগডাৰ্ছন

(গণিতচ’ৰাৰ ইংৰাজী সংস্কৰণত প্ৰকাশিত মূল প্ৰবন্ধটো লিখিছে অভিজ্ঞান ৰায়ে। প্ৰবন্ধটোৰ অসমীয়া অনুবাদ আগবঢ়াইছে স্নেহাশিষ পৰাশৰ, গুণাংগ জ্যোতি গগৈ, অনামিকা বড়া, নিজৰা কোঁচ আৰু প্ৰিয়াংকুশ ডেকাই)

“তাত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান” বাক্যাংশটো এবেল বঁ‌টাৰ উদ্ধৃতিত অন্তিমবাৰ ২০১২ চনত পোৱা গৈছিল, যেতিয়া হাংগেৰীৰ প্ৰসিদ্ধ গণিতজ্ঞ আন্দ্ৰে’ ছেমাৰেডিক গণিতজগতৰ সৰ্বোচ্চ সন্মান প্ৰদান কৰা হৈছিল। বঁ‌টা প্ৰদান অনুষ্ঠানটিত লাছল’ ল’ভাজ আৰু আভি ৱিগডাৰ্ছনে তেতিয়াৰ বিজয়ীৰ মহিমামণ্ডিত অৱদানৰ এক প্ৰাথমিক ধাৰণা আগবঢ়াইছিল। সেই সময়ত এওঁ‌লোক দুজনে চাগৈ ভুলতো ভবা নাছিল যে প্ৰায় এক দশকৰ পিছত দুয়োজনে যুটীয়াভাৱে এই বঁ‌টা লাভ কৰিব। নৰৱেজিয়ান একাডেমী অব চায়েন্স্ এণ্ড্ লে’টাৰ্ছে ২০২১ বৰ্ষৰ এই এবেল বঁ‌টা আগবঢ়াইছে লাছল’ ল’ভাজ (ইয়টভচ ল’ৰাণ্ড বিশ্ববিদ্যালয়, বুডাপেষ্ট, হাংগেৰী) আৰু আভি ৱিগডাৰ্ছনলৈ (ইনষ্টিটিউট ফৰ এডভান্সড্ ষ্টাডি, প্ৰিন্সটন, আমেৰিকা যুক্তৰাষ্ট্ৰ) যুটীয়াভাৱে। তাত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু বিযুক্ত গণিতলৈ (discrete mathematics) তেওঁলোকৰ মৌলিক অৱদান, তথা এই দুটা বিষয়ক গণিতজগতৰ দুখন কেন্দ্ৰীয় গৱেষণাক্ষেত্ৰ হিচাপে গঢ়ি তোলাৰ বাবে তেওঁলোকৰ যি প্ৰচেষ্টা, ইয়াৰ বাবেই তেওঁলোকলৈ আগবঢ়োৱা হৈছে এই বঁ‌টা। গণিতৰ ন’বেল বঁ‌টা হিচাপে বিশ্বখ্যাত এবেল বঁ‌টা লাভ কৰিছে কম্পিউটিং আৰু তথ্যপ্ৰণালীৰ প্ৰতি বিপ্লৱী অৱদান আগবঢ়োৱা এই দুজন পথিকৃৎ গণিতজ্ঞই। এই বঁ‌টাৰ আনুষ্ঠানিক উদ্ধৃতি পঢ়িবলৈ ইয়াত ক্লিক কৰক।

লাছল’ ল’ভাজ

ল’ভাজে ১৯৬৪ চনৰ পৰা ১৯৬৬ চনলৈ আন্তৰ্জাতিক গাণিতিক অলিম্পিয়াডত তিনিটা সোণৰ পদক লাভ কৰিছিল আৰু ১৯৭০ চনত টিবৰ গাল্লাইৰ অধীনত হাংগেৰিয়ান একাডেমী অৱ চায়েন্সেছত ‘বিজ্ঞানৰ প্ৰাৰ্থী’ (পি.এইচ.ডি সমতুল্য) ডিগ্ৰী লাভ কৰিছিল। ল’ভাজৰ জীৱনৰ কাৰ্যকাল চোৱা হাংগেৰীত আৰম্ভ হৈছিল। হাংগেৰীৰ ইয়টভচ ল’ৰাণ্ড বিশ্ববিদ্যালয় আৰু য’চেফ আটিলা বিশ্ববিদ্যালয়ত কাম কৰাৰ পিছত ১৯৯৩ চনত তেওঁ য়েল বিশ্ববিদ্যালয়ৰ কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু গণিতৰ উইলিয়াম কে লানমেন অধ্যাপক হিচাপে নিযুক্ত হৈছিল। ২০০৬ চনত ইয়টভচ ল’ৰাণ্ড বিশ্ববিদ্যালয়লৈ অধ্যাপক হিচাপে উভতি অহাৰ আগতে ১৯৯৯ চনৰ পৰা তেওঁ মাইক্ৰছফ্টৰ জ্যেষ্ঠ গৱেষক হিচাপে কিছু কাল কটাইছিল। কিংবদন্তী বুদাপেষ্ট স্কুল অফ মেথমেটিকছৰ পৰাই ওলাই অহা লাছল’ৱে যানচ বল্যাই, ৰিজ ভাতৃদ্বয়, ফ্ৰিগিছ আৰু মাৰ্চেলৰ পৰা আৰম্ভ কৰি গেবৰ যেগো, আলফ্ৰেড ৰেনি, জন ভন নয়মেন, পল তোৰান, পল এৰডোচ, ৰাউল বট, পিটাৰ লেক্স, এন্দ্ৰে স্জেমেৰডি আদি বিশিষ্ট হাংগেৰিয়ান গণিতজ্ঞসকলৰ দীঘলীয়া শাৰীক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এৰড’ছৰ সৈতে হোৱা প্ৰাৰম্ভিক সাক্ষাৎসমূহে ল’ভাজক মূলতঃ লেখৰ গুণাগুণৰ সৈতে জড়িত হাংগেৰিয়ান শৈলীৰ বিন্যাস তত্ত্বত (combinatorics) কাম কৰিবলৈ প্ৰভাৱিত কৰে।

বিযুক্ত গঠনক কেইটামান ৰৈখিক অসমিকাৰ প্ৰণালী হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা আৰ্হিৰ সহায় লৈ ১৯৭২ চনত ল’ভাজে দুৰ্বল নিখুঁত লেখ অনুমানটো (weak perfect graph conjecture) প্ৰমাণ কৰিছিল। ১৯৭৯ চনত তেওঁ তথ্য তত্ত্বৰ অন্তৰ্ভুক্ত পঞ্চভুজৰ চেনন ক্ষমতা বিষয়ক বিখ্যাত আৰু দীৰ্ঘদিন ধৰি সমাধান নোহোৱা মুকলি প্ৰশ্নটো সমাধান কৰিছিল। এই প্ৰক্ৰিয়াত তেওঁ বিযুক্ত গঠনক প্ৰকাশ কৰিবলৈ দ্বিঘাত প্ৰকাশৰাশিৰ সূচনা কৰিছিল আৰু অৰ্ধনিৰ্দিষ্ট প্ৰগ্ৰেমিং (semidefinite programming) যুগৰ আৰম্ভণিৰ বতৰা দিছিল। বীজগণিতীয় সংস্থিতিবিজ্ঞানৰ সহায় লৈ তেওঁ নেচাৰৰ অনুমানটোও (Kneser’s conjecture) সমাধান কৰিছিল। দীৰ্ঘবৃত্তজ (ellipsoid) পদ্ধতিৰ ভিত্তিত এলগৰিদমৰ জ্যামিতীয় কাৰ্য্যপদ্ধতিৰ বিকাশত তেওঁ অগ্ৰণী ভূমিকা লৈছিল, যিয়ে পিছলৈ উপবিভক্ত ফলনৰ মান ন্যূনতমকৰণৰ লগত জড়িত এটা ডাঙৰ মুকলি সমস্যা সমাধানৰ পথ প্ৰশস্ত কৰিলে। ‘ল’ভাজ স্থানীয় প্ৰমেয়িকা’টোৰ (Lovász local lemma) জৰিয়তে তেওঁ বিযুক্ত গঠনৰ বিশ্লেষণৰ বাবে সম্ভাৱিতামূলক পদ্ধতিৰ মৌলিক সঁজুলি আগবঢ়াইছিল। লগতে NPৰ PCP বৈশিষ্ট্য প্ৰদানত অৰিহণা যোগাইছিল, আৰু matroid matching algorithm আৰু অখণ্ড জালিকাৰ বাবে basis reduction algorithm (LLL)ৰ দৰে গুৰুত্বপূৰ্ণ এলগৰিদম গঠন কৰি থকাৰ সময়তে প্ৰাক্কলনৰ জটিলতাৰ সৈতে থকা ইয়াৰ সংযোগৰ দিশতো অৰিহণা যোগাইছিল। সাধাৰণতে LLL (ল’ভাজ, আৰু দুই ভাই আৰ্জেন আৰু হেণ্ড্ৰিক লেনস্ট্ৰাৰ নামেৰে ইয়াৰ সম্পূৰ্ণ নাম Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm) হিচাপে পৰিচিত ‘হ্ৰাসকৰণ এলগৰিদম’টো সংকেত বিদ্যাৰ অন্যতম প্ৰাথমিক সঁজুলি আৰু জালিকা সমস্যা (lattice problem) সমাধানৰ বাবে এক মৌলিক এলগৰিদম। মাৰ্টান্স্ অনুমানটো ভুল প্ৰমাণ কৰিবলৈ এন্দ্ৰিউ অডলিজক’ আৰু হাৰ্মান টে’ ৰিয়েলে ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰিছিল। কেইবাদশক যোৱাৰ পিছতো LLLৰ এতিয়াও সংখ্যাতত্ত্ব, অখণ্ড প্ৰগ্ৰেমিং আৰু সংকেতবিদ্যাৰ ক্ষেত্ৰত বহুল প্ৰয়োগ হৈ আছে।

আভি ৱিগডাৰ্ছন

ৱিগডাৰ্ছনে ইজৰাইলৰ টেকনিয়নত স্নাতক অধ্যয়ন সম্পূৰ্ণ কৰে আৰু ১৯৮৩ চনত ৰিচাৰ্ড লিপটনৰ তত্ত্বাৱধানত প্ৰিন্সটনৰ পৰা কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত পিএইচডি ডিগ্ৰী লাভ কৰে। তাৰ পিছত তেওঁ ইউচি বাৰ্কলেত অতিথি সহকাৰী অধ্যাপক, আই বি এমৰ অতিথি বিজ্ঞানী আৰু ১৯৮৬ চনত হিব্ৰু বিশ্ববিদ্যালয়ত প্ৰবক্তা হিচাপে যোগদান কৰাৰ আগতে বাৰ্কলেৰ এম এছ আৰ আইৰ অধিসদস্য হিচাপে কাৰ্যনিৰ্বাহ কৰিছিল। ১৯৯৯ চনৰ পৰা ৱিগডাৰ্ছন প্ৰিন্সটনৰ ‘ইনষ্টিটিউট ফৰ এডভান্সড ষ্টাডি’ৰ ‘স্কুল অৱ মেথমেটিক্স’ত ‘হাৰ্বাৰ্ট এইচ মাছ অধ্যাপক’ আছিল। ৱিগডাৰ্ছনে যাদৃচ্ছিক গণনা, সংকেত বিদ্যা, আৰু গণনাত্মক জটিলতা আদিৰ দৰে ক্ষেত্ৰত গণনাৰ ভেটিটোৰ বাবে গভীৰ মৌলিক অৱদান আগবঢ়াইছে। 

এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ফলাফলৰ শৃংখলাত, ৱিগডাৰ্ছনে কিছুমান গণনাত্মক স্বীকাৰ্য্যৰ সহায় লৈ প্ৰমাণ কৰিছিল যে প্ৰতিটো সম্ভাৱিতামূলক বহুপদী সময়ৰ এলগৰিদম সম্পূৰ্ণৰূপে অযাদৃচ্ছিক কৰিব পাৰি, অৰ্থাৎ, বহুপদী-সময় গণনাৰ বাবে যাদৃচ্ছিকতা প্ৰয়োজনীয় নহয়, যি P = BPP ৰ সপক্ষে শক্তিশালী প্ৰমাণ প্ৰদান কৰে। সংকেত বিদ্যাত ৱিগডাৰ্ছনে দেখুৱাইছিল যে অসৎ পক্ষৰ উপস্থিতিতো যিকোনো ফলন কেনেদৰে সুৰক্ষিতভাৱে গণনা কৰিব পাৰি; শূন্য-জ্ঞানৰ প্ৰমাণৰ অস্তিত্ব প্ৰদৰ্শন কৰিছিল যিবোৰ প্ৰমাণ বৈধ যদিও কোনো কামৰ নহয়; আৰু মাল্টিপ্ৰ’ভাৰ ইন্টাৰেক্টিভ প্ৰমাণৰ আৰ্হি নিৰ্ধাৰণ কৰাত সহায় কৰিছিল যাৰ পৰাই পিছলৈ প্ৰসিদ্ধ PCP উপপাদ্যৰ সৃষ্টি হয়। ৱিগডাৰ্ছনে যোগাযোগ প্ৰট’কল, বৰ্তনী আৰু আনুষ্ঠানিক প্ৰমাণ প্ৰণালীৰ দক্ষতাৰ ওপৰত নিম্ন সীমা আগবঢ়াইছিল। লগতে তেওঁ এক্সপেণ্ডাৰ লেখৰ (the zig-zag graph product) প্ৰথম উপযুক্ত সংমিশ্ৰণ নিৰ্মাণ প্ৰদান কৰে, যি হৈছে উচ্চ সংযোজিত বিৰল লেখৰ এক গুৰুত্বপূৰ্ণ শ্ৰেণী, আৰু পৰৱৰ্তী সময়ত বহুতো গুৰুত্বপূৰ্ণ ফলাফলৰ বাবে অনুপ্ৰেৰণা হিচাপে কাম কৰে। 

সামৰণি

ইয়াৰ উপৰিও ৱিগডাৰ্ছন আৰু ল’ভাজে বিশ্ববিদ্যালয়ৰ বিজ্ঞ পৰামৰ্শদাতা, সু- প্ৰশাসক, অপূৰ্ব ভাষ্যকাৰ আৰু অনুপ্ৰেৰণাদায়ী নেতা হিচাপে সফলতা অৰ্জন কৰিছিল। তেওঁলোকৰ অভিনৱ কিতাপসমূহ আৰু আকৰ্ষণীয় ভাষণবোৰে সমগ্ৰ বিশ্বতে গণিত গৱেষণাৰ প্ৰতি উদগণি যোগাই আহিছে। এফালে যিদৰে ৱিগডাৰ্ছনে ইনষ্টিটিউট ফৰ এডভান্সড ষ্টাডিত কেইবা প্ৰজন্মৰো তাত্ত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানীক প্ৰশিক্ষণ দিছে, আনফালে ল’ভাজে আগবঢ়োৱা বিন্যাস তত্ত্বৰ সমস্যা আৰু অনুশীলনীবোৰে বিন্যাস তত্ত্বৰ ক্ষেত্ৰখনক এক নতুন মাত্ৰা প্ৰদান কৰিছে। ল’ভাজে ২০০৭ ৰ পৰা ২০১০ চনলৈ আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় গণিত সংঘৰ সভাপতি হিচাপে কাৰ্যভাৰ গ্ৰহণ কৰিছিল আৰু চৰম সোপন্থী চৰকাৰৰ প্ৰহসন নীতিকো চেৰ পেলাই ২০১০ ৰ পৰা ২০২০ লৈ হাংগেৰিয়ান বিজ্ঞান একাডেমীৰ মুৰব্বীৰ দায়িত্ব পালন কৰিছিল।

ৱিগডাৰ্ছন আৰু ল’ভাজৰ অভূতপূৰ্ব কৰ্মৰাজিৰ বাস্তৱ জগততো অনন্য আৰু উল্লেখনীয় প্ৰয়োগ দেখিবলৈ পোৱা যায়। উদাহৰণস্বৰূপে ব্ৰিন আৰু পেজে ল’ভাজৰ বৰ্ণালী লেখ তত্ত্বৰ ফলাফলৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰিয়ে pagerank উদ্ভাৱন কৰিছিল যাক গুগল চাৰ্ছ ইঞ্জিনৰ আধাৰ বুলি গণ্য কৰা হয়। আনহাতে ৱিগডাৰ্ছনে “শূন্য জ্ঞান প্ৰমাণ”ৰ (zero knowledge proofs) ক্ষেত্ৰত কৰা কামে খণ্ডশৃংখল (blockchain) আৰু সাংকেতিক মুদ্ৰা (cryptocurrency) প্ৰযুক্তিত অৰিহণা যোগাইছে। সবল সাংকেতিক বিজ্ঞান পদ্ধতিৰ (cryptographic system) কৌশলগত উদ্ভাৱনৰ সহায় হোৱাৰ উপৰিও তেওঁলোকৰ কৰ্মই স্নায়ুবিজ্ঞান, কোৱান্টাম পদাৰ্থবিজ্ঞান, পৰিসাংখ্যিক কাৰিকৰী বিদ্যা, অৰ্থনীতিবিজ্ঞান, সমাজতত্ত্ব, চিকিৎসাবিজ্ঞান ইত্যাদিকে ধৰি প্ৰায়বোৰ আধুনিক প্ৰযুক্তিক শ্ৰেষ্ঠ আৰু উন্নত কৰাৰ দিশত প্ৰয়োজনীয় মৌলিক আৰু বৈজ্ঞানিক গৱেষণাত সৰ্বতোপ্ৰকাৰে অনুঘটকৰ দৰে সহায় কৰিছে। ৱিগডাৰ্ছন আৰু ল’ভাজে কেৱল কল্পনাপ্ৰসূত আৰু প্ৰভাৱশালী ধাৰণাকে প্ৰৱৰ্তন কৰিছে তেনে নহয়, বহুতো কঠিন সমস্যাৰো সমাধান কৰিছে। তাৰোপৰি তেওঁলোকৰ কৰ্মৰাজিৰ বিশেষত্বসমূহ হৈছে-  তুলনাবিহীন প্ৰগাঢ়তা, কৌশলগত দিশৰ প্ৰয়োগ তথা গণিত আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ বিস্তৃত ক্ষেত্ৰখনৰ পৰা লোৱা বিভিন্ন ধাৰণা আৰু পদ্ধতিৰ সৃজনাত্মক সংশ্লেষণ। মৌলিক আৰু প্ৰায়োগিক গণিতৰ সীমাকো নেওচি নিজৰ যুগমীয়া সৃষ্টিৰে এই দুই মনীষীয়ে প্ৰমাণ কৰি গʼল যে ব্যৱহাৰিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান, আধুনিক বিজ্ঞান আৰু গণিতৰ এক বুনিয়াদী আৰু অপৰিহাৰ্য্য অংশ।

তাত্ত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু বিযুক্ত গণিত সম্পৰ্কে দুআষাৰ 

তাত্ত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান গণনা প্ৰক্ৰিয়াৰ শক্তি আৰু সীমাবদ্ধতা সম্পৰ্কীয় অধ্যয়ন। ইয়াৰ দুটা পৰিপূৰক উপ-বিভাগ আছে: এলগৰিদম প্ৰস্তুতকৰণ, যাৰ দ্বাৰা বিভিন্ন ধৰণৰ গণনাত্মক সমস্যা সমাধানৰ ফলপ্ৰসূ উপায় নিৰ্মাণ কৰিব পাৰি। আৰু গাণনিক জটিলতা, যিয়ে এলগৰিদমৰ কাৰ্য্যদক্ষতাত থকা নিহিত সীমাবদ্ধতা দেখুৱায়। বহুপদী-সময় এলগৰিদমৰ ধাৰণাটো ১৯৬০ৰ দশকত এলান কভাম, জেক এদমণ্ডছ্ আৰু আন কেইজনমানে উত্থাপন কৰিছিল; আৰু ষ্টিফেন কুক, লিৱ’নিড লেভিন আৰু ৰিচাৰ্ড কাৰ্পৰ প্ৰসিদ্ধ P≠NP অনুমানটোৰ এইক্ষেত্ৰত উল্লেখনীয় প্ৰভাৱ আছিল। 

বিযুক্ত গণিত হৈছে লেখ, অনুক্ৰম, বিন্যাস আৰু জ্যামিতীয় গাঁথনিসমূহৰ অধ্যয়ন। বিযুক্ত গাঁথনিৰ বিন্যাস তত্ত্বটো সংখ্যা তত্ত্ব, সম্ভাৱিতা তত্ত্ব, বীজগণিত, জ্যামিতি আৰু বিশ্লেষণ আদি বিশুদ্ধ গণিতৰ বিভিন্ন ক্ষেত্ৰৰো গুৰুত্বপূৰ্ণ অংশ। বিন্যাস তত্ত্ব হৈছে বিভিন্ন চানেকিৰ অধ্যয়ন, আৰু লেখ তত্ত্ব এটা নে’টৱৰ্কত থকাধৰণৰ সংযোগৰ অধ্যয়ন। উভয়ে বিযুক্ত গণিতৰ পৰিসৰত অন্তৰ্গত, যিহেতু অধ্যয়নৰ বিষয়বস্তুসমূহ এডাল বক্ৰৰে মসৃণভাৱে গতি থকা বিন্দুৰ নিচিনা হোৱাৰ পৰিৱৰ্তে কিছুমান নিৰ্দিষ্ট মান থাকে। এনেধৰণৰ গঠনৰ গণিতেই তাত্ত্বিক কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু তথ্য তত্ত্বৰ ভেটি গঢ় দিছে। উদাহৰণস্বৰূপে, ইন্টাৰনেটৰ দৰে যোগাযোগ ব্যৱস্থাক লেখ তত্ত্বৰ সঁজুলি ব্যৱহাৰ কৰি বৰ্ণনা আৰু বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। দক্ষ গণনাত্মক এলগৰিদমৰ চানেকিও বিযুক্ত গণিতৰ সিদ্ধান্তৰ ওপৰত বহুপৰিমাণে নিৰ্ভৰ কৰে।