30 Jul গণিত পাঠ – ১৯ : তোমাৰ অনুমানবোৰ পৰীক্ষা নকৰা কিয়

তুমি কাৰোবাৰ সম্পৰ্কে বা কিবা এটা ঘটনাৰ সম্পৰ্কে আন্দাজতে কিবা এটা ভাবি লৈছা। তুমি অনুমান কৰা কথাটো শুদ্ধ নে অশুদ্ধ? বা শুদ্ধ হ’লেও, অনুমানটো আকস্মিকভাৱে এনেইহে মিলি গ’ল নেকি? এই কথাবোৰৰ পৰা তোমাৰ চাৰিত্ৰিক বৈশিষ্টৰ সম্পৰ্কেও ধাৰণা ল’ব পাৰি। বহুতো মানুহে অনুমান কৰি আনৰ সম্পৰ্কে ভুল ধাৰণা লৈ থাকে, ভুল মন্তব্য দি দিয়ে।

গাণিতিক প্ৰসংগতো অনুমানবোৰ পৰীক্ষা কৰি নাচালে সঘনে ভুল ফল পাবা। পৰীক্ষা কৰি নাচালে অনুমানবোৰ ভুল হোৱাৰ এটা বিখ্যাত উদাহৰণ আছে। লিঅ’ ম’জাৰ (Leo Moser, ১৯২১ – ১৯৭০) নামৰ গণিতজ্ঞ এজনে এইটো আগবঢ়াইছিল। ইয়াক Moser’s circle problem বুলিও কোৱা হয়।

এই প্ৰসংগলৈ যোৱাৰ আগতে তোমালোকক এটা প্ৰশ্ন কৰোঁ: সাতে পাঁচে বাৰই একে কিমান? বহুতে এই প্ৰশ্নটো হয়তো পাইছা। অসমীয়া ভাষাত “সাতে পাঁচে বাৰ” বুলি এটা ফকৰা আছে। সেইটো সঘনাই শুনি থকা বাবে বহুতে এই প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰ পটকৈ ১৩ বুলি দি দিয়ে। তেওঁলোকে কেৱল ১২ৰ লগত ১ যোগ কৰে। প্ৰশ্নটো অন্ততঃ দুবাৰ ভাবি নাচায়। ফলত ভুল হয়। এনেকৈ হ’লে, তোমাক যদি সোধে “সাতে পাঁচে দুইয়ে একে কিমান?”, তেতিয়া কি বুলি উত্তৰ দিবা? নিশ্চয় উত্তৰটো এইবাৰ ৩ বুলি নিদিয়া। কাৰণ তাৰ শুদ্ধ উত্তৰটো হ’ল: ১৫।

আন এটা প্ৰশ্ন: যদি ৩% ৰ ৫% লোৱা, তেন্তে কিমান শতাংশ পাবা?

বহুতে পটকৈ উত্তৰ দি দিয়ে যে ১৫% পাম। কিন্তু এইটো উত্তৰ ভুল।

তেওঁলোকে উত্তৰটো পাবলৈ ৩ আৰু ৫ পূৰণ কৰি দিয়ে। এই সংখ্যা দুটা পূৰণ কিয় কৰিলে কোনো যুক্তি নাই, এনেই অনুমানত পটকৈ পূৰণ কৰি দিয়ে।

প্ৰকৃততে, ৩% ৰ অৰ্থ হৈছে কিবা এটাৰ ১০০ ভাগৰ ৩ অংশ। মানে \frac{\text{৩}}{\text{১০০}}। সেই \frac{\text{৩}}{\text{১০০}}ৰ ৫% উলিয়াবলৈ প্ৰশ্নটোত কৈছে। \frac{\text{৩}}{\text{১০০}}ৰ ৫% মানে হ’ল \frac{\text{৩}}{\text{১০০}}\times\frac{\text{৫}}{\text{১০০}}।

আকৌ, \frac{\text{৩}}{\text{১০০}}\times\frac{\text{৫}}{\text{১০০}} = \frac{\text{১৫}}{\text{১০০০০}} = \frac{\text{০.১৫}}{\text{১০০}}। অৰ্থাৎ শুদ্ধ উত্তৰটো ০.১৫ শতাংশহে।

এতিয়া বৃত্তৰ সমস্যাটোৰ কথালৈ আহোঁ। ইয়াত বৃত্ত এটাৰ বিশেষ জ্যা কিছুমান অঁকা হয়। সেই জ্যাবোৰে বৃত্তটোৰ ভিতৰত কেইটা পৃথক পৃথক অংশ সৃষ্টি কৰিব তাক নিৰ্ণয় কৰিব লাগে।

এতিয়া, বৃত্ত এটাৰ পৰিধিত যিকোনো দুটা বিন্দু ল’লে, সেই বিন্দু দুটা সংযোগ কৰি আমি এডাল জ্যা আঁকিব পাৰিম। সেই জ্যাডালে বৃত্তটোক দুটা ভাগত ভগাব।

বৃত্তটোৰ পৰিধিত যিকোনো তিনিটা বিন্দু ল’লে, সেই বিন্দু তিনিটা সংযোগ কৰি আমি তিনিডাল জ্যা আঁকিব পাৰিম। সেই জ্যা তিনিডালে বৃত্তটোক চাৰিটা ভাগত ভগাব।

এইদৰে আমি পৰিধিত চাৰিটা বিন্দু লৈ জ্যা আঁকিম, পাঁচটা বিন্দু লৈ আঁকিম,….। এইদৰেই বিন্দুৰ সংখ্যা বঢ়াই গৈ থাকিম। আৰু বৃত্তটোৰ পৰিধিত বিন্দুবোৰ এনেকৈ ল’ম যাতে যিকোনো তিনিডাল জ্যাই কেতিয়াও এটা বিন্দুত কটাকটি নকৰে। তলৰ চিত্ৰসমূহলৈ চোৱা:

প্ৰথম পাঁচটা বৃত্তলৈ চোৱা, আৰু প্ৰতিটোতে কেইটাকৈ ভাগ হৈছে হিচাপ কৰা। তেতিয়া পাবা:

১টা বিন্দুৰ বাবে ১টা ভাগ; ২টা বিন্দুৰ বাবে ২টা ভাগ; ৩টা বিন্দুৰ বাবে ৪টা ভাগ; ৪টা বিন্দুৰ বাবে ৮টা ভাগ; ৫টা বিন্দুৰ বাবে ১৬টা ভাগ; ……

এই সংখ্যাবোৰৰ এটা আৰ্হি আমি দেখা পাইছোঁ:

১ → ১;

২ → ২;

৩ → ৪;

৪ → ৮;

৫ → ১৬;

……

……

ইয়াৰ পৰা তুমি পটকৈ কৈ দিব পাৰা যে ৬টা বিন্দুৰ বাবে ৩২টা ভাগ হ’ব। ৭টা বিন্দুৰ বাবে ৬৪টা ভাগ হ’ব, ….।

কিন্তু, শেষৰ বৃত্তটোত হিচাপ কৰি চোৱাচোন। দেখিবা, তাত কেৱল ৩১টা ভাগ হে আছে। আৰু নিজে ৭টা বিন্দু লৈ আঁকি চালে দেখিবা তাত ৬৪টা নাই, কেৱল ৫৭টা ভাগহে আছে। তাৰমানে, মাথোঁ কেইটামান আৰ্হি লৈ কৰা অনুমানটো ভুল হ’ল।

আচলতে সংখ্যাবোৰ আমি দেখা আৰ্হিটোতকৈ বেলেগ এটা আৰ্হিতহে আছে। সেইটো আৰ্হি আমি প্ৰথম পাঁচটা বিন্দুৰ বাবে বিবেচনা কৰোঁতে দেখা পোৱা নাছিলোঁ। এই সংখ্যাবোৰৰ প্ৰকৃত আৰ্হিটো হ’ল:

\frac{\text{১}}{\text{২৪}}(n^{\text{৪}}-\text{৬}n^{\text{৩}}+\text{২৩}n^{\text{২}}-\text{১৮}n+\text{২৪})

অৰ্থাৎ বিন্দুৰ সংখ্যা n হ’লে এই ৰাশিটোত nৰ মান বহুৱাই দিলে বৃত্তটোত হোৱা মুঠ ভাগবোৰৰ সংখ্যা পাই যাম।

[Featured image courtesy]