29 Jul গণিত পাঠ – ১৪ : মোহনীয় বহুপদ ৰাশি

পাইথাগোৰাছে কৈছিল, “Number rules the universe”। কিন্তু তেওঁৰ জীৱন কাল আছিল আজিৰ পৰা ২৫০০ বছৰ আগতে। তেতিয়াৰ তুলনাত আজি গণিতৰ কিমান বিকাশ হ’ল!! মানুহৰ জগতখনেই বেলেগ হৈ পৰিল। এতিয়া কেৱল সংখ্যাৰে হিচাপ-নিকাছ কৰিলেই জগতখন বুজাতো অসম্ভৱ। আৰু অকল তেনেকুৱা হিচাপ-নিকাছখিনিয়েই সদায় থকা হ’লে আমি এতিয়া পোৱা সুবিধাবোৰ লাভ কৰাটোও সম্ভৱ নহ’লহেঁতেন। আজি যদি পাইথাগোৰাছ থাকিলেহেঁতেন, হয়তো ক’লেহেঁতেন, “Polynomial rules the universe”। এই কথাখিনিৰ দ্বাৰা এটা কথাই বুজাব বিচৰা হৈছে যে polynomial অৰ্থাৎ বহুপদ ৰাশিৰ গুৰুত্ব কিমান বেছি!! ইয়াৰ সম্পৰ্কে নাজানিলে নহ’ব।  x-৫, x^{\text{২}}+২y-৮, \text{৫}x^{\text{৯৪}},  xy+c,  bz+৫, এইবোৰ বহুপদ ৰাশিৰ উদাহৰণ।

বহুপদ ৰাশিৰ জৰিয়তে বহুতো কথা সাধাৰণীকৰণ কৰি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ইয়াত প্ৰায়বোৰ কথা বুজাবলৈ সংখ্যাৰ পৰিৱৰ্তে বৰ্ণ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। সেইবাবে এই ভাগটো বহুতে টান বুলি ভাবে। সংখ্যাৰ প্ৰাৰম্ভিক কথাবোৰ শিকাৰ পাছত আমি ডাঙৰ সংখ্যা এটা দেখিলেই ভয় নাখাওঁ। তেনেদৰে বহুপদ ৰাশিৰ পাৰম্ভিক কথাবোৰ শিকি ল’লে, ৰাশি এটা দেখিলেই ভয় খোৱা অভ্যাসটো নাইকীয়া হৈ যাব।

তোমালোকে নিশ্চয় জানা যে ১৫ বছৰতকৈ কম বয়সৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে উচ্চ মাধ্যমিক শিক্ষান্ত পৰীক্ষা দিব নোৱাৰে। ধৰা, তোমালোক সকলো নৱম শ্ৰেণীত আছা। তাৰমানে তোমালোকৰ সবৰে বয়স ইতিমধ্যে ১৩ বছৰ হ’বই লাগিব। ধৰা, শ্ৰেণীটোত তোমালোক মুঠ ৬৫জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছা। তোমালোকৰ নামবোৰ দিগন্ত, মানস, ৰহিম, তুলিকা, …. ইত্যাদি। যদি নামটোকেই বয়স বুলি ধৰোঁ, তেতিয়া পাম: দিগন্ত+২=১৫, মানস+২=১৫, ৰহিম+২=১৫, তুলিকা+২=১৫, …. এনেকৈ নাপাম জানো?

ইয়াৰ পৰিৱৰ্তে প্ৰত্যেকৰে বয়স যদি x বুলি ধৰোঁ, তেন্তে সকলোৰে নাম লিখি থকাৰ পৰিৱৰ্তে x+২=১৫ বুলি লিখিলেই হৈ যাব। য’ত x য়ে শ্ৰেণীটোৰ কাৰোবাৰ বয়স বুজাইছে।

এই x টো পৰিবৰ্তন হৈ থাকিব পাৰে। দিগন্ত হ’ব পাৰে, মানস হ’ব পাৰে, ৰহিম হ’ব পাৰে, ….। সেয়েহে ইয়াক চলক (variable) বুলি কোৱা হয়।

গোটেই কথাখিনিৰ পৰা আমি কি পালোঁ? যদি নৱম শ্ৰেণীৰ কাৰোবাৰ বয়স x বছৰ হয়, তেন্তে x+২=১৫।

এই কথাটো আমি আৰু অধিক সাধাৰণীকৰণ কৰিব পাৰিম। এইবাৰ আমি যিকোনো এটা শ্ৰেণী লওঁ। তেতিয়া কি পাম চোৱা: যদি কোনোবা এটা শ্ৰেণীৰ কাৰোবাৰ বয়স x বছৰ হয়, তেন্তে x+a=১৫। ইয়াত xটো চলক, সি শ্ৰেণীটোৰ বেলেগ বেলেগ ছাত্ৰী-ছাত্ৰীৰ নাম লৈ থাকিব পাৰে। কিন্তু aটো চলক নহয়। প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ বাবে aটো নিৰ্দিষ্ট। নৱম শ্ৰেণীৰ বাবে পাইছিলোঁ a=২। অষ্টম শ্ৰেণীৰ বাবে পাম a=৩, সপ্তমৰ বাবে a=৪। ইয়ো সলনি হৈছে, কিন্তু প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ বাবে সি নিৰ্দিষ্ট। সেয়েহে ইয়াক ধ্ৰুৱক (constant) বুলি কোৱা হয়।

লগতে এইটো কথাও চোৱা: সমীকৰণটোত ১৫ সংখ্যাটোও নিৰ্দিষ্ট। সিও এটা ধ্ৰুৱক। কিন্তু সি aৰ দৰে নহয়। সেয়েহে a আৰু ১৫, দুটা বেলেগ বেলেগ ধৰণৰ ধ্ৰুৱক। ধ্ৰুৱক হিচাপে ইহঁতক দুটা পৃথক পৃথক নাম দিয়া হয়। সেই সম্পৰ্কে পিছত শিকিবা।

এতিয়া তোমালোকে চলক আৰু দুই প্ৰকাৰৰ ধ্ৰুৱকৰ সম্পৰ্কে কিছু ধাৰণা পালানে? এনেধৰণৰ সমীকৰণ ইতিমধ্যে বহুত দেখিছা।

সাধাৰণতে চলক বুজাবলৈ x, y, z আদি ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ শেষৰ পিনৰ সৰুফলা আখৰবোৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ধ্ৰুৱক বুজাবলৈ a, b, c আদি ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ সমুখৰ পিনৰ সৰুফলা আখৰবোৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ধ্ৰুৱক বুজাবলৈ কেতিয়াবা গ্ৰীক বৰ্ণমালাৰ সৰুফলা আখৰবোৰো ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কেতিয়াবা আকৌ বৰ্ণ এটা লৈ তাৰ তলত (subscript ৰূপে) ক্ৰম অনুসাৰে সংখ্যা দি দি বুজোৱা হয়। গ্ৰীক বৰ্ণমালাৰ সৰুফলাৰ এটা আখৰ \pi টো a, c, d ৰ দৰে সাধাৰণতে ব্যৱহাৰ কৰা নহয়। কাৰণ ই বহু-প্ৰচলিত এটা সংখ্যা, যিটো ব্যৱহাৰ কৰিলে খেলিমেলি হ’ব পাৰে।

এটা চলক যুক্ত বহুপদ ৰাশিৰ সংজ্ঞা:

এটা চলক যুক্ত বহুপদ ৰাশিৰ সাধাৰণ আৰ্হিটো হ’ল:

a_nx^n+a_{\text{n-১}}x^{\text{n-১}}+\dots +a_{\text{২}}x^{\text{২}}+ a_{\text{১}}x^{\text{১}}+a_{\text{০}}x^{\text{০}},

য’ত a_n,+a_{\text{n-১}},\dots a_{\text{২}}, a_{\text{১}} আৰু a_{\text{০}} ধ্ৰুৱক।

বহুপদ ৰাশি একোটাৰ চলকটো x হ’লে তাক P(x), Q(x), r(x) এইবোৰৰ কোনোবা এটাৰে বুজুৱা হয়। যেনে:

 P(x) = a_nx^n+a_{\text{n-১}}x^{\text{n-১}}+\dots +a_{\text{২}}x^{\text{২}}+ a_{\text{১}}x^{\text{১}}+a_{\text{০}}x^{\text{০}}

        = a_nx^n+a_{\text{n-১}}x^{\text{n-১}}+\dots +a_{\text{২}}x^{\text{২}}+ a_{\text{১}}x^{\text{১}}+a_{\text{০}}

r(x)  = x^{\text{২}}+২x-৮.

এই ৰাশিবোৰত যোগ বা বিয়োগেৰে যিবোৰ অংশক পৃথক কৰা হৈছে সেইবোৰৰ প্ৰতিটোকে এটা এটা পদ (term) বোলে। যেনে: r(x) বহুপদ ৰাশিটোৰ পদকেইটা হ’ল x^{\text{২}},  ২x  আৰু  ৮।

আকৌ, একোটা পদৰ চলক অংশটোৰ লগত যিটো ধ্ৰুৱক পূৰণ হৈ থাকে সেইটোক সেই পদটোৰ সহগ (co-efficient) বোলে। যেনে: r(x) ত সহগকেইটা হ’ল ক্ৰমে ১, ২ আৰু -৮। এনেকৈয়ো কোৱা হয়: x^{\text{২}}ৰ সহগ ১, x ৰ সহগ ২, x^{\text{০}}ৰ -৮।

কিছুমান সাধাৰণ ফৰ্মূলা, যেনে: বৃত্তৰ পৰিসীমা = ২πr, বৃত্তৰ কালি = \pi r^{\text{২}}, ত্ৰিভূজৰ কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}}bh; ইয়াত আমি পোৱা  ২πr, \pi r^{\text{২}}, \frac{\text{১}}{\text{২}}bh  আদি ৰাশিবোৰ বহুপদ ৰাশি। ইয়াৰ r, b, h আদি এটা এটা চলক।

আমি এতিয়া কেৱল এটা চলক যুক্ত বহুপদ ৰাশিৰ কথা আলোচনা কৰিম। গতিকে “বহুপদ ৰাশি” বা “ৰাশি” বুলি কোৱা লগে লগে তোমালোকে ইয়াত এটা চলক যুক্ত বহুপদ ৰাশিৰ কথা কৈছোঁ বুলি বুজি ল’বা। এইটো কথাও মনত ৰাখিবা যে বহুপদ ৰাশিত সদায় কেৱল এটা চলকেই নাথাকে। দুটা চলক যুক্ত বহুপদ ৰাশি এটাৰ সাধাৰণ আৰ্হিটো কি হ’ব পাৰে, লিখিবলৈ চেষ্টা কৰিবাচোন। তাত কিমানটা পদ থাকিব বাৰু?

ওপৰত দিয়া P(x) বহুপদ ৰাশিটোলৈ মন কৰা। যদি a_n ধ্ৰুৱকটোৰ মান ০ হয়, তেন্তে প্ৰথম পদটো ০ হ’ব। যদি a_n ধ্ৰুৱকটোৰ মান ০ নহয়, তেন্তে প্ৰথম পদটোৰ চলকটোত সৰ্বোচ্চ ঘাত থাকিব। সেইটো হৈছে x^n। এই সৰ্বোচ্চ ঘাতটোক, মানে nক বহুপদ ৰাশিটোৰ মাত্ৰা (degree of the polynomial) বোলে। গতিকে r(x) ৰ মাত্ৰা হ’ল ২। r(x) ৰ মাত্ৰা ৩, ৪, ১ আদি এটাও নহয়।

মাত্ৰা ২ হ’লে বহুপদ ৰাশিবোৰক দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি (quadratic polynomial) বুলি কোৱা হয়। গতিকে, r(x) এটা দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি। মাত্ৰা ১ হ’লে বহুপদ ৰাশিবোৰক ৰৈখিক বহুপদ ৰাশি (linear polynomial) বোলে। যেনে:  x-৫,  z+c।

মাত্ৰা ০ হ’লে বহুপদ ৰাশিবোৰক ধ্ৰুৱ বহুপদ ৰাশি (constant polynomial) বোলে। যেনে:  -৫,  c, a+৫। অৰ্থাৎ ধ্ৰুৱ বহুপদ ৰাশিত চলক নাথাকে, কেৱল ধ্ৰুৱক পদটো থাকে। আৰু ধ্ৰুৱ বহুপদ ৰাশিটো যদি ০, তেন্তে তাক শূন্য বহুপদ ৰাশি (zero polynomial) বোলে। গতিকে এটা কথা খেলিমেলি নকৰিবা: ইয়াত ০ ও এটা বহুপদ ৰাশি, কিন্তু এই বহুপদ ৰাশিটোৰ মাত্ৰা ০ নহয়, বা মাত্ৰা ১ নহয়। ইয়াৰ মাত্ৰা সাধাৰণতে -∞ বুলি লোৱা হয়। এনেকৈ লোৱাৰ কাৰণ আছে, তেতিয়া কিছুমান কথা শুদ্ধকৈ ব্যাখ্যা কৰিবলৈ সুবিধা হয়। ০ বহুপদ ৰাশিটোৰ মাত্ৰা তোমালোকৰ পাঠ্যপুথিত অসংজ্ঞাকৃত বুলি আছে, কাৰণ শূন্য বহুপদ ৰাশি (zero polynomial)ৰ সম্পৰ্কে তোমালোকৰ পাঠ্যপুথিত বহলাই একো আলোচনা কৰা নাই। গতিকে পৰীক্ষাত সেই মাত্ৰাটো অসংজ্ঞাকৃত (undefined) বুলিয়েই লিখিবা।

বহুতৰ মনলৈ এনে ভাৱ আহে: এই ৰাশিবোৰত বহুকেইটা পদ আছে বাবে ইহঁতক বহুপদ ৰাশি বোলে নেকি?

x^{\text{২}} + ax + log x + {\text{৫}}^{x}, x+\frac{\text{১}}{x}, \sqrt{x} + ৩ এই তিনিটাও বহুপদ ৰাশি নেকি? যদি নহয়, কিয় নহয়? ইয়াতো বহুকেইটা পদেই আছে, প্ৰথমটোত চাৰিটা আছে, দ্বিতীয় আৰু তৃতীয়টোত দুটা আছে। কিন্তু ইহঁত বহুপদ ৰাশি কিয় নহয়?

আচলতে “বহুপদ ৰাশি” বুলি এটা সংজ্ঞা দি লোৱা হৈছে, য’ত চলকবোৰত কেৱল ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বা শূন্যহে ঘাত ৰূপে থাকে, আন বেলেগ আৰ্হিত চলকবোৰ নাথাকে। এই উদাহৰণ তিনিটাৰ প্ৰথমটোত এটা পদত log x আছে আৰু আন এটা পদত xটো নিজেই ঘাত হৈ আছে। দ্বিতীয় উদাহৰণটোত এটা পদত xৰ ঘাত -১ আছে। তৃতীয়টো x ৰ ঘাত ১/২ আছে, ই ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নহয়। গতিকে সংজ্ঞা মতে এই তিনিটা “বহুপদ ৰাশি” নহয়। এইবোৰ ৰাশিৰ বিষয়ে আমি বেলেগ ধৰণে অধ্যয়ন কৰিব লাগিব। “বহুপদ ৰাশি”তকৈ ইহঁতৰ বহুত বেলেগ বেলেগ ধৰ্ম আছে।

এতিয়া প্ৰশ্ন হ’ল: x^{\text{২}}+\text{২}x-\sqrt{\text{২}} আৰু  x +  \frac{\text{১}}{\text{২}} বহুপদ ৰাশি হয় নে নহয়? উত্তৰটো হ’ল: হয়। কাৰণ ইয়াত চলকবোৰ সংজ্ঞা মতেই আছে। প্ৰথম ৰাশিটোত এটা ধ্ৰুৱক আছে, যিটোত ঘাত ভগ্নাংশ, কিন্তু সি এটা অপৰিমেয় সংখ্যা, \sqrt{\text{২}}, মানে বাস্তৱ সংখ্যা। ইয়াততো সহগবিলাক যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা হ’ব পাৰে। দ্বিতীয় ৰাশিটোত এটা সহগ ভগ্নাংশ হৈ আছে, \frac{\text{১}}{\text{২}}, কিন্তু সিও এটা বাস্তৱ সংখ্যা। ধ্ৰুৱকবিলাক আমি যিকোনো সংখ্যা ল’ব পাৰোঁ। সংজ্ঞাটোত একো বাধা দিয়া নাই।

আনকি, ধ্ৰুৱকবোৰ যে সদায় বাস্তৱ সংখ্যাই হ’ব এনে নহয়। ধ্ৰুৱকবিলাক আন বেলেগ কিবাও হ’ব পাৰে, যিবোৰ কথা এতিয়া আয়ত্ব কৰিব নোৱাৰিবা, উচ্চ শ্ৰেণীত পাবা। আমি ইয়াত কেৱল বাস্তৱ সহগ যুক্ত বহুপদ ৰাশিৰ বিষয়েহে আলোচনা কৰিম।

বহুপদ ৰাশিৰ যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণ:

দুটা বহুপদ ৰাশি যোগ আৰু বিয়োগ কৰোঁতে একে ঘাতৰ চলকবোৰ লগ লগোৱা হয়। এই কামটো ষ্ট’ৰ ৰুমত বস্তু থোৱাৰ দৰে বা ষ্ট’ৰ ৰুমৰ পৰা বস্তু উলিয়াই নিয়াৰ দৰে কথা। তুমি বজাৰৰ পৰা চাউল-দাইল-আলু এমোনা আনিছা। তাৰ পাছত ষ্ট’ৰ ৰুমত চাইলৰ লগত চাউল, দাইলৰ লগত দাইল, আলুৰ লগত আলু ৰাখিবা। সেইমতে ষ্ট’ৰ ৰুমত বস্তুবোৰৰ পৰিমাণটো সলনি হ’ব। ইয়াত আমি চলকৰ একে ঘাতবোৰ লগ লগাম, আৰু তাৰ পাছত সহগবোৰ যোগ-বিয়োগ কৰিম। যেনে:

(x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮})-(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})

= x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮}-x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+x-\text{৮}

= -x^{\text{৩}}+x^{\text{২}}-\text{২}x^{\text{২}}+\text{২}x+x-\text{৮}-\text{৮}   [চলকৰ ঘাতবোৰৰ অধোক্ৰমত সজাইছোঁ।]

= -x^{\text{৩}}-x^{\text{২}}+\text{৩}x-\text{১৬}

পুৰণৰ ক্ষেত্ৰত আমি বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰিম। যেনে:

(x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮})\times(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})

= x^{\text{২}}\times(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})+\text{২}x\times(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})-\text{৮}\times(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})

= (x^{\text{৫}}+\text{২}x^{\text{৪}}-x^{\text{৩}}+\text{৮}x^{\text{২}})+(\text{২}x^{\text{৪}}+\text{৪}x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+\text{১৬}x)+(-\text{৮}x^{\text{৩}}-\text{১৬}x^{\text{২}}+\text{৮}x-\text{৬৪})

= x^{\text{৫}}+\text{৪}x^{\text{৪}}-\text{৫}x^{\text{৩}}-\text{১০}x^{\text{২}}-\text{২৪}x-\text{৬৪}

দুটা বহুপদ ৰাশি যোগ, বিয়োগ বা পুৰণ কৰিলে সদায় এটা বহুপদ ৰাশিয়েই পোৱা যায়। কিন্তু হৰণ কৰিলে সদায় বহুপদ ৰাশি পোৱা নাযায়। এই সম্পৰ্কে তলত আলোচনা কৰিম।

বহুপদ সমীকৰণ (polynomial equation) আৰু সৰ্বসম (identity):

যিবোৰ সমীকৰণত সমান চিনৰ দুয়োপিনে একোটা বহুপদ ৰাশি থাকে, সেইবোৰক বহুপদ সমীকৰণ বোলে। যেনে: x^{\text{২}}+২x-৮ = ০, x^{\text{২}}+২x-৮ = x+৪ ।

এই সূত্ৰটো নিশ্চয় পাইছা: {(x+y)}^{\text{২}}=x^{\text{২}}+\text{২}xy+y^{\text{২}}

ইয়াতো সমান চিনৰ দুয়োপিনে দুটা বহুপদ ৰাশি আছে, কাৰণ বাওঁপিনৰ ৰাশিটো ভাঙিলে আমি এটা বহুপদ ৰাশিয়েই পাম। বাওঁপিনৰ বহুপদ ৰাশিটো সোঁপিনৰ বহুপদ ৰাশিটোৰ সমান। মানে, দুয়োটা বহুপদ ৰাশিয়েই একেটাকে বুজাইছে, মাথোঁ ৰূপটো বেলেগ। এই সমীকৰণটো সদায়েই শুদ্ধ। এনেধৰণ সমীকৰণবোৰক সমীকৰণ নুবুলি সৰ্বসম (identity) বুলি কোৱা হয়। কেৱল বহুপদ ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতে নহয়, আন ক্ষেত্ৰতো সৰ্বসম (identity) পাবা।

বীজগণিতৰ অৰ্থ আৰু এটা ভয় লগা কাম:

বহুপদ ৰাশি সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰা শাখাটো বীজগণিত নামৰ ভাগটোৰ অন্তৰ্গত। বীজগণিত শব্দটোৰ ইংৰাজী অৰ্থটো Algebra। মাথোঁ কেইটামান শতিকাৰ পূৰ্বেহে ইংৰাজীৰ Algebra শব্দটো প্ৰথম ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। এই শব্দটো বেলেগ ভাষাৰ পৰা আহিছে। সমীকৰণ একোটাৰ দুয়োপিনে থকা অজ্ঞাত পদবোৰ ইফালে-সিফালে নিয়া বা কটা-কটি কৰা প্ৰক্ৰিয়াটো বুজাবলৈ পুৰণিকালত গণিতজ্ঞসকলে সেই শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল। এইয়া আমি আধুনিক ভাষাৰে কোৱা কথা, তেতিয়া তেওঁলোকে “সমীকৰণ” আদি শব্দও ব্যৱহাৰ কৰা নাছিল।

বহুতো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বহুপদ সমীকৰণ একোটাৰ দুয়োপিনে থকা পদবোৰ একেপিনলৈ নিয়া কামটোৱেই টান পায়। ২x+৫ = x+২, এই সমীকৰণটোক আমি এইদৰেও লিখিব পাৰোঁ: x+৩ = ০। এই দুয়োটা সমীকৰণেই একেটা কথাকে বুজাব। কিন্তু, উচ্চ ঘাতৰ সমীকৰণত বহু ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অসুবিধা পায়। দুটা উদাহৰণ লওঁ আহা:

x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮}=x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮}

আৰু x^{\text{২}}y^{\text{৩}}+\text{৫}x^{\text{২}}+\text{২}y-\text{৮}y^{\text{৩}}+\text{২}=y^{\text{৩}}-x^{\text{৩}}y^{\text{২}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৫}

এইধৰণৰ সমীকৰণবোৰৰ পদবোৰ এপিনে নিবলৈ আমি প্ৰথমে চলকৰ ঘাতবোৰ চাব লাগে। তাৰ পাছত একে একে ঘাতৰ পদবোৰ লগ লগাই লিখিব লাগে। মানে সদৃশ পদবোৰ লগলগাই লিখিব লাগে। এটা কথা নিশ্চয় জানা যে সমীকৰণৰ পদ একোটা এপিনৰ পৰা আনপিনলৈ নিবলৈ হ’লে পদটো বিয়োগ কৰিব লগা হয়। এই কামটো, ভাৰ সমান হৈ থকা পাল্লা এখনৰ দুয়োপিনৰ পৰা অলপ অলপ বস্তু আঁতৰাই পুনৰ পাল্লাখনৰ ভাৰ সমান কৰি ৰখাৰ দৰে কথা। গতিকে, ওপৰৰ প্ৰথম সমীকৰণটোৰ পৰা পাম:

x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮}-(x^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৮})=\text{০}

=> x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৮}-x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+x-\text{৮}=\text{০}

=> -x^{\text{৩}}+x^{\text{২}}-\text{২}x^{\text{২}}+\text{২}x+x-\text{৮}-\text{৮}=\text{০}

=> -x^{\text{৩}}-x^{\text{২}}+\text{৩}x-\text{১৬}=\text{০}

=> x^{\text{৩}}+x^{\text{২}}-\text{৩}x+\text{১৬}=\text{০}

সেইদৰে, দ্বিতীয় সমীকৰণটোৰ পৰা পাম:

x^{\text{২}}y^{\text{৩}}-\text{৮}y^{\text{৩}}+\text{৫}x^{\text{২}}+\text{২}y+\text{২}=-x^{\text{৩}}y^{\text{২}}+y^{\text{৩}}+\text{২}x^{\text{২}}-x+\text{৫}

[মুঠ ঘাতবোৰ উলিয়াই ডাঙৰৰ পৰা সৰুলৈ ক্ৰমত লিখিছোঁ।]

=> x^{\text{২}}y^{\text{৩}}+x^{\text{৩}}y^{\text{২}}-\text{৮}y^{\text{৩}}-y^{\text{৩}}+\text{৫}x^{\text{২}}-\text{২}x^{\text{২}}+\text{২}y+x+\text{২}-\text{৫}=\text{০}

[বিয়োগ কৰি দিছোঁ।]

=> x^{\text{২}}y^{\text{৩}}+x^{\text{৩}}y^{\text{২}}-\text{৯}y^{\text{৩}}+\text{৩}x^{\text{২}}+\text{২}y+x-\text{৩}=\text{০}

বহুতে ইয়াৰ প্ৰথম পদ দুটা লগ লগাই \text{২}x^{\text{২}}y^{\text{৩}} নতুবা \text{২}x^{\text{৩}}y^{\text{২}} লিখি দিয়ে। কিন্তু তেনেকৈ লিখিলে শুদ্ধ নহ’ব, কাৰণ x^{\text{২}}y^{\text{৩}} আৰু x^{\text{৩}}y^{\text{২}} দুটা পৃথক বস্তু। x আৰু yৰ ঠাইত কিবা বেলেগ বেলেগ সংখ্যা লৈ পুৰণ কৰি চাবাচোন, সিহঁত দুটা সদায় সমান নহয়।

বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যবোৰ (zeros of a polynomial):

এটা বহুপদ ৰাশিৰ অজ্ঞাত ৰাশিটোত আমি বিভিন্ন সাংখ্যিক মান বহুৱাই চাব পাৰোঁ। তেতিয়া গোটেই ৰাশিটোৰ এটা মান পাম। যদি p(x) এটা বহুপদ ৰাশি, তেন্তে কোনোবা এটা বাস্তৱ সংখ্যা aৰ বাবে p(a) = 0 হ’লে, a ক সেই বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্য (zero of the polynomial) বোলে। যেনে:

r(x) = x^{\text{২}}+২x-৮

এতিয়া, r(২) = {\text{২}}^{\text{২}}+২.২-৮ = ০। গতিকে, ২ হ’ল r(x) ৰ এটা শূন্য।

r(-২) = {(\text{-২})}^{\text{২}}+২.(-২)-৮ = -৮। গতিকে, -২ r(x) ৰ শূন্য নহয়।

অংক কৰি চালে পাবা, -৪ ও r(x) ৰ এটা শূন্য।

[এইদৰে p(a) ৰ মান নিৰ্ণয় কৰোঁতে কিবা অসুবিধা পালে, সেইখিনি দূৰ কৰিবলৈ “পেমদাস আৰু বদমাছ” শীৰ্ষক পাঠটো পঢ়ি চাবা।]

আমি এতিয়ালৈকে কেইবাটাও “শূন্য” পালোঁ। শূন্য সংখ্যাটো পাইছিলোঁ। শূন্য বহুপদ ৰাশিও পালোঁ। এতিয়া আকৌ বহুপদ ৰাশিৰো শূন্যবোৰ পাইছোঁ। গতিকে দেখিলা যে এই প্ৰতিটো “শূন্য”ৰ অৰ্থ বেলেগ বেলেগ। এইবোৰে একেটা শূন্যকে বুজাইছে বুলি নাভাবিবা। ইংৰাজী আৰু অসমীয়া ভাষাৰ আটাইতকৈ অধিক অৰ্থ থকা শব্দ দুটা কি কি তোমালোকে জানানে?

আকৌ, ২x+৯ বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্য কেৱল এটা। সেইটো হ’ল -৯/২।

কিন্তু, ধ্ৰুৱ বহুপদ ৰাশিবোৰৰ (constant polynomial) শূন্য কি হ’ব? যেনে ৯ এটা বহুপদ ৰাশি। ইয়াৰ শূন্য কি? ইয়াত যিহেতু অজ্ঞাত ৰাশি নাই, গতিকে অজ্ঞাত ৰাশিটোৰ মান যি ল’লেও ই সদায় ৯য়েই হৈ থাকিব, কেতিয়াও ০ নহয়। ধৰা q(x) = ৫, ই এটা বহুপদ ৰাশি। কিন্তু q(১) = ৫  q(৪) = ৫  q(০) = ৫,…. এনেকৈ x ৰ যিকোনো মান ল’লেও এইটো বহুপদ ৰাশিৰ মান সদায় ৫য়েই হ’ব। গতিকে ধ্ৰুৱ বহুপদ ৰাশিবোৰৰ এটাও শূন্য নাথাকে। আৰু শূন্য বহুপদ ৰাশিটো (zero polynomial) সদায়েই ০; চলকৰ যিকোনো মান ল’লেও তাৰ মান ০য়েই হৈ থাকিব। গতিকে এইটো বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যৰ সংখ্যা অসীম।

যিকোনো এটা বহুপদ ৰাশিৰ বাস্তৱ শূন্যৰ মুঠ সংখ্যা বহুপদ ৰাশিটোৰ মাত্ৰাতকৈ কেতিয়াও অধিক নহয়। মাত্ৰা যদি n হয়, তেন্তে বাস্তৱ শূন্য খুৱ বেছি nটায়েই থাকিব। যেনে: x^{\text{২}}+২x-৮ ৰ দুটা শূন্য আমি ওপৰত পাইছিলোঁ। গতিকে, এইটো বহুপদ ৰাশিৰ শূন্য অকল সেই দুটায়েই, আৰু বেলেগ নাই। আকৌ, x^{\text{২}}+১ ৰ বাস্তৱ শূন্য এটাও নাই। আনহাতে, x^{\text{৩}}+১ ৰ বাস্তৱ শূন্য কেৱল এটা।

* এইবাৰ শূন্যৰ সম্পৰ্কে আন ধৰণে এটা কথা ভাবি চোৱা: যদি p(x) এটা বহুপদ ৰাশি আৰু কোনো এটা বাস্তৱ সংখ্যা aৰ বাবে p(a) = 0 হয়, তেন্তে ইয়াৰ পৰা আমি কি বুজিম?

এই বাস্তৱ সংখ্যাটোৱে p(x) = 0 সমীকৰণটো সিদ্ধ কৰিছে। তাৰমানে a হ’ল এই সমীকৰণটো এটা মূল (root)। অৰ্থাৎ a যদি p(x) ৰ এটা শূন্য হয়, তেন্তে সি p(x) = 0 সমীকৰণটোৰ এটা মূল।

বহুপদ ৰাশি একোটাৰ শূন্যসমূহ আৰু সহগসমূহৰ সম্পৰ্ক:

বহুপদ ৰাশি একোটাৰ শূন্যসমূহ আৰু তাৰ সহগসমূহৰ মাজত সম্পৰ্কে আছে। তোমালোকৰ পাঠ্যপুথিত কেৱল দ্বিঘাত আৰু ত্ৰিঘাত বহুপদ ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতহে সেয়া বুজোৱা হৈছে।

ax^{\text{২}} + bx + c ৰ শূন্য দুটা যদি α আৰু β হয়, তেন্তে

α + β = -b/a,       আৰু      αβ = c/a

ax^{\text{৩}} + bx^{\text{২}} + cx + d ৰ শূন্য তিনিটা যদি α, β আৰু γ হয়, তেন্তে

α + β + γ = -b/a,       αβ + βγ + γα = c/a,      আৰু    αβγ = -d/a

এইকেইটা মনত ৰাখিবলৈ সহজ। তোমালোকে ইয়াত এটা আৰ্হি দেখা পাইছানে? সেই আৰ্হিটো দেখা পোৱাৰ লগে লগে তোমালোকে আনকি উচ্চ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতো এই নিয়মখিনি নিজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিবা। আৰু অলপ যত্ন কৰিলে, n মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশিৰ বাবে এইসমূহ কি হ’ব তাক সাধাৰণ ফৰ্মূলা হিচাপে নিজেই নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিবা।

ওপৰৰ দুয়ো ক্ষেত্ৰতে আৰ্হিটো চোৱা:

১) দুয়ো ক্ষেত্ৰতে সমান চিনৰ সোঁফালে a ৰে হৰণ কৰা হৈছে। অৰ্থাৎ, দুয়ো ক্ষেত্ৰতে যিটো প্ৰথম সহগ আছে সেইটোৰে হৰণ কৰা হৈছে।

২) দ্বিঘাত ৰাশিটোৰ বাবে, শূন্যবোৰৰ যোগফলটো পাইছো ঋণাত্মক, আৰু দুয়োটা শূন্যৰ পূৰণফলটো ধণাত্মক। অৰ্থাৎ, ক্ৰমটো হৈছে: ঋণাত্মক, ধনাত্মক।

আৰু ত্ৰিঘাত ৰাশিটোৰ বাবে, শূন্যবোৰৰ যোগফলটো ঋণাত্মক, তাৰ পাছত ধণাত্মক, তাৰ পিছত আকৌ ঋণাত্মক। আৰু এই ক্ষেত্ৰত কি কৰা হৈছে: প্ৰথমে শূন্যকেইটাৰ যোগ, তাৰ পাছত দুটা দুটাকৈ পূৰণ কৰি যোগ, তাৰ পিছত তিনিওটা পূৰণ কৰিছে।

৩) দুয়ো ক্ষেত্ৰতে সহগকেইটাৰ ক্ৰমটো মন কৰা।

এতিয়া এটা কথা অনুমান কৰাচোন: চতুৰ্থ মাত্ৰাৰ বহুপদ ৰাশিৰ বাবে সম্পৰ্কটো কি হ’ব পাৰে। প্ৰথমে চাৰিওটা শূন্যৰ যোগ, তাৰ পাছত দুটা দুটাকৈ পুৰণ কৰি যোগ, তাৰ পাছত তিনিটা তিনিটাকৈ পুৰণ কৰি যোগ, তাৰ পাছত চাৰিওটাৰ পূৰণ। আৰু সমানচিনৰ সোঁপিনে চিহ্নবোৰ হ’ব ক্ৰমে ঋণাত্মক, ধনাত্মক, ঋণাত্মক, ধনাত্মক। এনেদৰে ফলাফলখিনি অনুমান কৰি লিখি পেলাব পাৰিবা। অৱশ্যে এয়া তুমি অনুমানহে কৰিলা। সেই কথাটো শুদ্ধ হয় নে নহয় জানিবলৈ আগলৈ প্ৰমাণ কৰিব লাগিব।

বহুপদ ৰাশিৰ হৰণ:

এটা সংখ্যাক আন এটা সংখ্যাৰে হৰণ যেনেকৈ কৰোঁ, ইয়াতো পদ্ধতিখিনি অলপ একেই।

হৰণৰ বিধিটো: a(x) আৰু b(x) দুটা বহুপদ ৰাশি, য’ত b(x) ≠ ০, তেন্তে আন দুটা বহুপদ ৰাশি q(x) আৰু r(x) পোৱা যাব যাৰ বাবে a(x) = b(x) × q(x) + r(x), য’ত r(x) = ০ নতুবা r(x)ৰ মাত্ৰা b(x)ৰ মাত্ৰাতকৈ সৰু।

সংখ্যাৰ হৰণৰ দৰেই ইয়াতো ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল আৰু ভাগশেষ একে আৰ্হিত পোৱা গৈছে; মাথোঁ এটা কথাই পাৰ্থক্য: ইয়াত ভাগশেষটো শূন্য নতুবা ভাগশেষটোৰ মাত্ৰা ভাজকৰ মাত্ৰাতকৈ সৰু। সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত, ভাগশেষটোৰ মান ভাজকৰ মানতকৈ সৰু।

এটা বহুপদ ৰাশিক আন এটা বহুপদ ৰাশিৰে হৰণ কৰাৰ এটা উদাহৰণ তলত বিতংকৈ দিছোঁ। এই উদাহৰণটো বুজি পালেই তোমালোকে যিকোনো হৰণফল উলিয়াব পাৰিবা।

উদাহৰণ:

-\text{৮}x^{\text{৪}}-\text{৩}x^{\text{২}}-\text{১}+\text{৬}x^{\text{৫}} এই বহুপদ ৰাশিটোক \text{৩}x^{\text{২}}+\text{২}x^{\text{৪}}-x^{\text{৩}}-xৰে হৰণ কৰিব লাগে। তাৰমানে প্ৰথমটো হৈছে ভাজ্য, দ্বিতীয়টো ভাজক।

এতিয়া কৰিবলগীয়া কামখিনি ক্ৰম অনুসাৰে তলত দিয়া হ’ল:

ক) বহুপদ ৰাশি দুটাক আদৰ্শ আৰ্হিটোত সজোৱা। তাৰমানে ঘাতৰ অধোক্ৰমত সজোৱা। তেতিয়া পাবা:

\text{৬}x^{\text{৫}}-\text{৮}x^{\text{৪}}-\text{৩}x^{\text{২}}-\text{১} আৰু \text{২}x^{\text{৪}}-x^{\text{৩}}+\text{৩}x^{\text{২}}-x

খ) সংখ্যাৰ হৰণত ঘৰ সাজি লোৱাৰ দৰে, বহুপদ ৰাশি দুটাকো এইদৰে বহুওৱা:

গ) এতিয়া কিবা এটাৰে ভাজকক পূৰণ কৰিব লাগিব। কামবিলাক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত কৰাৰ দৰেই, মাথোঁ অকণমান বেলেগ। ইয়াত ভাজ্যত সৰ্বোচ্চ ঘাত থকা পদটো চোৱা আৰু ভাজকৰো সৰ্বোচ্চ ঘাত থকা পদটো চোৱা। ইয়াত সেইকেইটা হ’ল ক্ৰমে \text{৬}x^{\text{৫}} আৰু \text{২}x^{\text{৪}}। ভাজকক কিবা এটাৰে এনেদৰে পূৰণ কৰিব লাগিব, যাতে পূৰণফলত সৰ্বোচ্চ ঘাতৰ পদটো ভাজ্যৰ সৈতে একে হয়। \text{২}x^{\text{৪}}ক ৩x ৰে পূৰণ কৰিলে \text{৬}x^{\text{৫}} পাম। গতিকে গোটেই ভাজকটোক ৩x ৰে পূৰণ কৰিব লাগিব। এইখিনিত নিৰ্ণয় কৰিবলগীয়া কাম কেৱল এইটোৱেই। তাৰ পাছত একো চিন্তা নকৰাকৈ পূৰণ কৰি দিয়া আৰু পূৰণফলটো ভাজ্যৰ তলত বহুৱাই দিয়া:

ঘ) এতিয়া আমি বিয়োগ কৰিম। ভাজ্যটোৰ পৰা তাৰ তলতে থকাটো বিয়োগ কৰিম। বহুতে এইখিনিতে পাহৰি যায়। তেতিয়া সংখ্যাৰ হৰণলৈ মনত পেলালেই হ’ল। তাত বিয়োগ কৰাৰ দৰেই ইয়াতো আমি মাথোঁ বিয়োগ কৰিম।

ঙ) এইটোত আকৌ হৰণ কৰিব লাগিব। কাৰণ যিটো বিয়োগফল পালোঁ সেইটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ভাজকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতৰ সমান। মানে বিয়োগফলটোৰ মাত্ৰা ভাজকৰ মাত্ৰাতকৈ এতিয়াও সৰু হোৱাই নাই।

এইবাৰো আমি, ওপৰত কৰা দৰেই ভাজকক এনেকুৱা কিবা এটাৰে পূৰণ কৰিম যাতে সৰ্বোচ্চ ঘাত থকা পদটো -\text{৫}x^{\text{৪}} হয়। গতিকে ভাজকক -\frac{\text{৫}}{\text{২}} ৰে পূৰণ কৰিব লাগিব।

চ) এতিয়া পুনৰ কামটো হ’ল কেৱল বিয়োগ কৰা। বিয়োগ কৰিলে পাম:

এইবাৰ আমি যিটো বিয়োগফল পালোঁ, সেইটোৰ মাত্ৰা ভাজকৰ মাত্ৰাতকৈ সৰু। গতিকে এই বিয়োগফলটোৱেই হৈছে ভাগশেষ। ভাগশেষটো দেখাত বহুত জেং যেন লাগিছে। ইয়াত সহগ ৰূপে কেইবাটাইও ভগ্নাংশ আছে। কিন্তু, সেইবোৰৰ কথা আমাক দৰকাৰ নাই, আমাক লাগে মাথোঁ মাত্ৰা। মাত্ৰা ভাজকতকৈ সৰু হোৱা মানেই সি ভাগশেষ। গতিকে আৰু হৰণ কৰিবৰ দৰকাৰ নাই।

অৰ্থাৎ -\text{৮}x^{\text{৪}}-\text{৩}x^{\text{২}}-\text{১}+\text{৬}x^{\text{৫}} ক \text{৩}x^{\text{২}}+\text{২}x^{\text{৪}}-x^{\text{৩}}-x ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল হ’ব \text{৩}x-\frac{\text{৫}}{\text{২}} আৰু ভাগশেষ হ’ব -\frac{\text{২৩}}{\text{২}}x^{\text{৩}}+\frac{\text{১৫}}{\text{২}}x^{\text{২}}-\frac{\text{৫}}{\text{২}}x-\text{১}।

* x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৩} আৰু x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{২} ক  x – ১ ৰে হৰণ কৰিলে দেখিবা:

\frac{x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{৩}}{x-\text{১}} = x + ৩, এইটোৱো এটা বহুপদ ৰাশি।

কিন্তু \frac{x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{২}}{x-\text{১}} ত ভাগফল x + ৩ আৰু ভাগশেষ ১।

অৰ্থাৎ \frac{x^{\text{২}}+\text{২}x-\text{২}}{x-\text{১}} = x + ৩ + \frac{\text{১}}{x-\text{১}}, এইটো এটা বহুপদ ৰাশি নহয়।

* আকৌ, \text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১} ক ৩ৰে হৰণ কৰিলে এটা ব্যতিক্ৰম দেখা পাবা। \text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১} টো এটা বহুপদ ৰাশি আৰু ৩ টোৱো এটা বহুপদ ৰাশি। গতিকে বহুপদ ৰাশিৰ হৰণৰ নিয়ম মতে আমি হৰণ নিশ্চয় কৰিব পাৰিম। কিন্তু ব্যতিক্ৰমটো কি চোৱা:

এইখিনিলৈকে হোৱাৰ পাছত আমি কি কৰিম? ইয়াত দেখা গৈছে ভাজক ৩ আৰু এতিয়ালৈকে বাকী ৰৈছে ১১। বহুপদ ৰাশি হিচাপে এই সংখ্যা দুয়োটাৰে মাত্ৰা একেই। গতিকে, আমি আকৌ হৰণ কৰিব লাগিব। এতিয়া সংখ্যাৰ হৰণলৈ মনত পেলালে আমি এনেকৈ পাম:

কিন্তু, এইটো ভুল। কাৰণ ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল: \text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১} ক ৩ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল x^{\text{২}}+\text{৩} আৰু ভাগশেষ ২। হৰণ কৰা কাৰ্যটো মতে শুদ্ধ হৈছে। কিন্তু শুদ্ধ ভাগফল আৰু ভাগশেষ এইকেইটা নহয়। কাৰণ, ৩ আৰু ২ৰ মাত্ৰাও একেই।

তাৰমানে, এই হৰণ কাৰ্যটোৰ পৰা আমি পালোঁ:

\frac{\text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১}}{\text{৩}}=x^{\text{২}}+\text{৩}+\frac{\text{২}}{\text{৩}}।

কিন্তু ইয়াতে দুটা ধ্ৰুৱক পদ যোগ হৈ আছে, গতিকে আমি এনেকৈ লিখিব পাৰোঁ:

\frac{\text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১}}{\text{৩}}=x^{\text{২}}+\text{৩}+\frac{\text{২}}{\text{৩}}=x^{\text{২}}+\frac{\text{১১}}{\text{৩}}।

অৰ্থাৎ, হৰণটো কৰিব লাগিব এনেকৈ:

এইটোহে শুদ্ধ উত্তৰ: \text{৩}x^{\text{২}}+\text{১১} ক ৩ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল x^{\text{২}}+\frac{\text{১১}}{\text{৩}} আৰু ভাগশেষ ০।

* বহুপদ ৰাশিৰ অনোন্যক সদায় বহুপদ ৰাশি নহ’বও পাৰে। যেনে: x + ১ এটা বহুপদ ৰাশি। ইয়াৰ অনোন্যক \frac{\text{১}}{x+\text{১}} বহুপদ ৰাশি নহয়।

ভাগশেষ উপপাদ্য (remainder theorem):

যদি p(x) টো ১ বা ততোধিক মাত্ৰাৰ এটা বহুপদ ৰাশি আৰু a এটা বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে p(x)ক x-a ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ p(a) থাকিব।

প্ৰমাণ: ধৰোঁ  p(x) = (x-a) q(x) + r(x)

ইয়াতে যিহেতু (x-a) ৰে হৰণ কৰিছোঁ আৰু ইয়াৰ মাত্ৰ ১, গতিকে r(x) ৰ মাত্ৰা হ’ব ০। তাৰমানে r(x) এটা ধ্ৰুৱক। তাৰমানে r(x) xৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল নহয়। গতিকে ধৰোঁ r(x)=b।

গতিকে,  p(x) = (x-a) q(x) + b

ইয়াত xৰ মান যিকোনো বহুৱালেও সমীকৰণটো শুদ্ধ হ’ব। আমি a বহুৱাই চাওঁ:

p(a) = (a-a) q(a) + b

⇒ p(a) = b

তাৰমানে ভাগশেষটো p(a)।

* এইটো উপপাদ্যৰ সহায়তে আমি আন এটা কথা পাম। ওপৰৰ কথাখিনিৰ পৰা আমি দেখিলোঁ, যদি p(x) ক x-a ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে আৰ্হিটো এনেকুৱা হ’ব:  p(x) = (x-a) q(x) + p(a)।

ইয়াত যদি p(a) টো ০ হয়, তেন্তে পাম:  p(x) = (x-a) q(x)। তাৰমানে p(x)ক (x-a)ৰে হৰণ যাব। এতিয়া তলৰ উপপাদ্যটো চোৱা:

উৎপাদক উপপাদ্য (factor theorem):

যদি p(x) টো ১ বা ততোধিক মাত্ৰাৰ এটা বহুপদ ৰাশি আৰু a এটা বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে x-a হ’ব p(x)ৰ এটা উৎপাদক যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে p(a) = ০।

* আমি ওপৰত বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যৰ সম্পৰ্কে পাইছিলোঁ: যদি p(x) এটা বহুপদ ৰাশি তেন্তে p(a) = ০ হ’লে aক p(x)ৰ এটা শূন্য বুলি কোৱা হয়। তাৰমানে এতিয়া দেখিলোঁ: a যদি p(x)ৰ এটা শূন্য হয়, তেন্তে p(x)ক x-aৰে হৰণ যায়। এইখিনিতে এটা কথা খেলিমেলি নকৰিবা: x-aৰেহে হৰণ যায় বুলি কোৱা হৈছে। x+aৰে হৰণ যায় নে নাযায় ইয়াৰ দ্বাৰা প্ৰমাণ হোৱা নাই। x+aৰে হৰণ যাব যদিহে বাস্তৱ সংখ্যাটো আমি –a লওঁ; তাৰমানে: p(-a) = ০ যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে p(x)ক x+aৰে হৰণ যায়।

এই যে “হৰণ যায়” বুলি কোৱা হৈছে, সংখ্যাৰ কথালৈ মনত পেলোৱাচোন। “হৰণ যোৱা” মানে উৎপাদক-গুণিতকৰ কথা আহিল।

বহুপদ ৰাশিৰ উৎপাদক আৰু গুণিতক:

এই বহুপদ ৰাশিটো চোৱা:  u(x) = x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+x-\text{২}।

তেতিয়া, u(২) = {\text{২}}^{\text{৩}}-\text{২}.{\text{২}}^{\text{২}} + ২ – ২  =  ০।

তাৰমানে ২ হ’ল u(x) এটা শূন্য। অৰ্থাৎ x-২ৰে u(x)ক হৰণ যায়। আৰু আমি হৰণ কৰি চালে দেখিম:

 u(x) = x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+x-\text{২} =  (x-২)(x^{\text{২}}+\text{১})

এইদৰে x^{\text{২}}+\text{১} বহুপদ ৰাশিটোক ভাঙিব নোৱাৰি। আমি যিমান পৰীক্ষা কৰি চালেও x^{\text{২}}+\text{১} ৰাশিটোৰ এটাও শূন্য নাপাও। আগলৈ বেলেগ সংখ্যা ইয়াৰ শূন্য ৰূপে পাবা, কিন্তু ইয়াৰ বাস্তৱ সংখ্যাৰ শূন্য নাই। তাৰমানে ইয়াত x^{\text{২}}+\text{১} ক একোৰেই হৰণ নযায়। অৰ্থাৎ u(x)ক আৰু সৰু উৎপাদকত ভাঙিব নোৱাৰি। ইয়াত u(x) ৰ এনেকুৱা উৎপাদক কেৱল দুটায়েই: x-২ আৰু x^{\text{২}}+\text{১}।

এতিয়া সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকলৈ মনত পেলোৱাচোন। u(x) বহুপদ ৰাশিটোৰ এই উৎপাদক দুটা “মৌলিক উৎপাদক”ৰ দৰে নহয় নে বাৰু? এনেকৈ আৰু ভাঙিব নোৱৰা বহুপদ ৰাশিবোৰক অপৰিৱৰ্তনীয় বা অহ্ৰাসমান (irreducible) বহুপদ ৰাশি বোলে। অৰ্থাৎ u(x)ৰ অপৰিৱৰ্তনীয় (irreducible) উৎপাদক কেইটা হ’ল:  x-২ আৰু x^{\text{২}}+\text{১}।

গুণিতকৰ কথাটো সংখ্যাৰ গুণিতকৰ দৰে প্ৰায় একেই। মাথোঁ ইয়াত যিকোনো বহুপদ ৰাশিৰে পূৰণ কৰিলেই এটা গুণিতক পোৱা যায়। যেনে: x-২ ৰ কেইটামান গুণিতক হ’ল x^{\text{৩}}-\text{২}x^{\text{২}}+x-\text{২},  ২x-৪, \frac{\text{১}}{\text{২}}x^{\text{২}}-x।

 

বহুপদ ৰাশিৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ:

সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয়ৰ সম্পৰ্কে বেলেগ এটা পাঠত বিতংকৈ দিয়া হৈছে। ইয়াতো তাৰে ধাৰণা এটা প্ৰায়োগ হ’ব। ইয়াত কৰিবলগীয়া কামকেইটা হ’ল:

ক) প্ৰথমে বহুপদ ৰাশিবোৰক অপৰিৱৰ্তনীয় (irreducible) উৎপাদকলৈ ভাঙা।

খ) যদি গোটেই বহুপদ ৰাশি একোটাত পৰিমেয় সংখ্যা পূৰণ হৈ থাকে তেন্তে সেই সংখ্যাটোৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ কৰা; ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয় কৰোঁতে কৰা দৰে।

যেনে: \text{৬০}x^{\text{২}}-\text{২০}x = ২০(\text{৩}x^{\text{২}}-x) = {\text{২}}^{\text{২}}৫x(৩x – ১)।

গ) যদি অপৰিমেয় সংখ্যা পূৰণ হৈ থাকে তেন্তে সিহঁতকো অপৰিৱৰ্তনীয় (irreducible) উৎপাদকলৈ ভাঙা। যেনে:  ক অপৰিৱৰ্তনীয় (irreducible) উৎপাদকলৈ ভাঙিলে পাবা: ।

ঘ) লঃসাঃগুঃৰ বাবে প্ৰতিটো উৎপাদকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতটো লোৱা। আৰু গঃসাঃউঃৰ বাবে প্ৰতিটো উৎপাদকৰ আটাইতকৈ কম ঘাতটো লোৱা। এই কামটো, সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকৰ বাবে লোৱা ঘাতবোৰৰ দৰেই।

উদাহৰণ-১: \text{৫০}x^{\text{২}}y আৰু \text{৫}xy^{\text{৫}} ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয়:

\text{৫০}x^{\text{২}}y=\text{২}.{\text{৫}}^{\text{২}}x^{\text{২}}y

\text{৫}xy^{\text{৫}}={\text{২}}^{\text{০}}.\text{৫}xy^{\text{৫}}

গতিকে, লঃসাঃগুঃ = {\text{২}}^{\text{১}}.{\text{৫}}^{\text{২}}x^{\text{২}}y^{\text{৫}}=\text{৫০}x^{\text{২}}y^{\text{৫}}

গঃসাঃউঃ = {\text{২}}^{\text{০}}.{\text{৫}}^{\text{১}}x^{\text{১}}y^{\text{১}}=\text{৫}xy

উদাহৰণ-২: \text{২০}\sqrt{\text{১০}}{(\text{x-১})}^{\text{২}}(x^{\text{২}}+\text{১}) আৰু \text{১০}\sqrt{\text{২}}x^{\text{২}}(x^{\text{২}}-\text{১}) ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয়:

\text{২০}\sqrt{\text{১০}}{(\text{x-১})}^{\text{২}}(x^{\text{২}}+\text{১})={\text{২}}^{\text{২}}.\text{৫}\sqrt{\text{২}}\sqrt{\text{৫}}{(\text{x-১})}^{\text{২}}(x^{\text{২}}+\text{১})

\text{১০}\sqrt{\text{২}}x^{\text{২}}(x^{\text{২}}-\text{১})=\text{২}.\text{৫}\sqrt{\text{২}}x^{\text{২}}(x-\text{১})(x+\text{১})

লঃসাঃগুঃ  = {\text{২}}^{\text{২}}.\text{৫}\sqrt{\text{২}}\sqrt{\text{৫}}x^{\text{২}}{(\text{x-১})}^{\text{২}}(x^{\text{২}}+\text{১})(x+\text{১})=\text{২০}\sqrt{\text{১০}}(x-\text{১})(x^{\text{২}}+\text{১})(x^{\text{২}}-\text{১})=\text{২০}\sqrt{\text{১০}}(x-\text{১})(x^{\text{৪}}-\text{১})

গঃসাঃউঃ  = \text{২}.\text{৫}\sqrt{\text{২}}(x-\text{১})=\text{১০}\sqrt{\text{২}}(x-\text{১})। [বাকীকেইটা উৎপাদকৰ ঘাত ০ হ’ব, গতিকে সেইকেইটাৰ মান ১ হৈ যাব।]

প্ৰশ্ন: x^{\text{১০০}} ক (x-১)(x-২) ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ কি থাকিব?

প্ৰশ্নটো দেখি খুৱ জটিল যেন লাগিছে নেকি? বহুত দীঘল হৰণ কৰিব লাগিব যেন দেখিছা নেকি?

এইটো চমুকৈ কেনেকৈ কৰিব পাৰি চোৱা: (x-১)(x-২) = x^{\text{২}} – ৩x + ২, এই ৰাশিটোৰে হৰণ কৰিবলৈ দিছে। এইটো দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি। তাৰমানে ভাগশেষটো একঘাত ৰাশি বা ধ্ৰুৱক হ’ব।

ধৰোঁ x^{\text{১০০}} = (x^{\text{২}} – ৩x + ২) q(x) + r(x) , য’ত r(x) একঘাত ৰাশি বা ধ্ৰুৱক।

গতিকে r(x) ৰ আৰ্হিটো কেনেকুৱা হ’ব?  ax+b নিচিনা নহ’ব জানোঁ।

গতিকে ওপৰৰ সমীকৰণটো এনেকুৱা ধৰণৰ হ’ব:

x^{\text{১০০}} = (x-১)(x-২)q(x) + (ax+b)

ইয়াত x = ২ বহুৱালে পাম: {\text{২}}^{\text{১০০}} = ২a + b

আৰু x = ১ বহুৱালে পাম:  ১ = a+b

এই সমীকৰণ দুটা সমাধান কৰিলে পাম:  a= {\text{২}}^{\text{১০০}} – ১  ,  b= ২ – {\text{২}}^{\text{১০০}}

অৰ্থাৎ x^{\text{১০০}} ক  (x-১)(x-২) ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ থাকিব ({\text{২}}^{\text{১০০}}–১)x + ২ – {\text{২}}^{\text{১০০}}।

বহুপদ ৰাশি আৰু এখন ছবি:

কেইবছৰমান আগতে এজন গণিতজ্ঞই কিছুমান বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যবোৰ একেলগে এখন লেখচিত্ৰত অংকণ কৰিছিল। তেওঁ ৫ আৰু ৫তকৈ সৰু ঘাতৰ সকলো বহুপদ ৰাশি লৈছিল; য’ত সহগবোৰ আছিল -৪ ৰ পৰা ৪লৈ অখণ্ড সংখ্যাকেইটা।

এনেকৈ মুঠতে কিমানটো বহুপদ ৰাশি পোৱা যাব বাৰু? হিচাপ কৰিব পাৰিবানে? কৌশল লগাই হিচাপটো কৰিলে উত্তৰটো পোৱাটো টান নহয়। মাথোঁ জনাই থওঁ: এইবোৰ বহুপদ ৰাশিৰ মুঠ সংখ্যা ৫ লাখতকৈ অধিক।

ইমান সংখ্যক বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যবোৰ তেওঁ কম্পিউটাৰৰ সহায়ত অংকণ কৰিছিল। আৰু তাৰ পৰা তেওঁ তলত দিয়া ছবিখন পাইছিল:

ইয়াত থকা গোটেই ডটবোৰ হৈছে বহুপদ ৰাশিবোৰৰ এটা এটা শূন্য। তেওঁ চাৰিটা ৰং ব্যৱহাৰ কৰিছিল। পঞ্চম ঘাতৰ ৰাশিৰ শূন্যসমূহৰ বাবে এটা ৰং, চতুৰ্থ ঘাতৰ ৰাশিৰ শূন্যসমূহৰ বাবে আন এটা ৰং, এনেকৈ চাৰিটা ৰং। সিহঁতে এটা সুন্দৰ বিন্নাস গঠন কৰিছিল। তেনেকুৱা ধৰণৰ ছবি বহুতে বেৰত আঁৰি থয়, বহুতে কম্পিউটাৰ-মোবাইলৰ ৱালপেপাৰ কৰি থয়। এনেদৰেই ভাবাচোন, তোমাৰ সদায় ভাল লগা কিছুমান চিত্ৰও কিছুমান বহুপদ ৰাশিৰ দ্বাৰা পোৱা যাব পাৰে।