প্ৰফেছৰ ভলভলীয়াৰ সংখ্যাৰ দোকান

05 Jan প্ৰফেছৰ ভলভলীয়াৰ সংখ্যাৰ দোকান

Posted at 19:31h in Fun Facts, গল্প by ড° নয়নদীপ ডেকা বৰুৱা 0 Comments

অৱসৰ লোৱাৰ পাছত প্ৰফেছৰ ভলভলীয়াই এখন সংখ্যাৰ দোকান খুলিলে। বিভিন্ন ধৰ্মৰ, বিভিন্ন ৰূপৰ, বিচিত্ৰ চৰিত্ৰৰ অলেখ সংখ্যা তেখেতৰ দোকানত কিনিবলৈ পোৱা যায়। কেতিয়াবা ভাল মুডত থাকিলে গ্ৰাহকে বিনামূলীয়াকৈয়ো দুই এটা সংখ্যা তেখেতৰ পৰা পায়। এদিন ৰাতিপুৱা দোকান খুলি ইউক্লিড, আৰ্কিমিডিছ, অয়লাৰ, গাউছ, ৰামানুজন আদি গণিতজ্ঞসকলৰ ফটোত পুষ্পাঞ্জলি দি প্ৰফেছৰে গাদীত বহিবলৈ লওঁতেই আৰৱৰ প্ৰখ্যাত তৈল ব্যৱসায়ী শ্বেইখ আব্দুল্লা সমুখত হাজিৰ হ’ল। ৰাতিপুৱাৰ প্ৰথম গ্ৰাহকক আথে-বেথে বহুৱাই প্ৰফেছৰে কথা আৰম্ভ কৰিলে।

প্ৰফেছৰ: হে: হে: ! কওকচোন, কেনেকৈ আপোনাক সহায় কৰিব পাৰোঁ?

আব্দুল্লা: আপোনাৰ দোকানৰ কথা মই সুদূৰ আৰৱতো শুনিছো। মোৰ তেলৰ ব্যৱসায় আছে। মাজে-মধ্যে গণিতৰো চৰ্চা কৰো। বোলো এইফালে ব্যৱসায়ৰ কামত আহিলোৱেই যেতিয়া আপোনাৰ দোকানৰ পৰা মৌলিক সংখ্যাকেইটামানকে লৈ যাওঁ। আছেনে বাৰু ষ্টকত?

প্ৰফেছৰ: ওঁ, একতকৈ ডাঙৰ যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ উৎপাদক 1 আৰু সেই সংখ্যাটোৱেই, সেইটোৱেই মৌলিক সংখ্যা। যিমান লাগে লৈ যাওঁক। বিনামূল্যে দিব পাৰোঁ: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ইত্যাদি ইত্যাদি।

আব্দুল্লা: ৰ’ব ৰ’ব প্ৰফেছৰ। মোক ইমান সৰু মৌলিক সংখ্যা নালাগে নহয়। এইবোৰ আৰৱৰো য’তে ত’তে পোৱা যায়। মোক এশটা অংক থকা মৌলিক সংখ্যাহে লাগে। আছেনে বিক্ৰীৰ বাবে?

প্ৰফেছৰ: আমাৰ সংখ্যাৰ কাৰখানাত তৈয়াৰ হোৱা যিমান ডাঙৰ লাগে সিমান ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যা আপোনাক দিব পাৰোঁ। দৰাচলতে খ্ৰীষ্টপূৰ্ব চতুৰ্থ শতিকাতেই ইউক্লিডে তাৰ বাবে এটা পদ্ধতি দি গৈছে। আপুনি শুনিছেই চাগৈ! আমি যদি প্ৰথম n সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা $p_{1},p_{2}, \dots ,p_{n}$ পূৰণ কৰি তাৰ লগত 1 যোগ কৰোঁ তেন্তে এটা নতুন সংখ্যা $N=(p_{1}p_{2} \dots p_{n})+1$ পাম। এই $N$ টো হয় এটা মৌলিক সংখ্যা, নহয় ইয়াৰ $p_{1},p_{2},\dots , p_{n}$ আদিতকৈ ডাঙৰ এটা মৌলিক উৎপাদক $p_{n+1}$ থাকিব। পুনৰ আমি $p_{1},p_{2},\dots , p_{n},p_{n+1}$ ৰ মিক্সাৰ বনাই 1 যোগ কৰিলে এটা নতুন সংখ্যা $M=(p_{1}p_{2} \dots p_{n}p_{n+1})+1$ পাম। এই $M$ টো হয় এটা মৌলিক সংখ্যা নহয় ইয়াৰ $p_{1},p_{2}, \dots ,p_{n},p_{n+1}$ ত কৈ ডাঙৰ এটা মৌলিক উৎপাদক $p_{n+2}$ থকিব। এনেদৰে প্ৰক্ৰিয়াটো চলাই গৈ থাকিলে যিমান ডাঙৰ লাগে সিমান ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যা আমি পাব পাৰোঁ।

আব্দুল্লা: আপুনি পদ্ধতিটো সুন্দৰকৈ ব্যাখ্যা কৰাৰ বাবে মই ধন্যবাদ জনাইছোঁ। এনে এটা পদ্ধতিৰ বিষয়ে মই আমাৰ দেশতো শুনিবলৈ পাইছিলোঁ। পিছে প্ৰফেছৰ, মোক এশটা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাহে লাগে; কমো নহয়, বেছিও নহয়, ঠিক 100 টা অংক থকা! আছেনে প্ৰফেছৰ?

প্ৰফেছৰ: আছে আছে! আজিৰ পৰা দুশ বছৰৰ আগতে বাট্ৰেণ্ডে অনুমান কৰিছিল যে একতকৈ ডাঙৰ যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা $N$ আৰু তাৰ দুগুণ অৰ্থাৎ $2N$ ৰ মাজত অতি কমেও এটা মৌলিক সংখ্যা থাকিব। মানে আমি ক’ব পাৰোঁ যে $2$ আৰু $2\times 2=4$ ৰ মাজত এটা মৌলিক সংখ্যা থাকিবই আৰু সেইটো হ’ল $3$ । ঠিক তেনেকৈ $3$ আৰু $2\times 3=6$ ৰ মাজত $5$ , 4 আৰু 8 ৰ মাজত 5 আৰু 7 ইত্যাদি। সম্পূৰ্ণ পৰ্য্যবেক্ষণৰ সহায়ত অনুমান কৰা এই সত্যটো নিৰহ-নিপানী প্ৰমাণ আগবঢ়াইছিল প্ৰখ্যাত ৰুছ গণিতজ্ঞ পি. এল. চেবাইশ্বেভে। গতিকে আমি $p_{1},p_{2},p_{3}$ মৌলিক সংখ্যা পামেই য’ত

$10^{99} < p_{1} < 2\times 10^{99} ,$

$2\times 10^{99} < p_{2} < 4\times 10^{99} ,$

$4\times 10^{99} < p_{3} <8 \times 10^{99} .$

আব্দুল্লা: তাৰ মানে আপুনি মোক ইতিমধ্যে তিনিটা 100 টা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা থকাৰ গেৰাণ্টি দিলেই। কিন্তু মোক এনেকুৱা বহুত সংখ্যা লাগে। কিমান দিব পাৰিব আপুনি?

প্ৰফেছৰ: (স্বগত:)(এওঁ দেখোন একেটা কথাতেই লাগি আছে। চোৰাংচোৱা নহয়তো!)

অ’ মই হিচাপটো কৰি চোৱাই নাই নহয়! কিন্তু বেলেগ দেশত থকা সংখ্যাৰ কাৰখানাৰ মালিকসকলে মোক জানিবলৈ দিছে যে তেওঁলোকে $10^{17}$ তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা গণনা কৰি উলিয়াইছে। ৰ’ব, মই আপোনাক হিচাপটো দেখুৱাইছোঁ। (প্ৰফেছৰে নিজৰ লেপটপত লাহে লাহে আঙুলি বুলাই কাষৰ প্ৰিণ্টাৰত কপি এটা উলিয়ালে। চশমাযোৰ নাকৰ গুৰিলৈ ঠেলি চকীখনত বেঁকা হৈ বহি শ্বেইখৰফালে হাউলি ক’লে) এয়া চাওঁক, আমি $N$ তকৈ সৰু বা তাৰ সমান মৌলিক সংখ্যাক যদি $\pi(N)$ ৰে বুজাওঁ, তেন্তে $\pi(10)=4$ , কিয়নো 10 ত কৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা চাৰিটা 2, 3, 5 আৰু 7। ঠিক তেনেকৈ $\pi(30)=10$ যিহেতু 30 ত কৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাকেইটা হ’ল 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 17, 23 আৰু 29, মুঠ 10 টা। বুজিব পাৰিছে চাগৈ! এতিয়া তালিকাৰ শেষৰ পিনে চাওক।

$\pi(10^{8})=5,761,455,$ তাৰমানে $10^{8}$ ত কৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা 5,761,455 টা। ঠিক তেনেকৈ-

$\pi(10^{9})=50,847,534$

$\pi(10^{12})=37,607,912,018$

$\pi(10^{17})=2,625,557,157,654,233$

যদিও $10^{17}$ ত কৈ সৰু সকলোবিলাক মৌলিক সংখ্যা কোনো কাৰখানাতেই উলিওৱাটো সম্ভৱ হোৱা নাই, তথাপিও এইটো নিশ্চিত যে, $10^{17}$ ত কৈ সৰু ঠিক সিমানটাই মানে 2,625,557,157,654,233 টা মৌলিক সংখ্যাই আছে।

আব্দুল্লা: (অলপ আচৰিত হৈ) কি কয়হে প্ৰফেছৰ? যদিহে আপুনি কোনটো মৌলিক সংখ্যাৰ আকাৰ কিমান নাজানে তেনেহ’লে গ্ৰাহকৰ চাহিদা কেনেকৈ পূৰায়?

প্ৰফেছৰ: হে: হে: হে:! আপোনাৰ দেশে তেল বিক্ৰী কৰে, নকৰে জানো? আপোনালোকে ভূগৰ্ভত কিমান তেল থাকিব পাৰে তাৰ মোটামুটি হিচাপ জানে। কিন্তু প্ৰকৃততে কিমান বেৰেল তেল আছে সঠিককৈ ক’ব পাৰিব জানো? নোৱাৰে। আমাৰো একেই অৱস্থা। প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ গাউছ, যাক গণিতৰ যুৱৰাজ বুলি কোৱা হয়, তেওঁ পৰ্য্যবেক্ষণ কৰি অনুমান কৰে যে খুব ডাঙৰ $N$ ৰ বাবে $\pi(N)$ আৰু $\frac{N}{logN}$ সমতুল্য। প্ৰায় এশ বছৰৰ পাছত 1896 চনত ফ্ৰন্সৰ জে. হাডামাৰ্ড আৰু বেলজিয়ামৰ গণিতজ্ঞ চি. জে. ডি লা ভেলি প’ছিনে গাউছৰ অনুমানৰ সত্যতা পৃথক পৃথককৈ প্ৰমাণ কৰে। এই সত্যটো আজিকালি মৌলিক সংখ্যাৰ উপপাদ্য বুলি জনা যায়।

আব্দুল্লা: তাৰমানে আপুনি ক’ব খুজিছে যে মৌলিক সংখ্যাৰ উপপাদ্যৰ মতে $\pi(N)$ আৰু $\frac{N}{logN}$ প্ৰায় সমান?

প্ৰফেছৰ: হয়। আৰু ভালকৈ ক’বলৈ হ’লে এই দুটা ৰাশিৰ যি আপেক্ষিক অশুদ্ধতা, মানে $|\pi(N)-\frac{N}{logN}|$ ক যদি $\pi(N)$ ৰে হৰণ কৰোঁ তেন্তে সেই হৰণফলটো প্ৰায় শূন্যই হ’ব যদিহে $N$ টো খুউব ডাঙৰ হয়।

আব্দুল্লা: তাৰমানে এই ‘প্ৰায়’টোৰ বাবে অলপ হ’লেও ভুল আপোনাৰ নিৰ্ধাৰণত মানে এষ্টিমেটত থাকি যাব।

প্ৰফেছৰ: (স্বগত:) (গ্ৰাহক বৰ কেঁচা নহয়!) হয়। কিন্তু মৌলিক সংখ্যাৰ উপপাদ্য প্ৰমাণ হোৱাৰ বহু আগতেই চেবাইশ্বেভে দেখুৱাইছিল যে খুউব ডাঙৰ $N$ ৰ বাবে

$0.9\frac{N}{logN}<\pi(N)<1.1\frac{N}{logN}$ হ’ব।

গতিকে 100 টা অংক থকা মৌলিক সংখ্যা উলিয়াবলৈ হ’লে আমি $N=10^{99}$ আৰু $N=10^{100}$ ল’ম। মানে, তেতিয়া

$0.9\frac{10^{99}}{99log10}<\pi(10^{99})<1.1\frac{10^{99}}{99log10}$

$0.9\frac{10^{100}}{100log10}<\pi(10^{100})<1.1\frac{10^{100}}{100log10}$

এতিয়া অকণমান মগজু খটুৱাই আমি পাম যে-

$3.42\times10^{97}<\pi(10^{100})-\pi(10^{99})<4.38\times10^{97}$

গতিকে শ্বেইখ চাহাব, 100 অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা $3.42\times10^{97}$ আৰু $4.38\times10^{97}$ ৰ মাজত থাকিব। আৰু এইটো এটা বৃহৎ সংখ্যা।

আব্দুল্লা: বাহ! আপোনালোক সঁচাই বহুত ধনী! আমাৰ যিমান বেৰেল তেল ভূগৰ্ভত থাকিব পাৰে তাতকৈ আপোনালোকৰ কাৰখানাত 100 টা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা বহু বেছি আছে দেখোঁন। কিন্তু মই জানিব বিচাৰিছোঁ আপোনালোকৰ কাৰখানাত 100 টা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা কেনেকৈ উলিয়াই। মোৰ ধাৰণা এটা মনলৈ আহিছে। কিন্তু তাৰ কাৰ্যকাৰিতাৰ সন্দৰ্ভত মোৰ নিজৰেই সন্দেহ উপজিছে। কওঁনে বাৰু?

প্ৰফেছৰ: নিশ্চয় নিশ্চয়। কওক।

আব্দুল্লা: প্ৰথমতে আপুনি 100 টা অংক থকা সকলোবোৰ সংখ্যা লেখি লওক। তাৰ পাছত 2, 3, 5, 7 আদি মৌলিক সংখ্যাৰ গুণিতকবোৰৰ এটা এটাকৈ কাটি যাওক। মই ভাবো $10^{99}$ ত কৈ সৰু সকলোবোৰ মৌলিক গুণিতক কটাৰ পাছত বাকী ৰৈ যোৱা সংখ্যাকেইটাই 100 অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা হ’ব।

প্ৰফেছৰ: হয়। এই পদ্ধতিটো সম্পূৰ্ণ শুদ্ধ আৰু এইটো খ্ৰীষ্টপূৰ্ব তৃতীয় শতিকাতেই গ্ৰীক গণিতজ্ঞ ইৰাট’স্থেনিছে আৱিষ্কাৰ কৰিছিল। প্ৰকৃততে আপুনি $10^{50}$ ত কৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাৰবোৰৰ গুণিতকবোৰ কাটিলেই হ’ব, আপুনি $10^{99}$ লৈ যাবই নালাগে। কিন্তু শ্বেইখ চাহাব, এই পদ্ধতিটো বৰ বেছি লেহেমীয়া। আনকি আজিৰ যুগৰ অতি ক্ষীপ্ৰ গণনাকাৰী কম্পিউটাৰৰ জড়িয়তেও এই পদ্ধতিৰে কাম চলাব নোৱাৰি। এনেকুৱা এটা কম্পিউটাৰ কল্পনা কৰকচোন, যিটোৱে এক কোটিটা অংক এক ছেকেণ্ডত লেখিব পাৰে। এতিয়া চাওক, আমাৰ 100 টা অংকবিশিষ্ট মুঠ সংখ্যা আছে-

$10^{100}-10^{99}=9\times 10^{99}$ টা। এই সংখ্যাবোৰৰ সৰ্বমুঠ অংক আছে $100\times 9\times 10^{99}=9\times 10^{101}$ টা। গতিকে কম্পিউটাৰটোক এই সংখ্যাবোৰ লেখিবলৈ সময় লাগিব $9\times 10^{94}$ ছেকেণ্ড, মানে $1.5\times 10^{93}$ মিনিট, মানে $25\times 10^{91}$ ঘণ্টা, মানে প্ৰায় $10^{90}$ দিন, মানে $3\times 10^{87}$ বছৰ, মানে $3\times 10^{85}$ শতিকা! আৰু সংখ্যাবোৰ লেখাৰ পাছত, তথাপিও যদি কিবা এটা পাছত থাকে, গুণিতকবোৰ কাটিবলৈ আছেই। (শ্বেইখে কিবা এষাৰ ক’বলৈ মুখ মেলিছিল, কিন্তু প্ৰফেছৰে সুযোগ নিদি বকি গ’ল!)

অৱশ্যে পদ্ধতিটোৰ কিছুমান চমু ৰাস্তাও আছে, তথাপিও ই যথেষ্ঠ লেহেমীয়া। গতিকে আটাইবোৰ 100 টা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাৰ তালিকা নবনাই আমাৰ ফেক্টৰীত কিছুমান দ্ৰুত পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি আমি গ্ৰাহকৰ চাহিদা পূৰণ কৰোঁ।

আব্দুল্লা: ধন্যবাদ প্ৰফেছৰ! দ্ৰুতগতিৰ পদ্ধতিৰ যে সঁচাই আৱশ্যক মই কথাটো এতিয়াহে বুজিছোঁ। আপোনালোকৰ পদ্ধতি সম্পৰ্কে জানিবলৈ মোৰ মন ব্যাকুল হৈ পৰিছে। আপুনি বাৰু মোক সোনকালে জনাবনে?

(শ্বেইখ চাহাবৰ ব্যগ্ৰতা দেখি প্ৰফেছৰৰ কপাল কোঁচ খালে। তেওঁ নিশ্চিত হ’ল যে শ্বেইখ আৰবৰ চোৰাংচোৱাই হ’ব, কাৰণ তেওঁ জানে যে, ডাঙৰ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাবোৰ গোপন সংবাদ প্ৰেৰণ কৰিবলৈ আৱশ্যক। মনতে ভাবিলে, এওঁক সোনকালে বিদায় দিয়াই ভাল হ’ব। মনৰ ভাব মনতে ৰাখি প্ৰফেছৰে মিচিকিয়াই ক’লে!)

প্ৰফেছৰ: আপুনি যেতিয়া গাড়ী এখন কিনিবলৈ যায়, তেতিয়া সেইখন কেনেকৈ বনাইছে বুলিতো নোসোধে, সোধে জানো? আপুনি মাথোঁ আপোনাৰ পছন্দৰ মডেল, ৰং আদিহে চায়। পাৰিলে এবাৰ টেষ্ট ড্ৰাইভ দিয়ে আৰু কিনি আপুনি সুখী হয়। আমাৰ ফেক্টৰীটো আমি গ্ৰাহকে অৰ্ডাৰ দিয়া মতে মৌলিক সংখ্যা চাপ্লাই দিওঁ, জীৱনজোৰা গেৰাণ্টিৰে সৈতে। গতিকে আমাৰ দ্ৰুত পদ্ধতিবোৰ গ্ৰাহকক খোলাখুলিকৈ বেকত নকৰোঁ। আপুনি বেয়া নাপাব। আপোনাক 100 টা অংকবিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা লাগেতো। ৰ’ব, আপোনাক বিনামূল্যেই এটা দিছোঁ।

(প্ৰফেছৰে ভিতৰলৈ গৈ ধুনীয়া খাম এটাত তলৰ মৌলিক সংখ্যাটো বান্ধি শ্বেইখ চাহাবক উপহাৰ হিচাপে দিলে।)

7391830451 2250431898 0574950295 1935872609 0520352734 8622396300 6775363808 8304290943 2530860197 9054023347

(ধন্যবাদ জনাই শ্বেইখ চাহাব ওলাই গ’ল)

(কানাডাৰ গণিতজ্ঞ প্ৰফেছৰ পাওলো ৰিবেনবইমলৈ কৃতজ্ঞতা জনালোঁ। প্ৰবন্ধটো তেখেতৰ Selling Primes ৰ ওপৰত আধাৰিত – লেখক )

লেখক:- প্ৰফেছৰ নয়নদীপ ডেকা বৰুৱা। গণিত বিজ্ঞান বিভাগ, তেজপুৰ বিশ্ববিদ্যালয়। তেখেত গণিত চ’ৰাৰ উপদেষ্টা।

টোকা:- এই লেখাটো বিজ্ঞান জেউতিৰ ৩৮শ বছৰ ১ম সংখ্যাত (জুন–জুলাই, ২০০৩ চন) প্ৰকাশ হৈছিল। লেখাটো গণিত চ’ৰাত প্ৰকাশ কৰিবলৈ অনুমতি দিয়া বাবে প্ৰফেছৰ নয়নদীপ ডেকা বৰুৱাদেৱক আৰু বিজ্ঞান জেউতিৰ বৰ্তমানৰ সম্পাদক মৌচম হাজৰিকাদেৱক ধন্যবাদ জনালো। – সম্পাদক, গণিত চ’ৰা।