30 Jun ৰামানুজন – গণিতজ্ঞ আৰু মানুহজন : অধ্যায় P : গণিতজ্ঞ ৰামানুজন

P-1 পূৰ্ব ইংগিত :

ৰামানুজনে গণিতৰ জগতখনত প্ৰথমবাৰৰ বাবে এক অসাধাৰণ প্ৰতিভাৰ ইংগিত বহন কৰা কথাটোৰ দৃষ্টি আকৰ্ষণ কৰিছিল, যেতিয়া তেওঁ ১২ বছৰীয়া আছিল। ঘটনাটি এনেধৰণৰ আছিল। তেওঁ সেই সময়ত কুম্বাকোনমৰ হাইস্কুলৰ ওপৰ শ্ৰেণীত পঢ়ি থকা এজন বন্ধুক গণিতৰ উচ্চতম সত্যৰ বিষয়ে সোধা বুলি জনা যায়। পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য আৰু ষ্টক-শ্বেয়াৰৰ অংকসমূহৰ কথাক তেওঁক এক উচ্চতম সত্য হিচাপে উল্লেখ কৰা হৈছিল। তেওঁ তেতিয়া তৃতীয় পৰ্যায়ৰ ছাত্ৰ। এদিনাখন, তেওঁৰ পাটীগণিতৰ শিক্ষকে নিম্নোক্ত ধৰণে কিবা কৈছিল—

যদি তিনিটা ফল তিনিজন মানুহৰ মাজত ভগোৱা হয়, তেনেহ’লে, প্ৰতিজনে এটাকৈ পাব। আনহাতে যদি ১,০০০ টা ফল ১,০০০ জন মানুহৰ মাজত ভগোৱা হয় তেনেহ’লে, প্ৰতিজনে এটাকৈয়ে পাব। এই বৰ্ণনাটোৱে ৰামানুজনক জাঁপ মাৰি উঠি সোধাৰ ফালে লৈ গৈছিল এই বুলি যে, শূন্যক যদি শূন্যৰে হৰণ কৰা হয় তেনেহ’লে, তেতিয়াও ‘এক’ এই পোৱা যাব নে? যদি কোনো এটাও ফল কোনো এজন মানুহকো ভগাই দিয়া নহয় তেতিয়াও প্ৰতিজনে এটাকৈয়ে পাবনে? (if no fruit is divided among nobody, will each get one?) এইটোৱেই খুব সম্ভৱ প্ৰথম ইংগিত আছিল, যিয়ে তেওঁৰ সংখ্যা সম্পৰ্কত অসাধাৰণ অন্তৰ্দৃষ্টিৰ কথা আমাক সোঁৱৰাইছিল। একে বছৰতে, তেওঁ সমান্তৰ প্ৰগতি, গুণোত্তৰ প্ৰগতি, হৰাত্মক প্ৰগতিৰ ধৰ্ম সম্পৰ্কীয় কাম কৰিছিল। ৰামানুজন যেতিয়া ১৩ বছৰীয়া হৈছিল, তেওঁ ল’নিৰ ত্ৰিক’নোমিটিৰ এটা ক’পি, কুম্বাকোনমৰ চৰকাৰী কলেজৰ ডিগ্ৰীশ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ এজনৰ পৰা ধাৰ কৰি আনিছিল আৰু কিতাপখনত থকা সকলোবোৰ অংক সমাধা কৰিছিল। পিছৰ বছৰ, অসীম শ্ৰেণীত থকা বৃত্তীয় ফলনৰ অইলাৰৰ প্ৰসাৰণবোৰ উলিয়াইছিল, প্ৰায়ক্ষেত্ৰত নিজাববীয়াকৈয়ে।

p-1.1 উচ্চতৰ উৰণ :

অনুচ্ছেদ CO ত কোৱাৰ দৰে, এয়া আছিল ১৯০৩ চনৰ কথা। এৰা, যেতিয়া কাৰ’ৰ ‘চিনোপছিচ’এ তেওঁক উজ্জীৱিত কৰি তুলিছিল, তেওঁৰ বয়স তেতিয়া ১৫ বছৰ। ১৯০৪ চন আৰু ১৯১১ চনৰ মাজত তেওঁৰ ‘ফিচিকা নোটবুক’খন ভৰি পৰিছিল অধ্যায়ৰ পিছত অধ্যায়ৰ যোগে। তেওঁ আৰম্ভ কৰিছিল মেজিক বৰ্গৰে। সেই বছৰবোৰত তেওঁৰ মন দখল কৰি থকা প্ৰধান সমস্যাসমূহ আছিল অখণ্ড সংখ্যা, মৌলিকৰ বিতৰণ, উচ্চ-যৌগিক, সংখ্যাৰ শ্ৰেণী বিভাজন, বৰ্গ বা ঘন আদিৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশযোগ্য অখণ্ড সংখ্যাবোৰ, ইলিপ্টিক-ইণ্টিগ্ৰেল, হাইপাৰ-জিঅ’মেট্ৰিক শ্ৰেণী, বিভিন্ন ধৰণৰ নিশ্চিত অনুকুল জড়িত। ১৯১৩ চনৰ আগলৈ এইবোৰ বিষয়ত তেওঁ পোৱা প্ৰধান ফলসমূহ ১৬ ফেব্ৰুৱাৰী, ১৯১৩ আৰু ২৭ ফেব্ৰুৱাৰী, ১৯১৩ চনৰ তেওঁৰ চিঠিত হাৰ্ডিক অৱগত কৰা হৈছিল।

P-2 ভগ্ন-আংশিক অৱকলন :

১৯১৪ চনত ৰামানুজন আৰু নেইভিলেক তেওঁলোকৰ ইংলেণ্ডলৈ বুলি ৰাওনা হোৱাৰ প্ৰাক-মুহূৰ্ত্তত বোধকৰোঁ যুটীয়াভাৱে এক সম্বৰ্ধনা দিয়া হৈছিল। সেই সময়ত ৰামানুজনে ভগ্ন-আংশিক অৱকলনৰ (fractional differentiation) উল্লেখ কৰে।

ৰ অৱকলজ হ’ল । ৰামানুজনে n ক প্ৰকাশ কৰিছিল এনেদৰে—

ইয়াক পঢ়া হৈছিল

আমি ক দুবাৰ অৱকলজ লৈ পাওঁ ।

ইয়াত সহগটো লিখিব পাৰি এনেদৰে—

অৱকলজ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰি তিনিবাৰ, চাৰিবাৰ ইত্যাদি ধৰণে।

এনেধৰণৰ অভিগমণত, আমাৰ থাকে অকল ‘অখণ্ড-অৱকলজ’, অৰ্থাৎ অৱকলজৰ পুনৰাবত্তি হ’ব পাৰে এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বাবেহে। কাৰণ, factorial(n) টো অৰ্থপূৰ্ণ হয় মাত্ৰ n টো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ’লেহে। কিন্তু মিটিংখনত ৰামানুজনে কৈছিল এনেদৰে যে factorial(n) factorial(n-1) ৰ n গুণ, য’ত n এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।

আমাৰ gamma(n) ৰ সংজ্ঞা জনা হৈছে, আমি ইতিমধ্যে জনা নিশ্চিত-অনুকলৰ সহায়ত। যেতিয়া n এটা অখণ্ড সংখ্যা হয় gamma(n+1) = gamma(n) ৰ n গুণ, য’ত n এটা ধনাত্মক সংখ্যা।

এনেদৰে n যেতিয়া এটা অখণ্ড সংখ্যা হয়,  gamma(n+1) টো  factorial(n) ৰ স’তে একে হয়। কিন্তু gamma(n+1) ফলনটো অৰ্থপূৰ্ণ হয় যেতিয়া n এটা ভগ্নাংশও হয়। গতিকে যদি

= অৱকলজ (Differential co-efficient)

= দ্বিতীয় অৱকলজ Second differential coefficient

= m তম অৱকলজ হয়, তেতিয়া লিখিব পাৰোঁ—

 

এতিয়া ধৰা হ’ল তেনেহ’লে

এই ঘটনাটোৱে আমাক ভগ্নাংশ অৱকলজ পোৱাৰ বাবে সক্ষম কৰি তোলে। সেই অনুষ্ঠানটোতে উপস্থিত থকা ছাত্ৰসকলে আচৰিত হৈছিল ৰামানুজনৰ এই অন্তৰ্দৃষ্টি আৰু সাধাৰণীকৰণৰ বাবে। এই সহজ ৰিজাল্টটো ইয়াত এনে সবিশেষতাৰে কোৱা হৈছে যে, অ-গণিতজ্ঞসকলেও এটা ধাৰণা ল’ব পাৰে যে এই ধৰণটোৰে ৰামানুজনৰ মনটোৱে গণিতৰ অঞ্চলটোত কেনেদৰে বিচৰণ কৰিছিল। এই সন্দৰ্ভত ১৯১৩ চনৰ ১৬ জানুৱাৰীত হাৰ্ডিলৈ দিয়া ৰামানুজনৰ চিঠিখনৰ তলৰ উদ্ধতিখিনি প্ৰণিধানযোগ্য।

“যেতিয়া n এটা ঋণ সংখ্যা আৰু এটা ভগ্নাংশ, n এটা ধনসংখ্যা হ’লে যি নিয়ম খাটে তাৰে স’তে অৰ্থবহ কৰিবলৈ বুলি তুমি ৰ এটা অৰ্থ দিয়া, ঠিক যেনেদৰে প্ৰাথমিক গণিতত কৰা হয়। তেনেদৰে মোৰ গোটেই অনুসন্ধানখিনি আগবাঢ়ে, n ৰ সকলো মানৰ বাবে অইলাৰীয় দ্বিতীয় অনুকলনৰ এটা অৰ্থ দিবলৈ বুলি। মোৰ বন্ধুসকলৰ যিসকলে বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষাৰ নিয়মমাফিক কোৰ্ছত পঢ়ি আছে, তেওঁলোকে কৈছে যে, এয়া সত্য, যেতিয়া n মাথোন এটা ধনসংখ্যা হয়। তেওঁলোকে কয় যে, এই সম্পৰ্কটো n ঋণ হ’লে সত্য নহয়। এয়া অকল n ধনৰ বাবেহে সত্য বুলি ধৰি ল’লে আৰু n.Gamma(n)=Gamma(n+1) এই সংজ্ঞাটো সকলো n ৰ বাবেই সত্য বুলি ধৰি ল’লে, মই এই অনুকলবোৰৰ অৰ্থ দিছোঁ আৰু এই সৰ্তসাপেক্ষে মই কওঁ যে, অনুকলটো n ৰ ঋণ বা ভগ্নাংশ যিকোনো মানৰ বাবেই সত্য হয়। মোৰ সমস্ত অনুসন্ধানখিনি, ইয়াৰে ওপৰত ভিত্তি কৰি হৈছে। আৰু মই এইখিনি বেছ এটা উল্লেখ্য পৰ্যায়লৈ এনেদৰে প্ৰসাৰণ ঘটাইছোঁ, যে স্থানীয় গণিতজ্ঞসকলে মোৰ এই উচ্চ উৰণটোত মোক বুজি নোপোৱা হয়।” তলত এইবিষয়বোৰৰ সন্দৰ্ভত যি দিয়া হৈছে, সেই সকলোখিনি লৈ অহা হৈছে জি. এইচ. হাৰ্ডিৰ পৰা।

P-3 মৌলিক সংখ্যাৰ সমস্যা :

এতিয়াও সম্পূৰ্ণকৈ সমাধান নোহোৱা মৌলিক সংখ্যাৰ সমস্যাটো হৈছে n তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত। এইটো সমস্ত গণিতৰ ক্ষেত্ৰখনত পুৰুষাৰ্থ কৰিবলগীয়া এটা অতি মন্ত্ৰমুগ্ধকাৰী সমস্যা। পি. ভি. শেশু আয়াৰে ৰামানুজনক মাদ্ৰাজৰ প্ৰেছিডেন্সি কলেজৰ লাইব্ৰেৰীত হাৰ্ডিৰ ‘অৰ্ডাৰ্চ অফ ইনফিনিটি’ পুস্তিকাখন দেখুৱাইছিল। কিন্তু এই পুস্তিকাখনে ৰামানুজনক কিহলৈ লৈ গৈছিল, এয়া হাৰ্ডিলৈ দিয়া চিঠিত তলত দিয়া ধৰণে বৰ্ণোৱা আছে।

P-3.1 ৰামানুজন কেতিয়াও নিষ্প্ৰভ নাছিল :

১৯১৩ চনৰ ১৬ জানুৱাৰীত ৰামানুজনে চিঠিখনত আৰু লিখিছিল “অতি অলপতে আপুনি লিখা (প্ৰকাশ কৰা) ‘অৰ্ডাৰ্চ অফ ইনফিনিটি’ নামৰ পুস্তিকাখনিৰ ৩৬ নং পৃষ্ঠাত পাইছোঁ যে কোনো নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ কোনো সুনিৰ্দিষ্ট ৰাশি (expression) নাই। মই এটা ৰাশি পাইছোঁ, যিটো প্ৰকৃত ৰিজাল্টটোতকৈ বহুত ওচৰৰ, অশুদ্ধখিনি উপেক্ষণীয়। মই এটা ফলন পাইছোঁ, যি x তকৈ সৰু হৈ থকা মৌলিক সংখ্যাক সঠিককৈ বুজায়। এই অৰ্থত সঠিক যে, ফলনৰ মান আৰু মৌলিকৰ আচল সংখ্যাটোৰ পাৰ্থক্যটো সাধাৰণতে শূন্য বা কোনো সৰু সীমিত মান, আনকি x যেতিয়া অসীমো হয়। মই ফলনটো অসীম শ্ৰেণীৰ আকাৰত পাইছোঁ। আৰু ইয়াক মই দুই ধৰণে প্ৰকাশ কৰিছোঁ।”(১৯৪০) হাৰ্ডিৰ ৰামানুজনৰ ওপৰত লিখা কিতাপখনৰ দ্বিতীয় অধ্যায়ত এই উপপাদ্যটিৰ আলোচনা আছে। তেওঁ ৰামানুজনৰ যুক্তিৰ মাজত থকা ত্ৰুটীখিনি আঙুলিয়াই দিছে আৰু শেষত সিদ্ধান্ত দিছে এনেদৰে— ‘মই নাভাবোঁ যে, ৰামানুজনৰ যুক্তিৰ সবিশেষ বেছি ওচৰৰ পৰা অনুসন্ধান কৰিবলৈ বুলি প্ৰচেষ্টাযোগ্য। ইয়াত এনে এটা স্তৰ আছে যে, ইয়াৰ বিৰুদ্ধে কোনোপদ্ধেই একো কোৱা নাযায়। এয়া কোৱাটো অশোভনীয় হ’লেও ই নিস্প্ৰভ নহয়। ৰামানুজন কেতিয়াও নিস্প্ৰভ নাছিল। ই এটা বৰ আমোদদায়ক ‘ধাৰণা’ সামৰি ৰাখিছে। ই এনে এটা যে, যেতিয়া সঠিককৈ আঁত লগাই দিয়া হয়, ই তত্বটোৰ যথাস্থানত খাপ খাই পৰে।’

P-3.2 উত্তম আনুষ্ঠানিক ধাৰণাসমূহ :

‘যেতিয়াই কোনোৱে ৰামানুজনৰ ‘যুক্তি’ৰ কথা ভাবে, তেওঁ মানি লয় যে তেওঁৰ আনুষ্ঠানিক ধাৰণাবোৰ সুন্দৰ বা উত্তম। তেওঁ নিশ্চিতভাবে আশ্চৰ্যাম্বিত হয় এই বুলি যে, এই আটাইবোৰ তেওঁৰ নিজা নে? বিশেষতঃ ‘ৰিমান-শ্ৰেণী’ তেওঁ সঁচাকৈয়ে নিজেই উলিয়াইছেনে? (ইয়াৰ ধাৰণাত্মক ফালটোলৈ লক্ষ্য কৰি)।’

P-3.3 হোৱাইট্টাকাৰৰ স’তে (তেওঁৰ লিখা পুথিৰ স’তে) কোনো পৰিচয়-চিনাকি নাছিল :

ৰংগনাথনে এই বিষয়ত তেওঁৰ ধাৰণাটো উল্লেখ কৰিছে এইবুলি যে, তেওঁ এয়া নিজেই কৰিছিল। এটা মুহূৰ্তৰ বাবে হ’লেও এই চিন্তা আহে যে, এই বিষয়ত প্ৰয়োজনীয় আৰু মাদ্ৰাজত পাব পৰা কি কিতাপনো তেওঁ আলচ কৰিছিল। হাৰ্ডিয়ে এই বিষয়ত ৰংগনাথনে পঠিওৱা, ১৯১৪ চনত প্ৰকাশ হোৱা মাদ্ৰাজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ লাইব্ৰেৰীৰ কিতাপৰ তালিকাখন উল্লেখ কৰিছিল। এই তালিকাখন আছিল হোৱাইট্টাকাৰৰ ‘মাডাৰ্ণ এনালাইছিছ’, ব্ৰম উচ্চৰ ইনফাইনাইট চিৰিজ আৰু মেথিউৰ থিঅ’ৰি অব নাম্বাৰ্চ। হাৰ্ডি আচৰিত হৈছিল এই তিনিখন কিতাপ কেনেকৈ ৰামানুজনৰ চকুত আচৰিত হৈ ৰৈ গ’ল। হাৰ্ডি জ্ঞাত নাছিল যে, ১৯১৩ চনৰ মে’ মাহত ৰামানুজন, এজন গৱেষক নোহোৱা পৰ্যন্ত, মাদ্ৰাজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ লাইব্ৰেৰীৰ সম্পৰ্কত তেওঁ অচিনাকি আছিল। তাৰোপৰি লাইব্ৰেৰীটো তেতিয়া গঠন হৈছে মাথোন আৰু ৰাইজলৈ বুলি মুকলি কৰি দিয়া হোৱাই নাছিল। ৰামানুজনৰ চিঠিৰ মাজত, লাইব্ৰেৰীটো তেওঁৰ বাবে অচিনাকি হৈ ৰোৱা কথাটো হাৰ্ডিৰ নিজৰো এক ভিতৰুৱা সাক্ষী যেন আছিল। কাৰণ হাৰ্ডিয়ে আৰু কৈছিল ‘প্ৰথম ক্ষেত্ৰত, ৰামানুজনে হোৱাইট্টকাৰৰ এই কৃতি পাবই নোৱাৰে, কিয়নো তেতিয়ালৈ তেওঁ কচ্চিৰ উপপাদ্যকেই নাজানিছিল।’

P-3.4 ব্ৰমউইচ্চৰ স’তে (তেওঁৰ লিখা পুথিৰ স’তে) কোনো পৰিচয়-চিনাকি নাছিল :

ব্ৰমউইচ্চ সম্পৰ্কত সাক্ষ্য ইমান সাব্যস্তকাৰী নহয়। কিন্ত এইটো মানি ল’ব নোৱাৰি যে, ৰামানুজনে কিতাপখন দেখিছিল। তেওঁ অপসাৰী শ্ৰেণীৰ সন্দৰ্ভত আগ্ৰহী আছিল, যিহৰ সম্পৰ্কত তেওঁৰ নিজৰ এটা তত্ব আছিল। ব্ৰমউইচ্চৰ বিষয়টোৰ ওপৰত এটা সুদীৰ্ঘ আৰু আমোদজনক অধ্যায় আছিল, যিয়ে বোধকৰোঁ ৰামানুজনক মোহিত কৰিছিল। কিন্তু ৰামানুজনে চিছাৰো বা বোৰেল সংকলনৰ বা তেনে কোনো বিশেষ স্তৰৰ কামৰ কোনো জ্ঞান দেখুওৱা নাছিল। তেওঁৰ চিঠিসমূহৰ পাঠবোৰৰ পৰা এয়া সঁচাকৈ সৰলভাৱে ফুটি উঠিছিল যে অপসাৰী শ্ৰেণীৰ বৈজ্ঞানিক তত্ব থকাৰ কোনো ধাৰণা তেওঁৰ নাছিল।

P-3.5 গ্ৰীণহিলৰ স’তে (তেওঁৰ লিখা পুথিৰ স’তে) তেওঁৰ পৰিচয়-চিনাকিখিনি :

সেয়ে মই নাভাবোঁ যে ৰামানুজনে হোৱাইট্টাকাৰ বা ব্ৰমউইচ্চক জানিছিল, কিন্তু এয়া স্পষ্ট আছিল যে ইলিপ্তিক ফলন সম্পৰ্কীয় কিছু কিতাপ তেওঁ পঢ়িছিল। আৰু ৰংগনাথন, লিটল-উডৰ স’তে এই বিষয়ৰ ভাবনাত একমত আছিল যে এইবোৰ সম্ভৱতঃ গ্ৰীণহিলৰ আছিল। এই তত্বটো বিভিন্ন দিশত প্ৰসাৰ ঘটোৱা বুলি দাবী কৰিছিল। যেনেদৰে তেওঁ কৰিছিল (আৱিষ্কাৰ নহয়) ইলিপ্তিক ইণ্টিগ্ৰেল, থিটা ফলন বা মডুলাৰ সমীকৰণৰ ক্ষেত্ৰত। এই সকলোবোৰ কথা তেওঁ কৰিছিল সাধাৰণজ্ঞানৰ এক অংশ হিচাপে। ইয়াৰ নিজা পৰিসৰ আৰু সীমাৱদ্ধতাৰ ক্ষেত্ৰখনত তেওঁৰ জ্ঞান আছিল লেখত ল’বলগীয়া। পৰিসৰ আৰু সীমাৱদ্ধতাৰ দুয়োটাই এই কল্পটোৰ স’তে এনে ধুনীয়াকৈ খাপ খাইছিল যে ই ভেঁটি কৰিছিল গ্ৰীণহিলৰ চিন্তা উদ্ৰেককাৰী আৰু খেয়ালী কিতাপখনক।

P-3.6 মেথিউৰ স’তে (তেওঁৰ লিখা পুথিৰ স’তে) কোনো পৰিচয় চিনাকি নাছিল :

মৌলিক সংখ্যাৰ উপপাদ্যবোৰ আনহাতে, ৰামানুজনে পুৰা নিশ্চিতভাৱে নিজৰ বুলিয়েই দাবী কৰিছিল, (যদিওবা পিছলৈ, ভুলবোৰ বুজি পাইছিল আৰু প্ৰতিষ্ঠিত তত্বৰ সাধাৰণ ধাৰণাখিনি শিকি লৈছিল)। ৰামানুজনক জনাসকলৰ বাবে এয়া সিদ্ধান্তকাৰী আছিল, কিন্তু ৰামানুজনৰ সম্পূৰ্ণ স্বকীয়তা সম্পৰ্কীয় কল্পটোও মোৰ বাবে তথ্যভিত্তিক এক খাপখোৱা কথা। প্ৰথমতে, যদি ৰামানুজনে কেতিয়াবা মেথিউ (তেওঁৰ কৃতি) দেখিলেহেঁতেন, তেনেহ’লে কোৱাদ্ৰেটিক-ফৰ্ম সম্বন্ধে তেওঁ কেনেকৈ ইমান অজ্ঞ হৈ থাকিলেহেঁতেন। যিটো বিষয়, মেথিউৱে খৰছি মাৰি আলোচনা কৰিছে আৰু যিয়ে তেওঁৰ কিতাপখনৰ প্ৰায় আধাভাগ সামৰিছে? বিশেষতঃ শ্ৰেণী সংখ্যাৰ শ্ৰেণীয়ে ৰামানুজনক মোহিত কৰিলেহেঁতেন আৰু এয়াও নিশ্চিত যে তেওঁ এইবোৰ গভীৰভাৱে অধ্যয়ন কৰিলেহেঁতেন। কিন্তু অতি সিদ্ধান্তকাৰী সাক্ষ্য হৈছে মেথিউৰ মৌলিকৰ ওপৰত থকা অধ্যায়টো। যি ত্ৰুটিয়েই নাথাকক কিয়, ই ৰিমানৰ স্মতিলেখচাৰণৰ এক বৰ্ণনা সামৰিছে।

সেয়ে ৰংগনাথনৰ মতে, ৰামানুজনৰ এই সকলো কৃতি, ইয়াৰ কৰ্ম-প্ৰেৰণাৰ চমকেৰে আৰু কেঁচা ত্ৰুটিখিনিৰে ব্যক্তিগত আছিল আৰু আছিল কাৰো সহায় নোপোৱাকৈ কৰা এক কৃতিত্ব। ইয়াত বাদে আন কোনো কল্প নাই, যি তেওঁক পতিয়ন নিয়াব পাৰে বা অইনধৰণৰ গাণিতিক বা মনস্তাত্বিক অৰ্থ বহন কৰিব পাৰে।

P-3.7 আশ্চাৰ্যজনক কৰ্মসম্পাদন :

ইয়াত এয়া ক’ব পাৰি যে, ৰামানুজনৰ অকল ইতিমধ্যে উল্লেখ কৰা প্ৰেছিডেন্সি কলেজৰ লাইব্ৰেৰীত থকা হাৰ্ডিৰ আৰু গ্ৰীণহিলৰ ইলিপ্তিক ফলনৰ পুস্তিকাৰ ক’পিহে চিনাকি আছিল যিটো সম্ভৱতঃ শেশু আয়াৰে ধাৰলৈ দিছিল। (এতিয়া এইখিনিতে ৰংগনাথনৰ কনজেকচাৰটো হৈছে এই যে, এছ নাৰায়ণ আয়াৰে গ্ৰীণহিলক তেওঁৰ মনযোগলৈ আনিছিল।) সামৰণিত ৰংগনাথনে কৈছে এনেদৰে যে যিমান দূৰ মই জানো ৰাইমানৰ আগতে কোনোৱে R(X) লিখা নাছিল আৰু যদি এই শ্ৰেণীটো ৰামানুজনে নিজে পাইছিল, তেনেহ’লে ই এক আশ্চৰ্যকাৰী কৰ্মসম্পাদন আছিল। আনকি গাউছেও Ri x-ত ৰৈ গৈছিল।

P-4 উচ্চত্মকভাৱে যৌগিক সংখ্যা (highly composite numbers) :

এক অৰ্থত উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিক সংখ্যাবোৰ হৈছে মৌলিক সংখ্যাৰ অতি বিপৰীত। এটা মৌলিকৰ মাত্ৰ দুটা স্পষ্ট ভাজক থাকে ই নিজে আৰু ১ টো। এটা উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিকৰ ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ পূৰ্বৰটোতকৈ বেছি সংখ্যক ভাজক থাকে। উদাহৰণস্বৰূপে, প্ৰথমৰ কেইটামান উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিক সংখ্যা হ’ল ২, ৪, ৬, ১২, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ১২০। সংগ্ৰহিত কাকতৰ ৮৭ আৰু ৮৮ পৃষ্ঠাত ৰামানুজনৰ প্ৰথম ১০৩ টা এনেসংখ্যাৰ তালিকা পোৱা যায়। শেষৰটো বহুত ডাঙৰ সংখ্যা। সেইটো হ’ল ৬৭৪৬৩২৮৩৮৮৮০০। ৰামানুজনে উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিক সংখ্যাৰ গঠন, বিতৰণ আৰু ইয়াৰ বিশেষ গঠনসমূহ অধ্যয়ন কৰিছিল। উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিক সংখ্যাৰ ধাৰণাৰ শিক্ষা দিওঁতে, ৰংগনাথনে মন কৰিছিল যে ইয়াৰে মৌলিক সংখ্যাৰ গোলমলীয়া বিতৰণৰ আৰু উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিকৰ মাজত সমান্তৰাললৈ বুলি n ৰ ভাজকবোৰৰ লেখ আঁকি ছাত্ৰৰ মনযোগ আকৰ্ষণ কৰিব পাৰি। ৰামানুজনৰ উচ্চাত্নকভাৱে যৌগিকৰ ক্ষেত্ৰত হাৰ্ডিয়ে লিখিছে যে, বোধকৰোঁ ই কিছু পৰিমাণে সবিশেষতাৰে ভাৰাক্ৰান্ত, পানীৰ ওভতনি সোঁতত যে গণিতৰ এক কৃতি। কিন্তু উচ্চাত্মকভাৱে যৌগিকৰ প্ৰাথমিক বিশ্লেষণখিনি অতি লেখত ল’বলগীয়া আৰু ই বীজগণিতৰ অসমতাৰ ওপৰত ৰামানুজনৰ অসাধাৰণ ব্যুৎপত্তিৰ কথা সাব্যস্ত কৰে।

P-5 অখণ্ড সংখ্যাৰ বিভাজন (partition of integers) :

অখণ্ড সংখ্যা n ৰ এটা বিভাজনৰ অৰ্থ হৈছে এই যে—

n ৰ কোনো সংখ্যক ধন অখণ্ড সংখ্যাৰ বিভাজন।

উদাহৰণ স্বৰূপে—

৪ = ৩+১ = ২+২ = ২+১+১ = ১+১+১+১

আমি তেতিয়া কওঁ যে সংখ্যা ৪ ৰ ৫ টা বিভাজন আছে।

চিহ্নৰে এয়া প্ৰকাশ কৰা হয়— p(4), এনেদৰে।

n ৰ বিভাজন (partition) সংখ্যা বুজোৱা হয় p(n) ৰ দ্বাৰা।

হাৰ্ডিৰ মতে n যুগ্ম বা অযুগ্ম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত p(n) ৰ খুব কম পাটীগাণিতিক বৈশিষ্ট জনা যায়।

ৰামানুজন আছিল এনেধৰণৰ ধৰ্ম আৱিষ্কাৰ কৰা প্ৰথমজন আৰু এতিয়া পৰ্যন্ত ৰামানুজন একমাত্ৰ গণিতজ্ঞ। তেওঁৰ উপপাদ্যসমূহ আৱিষ্কাৰ কৰা হৈছে, প্ৰথম খুন্দাতেই পৰ্যবেক্ষণৰ যোগে। ইলিপ্তিক ফলনৰ তত্বৰ সহায়েৰে তেওঁ প্ৰমাণ কৰিছিল, বিভাজন ফলনৰ (partition function) কংগ্ৰুৱেণ্ট ধৰ্মৰ কিছুমান। এনেবোৰ অনুমান বা কনজেকচাৰৰ প্ৰকৃত হিচাপ-নিকাচেৰে কিছুমান সত্য আৰু কিছুমান পৰস্পৰ বিৰোধী। হাৰ্ডিয়ে দুটা সূত্ৰৰ কথা কৈছে যেনে, ‘ৰোজাৰ্চ-ৰামানুজন’ অভেদ। ইয়াৰ বিষয়ে তেওঁ লিখিছে যে, সূত্ৰটিৰ এটা বৰ অনুসন্ধিৎসূক ইতিহাস আছে। এইবোৰ পোৱা গৈছিল প্ৰথমতে ১৮৯৪ চনত এজন মহতিতম প্ৰতিভাশীল গণিতজ্ঞ (কিন্তু তুলনামূলকভাৱে কম খ্যাত। এতিয়া প্ৰধানতঃ ৰামানুজনৰ দ্বাৰা পুনঃআৱিষ্কাৰ কৰাৰ পিছতহে সোঁৱৰণ কৰা হয়) ৰোজাৰ্ছৰ দ্বাৰা। ৰোজাৰ্ছ আছিল এজন সূক্ষ্ম বিশ্লেষণকাৰী, যাৰ উপহাৰবোৰ আছিল এক সৰু মাপত, ৰামানুজনৰ দৰে নহয় অৱশ্যে। আনে তেওঁ কৰা কোনো কামৰ দৰেই কোনেও কিন্তু বেছি মনযোগ দিয়া নাছিল। যি বিশেষ গৱেষণা কাকতত সূত্ৰবোৰ প্ৰমাণ কৰিছিল সেইবোৰ পুৰামাত্ৰায় উপেক্ষা কৰিছিল। ৰামানুজনে সূত্ৰটি ১৯১৩ চনৰ আগতেই কেতিয়াবা পুনঃআৱিষ্কাৰ কৰিছিল। তেতিয়া তেওঁৰ কোনো প্ৰমাণ নাছিল (আৰু জানিছিল যে তেওঁৰ কোনো এটাও নাছিল।) আৰু মই যাক ‘কমিউনিকেইট’ কৰিছিলোঁ তেনে কোনো এজন গণিতজ্ঞইয়ো বিচাৰি পোৱা নাছিল। সেয়ে ‘মেক-মোহনৰ ‘কম্বিনেটৰী এনালাইছিছ’ৰ দ্বিতীয় খণ্ডত সেইবোৰক কোৱা হৈছিল প্ৰমাণ অবিহনে বুলি।

১৯১৭ চনত সেই ৰহস্যটোৰ সমাধান হৈছিল সেই বছৰ লণ্ডন মেথেমেটিকেল ছ’চাইটিৰ পুৰণি খণ্ডসমূহ চাই থাকোঁতে। তেতিয়া ৰামানুজনে আকস্মিকভাৱে ৰোজাৰ্ছৰ পেপাৰখন পালে। মোৰ স্পষ্ট মনত আছে, ৰোজাৰ্ছৰ কৃতিখিনিৰ প্ৰতি তেওঁ প্ৰকাশ কৰা আশ্চৰ্যতা আৰু প্ৰকাশখিনি। এক আদান-প্ৰদান অনুসৰিত হৈছিল যথাবিহিতভাৱে, যাৰ ফল হিচাপে ৰোজাৰ্চে তেওঁৰ মূল প্ৰমাণৰ এক লেখত ল’বলগীয়া সৰলীকৰণৰ ফালে লৈ যায়। সেই একে সময়তেই, যুদ্ধৰ প্ৰভাৱৰ বাবে ইংলেণ্ডৰ পৰা বিচ্ছিন্ন হৈ পৰা আইশ্বুৰে অভেদবোৰ পুনঃআৱিষ্কাৰ কৰে। শ্বুৰে দুটা প্ৰমাণ কৰে। ইয়াৰে এটা হ’ল কম্বিনেটৰিয়েল আৰু অইন সকলো জনা প্ৰমাণবোৰৰ পৰা বেলেগ। এতিয়া সাতটা প্ৰকাশিত প্ৰমাণ আছে। ইয়াৰ চাৰিটা ইতিমধ্যে উল্লেখ কৰা হৈছে, দুটা হ’ল শ্বুৰে আগবঢ়োৱা সৰল প্ৰমাণ আৰু এটা (পিছত আগবঢ়োৱা) ৰোজাৰ্ছ আৰু ৰামানুজনৰ— প্ৰকাশ হৈছে ৰামানুজনৰ সংগ্ৰহিত গৱেষণা কাকতত।

১৯১৭ চনত, প্ৰথমবাৰৰ বাবে হাৰ্ডি আৰু ৰামানুজনে যুটীয়াভাৱে পৰীক্ষা কৰিছিল, n বৃহৎ হ’লে n ৰ বিভাজন কিমান বৃহৎ হ’ব এই প্ৰশ্নটো। তেওঁলোকে উত্তৰটো দিছিল এক ‘এছিমপটোতিক’ শ্ৰেণীৰ সাঁজত আৰু মাথোন এটা বিশেষ সংখ্যাৰ পদ লোৱা বাবে যিটো ত্ৰুটীয়ে ভূমূকি মাৰিছিল তাক হিচাপ কৰা হৈছিল। উদাহৰণস্বৰূপে আমি ১৪০৩১ সংখ্যাটিৰ বিভাজনৰ সংখ্যা পুনৰ আগবঢ়াইছোঁ। এয়া হ’ল—

P(১৪০৩১)=৯২ ৮৫৩০৩ ০৪৭৫৯ ০৯৯৩১ ৬৯৪৩৪ ৮৫১৫৬ ৬৭১২৭ ৭৫০৮৯ ২৯১৬০ ৫৬৩৫৮ ৪৬৫০০ ৫৪৫৬৮ ২৮১৬৪ ৫৮০৮১ ৫০৪০৩ ৪৬৭৫৬ ৭৫১২৩ ৯৫৮৯৫ ৫৯১১৩ ৪৭৪১৮ ৮৮৩৮৩ ২২০৬৩ ৪৩২৭২ ৯১৫৯৯ ৯১৩৪৫ ০০৭৪৫

ইয়াৰ ওপৰত মন্তব্য দি, হাৰ্ডিয়ে মন কৰে যে, ৰামানুজনৰ দ্বাৰা হোৱা ভৱিষ্যৎ বাণীটো ১৪০৩১ ৰ বিভাজন সংখ্যা ১১৪ এৰে বিভাজ্য হয়।

P-6 বৰ্গ কিছুমানৰ যোগফল হিচাবে এটা সংখ্যা :

এটা অখণ্ড সংখ্যা n ক এক নিৰ্দিষ্ট k সংখ্যক অখণ্ড বৰ্গসংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰাটো সংখ্যাতত্বৰ অতি উল্লেখনীয় কেইটাৰ মাজত এটা। এই উপপাদ্যসমূহৰ ভিতৰত প্ৰখ্যাতটো হৈছে ফাৰ্মাৰ উপপাদ্য যে 8m+1 ঠাঁচৰ মৌলিক সংখ্যা এটা, দুটা বৰ্গ সংখ্যাৰ যোগফল। এইটো এতিয়াও প্ৰমাণ হ’বলৈ ৰৈ আছে। এই বিষয়ৰ ওপৰত ৰামানুজনৰ বিশেষ তিনিখন গৱেষণা কাকত আছে। এইকেইখন তেওঁৰ সংগ্ৰহিত কাকতত ১৮, ২০ আৰু ২১ হিচাপে পোৱা যায়।

P-6.1 বিনোদন ৮ – প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যায়েই ৰামানুজনৰ বন্ধু :

হাৰ্ডিৰ মতে ৰামানুজনে সংখ্যাৰ চাৰিত্ৰিক বৈশিষ্টসমূহ মনত ৰাখিব পাৰিছিল প্ৰায় অদ্ভূত তথা ৰহস্যজনকভাৱে। তেওঁ আৰু কৈছিল যে লিটলউদৰ মতে প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যায়েই ৰামানুজনৰ এজন ব্যক্তিগত বন্ধু। ৰামানুজন পুটনিৰ এখন ছেনিটৰিয়ামত আছিল। হাৰ্ডিয়ে তেওঁক দেখা কৰিবলৈ গৈছিল। তলত কথোপকথনখিনিৰ এক ঐতিহাসিক মূল্য আছে বাবে উদ্ধৃত কৰা হ’ল।

হাৰ্ডিঃ মই ১৭২৯ নম্বৰ টেক্সিকেবখনত আহিছিলোঁ। মই ভাবোঁ ই কোনো অপ্ৰিয় ‘অমেন’ নহয়।

ৰামানুজনঃ নহয়, এইটো এটা বৰ আমোদজনক সংখ্যা।

হাৰ্ডিঃ কেনেকৈ?

ৰামানুজনঃ দুই ধৰণে দুটা ঘনসংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত ই আটাইতকৈ সৰুটো। ()

হাৰ্ডিঃ চতুৰ্থঘাত হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত আটাইতকৈ সৰুটোনো কি?

ৰামানুজনঃ (অলপ সময় ভবাৰ পিছত) মই কোনো সহজতে পোৱা উদাহৰণ দেখা নাই। মই ভাবো ই এটা বহুত ডাঙৰ সংখ্যা হ’ব।

এই বিনোদনটো বৰ্ণোৱাৰ পিছত হাৰ্ডিয়ে অইলাৰে আগবঢ়োৱা এটা সংখ্যা উল্লেখ কৰিছিল।

P-7 আন বিষয়সমূহ :

P-7.1 হাইপাৰজিওমেট্ৰিক শ্ৰেণী :

ভাৰতত ৰামানুজনকৃত অতি-বিচাৰ্য আৰু পূৰ্ণ কামখিনিৰ এটা হ’ল ১৯১৪ চনত তেওঁ ইংলেণ্ডলৈ ৰাওনা হোৱাৰ আগতে কৰা ‘হাইপাৰজিঅ’মেট্ৰিক’ শ্ৰেণীৰ কামখিনি। অনুচ্ছেদ k-2 ত বৰ্ণোৱা মতে হাৰ্ডিয়ে ৰামানুজনৰ ফলখিনি এই বিষয়ত প্ৰকাশ কৰিছিল কেম্বিজ ফিলছ’ফিকেল ছ’ছাইটিৰ প্ৰচিডিংচত। ইয়ে আনি দিছিল বেইলী, ৱাইছন, হুইপল্ আৰু আনৰ দ্বাৰা এক উৎসুকতাভাৰা গৱেষণা প্ৰবন্ধৰ ঢৌ। এই সকলোবোৰ একেলগ কৰিছিল ডব্লিউ. এন. বেইলীৰ জেনেৰেলাইজড হাইপাৰ জিঅ’মেট্ৰিক শ্ৰেণীত (১৯৩৫)(গণিত আৰু পদাৰ্থ বিদ্যাৰ কেম্ব্ৰজ পুস্তিকা) ১৯১০-১৯১১ চনতে এই বিষয়ৰ মূল সূত্ৰটি বাহিৰ কৰিছিল ৰামানুজনে। কিন্তু তেওঁৰ নোটবুকত ইয়াৰ কোনো প্ৰমাণ দিয়া হোৱা নাছিল। হাৰ্ডিয়ে কয় যে, এই সূত্ৰত ডউগলে ৰামানুজনৰ অৱদান আশা কৰিছিল, যদিওবা ৰামানুজনে এয়া নাজানিছিল। হাৰ্ডিয়ে পুনৰ কয় যে, তেওঁ নিজেই ৰামানুজনৰ নোটবুকত এই সূত্ৰটি বিচাৰি পাইছিল, তেওঁৰ মৃত্যুৰ পিছত। ৰামানুজনৰ নোটবুকুত এক বুজনসংখ্যাক ধুনীয়া যোগ বা সংকলন আছে। ইয়াৰে কেইটামান ইতিমধ্যে পোৱা গৈছিল আৰু প্ৰমাণ কৰা হৈছিল হেইন(১৯৭৮), ডিকচন(১৮৯১) আৰু মৰলেৰ(১৯০২) দ্বাৰা। কিন্তু ৰামানুজনৰ এইবোৰৰ স’তে চিনাকি নাছিল। তেওঁ হাতে পোৱা কিতাপসমূহৰ পৰা লোৱা কথাখিনি খৃষ্টালৰ বীজগণিতত (Chrystal’s Algebra) থকাৰ বাদে আন একো নহয়।

P-7.2 বীজগণিত :

হাৰ্ডিৰ মতে ৰামানুজনৰ বীজগণিতৰ ওপৰত কৰা কামখিনি জড়িত আছিল ‘হাইপাৰজিঅ’মেট্ৰক’ শ্ৰেণী আৰু অবিৰত ভগ্নাংশ এই দুইটাৰ স’তে। এইবোৰ বিষয়ত তেওঁৰ সঠিককৈয়ে শুৱাইছিল আৰু ইয়াতেই তেওঁ আছিল প্ৰশ্নাতীতভাৱে মহতিতম পণ্ডিতসকলৰ এজন। ৰামানুজনৰ ‘ফিচিকা নোটবুক’খনে তেওঁৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ কেইটামান শ্ৰেষ্ঠ নিদৰ্শন সামৰিছে। এই বিষয়টোতো তেওঁৰ কোনো অইন আৰম্ভণ নাছিল, খ্ৰাইষ্টেলৰ বীজগণিতত বাদে। হাৰ্ডিৰ মতে, ‘ৰামানুজনে এইবোৰ বিষয়ৰ কৰ্মত তেওঁৰ শ্ৰেষ্ঠতম কৃতিত্ব দেখুৱাইছিল। বীজগণিতীয় সূত্ৰসমূহ, অসীম শ্ৰেণীৰ ট্ৰেন্সফৰ্মেশ্যন আৰু এনেধৰণৰ বিষয়ত তেওঁৰ অন্তৰ্দৃষ্টি আছিল অতি বিষ্ময়াভিভূতকাৰী। এইফালটোৰ ওপৰত অতি নিশ্চিতভাৱে মই কেতিয়াও তেওঁৰ সমপৰ্যায়ৰ লগ পোৱা নাই। মই কেৱল তেওঁক তুলনা কৰিব পাৰোঁ অইলাৰ আৰু জেক’বিৰ সতে। এয়া সম্ভৱ যে সূত্ৰসমূহৰ মহতিতম দিনবোৰ শেষ হৈ আহিল। হয়তো ৰামানুজন ১০০ বছৰ আগেয়ে জন্মিব লাগিছিল। কিন্তু তেওঁ আছিল তেওঁৰ সময়ৰ মহতিতম ‘আনুষ্ঠানিক’ বা ‘ফৰ্মেলিষ্ট’ এজন। হয়তোবা বহুতো দৰকাৰী ভাল আহিছে, মই ধৰি লওঁ যে কোনোবাই হয়তো ক’ব, ৰামানুজনতকৈয়ো ডাঙৰ গণিতজ্ঞ আহিছে। পিছে তেওঁৰ নিজৰ প্ৰচেষ্টাটোৰ সন্দৰ্ভত ৰামানুজনৰ দৰে নিজে নিজৰ ওপৰত থিয় হৈ থকাকৈ এনে দ্বিতীয় কোনোজন নাই।

P-7.3 নিশ্চিত অনুকল :

ৰামানুজন ইংলেণ্ডলৈ যোৱাৰ আগতে, তেওঁ প্ৰধানতঃ ব্যস্ত আছিল নিশ্চিত অনুকলৰ সাধাৰণ সূত্ৰ উলিওৱাত। মাদ্ৰাজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ তেওঁৰ ন-মহীয়া গৱেষণা ছাত্ৰকালত তেওঁ এই ক্ষেত্ৰখনত বেছ সংখ্যাক ৰিজাল্ট আগবঢ়াইছিল। এই সকলোখিনি বিশ্ববিদ্যালয়ত দিয়া তিনিটা ৰিপোৰ্টত ভৰোৱা হৈছিল। হাৰ্ডিৰ মতে সূত্ৰবোৰৰ কোনোটোৰেই কোনো প্ৰকৃত প্ৰমাণ নাছিল। হাৰ্ডিয়ে প্ৰকৃত প্ৰমাণ বোলা পদটিৰ সূচক ব্যাখ্যা কৰে।

এয়া কোৱাটো যুক্তিযুক্ত যে আমি এতিয়া, বেছিভাগ বিশ্লেষণাত্মক সূত্ৰৰেই সত্যতাৰ স্বৰ্ত্ত্ব মোটা-মুটিভাৱে জানো। এইবোৰ আমাৰ বিশ্লেষণৰ দুৰ্বলতাৰ বাবেই সোমাই নপৰে। বিপৰীতে বহল অৰ্থত যথাযথ তথ্যৰ প্ৰতি ই উল্লেখ্য সীমাৱদ্ধতাহে। আমাৰ উপপাদ্যবোৰে সেই সকলোবোৰ নাসামৰে, য’ত সূত্ৰটো সত্য হয়। সেইবোৰক প্ৰসাৰ কৰিবলৈ বুলি আমি যি কৰিব পাৰোঁ, সেয়া আমোদজনক আৰু লাভজনক হ’ব পাৰে। পিছে যিবোৰ স্বৰ্ত্তৰ অধীনত আমি এইবোৰ প্ৰমাণ কৰিছোঁ, সেয়া যথেষ্ট নহ’লহেঁতেন যদিহে এইবোৰৰ প্ৰকৃত কঢ়া উপায়ে বহলোৱা হ’লহেঁতেন।

এজন গণিতজ্ঞই কোনো এটা সূত্ৰ আগবঢ়াব পাৰে আৰু লগতে ইয়াৰ সত্যতাৰ বাবে যুক্তিও আগবঢ়াব পাৰে। যি ক্ষেত্ৰত তেওঁ ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলৈ পৰা বুলি নকয়, তেনেক্ষেত্ৰত সেইবোৰে যেনেদৰে দেখা দিয়ে তেনেদৰেই সঠিক বা যথেষ্ট নহয়। কিন্তু ই প্ৰায়েই ঘটে, বিশেষকৈ যেতিয়া পুনঃউক্তি কৰি এজন আধুনিক বিশ্লেষণকাৰীৰ যোগে প্ৰসাৰ ঘটোৱা হয় আৰু তেওঁৰ পদ্ধতিয়ে এটা প্ৰমাণৰ ফালে লৈ যায়। তেতিয়া ই স্বাভাৱিক স্বৰ্ত্ত্বত সত্য হয়। তেনেক্ষেত্ৰত আমি কওঁ যে তেওঁ প্ৰকৃততে উপপাদ্যটি প্ৰমাণ কৰিছে। এনেদৰেই অইলাৰে ক্লাছিকেল বিশ্লেষণ তত্বৰ বৃহৎ অংশ প্ৰকৃততে প্ৰমাণ কৰিছিল। তেনেদৰে বহুত উপপাদ্য আছে, যিবোৰ ৰামানুজনে প্ৰকৃততে প্ৰমাণ কৰিছিল, কিন্তু তেওঁ প্ৰকৃততে মই উদ্ধৃত কৰা কোনো এটাও সূত্ৰ প্ৰমাণ কৰা নাছিল। তেওঁ তেনে কৰাটো উচিত সাব্যস্ত কৰিবলৈ বুলি অসম্ভৱ আছিল এই কাৰণেই যে, স্বাভাৱিক স্বৰ্ত্ত্ববোৰে ধাৰণাবোৰক জড়িত কৰিছিল যাৰ বিষয়ে ১৯১৪ চনত একোকে নাজানিছিল। এইবোৰৰ স’তে তেওঁ মৃত্যুৰ আগলৈ মনযোগ দিয়াই নাছিল। লিটলউডে কোৱাৰ দৰে প্ৰমাণৰ কোনো স্পষ্ট ধাৰণা তেওঁৰ নাছিল। নোটবুক আৰু ৰিপোৰ্টত সূচীত হোৱা আমি উৎসুকতা ভৰা আৰু আমোদজনক হিচাপে পাব পৰা কোনো যদি যুক্তিৰ উল্লেখনীয় অংশ ক’ৰবাত ওলাইছিলো, যিবোৰ নোটবুক আৰু ৰিপোৰ্টত সূচিত হৈছিল, যাক আমি উৎসুকতা ভৰা আৰু আমোদজনক হিচাপে হয়তো পাম, সেয়া আছিল প্ৰমাণ হিচাপে অযথেষ্ট।

P-7.4 ইলিপ্তিক ফলন :

ৰামানুজনে বৰ বিশেষভাৱে ইলিপ্তিক-ফলনৰ স’তে খেলা কৰি আছিল। এই বিষয়টোৰ সম্পৰ্কত হাৰ্ডিয়ে কৈছিল, ৰামানুজনে ইলিপ্তিক-ফলনৰ সাধাৰণ তত্বত কোনো লেখত ল’বলগীয়া প্ৰসাৰ কৰিবলৈ বুলি মন মেলা নাছিল। লিটলউডৰ মতে ৰামানুজনে কিবা উপায়ে ইলিপ্তিক-ফলন তত্বৰ ফৰ্মেল ফালটোৰ এক কামত অহা ধৰণৰ পূৰ্ণ জ্ঞান আহৰণ কৰি লৈছিল। হাৰ্ডিৰ মতে ৰামানুজনে ইলিপ্তিক ফলনৰ তত্বৰ বিশেষ অংশত বিভাজন তত্বৰ দৰেই বিশেষ পাৰদৰ্শিতা দেখুৱাইছিল। ১৯২০ চনৰ ২০ জানুৱাৰীত ভাৰতলৈ ঘূৰি অহাৰ পিছত ৰামানুজনে হাৰ্ডিলৈ বুলি বোধকৰোঁ শেষ আৰু মাত্ৰ এখনেই চিঠি লিখিছিল। এই চিঠিখনত তেওঁ কৈছিল মক্-থিটা ফলনৰ কথা। সেই চিঠিত তেওঁ এনে ফলনৰ এখন তালিকা দিছিল সাত ঘাতলৈ(অৰ্ডাৰ) বুলি। (অনুচ্ছেদ B-5)

P-8 সামগ্ৰিক মূল্যায়ন :

গণিতজ্ঞ ৰামানুজনৰ সাধাৰণ সামগ্ৰিক মূল্যায়ন, কেম্ব্ৰিজ ট্ৰিনিটি কলেজৰ মাষ্টাৰ জে. জে. থমচনৰ দ্বাৰা তলত দিয়া ধৰণে দিয়া হৈছে, তেওঁৰ ৰিকলেকশ্যন এণ্ড ৰিফ্লেকশ্যনচ্ নামৰ কিতাপখনত।

তেওঁৰ নোটবুককেইখনত এক বৃহৎ সংখ্যক উপপাদ্যৰ উক্তি দিয়া আছে— প্ৰমাণ বিনে। এইবোৰৰ ওপৰত কেবাজনো প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞই কাম কৰি আছে, যিসকলে এইবোৰৰ বহুতৰে শুদ্ধতাৰ প্ৰমাণ দিবলৈ সক্ষম হৈছে। আৰু ইয়াৰ জড়িয়তে তেওঁলোকে সেয়ে হাৰ্ডিৰ মন্তব্যৰ বলিষ্ঠতা প্ৰতীয়মান কৰিছে যে, তেওঁৰ দিনত, তেওঁৰ নিজৰ ক্ষেত্ৰখনত আছিল অপ্ৰতিদ্বন্দ্বী। সেয়ে হ’লেও তেওঁৰ নিয়ম পিছে সাধাৰণৰ লেখীয়া নাছিল, য’ত উপপাদ্যবোৰ ওলাইছিল প্ৰমাণবোৰৰ পৰা। কোনো প্ৰমাণ নাই, কোনো উপপাদ্য নাই। যি কি নহওক, এয়া সম্ভৱ আছিল। উপপাদ্যবোৰ প্ৰমাণ কৰিবলৈ অন্য উপায় কল্পনা কৰা সম্ভৱ আছিল। ধৰা হওঁক, উদাহৰণস্বৰূপে, এজন গণিতজ্ঞই সপোন দেখিছে যে, তেওঁ এটা নতুন উপপাদ্য আৱিষ্কাৰ কৰিছে। যদি তেওঁ সাৰ পাওঁতেও এইটো মনত ৰাখে, তেনেহ’লে তেওঁ এইটো পৰীক্ষা কৰি চাব পাৰে যে ই বহুতো বিশেষ ক্ষেত্ৰত সঁচাকৈ শুদ্ধ ৰিজাল্ট দিছেনে নাই। এয়াই হৈছে ‘ট্ৰায়েল এণ্ড এৰৰ’ বা শুদ্ধ-বাছনি পদ্ধতি। এই পদ্ধতিৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ অসুবিধাটো হ’ল, চেষ্টা কৰিবলৈ বুলি কিবা এটা পোৱাটো। চেষ্টা কৰিবলৈ বুলি অসংখ্য বস্তুৱেই আছে, পিছে আমাক চলাই নিবলৈ বুলি নোপোৱা পৰ্যন্ত, শুদ্ধটো বিচাৰি পোৱাটো অতি নগণ্য (infinitesimal) হ’ব। ইয়াক পাবলৈ হ’লে এটা সপোন দেখাৰ দৰ্কাৰ নাই। ৰামানুজনৰ দৰে এজনে, যি গণিত এটা বিশেষ শাখাৰ দীৰ্ঘ আৰু গভীৰ অধ্যয়ন কৰিছে, তেওঁ প্ৰায় অচেতনভাৱেই জ্ঞাত উপপাদ্য কেতবোৰৰ চিহ্ন কিছুমানৰ সজ্জাৰ অনুপস্থিতি বা উপস্থিতিৰ কিছুমান বৈশিষ্ট মানি লোৱাৰ ফালে নিজক লৈ যাব। আৰু যিবোৰে ভুমুকি নামাৰে সেইবোৰ আনুভূতিক ভাৱেই নাকচ কৰিব। দীৰ্ঘদিনৰ অভিজ্ঞতাৰে, তেওঁ এক অনুভূতি আয়ত্বাধীন কৰি লৈছিল, যাৰ দ্বাৰা অসম্ভৱ বা সম্ভৱ উপপাদ্যসমূহৰ মাজৰ পাৰ্থক্যটো তেওঁ বিচাৰি উলিয়াব পাৰিছিল। তেতিয়া যদি এটা উপপাদ্য ভাবিবলৈ বুলি তেওঁৰ এক কল্পনা থাকিলেহেঁতেন, যিটোৱে সত্যাপনৰ বাবে পৰীক্ষাটো, ইয়াৰ বাবে প্ৰয়োজন হোৱা কষ্টখিনি আৰু হিচাপৰ ক্ষমতাখিনি মানি লয়, তেওঁ তেতিয়া এটা উপপাদ্যত আহি উপনীত হ’লহেঁতেন, যি তেওঁ প্ৰমাণ কৰিব পৰা নাছিল। গাণিতিক উপপাদ্যৰ এনে কেবাটাও উদাহৰণ আছে, যিবোৰ সত্য বুলি বিশ্বাস কৰা হয়, কিন্তু কেতিয়াও প্ৰমাণ কৰা হোৱা নাই। বোধহয়, আটাইতকৈ প্ৰখ্যাতটো হ’ল, গাউছে দি থোৱা মৌলিক সংখ্যা সম্পৰ্কীয় সূত্ৰটো। (অৰ্থাৎ ২, ৫, ৭, ১১ আদিৰ লেখীয়া সংখ্যাবোৰ যিবোৰ অইন কাৰোৰে হৰণ নাযায় আৰু এটা নিদিৰ্ষ্ট সংখ্যা N তকৈ সৰু।) গাউছৰ সূত্ৰটি পৰীক্ষা কৰি চোৱা হৈছিল, এক হাজাৰ মিলিয়নলৈ বুলি N ৰ অখণ্ড মানৰ বাবে আৰু সঠিক ৰিজাল্ট পোৱা গৈছিল। ইয়াৰ সত্যতাৰ প্ৰচুৰ সাক্ষীৰ বাবে এয়া সৰ্বজন গ্ৰাহ্য হৈছিল, যদিওবা কোনো আনুষ্ঠানিক প্ৰমাণ আৱিষ্কাৰ হোৱা নাছিল। প্ৰফেচৰ লিটলউডে দেখুৱাইছিল যে, ই অন্ততঃ ভুল প্ৰমাণিত হ’ব, যেতিয়া N কোনো এক বিশেষ সংখ্যাতকৈ ডাঙৰ হয়, এই সংখ্যাটো মানৱ প্ৰচেষ্টাৰ সাধ্যাতীত। এনেদৰে এই ভাবি গাউছৰ নিয়মে সান্তনা দিব পাৰে যে যদিও নৈতিক দৃঢ়তাৰ ফালৰ পৰা ই ঘাটি পৰিব পাৰে, ই কেতিয়াও এনে নকৰে যদিহে ইয়াক উলিয়াব পৰা যায়।

 

মূল : এছ. ৰংগনাথন

অনুবাদ : খনীন চৌধুৰী

[ad#ad-2]