23 Jul গণিত পাঠ – ৪ : দশমিকৰ সোঁপিনে লিখি শেষ নোহোৱা অংকবোৰ

২০১০ চনত “বিবিচি”ত “পাই” (π) সংক্ৰান্তীয় এটা বিশেষ বাতৰি প্ৰকাশ হৈছিল। বাতৰিটো হ’ল: যাহু(Yahoo!)ত কৰ্মৰত এজন গৱেষকে পাইৰ মানৰ দশমিকৰ সোঁপিনৰ ২০০০০০০০০০০০০০০০তম স্থানৰ অংকটো নিৰ্ণয় কৰিছে। সেই মানটো নিৰ্ণয় কৰিবলৈ ১০০০টা কম্পিউটাৰ সংলগ্ন হৈ থকা এটা ব্যৱস্থাত ২৩ দিন সময় লাগিছিল। আমি ঘৰত ব্যৱহাৰ কৰা সাধাৰণ কম্পিউটাৰত সেই কাম কৰি শেষ কৰিবলৈ হেনো মুঠ ৫০০ বছৰ লাগিলহেঁতেন।

পাইৰ মানৰ দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংকবোৰ ইয়াতকৈয়ো দুৰলৈ উলিয়াই গৈ থাকিলেও কেতিয়াও শেষ নহয়। আৰু এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ কথা হ’ল: ইমান দূৰলৈকে অংকবোৰ জানিব পাৰিলেও, তাৰ পৰৱৰ্তী অংকটো কি হ’ব সেইটো নিজে অনুমান কৰা সম্ভৱ নহয়। যদি অনুমান কৰাটো সম্ভৱ হ’লহেঁতেন বা তাতেই অংকবোৰ শেষ হৈ গ’লহেঁতেন, তেন্তে পাইক আমি ভগ্নাংশ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰিলোহেঁতেন। সেয়েহে পাই এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়। পাই যে পৰিমেয় নহয় সেইটো প্ৰমাণ কৰা হৈছে। প্ৰমাণটো বুজিবলৈ তোমালোকে উচ্চ মাধ্যমিক বা উচ্চতৰ মাধ্যমিকতকৈ অধিক কথা শিকিব লাগিব। বহুতো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পাইক পৰিমেয় সংখ্যা বুলি ভুল কৰে। তাৰ কাৰণটো একেবাৰে শেষত ক’ম।

একেদৰেই √২ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। √২ৰ মান হ’ল ১.৪১৪২১৩৫……। ইয়াৰো দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংকসমূহ লিখি কেতিয়াও শেষ কৰিব নোৱাৰি। √২ যে এটা অপৰিমেয় সংখ্যা তাৰ প্ৰমাণ তোমালোকৰ উচ্চ মাধ্যমিকৰ পাঠ্যপুথিতে আছে।

দশমিকৰ সোঁপিনে থকা অংকবোৰ লিখি কেতিয়াও শেষ নোহোৱা আন এক শ্ৰেণী সংখ্যা আছে। যেনে: ১.৩৩৩৩৩৩৩………. আৰু ২৩.১৯৩৩৫৩৩৫৩৩৫৩৩৫……..। কিন্তু, ইহঁতৰ অংকবোৰ নিৰ্দিষ্ট। এই দুটা সংখ্যাৰ দশমিকৰ সোঁপিনে যিমানেই গৈ নাথাকা কিয়, সেই স্থানৰ অংকটো জানিবাই।

১.৩৩৩৩৩৩৩………. সংখ্যাটো চোৱা। ইয়াত যিমানেই সোঁপিনে গৈ থাকিলেও অংকটো হ’ব ৩। এই সংখ্যাবিলাক পৰিমেয় সংখ্যা। ১.৩৩৩৩৩৩৩………. সংখ্যাটোৰ দশমিকৰ সোঁপিনে ৩ অংকটো অগণন বাৰ আছে, তাক লিখি লিখি কেতিয়াও শেষ কৰিব নোৱাৰি। কিন্তু ইহঁতক ভগ্নাংশ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

১.৩৩৩৩৩৩৩……=\frac{\text{৩}}{\text{২}} আৰু ২৩.১৯৩৩৫৩৩৫৩৩৫৩৩৫……..= \frac{\text{২৩২৭০০৬}}{\text{৯৯৯০০}}

সংখ্যা এটাত দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংকবোৰ এনেকৈ পুনৰাবৃত্তি হৈ থাকিলে তাক পৌণপুনিক (recurring বা Repeating) ৰূপত থকা সংখ্যা বোলা হয়।

অপৰিমেয় সংখ্যা একোটাৰ দশমিকৰ সোঁফালে অংকবোৰ লিখি কেতিয়াও শেষ নহয়, কিন্তু সি পৌণপুনিক ৰূপত নাথাকে। আৰু পৰিমেয় সংখ্যা একোটাৰ দশমিকৰ সোঁপিনে অংকবোৰ কেতিয়াবা লিখি শেষ নহ’ব পাৰে, কিন্তু দশমিকৰ কোনো এটা স্থানৰ পৰা সি সদায় পৌণপুনিক ৰূপত থাকিবই। পৌণপুনিক ৰূপটো চমুকৈ বুজাবলৈ পৌণপুনিক হৈ থকা অংককেইটাৰ ওপৰত এইদৰে মাত্ৰা ব্যৱহাৰ কৰা হয়:

১.৩৩৩৩৩৩৩……=\text{১}.\overline{\text{৩}} , ২৩.১৯৩৩৫৩৩৫৩৩৫……..=\text{২৩}.\text{১৯}\overline{\text{৩৩৫}}

দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংকবোৰৰ আৰ্হি তিনিটা:

আমি দুটা আৰ্হি দেখিলোঁ। আৰু এটা আৰ্হি আছে। সেইটোত দশমিকৰ সোঁপিনে অংকবোৰ অসীমলৈ নাযায়, সীমিত স্থানতে সিহঁত ৰৈ যায়। যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যায়েই দশমিক ৰূপত ইয়াৰে কোনোবা এটা আৰ্হিত থাকিব।

যদি অংকবোৰ অসীমলৈকে গৈ থাকে, কিন্তু পৌণপুনিক নহয়, তেতিয়া সংখ্যাটো অপৰিমেয়।

যদি অংকবোৰ অসীমলৈকে গৈ থাকে, কিন্তু পৌণপুনিক হয়, তেতিয়া সংখ্যাটো পৰিমেয়।

আৰু যদি এটা স্থানৰ শেষত কোনো অংক নাথাকে, তেতিয়াও সংখ্যাটো পৰিমেয় হয়।

এই শেষৰ কথাটো বুজাটো নিশ্চয় সহজ। কাৰণ দশমিক সংখ্যাটোৰ হৰ ১ বুলি লৈ, হৰ আৰু লবত ১০ৰে পূৰণ কৰি থাকিলে এটা সময়ত দশমিকটো নাইকীয়া হৈ পৰিব, আৰু সি ভংগ্নাশৰ ৰূপ পাই যাব। যেনে:  ১.২৫২৫২৫=\frac{\text{১২৫২৫২৫}}{\text{১০০০০০০}} । এই ভগ্নাংশটোক লঘিষ্ঠ আকাৰলৈ নিলেই হৈ গ’ল। এই সংখ্যাবোৰক পৰিসমাপ্ত দশমিক সংখ্যা বোলে। আৰু বাকীসমূহক অপৰিসমাপ্ত দশমিক সংখ্যা বোলে।

দুটা উপপাদ্য:

ক) যিকোনো পৰিসমাপ্ত দশমিক সংখ্যাক p/q আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। য’ত p অখণ্ড সংখ্যা, q অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা। আৰু qক {\text{২}}^m {\text{৫}}^n আৰ্হিত উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰি, য’ত m, n \geq ০।

বিপৰীত ক্ৰমে: p/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা। যদি qক {\text{২}}^m {\text{৫}}^n আৰ্হিত উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰি, য’ত m, n \geq ০, তেন্তে p/qক পৰিসমাপ্ত দশমিকত প্ৰকাশ কৰিব পৰা যায়।

খ) p/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা। যদি qক {\text{২}}^m {\text{৫}}^n আৰ্হিত উৎপাদকীকৰণ কৰিব নোৱাৰি, য’ত m, n \geq ০, তেন্তে p/qক পৰিসমাপ্ত দশমিকত প্ৰকাশ কৰিব পৰা নাযায়। তেতিয়া p/qক অপৰিসমাপ্ত দশমিকতহে প্ৰকাশ কৰিব পৰা যাব, যিটো হ’ব এটা পৌণপুনিক দশমিক সংখ্যা। আৰু ওপৰৰ ক ৰ দৰে ইয়াৰো বিপৰীতটো শুদ্ধ।

অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশমিক সংখ্যাক p/q আকাৰলৈ নিয়াৰ এটা নিয়ম:

তিনিটা উদাহৰণ দিলেই বুজি পাবা।

উদাহৰণ ১: ০.৩৩৩৩৩৩…….

ধৰাহওক, x = ০.৩৩৩৩৩৩…….

গতিকে, ১০ x = ৩.৩৩৩৩৩……. = ৩ + ০.৩৩৩৩৩……. = ৩ + x

গতিকে,  ৯ x = ৩

অৰ্থাৎ  x = ১/৩

[বিপৰীতক্ৰমে, ১ক ৩ৰে হৰণ কৰি চালে উত্তৰটো শুদ্ধ হৈছেনে নাই প্ৰমাণ পাবা।]

উদাহৰণ ২: ১.২৫২৫২৫২৫২৫………

ধৰাহওক, x = ১.২৫২৫২৫২৫২৫………

গতিকে, ১০০ x = ১২৫.২৫২৫২৫২৫……… = ১২৫ + ০.২৫২৫২৫২৫……… = ১২৪ + ১.২৫২৫২৫২৫………  = ১২৪ + x

[ইয়াত ১০০ৰে পূৰণ কৰা কাৰণটো হ’ল, তেতিয়াহে পৌণপুনিক অংশটো পৃথক হ’ব। প্ৰথম উদাহৰণটোত কিন্তু ১০ৰে পূৰণ কৰোতেই হৈছিল।]

গতিকে,  ৯৯ x = ১২৪

অৰ্থাৎ  x = ১২৪/৯৯

উদাহৰণ ৩: ১৫.২৩৩৩৩৩৩…….

ধৰাহওক, x = ১৫.২৩৩৩৩৩৩…….

গতিকে, ১০ x = ১৫২.৩৩৩৩৩৩……. = ১৫২ + ০.৩৩৩৩৩৩……. = ১৩৭.১ + ১৫.২৩৩৩৩৩……. = ১৩৭.১ + x

[ইয়াতো ১০ৰে পূৰণ কৰোতেই পৌণপুনিক অংশটো পৃথক হৈ পৰিল।]

গতিকে,  ৯ x = ১৩৭.১

অৰ্থাৎ  x = ১৩৭.১/৯ = ১৩৭১/৯০ = ৪৫৭/৩০

[তৃতীয় উদাহৰণটোলৈ মন কৰা। উত্তৰটো তৎক্ষণাত উলিয়াব লগা থাকিলে, তোমালোকে মাজতে এটা কাম কৰিব পাৰা। ০.৩৩৩৩৩৩……. ৰ ভগ্নাংশ ৰূপটো কাৰোবাৰ মনতে থাকিব পাৰে। তেতিয়া তোমালোকে পটকৈ এইদৰে অংকটো কৰিব পাৰিবা:

ধৰাহওক, x = ১৫.২৩৩৩৩৩৩…….

গতিকে, ১০ x = ১৫২.৩৩৩৩৩৩……. = ১৫২ + ০.৩৩৩৩৩৩……. = ১৫২ + ১/৩ = ৪৫৭/৩

গতিকে,  x = ৪৫৭/৩০ ]

০.৯৯৯৯৯৯৯……. টো অপৰিমেয় সংখ্যা নহয়:

অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশমিক সংখ্যাসমূহৰ মাজত এটা সংখ্যাক ব্যতিক্ৰমী আৰু ৰহস্যপূৰ্ণ যেন লাগিব পাৰে। সেইটো হ’ল: ০.৯৯৯৯৯৯৯…….

ইয়াক p/q আকাৰলৈ নিবলৈ চোৱাচোন:

ধৰাহওক, x = ০.৯৯৯৯৯৯৯…….

গতিকে, ১০ x = ৯.৯৯৯৯৯৯……. = ৯ + ০.৯৯৯৯৯৯……. = ৯ + x

গতিকে,  ৯ x = ৯

গতিকে,  x = ১

অৰ্থাৎ  ০.৯৯৯৯৯৯৯……. = ১

কিন্তু, এইটো মানি ল’ব পাৰিনে? ০.৯৯৯৯৯৯৯……. সংখ্যাটো সঁচাকৈ ১ৰ সমান নে?

আমি অংকটো কৰি যাওঁতে কোনো স্তৰতেই একো ভুল হোৱা নাই। গতিকে কথাটো মিছা হ’বই নোৱাৰে। তেন্তে এইটো নহয় নহয় যেন কিয় লাগিছে? তাৰমানে, ০.৯৯৯৯৯৯৯…….ক p/q আকাৰলৈ নিব নোৱাৰি নেকি? ০.৯৯৯৯৯৯৯……. এটা অপৰিমেয় সংখ্যা নেকি?

উত্তৰটো হ’ল: ই সঁচাকৈ অপৰিমেয় সংখ্যা নহয়। ০.৯৯৯৯৯৯৯……. সংখ্যাটো সঁচাকৈ ১ৰ সমান। কথাটো নহয় যেন লগা কাৰণটো হ’ল— সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ অসীম দূৰত্বলৈকে বিস্তৃত হৈ থকা কথাটো আমি অনুভৱ কৰিব পৰা নাই। সংখ্যাটো ১ৰ সমান বুলি আন বহু ধৰণে প্ৰমাণ দিব পাৰি। সংখ্যাটোৰ অংকবোৰ অসীম দূৰলৈকে গৈয়েই আছে, সেইবাবে সংখ্যাটো আৰু ১ৰ মাজত আমি কোনো সংখ্যাই বিচাৰি নাপাম।

মানে, ১ – ০.৯৯৯৯৯৯৯……. = ০।

প্ৰকৃততে, ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি আমি প্ৰতিটো পৰিসমাপ্ত দশমিক সংখ্যাকো অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশমিকত প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ। যেনে:

১০ = ৯.৯৯৯৯৯৯…….

২ = ১.৯৯৯৯৯৯৯…….

১.৭= ১.৬৯৯৯৯৯৯৯…….

১.২৫২৫২৫ = ১.২৫২৫২৪৯৯৯৯৯৯৯…….

আমি যে এতিয়া সমান বুলি লিখিছোঁ, এইবোৰ প্ৰকৃততে বেলেগ বেলেগ সংখ্যা নহয়। সমান চিনৰ দুয়োফালে থকা সংখ্যা দুয়োটাই একেটা সংখ্যাকে বুজাইছে। দুয়োটাই হ’ল একেটা সংখ্যাৰে দুটা ৰূপ। ১ আৰু ০.৯৯৯৯৯৯৯……. এটা সংখ্যাৰে দুটা ৰূপ। ২ আৰু ১.৯৯৯৯৯৯৯……. এটা সংখ্যাৰে দুটা ৰূপ। যেনেকৈ ২, ২/১, ৪/২, …. আদি ২ৰে এটা এটা ৰূপ।

ওপৰৰ গোটেই কথাখিনিৰ পৰা আমি দুটা বিশেষ কথা দেখিলোঁ: (ক) যদি এটা বাস্তৱ সংখ্যাক পৰিসমাপ্ত দশমিক বা অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশিমকত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, তেন্তে সি পৰিমেয় হ’বই। (খ) পৰিসমাপ্ত দশমিককো অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিকলৈ নিব পাৰি। সেয়েহে, এই দুয়োটা কথা লগ লগাই বহুতে কেৱল এনেদৰে কয়: বাস্তৱ সংখ্যা এটা অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশমিকত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সি পৰিমেয় সংখ্যা।

অপৰিসমাপ্ত পৌণপুনিক দশমিক সংখ্যাক p/q আকাৰলৈ নিয়াৰ চমু উপায়:

তলৰ উদাহৰণ চাৰিটা চালেই সকলো বুজি পাবা।

১) \text{০}.\overline{\text{২৮৫}}=\frac{\text{২৮৫}}{\text{৯৯৯}}

২) \text{০}.\overline{\text{০২৮৫}}=\frac{\text{০২৮৫}}{\text{৯৯৯৯}}=\frac{\text{২৮৫}}{\text{৯৯৯৯}}

অৰ্থাৎ, দশমিকৰ একেবাৰে কাষৰ পৰাই পৌণপুনিক অংশ আৰম্ভ হ’লে, লবটোত পৌণপুনিক অংককেইটা ৰাখিব লাগে। আৰু তাত যিমানটো অংক আছে, সিমানটা ৯ হৰটোত দিব লাগে।

বা আমি এনেকৈয়ো ক’ব পাৰোঁ: এই ক্ষেত্ৰত লবটোত প্ৰথমে সদায় দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংককেইটা বহুৱাই ল’ব লাগে।

তলৰ উদাহৰণটো অলপ বেলেগ:

৩) \text{০}.\text{৩২}\overline{\text{২৮৫}}=\frac{\text{৩২২৮৫-৩২}}{\text{৯৯৯০০}}=\frac{\text{৩২২৫৩}}{\text{৯৯৯০০}}

ইয়াতো লবটোত প্ৰথমে দশমিকৰ সোঁপিনৰ গোটেই অংককেইটা বহুৱাই ল’ব লাগে। তাৰ পাছত পৌণপুনিক নোহোৱা অংককেইটাৰে গঠিত সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিব লাগে। আৰু যিমানটো পৌণপুনিক থাকে সিমান ৯ হৰটোত প্ৰথমে দিব লাগে। তাৰ পাছত পৌণপুনিক নোহোৱা যিমানটা অংক থাকে সিমানটা ০ দিব লাগে।

মনত ৰাখিবলগীয়া কথা মাথোঁ ইমানেই। এতিয়া তলৰ উদাহৰণটো নিজে প্ৰথমে এবাৰ কৰি চাবা।

৪) \text{৩}.\text{২}\overline{\text{২৮৫}} ক ভগ্নাংশৰ ৰূপলৈ নিয়া।

পাই (π) পৰিমেয় সংখ্যা নহয়:

বহুতে ভাবে π = ২২/৭, গতিকে পাই এটা পৰিমেয় সংখ্যা। সেইটো ভুল। ২২/৭ৰ মানটো পাইৰ মানৰ দশমিকৰ পিছৰ দুটা স্থানলৈকে মিলে। ২২/৭ = ৩.১৪২৮৫৭১৪……. আৰু π = ৩.১৪১৫৯২৬৫……। আমি সাধাৰণতে অংকবোৰ কৰোঁতে দশমিকৰ পিছৰ দুটা-তিনিটা স্থানলৈকে অংকবোৰ ল’লেই হৈ যায়। সিমান ল’লেই মোটামুটি উত্তৰ মিলি যায়। গতিকে পাইৰ মানটো ২২/৭ ল’লেই হৰণ-পূৰণ কৰিবলৈ সহজ হয়। সেইবাবেই সেইটো মান লোৱা হয়। কিন্তু সেইটো পাইৰ আচল মান নহয়, ওচৰা-ওচৰি মানহে।

আমাৰ ইছৰোয়ে (ISRO) যে চন্দ্ৰলৈ যান পঠিয়াই, মঙললৈ পঠিয়াই; আৰু তাৰ ফটো সংগ্ৰহ কৰে, পৃথিৱীৰ নতুন কৃত্ৰিম উপগ্ৰহ স্থাপন কৰে; তেতিয়া তেওঁলোকে ডাঙৰ ডাঙৰ বৃত্ত-উপবৃত্তৰ হিচাপ-নিকাচ কৰিব লগা হয়। তোমালোকে বিজ্ঞানৰ কিতাপত নিশ্চয় পাইছা যে গ্ৰহ-উপগ্ৰহবোৰৰ কক্ষপথ উপবৃত্তাকাৰ। বৃত্ত বা যিকোনো বক্ৰৰ কথা অহাৰ লগে লগে অংকবোৰত পাইয়ে প্ৰায়ে ভুমুকি মাৰে। ইমান ডাঙৰ ডাঙৰ বৃত্তৰ হিচাপ-নিকাচ কৰোঁতে তেওঁলোকে পাইৰ মান ২২/৭ কেতিয়াও ল’ব নোৱাৰে। ল’লে বহুত ডাঙৰ ভুল ওলাব। নাচাৰ (NASA) বিভিন্ন বিজ্ঞানীয়ে প্ৰতি দিনে অংকত পাইৰ মান ব্যৱহাৰ কৰিব লগা হয়। তেওঁলোকে অংক কৰোঁতে পাইৰ মান দশমিকৰ পিছৰ ১৫টা স্থানলৈকে ল’ব লগা হয়। তেতিয়াও দুই-তিনি চেণ্টিমিটাৰমানৰ ভুল ওলায়। কিন্তু ইমান দূৰত্বৰ তুলনাত সেই অকণমান দূৰত্বৰ ভুলটো প্ৰযুক্তিৰ সহায়ত তেওঁলোকে নিয়ন্ত্ৰণ কৰিব পাৰে।

অৰ্থাৎ আমি প্ৰয়োজন মতে দশমিকৰ কিবা স্থানলৈকে অংকবোৰ লওঁ। কিন্তু সেইটো প্ৰকৃত মান নহয়। আচলতে ২২/৭=\text{৩}.\overline{\text{১৪২৮৫৭}} । ২২/৭টো এটা পৌণপুনিক দশমিক সংখ্যা। ই পাই কেতিয়াও নহয়। পাই হ’ল এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।