22 Sep সম্ভাৱনা তত্ত্ব বিজড়িত দুটা প্ৰখ্যাত সমস্যা – ১

ধৰি লওক, আপুনি এখন খেলত অংশ লৈছে। খেলখনত আপুনি এখন গাড়ী লাভ কৰাৰ সুৱৰ্ণ সুযোগ পাইছে। খেলখন আৰম্ভ হোৱাৰ পূৰ্বে আপুনি আয়োজক মন্টিৰ সৈতে তিনিখন দুৱাৰৰ সন্মুখত থিয় হৈ আছে। এই তিনিখন দুৱাৰৰ কোনোবাখনৰ পিছফালে গাড়ীখন আৰু বাকী দুখন দুৱাৰৰ পিছফালে এটাকৈ ছাগলী ৰখা আছে। মন্টিয়ে নিজেই যিহেতু খেলখন আয়োজন কৰিছে, তেওঁ পূৰ্বৰ পৰাই প্ৰতিখন দুৱাৰৰ পিছপিনে কি আছে সেইটো ভালকৈ জানে।

খেলৰ নিয়ম অনুসৰি আপুনি প্ৰথমে যিকোনো এখন দুৱাৰ বাছি ল’ব লাগিব। সেইবুলি গাড়ী পোৱাৰ আশাত লগে লগে দুৱাৰখন খুলিব নোৱাৰে। এইবাৰ মন্টিয়ে বাকী থকা দুৱাৰ দুখনৰ এখন খুলি আপোনাক এটা ছাগলী দেখুৱাই দিব। এতিয়াহে আপোনাৰ সিদ্ধান্ত লোৱাৰ পাল। আপুনি এতিয়া পূৰ্বে বাছি থোৱা দুৱাৰখনকে খুলি চাব, নে মন্টিয়ে খুলি দেখুওৱাখন বাদ দি বাকী থকা দুৱাৰখন খুলিবলৈ ইচ্ছা কৰিব? কোনটো ক্ষেত্ৰত আপুনি গাড়ীখন লাভ কৰাৰ অধিক সম্ভাৱনা থাকিব? কিছুসময় ভাবি-চিন্তি নিজেই এটা সিদ্ধান্ত লওক। তাৰ পিছতহে উত্তৰৰ পিনে চকু ফুৰাব।

উত্তৰ:

আপুনি প্ৰথমতে নিৰ্বাচন কৰা দুৱাৰখনৰ সলনি বাকী থকা তৃতীয়খন দুৱাৰ খুলি চোৱাটো বুদ্ধিমানৰ কাম হ’ব। তেনেক্ষেত্ৰত আপুনি গাড়ীখন জয় কৰাৰ সম্ভাৱনা দুগুণ হৈ পৰিব। কিন্তু কেনেকৈ?

মন্টি হলৰ সমস্যাটো সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰ লগত জড়িত এটা প্ৰখ্যাত সমস্যা/সাঁথৰ। সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰ লগত জড়িত বুলি ক’লেও গণিত ব্যৱহাৰ নকৰাকৈও সামান্য যুক্তি ব্যৱহাৰ কৰিয়েই ইয়াৰ সমাধান পাব পাৰি। অথচ ওপৰে ওপৰে চালে ইয়াৰ ভুল সমাধান দিয়াৰ সম্ভাৱনাই অধিক। কাৰণ ই আমাৰ স্বজ্ঞা-বিৰোধী (Counterintuitive)! আপুনি কি ভাবিছে নাজানোঁ, কিন্তু সৰহভাগ মানুহেই ভাবে যে আপুনি প্ৰথম বাছনিতে অটল থকা অথবা তৃতীয় দুৱাৰখন নিৰ্বাচন কৰাৰ মাজত কোনো পাৰ্থক্য নাই (প্ৰথম দেখাৰ দিনা ময়ো অৱশ্যে একেটা ভুলেই কৰিছিলোঁ)। কাৰণ মন্টিয়ে ইতিমধ্যে এখন দুৱাৰ খুলি এটা ছাগলী দেখুৱাই দিছেই। গতিকে এইটো স্পষ্ট যে বাকী থকা দুখন দুৱাৰৰ এখনত গাড়ীখন আৰু আনখনত এটা ছাগলী থাকিব। এতিয়া এই দুয়োখন দুৱাৰৰ এখন নিৰ্বাচন কৰিলে গাড়ী অথবা ছাগলী পোৱাৰ সম্ভাৱনা সমান সমান, অৰ্থাৎ ৫০:৫০ যেন ভাৱ হয়। সেই হিচাপত আপুনি প্ৰথমে বাছনি কৰা দুৱাৰখনেই খোলক বা আনখন দুৱাৰেই খোলক, দুয়োক্ষেত্ৰত গাড়ী পোৱাৰ সম্ভাৱনা একেই থাকিব যেন লাগে। কিন্তু সেইদৰে ভবাটোত এটা কেৰোণ আছে! সমস্যাটোক ভিন ভিন দৃষ্টিভংগীৰ পৰা বেলেগধৰণে উত্তৰ দিব পাৰি আৰু প্ৰতিটো সমাধানেই চিন্তাৰ এটা নতুন বাট মুকলি কৰি দিয়ে। সেই কথালৈ লক্ষ্য ৰাখি ইয়াত দুইধৰণে সমস্যাটোৰ সমাধান আগবঢ়োৱা হ’ল।

১) তিনিখন দুৱাৰৰ ভিতৰত কিমান প্ৰকাৰে গাড়ী আৰু ছাগলী থাকিব পাৰে বাৰু? যদি ব্ৰেকেটৰ ভিতৰত কমা ব্যৱহাৰ কৰি একাদিক্ৰমে প্ৰথম, দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় দুৱাৰখনত থকা বস্তুটোক বুজাওঁ, তেন্তে সম্ভাৱ্য প্ৰকাৰকেইটা হ’ব – (গাড়ী, ছাগলী, ছাগলী), (ছাগলী, গাড়ী, ছাগলী) আৰু (ছাগলী, ছাগলী, গাড়ী)।

আৰম্ভণিতে যেনিবা আপুনি প্ৰথম দুৱাৰখন বাছনি কৰি থৈছিল, আৰু এইমাত্ৰ উল্লেখ কৰা প্ৰকাৰকেইটাৰ পৰা দেখা যায় যে সৰ্বমুঠ তিনিটা প্ৰকাৰৰ এটাতহে প্ৰথম দুৱাৰখনত গাড়ী আছে। অৰ্থাৎ আপুনি প্ৰথমতে বাছনি কৰা দুৱাৰখনকে ধৰি থাকিলে মুঠ তিনিপ্ৰকাৰ বিন্যাসৰ এটা প্ৰকাৰতহে গাড়ীখন জিকিব পাৰিব। গতিকে দুৱাৰ সলনি নকৰিলে গাড়ীখন পোৱাৰ সম্ভাৱনা তিনিভাগৰ এক (১/৩) অথবা প্ৰায় ৩৩.৩৩%। আৰু যদি দুৱাৰ সলনি কৰে তেতিয়া কি হ’ব? মন কৰক যে প্ৰথম দুৱাৰখনত যদি ছাগলী থাকে, তেতিয়া মন্টিয়ে ছাগলী থকা আন একমাত্ৰ দুৱাৰখন খুলি দেখুৱাবলৈ বাধ্য হ’ব। গতিকে আপুনি তেতিয়া দুৱাৰ সলনি কৰিলে গাড়ীখন নিশ্চিতভাৱে জিকিব পাৰিব। যিহেতু সৰ্বমুঠ তিনিটা প্ৰকাৰৰ দুটা প্ৰকাৰত প্ৰথম দুৱাৰখনত ছাগলী আছিল, গতিকে এই দুয়োটা প্ৰকাৰত আপুনি দুৱাৰ সলনি কৰিলে গাড়ী জিকাৰ নিশ্চিত সম্ভাৱনা থাকিব। অৰ্থাৎ দুৱাৰ সলনি কৰিলে গাড়ী পোৱাৰ সম্ভাৱনা তিনিভাগৰ দুই (২/৩) অথবা প্ৰায় ৬৬.৬৭%। গতিকে স্পষ্ট হৈ পৰিল যে প্ৰথমে বাছনি কৰা দুৱাৰখনকে খোলাতকৈ বাকী থকা দুৱাৰখন নিৰ্বাচন কৰিলে গাড়ীখন জয়ৰ সম্ভাৱনা দুগুণ হৈ পৰে। আপুনি আৰম্ভণিতে প্ৰথম দুৱাৰখনৰ সলনি দ্বিতীয় বা তৃতীয় দুৱাৰখন বাছি লোৱা বুলি ধৰিলেও একেটা কথাই খাটে।

২) সমস্যাটো এইবাৰ আনধৰণে ভাবি চাওঁ আহক। তিনিখন দুৱাৰৰ সলনি দুৱাৰৰ সংখ্যা বঢ়াই ল’লে এই সমাধানটো আমাৰ সাধাৰণ বিচাৰ-বুদ্ধিৰেও অনুভৱ কৰিব পাৰি। সেইবাবে ধৰি ল’লোঁ যে আৰম্ভণিতে তিনিখন দুৱাৰৰ সলনি আপোনাক ১০০০খন দুৱাৰ দিয়া হৈছে। এই ১০০০ খন দুৱাৰৰ এখনত গাড়ীখন আৰু বাকী ৯৯৯ খন দুৱাৰৰ প্ৰত্যেকতে এটাকৈ ছাগলী ৰখা হৈছে। আগৰ দৰেই আপুনি প্ৰথমতে ১০০০ খন দুৱাৰৰ মাজৰ পৰা যিকোনো এখন দুৱাৰ বাছি ল’লে। যাদৃচ্ছিকভাৱে ধৰা হ’ল যে আপুনি ৭৩৫ নং দুৱাৰখন বাছি লৈছে। এতিয়া মন্টিয়ে বাকী থকা ৯৯৯ খন দুৱাৰৰ ৯৯৮ খনেই খুলি আপোনাক ছাগলী দেখুৱাই দিলে। ধৰি ল’লোঁ, ৪০০ নং দুৱাৰখন এতিয়াও খুলিব বাকী আছে। মন কৰক, আপুনিতো নিজৰ মতে পছন্দ কৰিহে ৭৩৫ নং দুৱাৰখন বাছি লৈছিল; গতিকে সেইখনত গাড়ীখন থকাৰ সম্ভাৱিতা মাত্ৰ ১/১০০০। অৰ্থাৎ বাকী ৯৯৯ খন দুৱাৰৰ কোনোবা এখনত গাড়ী পোৱাৰ সম্ভাৱনা ৯৯৯/১০০০। আৰু এই ৯৯৯ খন দুৱাৰৰ যেতিয়া ৯৯৮খন দুৱাৰেই মন্টিয়ে গাড়ী নাই বুলি খুলি দেখুৱাব, তেতিয়া গোটেইখিনি সম্ভাৱনা মাত্ৰ এখন দুৱাৰতেই, অৰ্থাৎ এইক্ষেত্ৰত ৪০০নং দুৱাৰখনত থূপ খাব। গতিকে আপুনি নিজ পছন্দমতে বাছি লোৱা ৭৩৫ নং দুৱাৰখনত গাড়ীখন থকাৰ সম্ভাৱনা মাত্ৰ ১/১০০০, কিন্তু দুৱাৰ সলনি কৰি বাকী থকা দুৱাৰখন বাছনি কৰিলে (এইক্ষেত্ৰত ৪০০নং) গাড়ী পোৱাৰ সম্ভাৱনা হ’লগৈ ৯৯৯/১০০০। কথাটো এবাৰ চিন্তা কৰক, মন্টিয়ে যেতিয়া ৪০০নং দুৱাৰখন বাদ দি বাকী আটাইবোৰ দুৱাৰ খুলি দেখুৱালে; তেতিয়া এনে এটা ভাব নাহিবনে যে ৪০০নং দুৱাৰখন আনবোৰতকৈ বিশেষ হ’ব লাগিব? গতিকে এইক্ষেত্ৰত নিজৰ বাছনিটোতে আঁকোৰগোঁজ হৈ নাথাকি বাকী ৰোৱা দুৱাৰখন বাছনি কৰিলেহে আপোনাৰ কপাল ফুলিব পাৰে।

এতিয়া, মুঠ দুৱাৰৰ সংখ্যা ১০০০ৰ পৰা তিনিখনলৈ কমাই আনিলেও একেটা কথাই খাটে। আচলতে মন্টিয়ে আমাৰ সৰ্বশেষ সিদ্ধান্ত লোৱাৰ পূৰ্বে দুৱাৰ খুলি অতিৰিক্ত তথ্য উন্মোচন কৰাৰ ফলত এটাফালে সম্ভাৱিতা বৃদ্ধি পাইছে।

সমাধানকেইটাৰ পৰা আশ্বস্ত হৈছেনে? যদি এতিয়াও কিবা সন্দেহ ৰৈছে আৰু নিজৰ মনে মানি লোৱা নাই, তেতিয়াহ’লে সমস্যাটো ব্যৱহাৰিকভাৱেও পৰীক্ষা কৰি চাব পাৰে। আজিকালি ইন্টাৰনেটৰ যুগত এইখিনি সুবিধা হৈছে যে আপুনি ঘৰতে তিনিটা বস্তু লৈ বাৰে বাৰে পৰীক্ষাটো কৰি থকাৰ কোনো প্ৰয়োজন নাই। গুগলত ‘Monty Hall Problem Simulation’ চাৰ্ছ্ কৰক আৰু উপযুক্ত ৱেবছাইট এটালৈ গৈ ১০০ বাৰমান পৰীক্ষাটো কৰি চাওক, কোনটো ক্ষেত্ৰত বেছি গাড়ী পোৱা যায় নিজেই দেখিবলৈ পাব।

১৯৭৫ চনত আমেৰিকাৰ “Let’s make a deal” নামৰ দূৰদৰ্শন অনুষ্ঠান এটাত পোনপ্ৰথমবাৰৰ বাবে এই প্ৰশ্নটো প্ৰকাশ হৈছিল। অনুষ্ঠানটোৰ আয়োজক মন্টি হলৰ নামেৰে এই প্ৰশ্নটো “মন্টি হলৰ সমস্যা” হিচাপে প্ৰসিদ্ধি লাভ কৰে। পিছলৈ ১৯৯০ চনত ‘পেৰেড’ নামৰ আলোচনীখনৰ পত্ৰ এখনত প্ৰশ্নটো প্ৰকাশ পোৱাৰ লগে লগে ই ব্যাপক জনপ্ৰিয়তা লাভ কৰে। আমোদজনক কথাটো হ’ল, প্ৰশ্নটোৰ সমাধান ব্যাখ্যাসহ প্ৰকাশ পোৱাৰ পিছতো প্ৰায় ১০,০০০ জন পঢ়ুৱৈয়ে আলোচনীখনলৈ আপত্তি দৰ্শাই পত্ৰ লিখিছিল। অধিকাংশই এই সমাধানটো মানি ল’ব পৰা নাছিল। ইয়াৰ মাজত প্ৰায় এহাজাৰ পি এইছ ডি ডিগ্ৰীধাৰীও আছিল৷ আনকি প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ প’ল এয়াৰডচেও (Paul Erdős) হেনো কম্পিউটাৰ অনুকৰণ-আৰ্হিৰ (চিমুলেশ্বন) সহায়ত প্ৰমাণ কৰি নেদেখুৱালৈকে ইয়াৰ সমাধানত পতিয়ন যাব পৰা নাছিল। গতিকে প্ৰশ্নটো প্ৰথম উত্থাপনৰ দিনৰ পৰাই মানুহক যথেষ্ট চিন্তাৰ খোৰাক যোগাই আহিছে।

প্ৰিয়াংকুশ ডেকা