23 Aug তিনিটা বাকচ আৰু 𝝅-ৰ গণনা

\pi হ’ল এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। ইয়াক ভগ্নাংশ ৰূপত লিখিব পৰা নাযায়। \pi-ৰ দশমিক বিস্তৃতি অবিৰত অপুনৰাৱৰ্তী। অৰ্থাৎ, দশমিকৰ পিছৰ অংকৰ পুনৰাৱৰ্তী গোট হিচাপে দেখা নাযায়। তথাপি ইয়াৰ ব্যৱহাৰ বিভিন্ন কৰ্মক্ষেত্ৰত অপৰিহাৰ্য। অভিযান্ত্ৰিক তথা নিৰ্মাণ কাৰ্য, পদাৰ্থ বিজ্ঞান, ৰসায়ন বিজ্ঞান, জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান, কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান – সকলোতেই কম-বেছি পৰিমাণে \pi-ৰ ব্যৱহাৰ হয়। তেনে ক্ষেত্ৰত \pi-ৰ আসন্ন মান উলিওৱাটো অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ।

ভিন ভিন সময়ত বিভিন্নজনে \pi-ৰ আসন্ন মান গণনা কৰি উলিয়াইছিল। প্ৰায় ১৯০০-১৬৮০ খ্ৰীষ্টপূৰ্বত বেবিল’নিয়ান লিপিত \pi-ৰ আসন্নমানৰ সম্ভেদ পোৱা যায়। এই আসন্নমান আছিল ৩.১২৫, যি বৰ্তমান নিৰ্ণিত \pi-ৰ মানৰ নিকট অনুমান।

প্ৰাচীন সময়ৰ সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞসকলৰ এজন আৰ্কিমিডিছে (২৮৭-২১২ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব) জ্যামিতিৰ সহায়ত \pi-ৰ মান গণনা কৰি উলিয়াইছিল। আৰ্কিমিডিছে \pi গণনা কৰিছিল এইদৰে– ধৰি লওক এটা বৃত্ত যাৰ ব্যাসাৰ্ধ ১/২ একক। গতিকে, পৰিসীমা হ’ব \pi একক। এতিয়া বৃত্তটোৰ ভিতৰত ইয়াক স্পৰ্শ কৰি থকাকৈ এটা সুষম বহুভুজ অন্তৰ্ভুক্ত কৰা হ’ল। যদি বহুভুজৰ বাহুৰ সংখ্যা বঢ়াই থকা যায়, এসময়ত ই বৃত্তৰ পৰিধিৰ ওচৰ চাপিব। ধৰা হ’ল, বহুভুজটোৰ বাহুৰ সংখ্যা N, বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ O আৰু AB বহুভুজটোৰ যিকোনো এডাল বাহু।

এতিয়া, OD\perp AB অংকন কৰা হ’ল। আকৌ, AB বৃত্তটোৰ এডাল জ্যা। বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যালৈ টনা লম্বই জ্যাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। ত্ৰিভুজৰ সৰ্বসম বৈশিষ্ট্য ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। গতিকে, AD=DB=a (ধৰা হ’ল)। \triangle ODA আৰু \triangle ODB সমকোণী ত্ৰিভুজ। যদি \angle AOD= \theta তেন্তে,

\sin\theta = \frac{AD}{OA} = \frac{a}{১/২} = ২a.

গতিকে, \sin\theta হৈছে AB বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমান। এতিয়া, বহুভুজটোৰ পৰিসীমা L= N\times ২a= N\sin\theta, আৰু যিহেতু সুষম বহুভুজ, গতিকে আমি পাম,

\theta = \frac{৩৬০^{\circ}}{N}\times\frac{১}{২} = \frac{১৮০^{\circ}}{N}.

সেয়েহে,

L = N\sin\bigg(\frac{১৮০^{\circ}}{N}\bigg).

যদি N অৰ মান বৃদ্ধি কৰা হয়, পৰিসীমা L পাইৰ (\pi) মানৰ ওচৰ চাপিব। গতিকে

\pi= \lim_{N\to\infty}N\sin\bigg(\frac{১৮০^{\circ}}{N}\bigg).

চিত্ৰ-১ অত দেখুওৱা সুষম বহুভুজটোৰ বাহুৰ সংখ্যা সলনি কৰিলে \pi-ৰ মান কিদৰেনো সলনি হয়, তাক পৰ্যৱেক্ষণ কৰিবলৈ তলৰ লিংকটোত ক্লিক কৰি বাহুৰ সংখ্যা কম-বেছি কৰি চাব পাৰিব: https://archimedespi.netlify.app

অন্য কিছুমান পদ্ধতি, যেনে সীমাংক (limits), অনুকলন গণিত (integration) ব্যৱহাৰ কৰি \pi-ক শ্ৰেণীৰ আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

কিছুমান পদ্ধতি, যেনে মণ্টে কাৰ্ল’ পদ্ধতি (Monte Carlo method) আৰু বুফ’নৰ বেজী পদ্ধতি (Buffon’s needle method) আদি সম্ভাব্যপূৰ্ণ পদ্ধতি (probabilistic) সমূহত, যাদৃচ্ছিক সংখ্যাৰ ব্যৱহাৰৰ জৰিয়তে \pi-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। ইয়াত মণ্টে কাৰ্ল’ পদ্ধতিটো চমুকৈ উল্লেখ কৰা হ’ল।

এখন xy সমতলত এটা বৰ্গ অংকন কৰা হ’ল যাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ২ একক। এই বৰ্গটোৰ ভিতৰত ১ একক ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত অংকন কৰা হ’ল। বৃত্তটো আৰু বৰ্গটোৰ কালিৰ অনুপাত

\frac{\text{বৃত্তৰ কালি}}{\text{বৰ্গৰ কালি}} := \frac{A_{c}}{A_{s}} = \frac{\pi}{৪}.

গতিকে, \pi = ৪\times\frac{A_{c}}{A_{s}}.

এতিয়া যাদৃচ্ছিকভাবে x আৰু y লোৱা হ’ল যাতে -১\leq x\leq১ আৰু -১\leq y \leq১। যদি \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq ১, তেন্তে (x,y) বিন্দুটো বৃত্তৰ অন্তৰ্ভুক্ত হ’ব আৰু তেতিয়া আমি ইয়াক গণনাত ব্যৱহাৰ কৰিম। যাদৃচ্ছিকভাবে এনেদৰে সৃষ্টি কৰা বিন্দুৰ সংখ্যা নিযুতলৈ বঢ়াই নিলে পাইৰ আসন্ন মান পোৱা সম্ভৱ। ধৰা হ’ল, মুঠ বিন্দুৰ সংখ্যা N আৰু বৃত্তৰ অন্তৰ্ভুক্ত বিন্দুৰ সংখ্যা n। গতিকে,

\pi = ৪\times\frac{n}{N}.

বিন্দুৰ সংখ্যাৰ পৰিবৰ্তনৰ লগে লগে মানৰ পৰিবৰ্তন এই লিংকটোত ক্লিক কৰি চাব পাৰিব: https://montecarlosimulation.netlify.app

ওপৰত উল্লেখিত পদ্ধতিসমূহত হয় জ্যামিতিকভাবে, নহয় সম্ভাৱিতা পদ্ধতিৰে \pi-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা হৈছে। এতিয়া এনে এটা পদ্ধতি আমি আলোচনা কৰিম, যি সম্পূৰ্ণৰূপে নিৰ্ণায়ক (deterministic) পদ্ধতি। এই পদ্ধতি ভৰবেগৰ সংৰক্ষণ আৰু শক্তিৰ সংৰক্ষণৰ সূত্ৰৰ ওপৰত আধাৰিত। এই পদ্ধতিত দুটা বাকচ আৰু এখন দেৱালৰ অতি সাধাৰণ গতিশীল প্ৰণালীৰ পৰা হোৱা সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা গণনা কৰি \pi-ৰ মান যিকোনো শুদ্ধতালৈ (accuracy) নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। দেৱালখনক আমি অন্য এটা বাকচৰ সৈতে তুলনা কৰিব পাৰোঁ, যিটো বাকচৰ ভৰ হ’ল অসীম। গতিকে, তৃতীয় বাকচটো বা দেৱালখন কোনোপধ্যেই লৰচৰ কৰিব পৰা নাযাব।

ধৰি লওক, এখন সমতলপৃষ্ঠ য’ত ঘৰ্ষণ নাই। এতিয়া, m আৰু M ভৰৰ ঘনকাকৃতিৰ দুটা বাকচ এই পৃষ্ঠখনত ৰখা হ’ল। m আৰু M অৰ মাজৰ সম্পৰ্ক এনেধৰণৰ–

M = ১০০^{N}\times m,

য’ত N এটা পূৰ্ণ সংখ্যা। বাকচ দুটাৰ মাজতো কোনো ঘৰ্ষণ নাই। গতিকে গতিশক্তিৰ কোনো অপচয় নহয়। এতিয়া, m ভৰৰ বাকচটো এখন দেৱাল আৰু M ভৰৰ আনটো বাকচৰ মাজত ৰখা হ’ল। দেৱালখন আৰু বাকচ দুটাৰ স্থিতিস্থাপকতা (elasticity) হ’ল ১। অৰ্থাৎ, যদি কোনো বস্তুৰ দেৱালৰ সৈতে সংঘৰ্ষ হয়, তেন্তে বাকচটোৰ গতিশক্তি আৰু ভৰবেগৰ মানৰ পৰিৱৰ্তন নহ’ব, ভৰবেগৰ দিশৰ পৰিৱৰ্তনহে হ’ব।

 

প্ৰাৰম্ভিক অৱস্থা:

দেৱালখন x=০ ত ৰখা হ’ল। আৰম্ভণিতে (t=০ ত) m ভৰৰ বাকচটো দেৱালৰ পৰা x_{০} দূৰত্বত আছে। M ভৰৰ বাকচটো V_{০} দ্ৰুতিৰে -x দিশত গতি কৰিছে। সময় t=০ ছেকেণ্ডত M ভৰৰ বাকচটো দেৱালৰ পৰা y_{০} দূৰত্বত অৱস্থান কৰিছে। এই প্ৰণালীটোত মুঠ কিমান সংঘৰ্ষ হ’ব, তাক গণনা কৰিম। মুঠ সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা হ’ব,

\Pi(N) = \text{বাকচ দুটাৰ মাজত সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা} + m \text{ ভৰৰ বাকচ আৰু দেৱালৰ মাজৰ সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা}।

এতিয়া আমি আটাইতকৈ সাধাৰণ উদাহৰণটো লওঁ, য’ত N=০। গতিকে, M = m, দুয়োটা বাকচৰ ভৰ সমান।

প্ৰথম সংঘাত: M অৰ ভৰবেগ, -M\vec{V_{০}} = -m\vec{V_{০}}। ই সৰু বাকচটোক খুন্দা মাৰিব। যিহেতু m=M, ভৰবেগৰ সম্পূৰ্ণ স্থানান্তৰণ ঘটিব, সৰু বাকচটোৰ ভৰবেগ এতিয়া -m\vec{V_{০}}, আৰু ডাঙৰটোৰ শূন্য।

দ্বিতীয় সংঘাত: সৰু বাকচটো দেৱালত খুন্দা খাই সম্পূৰ্ণ বিপৰীত দিশত প্ৰতিফলিত হ’ব। যাৰ ফলত ভৰবেগ -m\vec{V_{০}} ৰ পৰা m\vec{V_{০}} লৈ সলনি হ’ব।

তৃতীয় আৰু শেষ সংঘাত: এইবাৰ সৰু বাকচটোৱে আনটো বাকচক খুন্দা মাৰিব। পুনৰ ভৰবেগৰ সম্পূৰ্ণ স্থানান্তৰণ ঘটিব। সৰু বাকচটো স্থিৰ অৱস্থাত থাকিব আৰু ডাঙৰ বাকচটোৰ ভৰবেগ হ’ব m\vec{V_{০}}। যিহেতু ধনাত্মক x দিশত কোনোধৰণৰ ৰোধক নাই, ডাঙৰ বাকচটো পুনৰ উভতি নাহে। গতিকে এই সংঘৰ্ষৰ পাছত আন কোনো সংঘৰ্ষ সম্ভৱ নহ’ব।

গতিকে, N= ০ ৰ কাৰণে মুঠ সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা \Pi(০)=৩। ঠিক তেনেদৰে আজিৰ যিকোনো কম্পিউটাৰত যিকোনো কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰেমিং লেংগুৱেজৰ সহায়ত এই প্ৰণালীটো অনুকৰণ (simulate) কৰিব পাৰিলে দেখা যাব যে N=১ ৰ কাৰণে মুঠ সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা হ’ব \Pi(১)= ৩১, N=২ ৰ কাৰণে \Pi(২)= ৩১৪, N=৩ ৰ কাৰণে \Pi(৩)= ৩১৪১, ইত্যাদি।

N অৰ মান সলনিৰ লগে লগে সংঘাতলৈ অহা পৰিৱৰ্তনে দিয়া মানসমূহ এই লিংকটোত ক্লিক কৰি চাব পাৰিব: https://piwithblocks.netlify.app

এই অনুকৰণৰ জৰিয়তে আমি এটা পৰিণতিত উপনীত হ’ব পাৰোঁ– ওপৰত বিশ্লেষণ কৰা পদ্ধতিৰে গণনা কৰা মুঠ সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা \Pi(N), অন্য এটা সংখ্যাৰ সৈতে সমান যিটো (N+১) অংকৰে গঠিত। সংখ্যাটো,

\Pi=  ৩১৪১৫৯২৬৫৩৫৮৯৭৯৩২৩৮৪৬২৬৪৩৩৮৩২৭৯৫০২৮৮৪১৯৭১৬৯৩৯৯৩৭৫১০\ldots,

যাৰ প্ৰথম N টা অংক, \pi-ৰ প্ৰথম N টা অংকৰ সৈতে মিলে।

এতিয়া জানো আহক, \pi-ৰ অংকৰ সৈতে সংঘৰ্ষৰ অংকৰ মান মিলিত হোৱাৰ কাৰণ কি। প্ৰথমতে এখন দেৱাল আৰু বাকচ দুটাৰ এই প্ৰণালীটোৰ ‘সংস্থিতি স্থান’ৰ (configuration space) বিষয়ে জানি লোৱা উচিত হ’ব।

প্ৰত্যেক গতিশীল প্ৰণালীৰ নিজস্ব সংস্থিতি স্থান আছে। তেনে এক প্ৰণালীৰ একো একোটা অৱস্থা (state) এই সংস্থিতি স্থানৰ একোটা বিন্দুৰ সৈতে ৰিজাব পাৰি। এই বিন্দুবোৰক কোৱা হয় সংস্থিতি বিন্দু। সংস্থিতি বিন্দুবোৰ একত্ৰিত হৈ সৃষ্টি হয় সংস্থিতি স্থানৰ। সংস্থিতি স্থানৰ মাত্ৰা ত্ৰিমাত্ৰিকতকৈ বেছি হ’ব পাৰে। বাস্তৱ জগতত প্ৰত্যেক বস্তু ত্ৰিমাত্ৰিক। বস্তু এটাৰ স্থান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ হ’লে আমি তাৰ x, y আৰু z স্থানাংকবোৰ জানিব লাগিব। অন্য এটা বস্তু যদি এই প্ৰণালীটোত যোগ দিয়া হয়, তেন্তে আমি দুয়োটা বস্তুৰে স্থানাংকসমূহ (x_{১},y_{১},z_{১}) আৰু (x_{২},y_{২},z_{২}) জানিব লাগিব। বস্তু দুটাৰ অলপো সালসলনি হ’লে ই প্ৰণালীটোৰ এক নতুন অৱস্থাক সূচাব। গতিকে, বাস্তৱ জগতত এই প্ৰণালীটো দুটা বিন্দুৰে গঠিত হ’ব। কিন্তু সংস্থিতি স্থান হ’ব ৬ মাত্ৰিক, য’ত বিন্দুৰ স্থানাংক হ’ব (x_{১},y_{১},z_{১},x_{২},y_{২},z_{২})। অৰ্থাৎ, এটা বিন্দুৰেই প্ৰণালীটোৰ অৱস্থা নিৰ্ণয় কৰা সম্ভৱ। স্থানাংকৰ অকণ সালসলনি হ’লেই বিন্দুটোৰো স্থানৰ পৰিৱৰ্তন হ’ব। ধৰা হওক, একমাত্ৰিক (One-Dimensional) জগতত দুটা বস্তুৰ স্থান x_{১} আৰু x_{২}। সংস্থিতি স্থানত স্থানাংক হ’ব (x_{১},x_{২})।

এতিয়া জানো আহক, দেৱাল আৰু বাকচৰ প্ৰণালীৰ ক্ষেত্ৰত সংস্থিতি স্থানত ইয়াৰ আচৰণ কেনেকুৱা হ’ব। প্ৰণালীটোৰ দেৱালখন আৰু M ভৰৰ বাকচৰ মাজত m ভৰৰ বাকচটো আছে। যদি দেৱালখন x=০ ত আৰু বাকচ দুটা ক্ৰমে x আৰু y ত অৱস্থিত, তেন্তে আমি ক’ব পাৰোঁ যে,

0\leq x(t)\leq y(t).

বাকচ দুটাৰ সংঘৰ্ষৰ মুহূৰ্তত x(t)=y(t), আৰু দেৱালত m ভৰৰ বাকচটো খুন্দা খোৱাৰ সময়ত x(t)=০। সংস্থিতি স্থানত স্থানাংক হ’ব (x,y)। আৰম্ভণিতে বাকচ দুটাৰ স্থানাংক x_{০} আৰু y_{০}। সংস্থিতি স্থানত আৰম্ভণি অৱস্থা (x_{০},y_{০})। যিহেতু M ভৰৰ বাকচটো, V_{০} দ্ৰুতিৰে ঋণাত্মক x অক্ষৰ পিনে গতি কৰিছে, y ৰ মান ক্ৰমান্বয়ে সৰু হ’ব আৰু x ৰ মান সলনি নহ’ব। y ৰ মান কমি গৈ এটা সময়ত (t=t_{১} ত) x_{০} ৰ সমান হ’ব। অৰ্থাৎ সংঘৰ্ষ হ’ব।

y(t_{১}) = x_{০}

ধৰা হ’ল, সংঘৰ্ষৰ পিছত m আৰু M ৰ বেগ -\vec{u} আৰু -\vec{v}। ভৰবেগৰ সংৰক্ষণ আৰু শক্তিৰ সংৰক্ষণ সূত্ৰৰ পৰা পাওঁ,

mu + Mv = MV_{০},

\frac{১}{২}mu^{২}+ \frac{১}{২}Mv^{২} =  \frac{১}{২}MV^{২}_{০}.

এই সমীকৰণ দুটা u আৰু v ৰ বাবে সমাধান কৰিলে পাম,

v = \frac{M-m}{২M}u \ \text{বা} \ ২v = (১-\frac{m}{M})u.

যিহেতু m\leq M,  গতিকে

v\leq u.

অৰ্থাৎ, m ভৰৰ বাকচটো বেছি দ্ৰুতিৰে দেৱালৰ পিনে আগুৱাই যাব।

যেতিয়া x=০ হ’ব, দেৱালত m ভৰৰ বাকচটোৱে খুন্দা মাৰিব। যাৰ ফলত ভৰবেগ -mu ৰ পৰা mu লৈ সলনি হ’ব। আনহাতে M ভৰৰ বাকচটোৰ ভৰবেগ আৰু গতিশক্তিৰ সলনি নহয়। গতিকে সংস্থিতি স্থানত বিন্দুটো পোহৰৰ ৰশ্মি প্ৰতিফলকৰ পৰা প্ৰতিফলন হোৱাৰ দৰে প্ৰতিফলিত হ’ব।

তাৰ পাছত পুনৰ m আৰু M ৰ মাজত সংঘৰ্ষ হ’ব। অৰ্থাৎ সংস্থিতি স্থানত বিন্দু (x,y) পুনৰ y=x ৰশ্মিৰ সৈতে মিলিত হ’ব। পুনৰ ভৰবেগ আৰু শক্তিৰ সংৰক্ষণ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি নতুন \vec{u_{১}} আৰু \vec{v_{১}} বেগৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। সংঘৰ্ষৰ এই প্ৰক্ৰিয়াটো পুনৰাবৃত্তি হৈ থাকিব।

পুনৰাবৃত্তি হ’ব যদিও এটা সময়ৰ পাছত কোনোধৰণৰ সংঘৰ্ষ নহ’ব। এটা সময়ত

m আৰু M এনে এক সংঘৰ্ষত লিপ্ত হ’ব যাৰ পাছত দুয়োটাৰে ভৰবেগ ধনাত্মক দিশত থাকিব, অৰ্থাৎ, u>০, u>০ আৰু |\vec{v}|>|\vec{u}|। দুয়োটা বাকচ চিৰদিনৰ বাবে এটা আনটোৰ পৰা আঁতৰি যাব।

এতিয়া আমি দশা বা প্ৰাৱস্থা স্থান (phase space) কি, তাক আলোচনা কৰিম। দশা স্থান সংস্থিতি স্থানৰ সৈতে একে, কিন্তু দশা স্থানত বস্তু এটাৰ অৱস্থানৰ স্থানাংকৰ লগতে ইয়াৰ ভৰবেগ বা বেগকো স্থানাংক হিচাপে গণ্য কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, একমাত্ৰিক জগতত বস্তু এটাৰ স্থানাংক x আৰু ভৰবেগ P=mv হ’লে দশাস্থান হ’ব দ্বিমাত্ৰিক, য’ত প্ৰত্যেকটো বিন্দুৰ স্থানাংক (x,P) ৰে সূচাব পাৰি।

আমাৰ বাকচ দুটাৰ মুঠ গতিশক্তি সদায় এটা ধ্ৰুৱক।

\frac{১}{২}mu^{২}+ \frac{১}{২}Mv^{২} =  C_{১}\hspace{20mm} (১)

ভৰবেগৰ সমীকৰণ,

mu + Mv = C_{২}\hspace{20mm} (২)

সমীকৰণ (১) অৰ সামান্য পৰিৱৰ্তন কৰিলে আমি পাওঁ,

\frac{u^{২}}{(১/\sqrt{m})^{২}} + \frac{v^{২}}{(১/\sqrt{M})^{২}} = ২C_{১},

এয়া উপবৃত্তৰ সমীকৰণ।

স্কেল সমান কৰা যাওক এনেদৰে:

ধৰা হ’ল,

u = \sqrt{m}u, v = \sqrt{M}v.

গতিকে,

u^{২}+v^{২} = ২C_{১}\hspace{20mm} (৩)

এয়া বৃত্তৰ সমীকৰণ।

সমীকৰণ (২) ৰ পৰা পাওঁ,

\sqrt{m}u + \sqrt{M}v = C_{2}

\Rightarrow{} u = -\sqrt{\frac{M}{m}}v+C.\hspace{20mm} (৪)

এয়া ৰৈখিক সমীকৰণ, যাৰ নতি (slope) =-\sqrt{\frac{M}{m}}। এতিয়া সমীকৰণ (৩) আৰু (৪) ব্যৱহাৰ কৰি কিদৰেনো বিন্দুটো দশা স্থানত গতি কৰে, তাকে আলোচনা কৰোঁ।

ধৰা হওঁক,  M ভৰৰ বাকচটোৰ ভৰবেগ \vec{V}_{0} = - \hat{x}। গতিকে দশা স্থানত প্ৰাৰম্ভিক বিন্দুটো A(-১,০) ত থাকিব।

যেতিয়া M ভৰৰ বাকচটোৱে m ভৰৰ বাকচটোক খুন্দা মাৰিব, তেতিয়া যদিও বাকচ দুটাৰ নিজা গতিশক্তি সলনি হ’ব, মুঠ গতিশক্তি সদায় একে থাকিব। সমীকৰণ (৩) মানি চলিবই লাগিব। অৰ্থাৎ u,v যদিও সলনি হ’ব, (v,u) বিন্দুটো সদায় বৃত্তৰ ওপৰত থাকিব লাগিব। কিন্তু কোনটো বিন্দুলৈ সলনি হ’ব, সেয়া নিৰ্ণয় কৰিব সমীকৰণ (৪) এ। সমীকৰণ (৪) ৰ নতি =-\sqrt{\frac{M}{m}}, গতিকে (v,u) = (-১,০) আৰু নতি ব্যৱহাৰ কৰি এডাল ৰেখা অংকন কৰিব পাৰি এইদৰে,

এই ৰেখাডালে বৃত্তটোক অন্য এটা বিন্দু B ত কাটিব। B বিন্দুৰ স্থানাংক, সমীকৰণ (৩) আৰু (৪) সমাধান কৰিলে ওলাই পৰিব। ধৰি ল’লোঁ B বিন্দুৰ স্থানাংক (v_{১},u_{১})। এই নতুন বেগেৰে বাকছ দুটা গতি কৰিব।

m ভৰৰ বাকচটো u_{১} বেগেৰে এতিয়া দেৱালত খুন্দা মাৰিব, ভৰবেগৰ সলনি হ’ব আৰু প্ৰতিফলিত হৈ একেই গতিশক্তিৰে ওলোটা দিশত গতি কৰিব। স্থানাংক B (v_{১},u_{১}) ৰ পৰা C (v_{১},-u_{১}) লৈ সলনি হ’ব।

পুনৰ বাকছ দুটাৰ সংঘৰ্ষ হ’ব, যিহেতু এটাৰ বেগ -\vec{u_{১}} আৰু আনটোৰ বেগ \vec{v_{১}}। পুনৰ C (v_{১},-u_{১}) বিন্দু আৰু নতি -\sqrt{\frac{M}{m}} ব্যৱহাৰ কৰি নতুন বেগৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। চিত্ৰত সেয়া D(v_{২},u_{২}) ৰে দেখুওৱা হৈছে।

m ভৰৰ বাকচটো পুনৰ দেৱালত খুন্দা মাৰিব। এনেদৰে প্ৰক্ৰিয়াটো তেতিয়ালৈ চলি থাকিব যেতিয়ালৈ ৰেখাডালে আৰু বৃত্তটোক কাটিব নোৱাৰে। বৃত্তৰ ওপৰৰ প্ৰত্যেক বিন্দুৱে (আৰম্ভণি বিন্দু A ক বাদ দি) একো একোটা সংঘৰ্ষক বুজায়। গতিকে বিন্দু গণনা কৰিলেই সংঘৰ্ষৰ সংখ্যা \pi গণনা কৰিব পাৰি।

একেইখিনি কথাকে এতিয়া অলপ বেলেগ দৃষ্টিভংগীৰে চাবলৈ চেষ্টা কৰোঁ। বৃত্তৰ চাপৰ সৈতে জড়িত এটা উপপাদ্য নিশ্চয়কৈ পঢ়ি আহিছোঁ যে– “বৃত্তৰ চাপে কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কৰা কোণ, ই বৃত্তটোৰ আনটো অংশৰ যিকোনো বিন্দুত উৎপন্ন কৰা কোণৰ দুগুণ।” (চিত্ৰ-৩)

দশা স্থানৰ \angle BCD কোণটোলৈ মন কৰক। \overset{\Large\frown}{BD} বৃত্তটোৰ এডাল চাপ। যদি \angle BCD= \theta, তেন্তে উপপাদ্য অনুসৰি \angle BOD = ২\theta। গতিকে যেতিয়ালৈ বাকচ দুটাৰ বেগ |\vec{v}|>|\vec{u}| নহয়, তেতিয়ালৈ আৰম্ভণিৰ পৰা ২\theta কোণৰ সমান বৃত্তৰ চাপ অংকন কৰিব পাৰি। তাৰ পাছত অতিৰিক্ত চাপ অংকন কৰিলে ই পুৰণি চাপক অধিক্ৰমণ (overlap) কৰিব পাৰে।

গাণিতিকভাবে আমি এইদৰে লিখিব পাৰোঁ,

\underbrace{২\theta+২\theta+২\theta+\cdots+২\theta}_{n} < ২\pi

\Rightarrow n\theta < \pi.\hspace{20mm} (৫)

চিত্ৰ-৪: N=০ আৰু N=১ অৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰাৱস্থা স্থানত বিন্দুৰ গতি।

চিত্ৰ-৫: N=০ আৰু N=১ অৰ ক্ষেত্ৰত জ্যামিতিকভাৱে পোৱা চাপৰ সংখ্যা।

গতিকে n অৰ মান কিমান হ’লে n\theta ৰ মান, \pi-ৰ মানতকৈ সৰু হ’ব তাক উলিয়াব পৰা যায়। নতিৰ পৰা,

\tan(\frac{\pi}{2}+\theta) = -\sqrt{\frac{M}{m}}

\text{বা } \theta = \tan^{-1}({10^{-N}}).

যদি 10^{-N} অৰ মান সৰু হয়, তেতিয়া

\theta \sim 10^{-N}.\hspace{20mm} (৬)

N=১ হ’লে \theta \sim ০.১, গতিকে সমীকৰণ (৫) মানি চলিবলৈ হ’লে n অৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ মান হ’ব ৩১। যদি n=৩২, তেন্তে n\theta-ৰ মান \pi-ৰ মানতকৈ ডাঙৰ হ’ব। একেদৰে, যদি N=২ হয়, \theta \sim ০.০১, n অৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ মান হ’ব ৩১৪। যদি N=৩ হয়, \theta \sim ০.০০১, n অৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ মান হ’ব ৩১৪১।

কিন্তু, পূৰ্বে উল্লেখ কৰাৰ দৰে n সংঘৰ্ষৰ সংখ্যাহে মাথোন।

গতিকে আমি দেখিলোঁ যে এফালে ভৰবেগ আৰু শক্তিৰ সংৰক্ষণ সূত্ৰৰ সহায়ত দেৱাল আৰু দুটা বাকচৰ সাধাৰণ এটা গতিশীল প্ৰণালীৰ পৰা উলিওৱা সংঘৰ্ষৰ মান \pi, আনফালে বৃত্তৰ চাপৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি বেগৰ দশা স্থানৰ সহায়ত উলিওৱা মুঠ চাপৰ সংখ্যা n, দুয়োটা সমান আৰু ইয়াৰ প্ৰথম N টা অংক \pi-ৰ প্ৰথম N টা অংকৰ সৈতে মিলি যায়।

\pi-ৰ মান নিৰ্ণয়ৰ এনে পদ্ধতি অদ্ভুত যেন লাগিলেও আনবোৰ পদ্ধতিতকৈ অধিক আকৰ্ষণীয়। এক আদৰ্শ পৰিস্থিতিত দুটা বাকচৰ মাথোঁ সংঘৰ্ষৰ গণনাৰ পৰা \pi-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব পৰাটো অতি আমোদজনক। এই পদ্ধতিটো ইষ্টাৰ্ন ইলিনয়ছ ইউনিভাৰ্ছিটীৰ গণিতজ্ঞ গ্ৰেগ’ৰী গালপেৰিনে তেওঁৰ গৱেষণাপত্ৰ ‘Playing pool with \pi (The number \pi from a Billiard point of view)’ত বিতংভাবে উল্লেখ কৰিছে। তেওঁ তাত অন্য এক পদ্ধতি – পোহৰৰ প্ৰতিফলনৰ যোগেদি আমাৰ বাকচ দুটাৰ গতিশীল প্ৰণালীটোক অতি সহজ ভাষাত বিশ্লেষণ কৰিছে।

\pi-ৰ মান নিৰ্ণয়ৰ মাথোঁ তিনিটা পদ্ধতিহে ইয়াত আলোচনা কৰা হৈছে। \pi-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰাৰ বিভিন্ন পদ্ধতি বিভিন্ন গণিতজ্ঞই সময়ৰ বিভিন্ন ক্ষণত আৱিষ্কাৰ কৰি থৈ গৈছে।

হয়তো \pi নিৰ্ণয়ৰ অন্য পদ্ধতি উলিয়াবলৈ এতিয়াও বাকী আছে। বৰ্তমান সময়লৈ অতি শক্তিশালী কম্পিউটাৰৰ সহায়ত দশমিকৰ পাছৰ প্ৰায় নিযুত স্থানলৈ \pi-ৰ মান সঠিকভাবে নিৰ্ণয় কৰা হৈছে। দৈনন্দিন জীৱনত ইমান সঠিকতাৰ প্ৰয়োজন নাই। তৎসত্ত্বেও গণিতজ্ঞসকলে \pi-ৰ মান নিৰ্ণয়ৰ নৱ নৱ পদ্ধতি আৱিষ্কাৰ কৰিবলৈ এৰা নাই। গণিতজ্ঞসকল \pi-কলৈ প্ৰাচীন সময়ৰে পৰা যিদৰে উৎসাহিত আছিল, সেই উৎসাহৰ প্ৰবাহ এক অবিনশ্ৱৰ পৰম্পৰাৰ দৰে চিৰদিনলৈ বৰ্তি থাকিব।

তথ্যসূত্ৰ:

(১) https://www.3blue1brown.com

(২) Galperin, Gregory. ‘Playing pool with \pi (the number \pi from a billiard point of view).’ Regular and chaotic dynamics 8.4 (2003): 375-394.