সৃষ্টিশীল কলাৰ মানসিকতাৰে অবিৰত ভগ্নাংশ

10 Jul সৃষ্টিশীল কলাৰ মানসিকতাৰে অবিৰত ভগ্নাংশ

Posted at 01:11h in Fun Facts, নিবন্ধ by পংকজ জ্যোতি মহন্ত 0 Comments

“গণিতজ্ঞসকলে তেওঁলোকৰ বিষয়টোক বিজ্ঞানৰ বিপৰীতে এক সৃষ্টিশীল কলা বুলিহে ভাবে। গণিত সেয়ে বিজ্ঞানৰ ৰাণী আৰু হাতধৰি লিগিৰী- দুয়োটাই।” (চি. ডি. ওলডচ্, ই. টি. বেল্)

উপৰ্যুক্ত সৃষ্টিশীল কলাৰ দৃষ্টিৰেই অবিৰত ভগ্নাংশৰ আলোচনা কৰাৰ প্ৰয়াস কৰিছোঁ এই প্ৰবন্ধটিত।

সোতৰ আৰু ওঠৰ শতিকাৰ বহুতো বিখ্যাত গণিতজ্ঞ অবিৰত ভগ্নাংশৰ সৈতে জড়িত আৰু বৰ্তমান ই এক সক্ৰিয় অনুসন্ধানৰ বিষয়।

আমি জানিবা $x^{2}-3x-1=0dots (1)$ এই সমীকৰণটো সমাধান কৰিব খুজিছোঁ। এতিয়া,

$x^{2}-3x-1=0 => x=3+frac{1}{3+frac{1}{x}}dots (2)$

এনেদৰে $x$ অৰ ঠাইত $3+frac{1}{x}$ লিখি গ’লে আমি শেষ নোহোৱাকৈ আগবাঢ়ি গৈ থাকিম। পিছে সমীকৰণ (1) অৰ কিবা সমাধান পাম জানো? এই সমাধান উলিয়াবৰ বাবেই আমি অলপ বেলেগ ধৰণে আগবাঢ়োঁচোন।

সমীকৰণটোৰ (2)নং প্ৰকাশৰপৰা পোৱা তলৰ সংখ্যাকেইটা লোৱা হওক, যেনে-

$3, 3+frac{1}{3}, 3+frac{1}{3+frac{1}{3}}, 3+frac{1}{3+frac{1}{3+frac{1}{3}}}$ …ইত্যাদি।

ওপৰৰ সংখ্যাবোৰ হ’ব যথাক্ৰমে-

$3,frac{10}{3}=3.333,frac{33}{10}=3.3,frac{109}{33}=3.30303$ …ইত্যাদি।

আমোদৰ কথা যে সংখ্যাবোৰ ক্ৰমে আমি লোৱা (1)নং সমীকৰণটোৰ ধনাত্মক মূলটোৰ ফালে আগবাঢ়ি গৈছে। কিয়নো (1)সমীকৰণটোৰ পৰা আমি পাওঁ-

$x=frac{3+sqrt{12}}{2}=3.302775dots =3.303$

গতিকে এয়া জনা গ’ল যে $3+frac{1}{3+frac{1}{3+frac{1}{3+dots}}}$

$frac{3sqrt{13}}{2}$ ৰ সমান।

ওপৰৰ ধৰণৰ ভগ্নাংশকেই কোৱা হয় অবিৰত ভগ্নাংশ। দেখিলেনে বাৰু কেনেদৰে অকস্মাতেই এনে আকৰ্ষণীয় সজ্জাৰ এবিধ ভগ্নাংশৰ সৈতে পৰিচয় হ’বলগীয়া হ’ল?

ওপৰত পাই অহা $a_{1}+frac{b_{1}}{a_{2}+frac{b_{2}}{a_{3}+frac{b_{3}}{a_{4}+dots}}}$

এনে ধৰণৰ ৰাশিকেই অবিৰত ভগ্নাংশ বোলা হয়।

সাধাৰণতে $a_{1},a_{2},dots , b_{1},b_{2},dots$ সংখ্যাবোৰ যি কোনো বাস্তৱ বা জটিল সংখ্যা হ’ব পাৰে। পিছে আমি সৰল অবিৰত ভগ্নাংশতহে মন দিম। সৰল অবিৰত ভগ্নাংশৰ (Simple Continued Fraction) ঠাঁচ হ’ল তলত দিয়া ধৰণৰঃ

$a_{1}+frac{1}{a_{2}+frac{1}{a_{3}+frac{1}{a_{4}+dots}}}$

ইয়াত $a_{1}$ যি কোনো অখণ্ড সংখ্যা। পিছে $a_{2},a_{3},dots$ হ’ল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। প্ৰথমতে সীমিত সৰল অবিৰত ভগ্নাংশকেই লোৱা হওক। যেনেঃ

$a_{1}+frac{1}{a_{2}+frac{1}{a_{3}+frac{1}{a_{4}+dots}}}$

$~~~~~~~a_{n-1}+frac{1}{a_{n}}$

ইয়াক অন্য সংক্ষিপ্ত উপায়েৰেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনে- $[a_{1},a_{2},dots ,a_{n-1},a_{n}]$ বা $a_{1}+frac{1}{a_{2+}}+frac{1}{a_{3+}}+dots +frac{1}{a_{n}}.$ এতিয়া আমি মন কৰোঁহক-

পৰিমেয় সংখ্যা এটাক কেনেদৰে অবিৰত সীমিত ভগ্নাংশত প্ৰসাৰণ কৰিব পাৰি (এইখিনিতে আমি উল্লেখ কৰি থওঁ যে কোনো সংখ্যা a ক অবিৰত ভগ্নাংশ হিচাপে লিখি উলিয়ালে ইয়াক aৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ বুলিম)। উদাহৰণ স্বৰূপে,

$frac{67}{29}$ এই পৰিমেয় সংখ্যাটি লোৱা হ’ল।

ইয়াত,

$frac{67}{29}=2+frac{9}{29}=2+frac{1}{frac{29}{9}}=2+frac{1}{3+frac{2}{9}}=2+frac{1}{3+frac{1}{frac{9}{2}}}=2+frac{1}{3+frac{1}{4+frac{1}{2}}}=[2,3,4,2]$

তেনেদৰে $frac{29}{67}=[0,2,3,4,2]$

সীমিত অবিৰত ভগ্নাংশবোৰে যে ওপৰৰ ধৰণৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা বুজায়- সেয়া বুজিবলে টান নহয়। বিপৰীত ক্ৰমে যি কোনো পৰিমেয় সংখ্যাকেই ওপৰৰ ধৰণৰ সীমিত অবিৰত ভগ্নাংশত যে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি সেই বিষয়ে আলোচনা কৰাৰ আগতে আমি সাধাৰণ হৰণ প্ৰক্ৰিয়াত অলপ মনোনিৱেশ কৰোঁ।

5 এৰে 21 ক হৰণ কৰিবলে হ’লে তলৰ প্ৰক্ৰিয়াকেইটাৰ কোনটো শুদ্ধ পাঠকে নিজেই যুক্তি দি উলিয়াব।

$continued fraction1$

এতিয়া যি যুক্তিৰে মাজৰ প্ৰক্ৰিয়াটোহে শুদ্ধ বিবেচিত হয়, সেই একেই যুক্তিৰে -6 ক 5 ৰে হৰণ কৰিবলে চেষ্টা কৰোঁচোন।

$continued fraction3$

ইয়াকেই আমি সংজ্ঞাবদ্ধ কৰি থওঁ এনেদৰেঃ যিকোনো দুটা অখণ্ড সংখ্যা $m,n(mneq n)$ ৰ বাবে এনে দুটা অখণ্ড সংখ্যা $q,r$ পাম যে $n=mq+r$ য’ত $0leq r<m.$

$continued fraction2$

এতিয়া আমি $frac{p}{q},(q>0)$ ঠাঁচৰ পৰিমেয় সংখ্যাটিৰ যথাক্ৰমিক অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ উলিয়াব খুজিছোঁ। ওপৰৰ ব্যাখ্যামতে আমি এনে দুটা অখণ্ড $a_{1},r_{1}$ সংখ্যা পাম যে,

$continued fraction4$

যদি $r_{1}=0$ তেনেহ’লে $frac{p}{q}=[a_{1}]$

যদি $r_{1}neq 0$ তেনেহ’লে $frac{p}{q}=a_{1}+frac{1}{frac{q}{r_{1}}}, r_{1}>0$

আগৰ দৰে $frac{q}{r_{1}}=a_{2}+frac{r_{2}}{r_{1}}, 0leq r_{2}<r_{1}$

$r_{2}=0$ হ’লে, $frac{p}{q}=[a_{1},a_{2}]$

$r_{2}neq 0$ হ’লে একেদৰে $frac{q}{r_{1}}=a_{2}+frac{1}{frac{r_{1}}{r_{2}}}, 0<r_{2}<r_{1}<q$

এনেদৰে আগবাঢ়ি গৈ থাকিলে $r_{1},r_{2},r_{3}dots$ ইত্যাদি ক্ৰমাৎ সৰু হৈ অহা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা পাই থাকিম। গতিকে এই পদ্ধতি অসীম সংখ্যংকবাৰৰ বাবে চলি থাকিব নোৱাৰে। ধৰা হ’ল $r_{n}=0$ আৰু তেতিয়া $frac{p}{q}=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n}].$ গতিকে যিকোনো পৰিমেয় সংখ্যাকেই সীমিত সৰল অবিৰত ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। অন্য এটা মন কৰিবলগীয়া কথা হল এই যে, যিহেতু $a_{n}=(a_{n}-1)+frac{1}{1}, frac{p}{q}=[a_{1},a_{2},dots ,(a_{n}-1),1]$ এনে ধৰণেও লিখিব পাৰি। এনেদৰে লিখাৰ উদ্দেশ্য হ’ল এই যে যিকোনো পৰেমিয় সংখ্যাৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণত অহা পদ সংখ্যা যুগ্ম বা অযুগ্ম দুয়োটাই হ’ব পাৰে।

অবিৰত ভগ্নাংশ আৰু ইয়াৰ বহুতো আকৰ্ষণীয় প্ৰয়োগ সম্পৰ্কে আলোচনা কৰাৰ আগতে এই আলোচনাত প্ৰয়োজন হোৱা সংজ্ঞা কেতবোৰ আমি দি লওঁ।

$frac{p}{q}=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n-1},a_{n}]$ হ’লে $a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ এই অখণ্ড সংখ্যাবোৰক আমি আংশিক ভাগফল (partial quotients) বুলি ক’ম।

$c_{1}=a_{1},c_{2}=a_{1}+frac{1}{a_{2}},c_{3}=a_{1}+frac{1}{a_{2}+frac{1}{a_{3}}}$ ইত্যাদি সংখ্যাবোৰক কোৱা হ’ব অভিসাৰক (convergents)।

পাটীগণিতৰ বহুতো প্ৰাচীন ফলাফলত অবিৰত ভগ্নাংশৰ আভাস পোৱা যায় যদিও, এই বিষয়ত প্ৰথমজন ব্যক্তি বা আৰম্ভণি ইত্যাদি সম্পৰ্কে থিৰাংকৈ কোৱা টান। এই বিষয়ত কোনো ধৰণৰ সুসংহত অগ্ৰগতিৰ ধাৰাও জ্ঞাত নহয়। কোনো দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ গঃসাঃগুঃ (G.C.D.) উলিওৱা ইউক্লিডীয় যি নিয়ম সেয়াও ভগ্নাংশ এটাৰ অবিৰত ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰাৰেই অন্য এক ৰূপ আৰু ইয়েই অবিৰত ভগ্নাংশৰ অগ্ৰগতিৰ ফালে খুব সম্ভৱ প্ৰথম খোজ।

খ্ৰী.পূ. ৬০০ চনৰ ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ আৰ্যভট্টৰ কৃতিসমূহৰ মাজতো অবিৰত ভগ্নাংশৰ উল্লেখ আছে। এইবোৰৰ ভিতৰত অবিৰত ভগ্নাংশৰ সহায়ত ৰৈখিক(এক ঘাত) সমীকৰণ সমাধান প্ৰধান। আৰৱ আৰু গ্ৰীকসকলৰ ৰচনাতো অবিৰত ভগ্নাংশৰ সাধাৰণ আৱাস পোৱা যায়। পিছে ষোল শতিকাৰ গণিতজ্ঞ Bolognaৰ ৰাফেল ব’ম্বেলিৰ যোগেহে অবিৰত ভগ্নাংশৰ আধুনিক তত্ত্ব আৰম্ভ হয়। ১৫৭২ চনত প্ৰকাশিত তেওঁৰ “Treatise on Algebra” নামৰ কিতাপখনত বৰ্গমূল সম্বন্ধে এটা অধ্যায় আছে। তেওঁ দেখুৱাইছিল যে $sqrt{13}=3+frac{4}{6+}frac{4}{6+}dots$ অন্য ভাষাত ক’বলৈ হ’লে তেওঁ $sqrt{a^{2}+b}=a+frac{b}{2a+}frac{b}{2a}dots$ জানিছিল। একে ঠাইৰে পিয়েট্ৰ’ এণ্টনিও কেটেলদিয়ে(১৫৪৮-১৬২৬) তেওঁৰ “Theory of roots” সম্পৰ্কীয় ফলাফলত উল্লেখ কৰিছে-

$sqrt{18}=4.+frac{2}{8.}$ & $frac{2}{8.}$ & $frac{2}{8},$

ছপাওঁতে সহজ হওঁক বুলি তেওঁ লিখিলে

$4.$ & $frac{2}{8.}$ & $frac{2}{8.}$ & $frac{2}{8}$

অৰ্থাৎ আজিৰ চিহ্নত হ’ব

$sqrt{18}=4.+frac{2}{8+}frac{2}{8+}frac{2}{8+}dots$

অবিৰত ভগ্নাংশৰ সৈতে জড়িত অন্য এজন উল্ল্যেখনীয় ব্যক্তি হ’ল জাৰ্মানীৰ য়ুনিভাৰ্চিটি অফ্ অল্টডৰ্ফৰ হিব্ৰু ওৰিয়েণ্টেল লেংগুৱেজ আৰু গণিতৰ অধ্যাপক ডেনিয়েল চুৱেণ্টাৰ(১৫৮৫-১৬৩৬)। তেওঁৰ জিওমেট্ৰিকা পেট্ৰিকা নামৰ কিতাপখনত 177 আৰু 233ৰ গঃসাঃগুঃ উলিয়াই $frac{177}{233}$ ৰ আসন্ন মান উলিয়ায়। ইয়াৰ পৰা তেওঁ $frac{79}{164},frac{19}{25},frac{3}{4},frac{1}{1}$ আৰু $frac{0}{1}$ এই অভিসাৰকবোৰ নিৰ্ণয় কৰে। অবিৰত ভগ্নাংশৰ ব্যৱহাৰ কৰা অন্য এজন বিশেষ ব্যক্তি হ’ল লৰ্ড ব্ৰাউংকাৰ(১৬২০-১৬৮৪)। ব্ৰাউংকাৰ আছিল ৰয়েল ছচাইটিৰ প্ৰথমজন জন সভাপতি। জন ৱালিচৰদ্বাৰা আৱিষ্কৃত

$frac{4}{pi}=frac{3.3.5.5.7.7.9.9.}{2.4.4.6.6.8.8.10dots}$

এই অসীম পূৰণটোক তেওঁ তলৰ অবিৰত ভগ্নাংশটোৰে প্ৰকাশ কৰেঃ

$frac{4}{pi}=1+frac{1^{2}}{2}+frac{3^{2}}{2}+frac{5^{2}}{2}+frac{7^{2}}{2}dots$

পিছে ইয়াৰ ব্যৱহাৰ হ’লে ক’তোৱেই কৰা নহ’ল। ১৬৫৫ চনত প্ৰকাশিত ব্ৰাউংকাৰৰ “Arithmetica Infinitorium” নামৰ কিতাপ খনত ভগ্নাংশ সম্বন্ধে কৰা আলোচনা প্ৰসংগত ৱালিছে সাধাৰণ অবিৰত ভগ্নাংশৰ ওপৰত বহুতো প্ৰাৰম্ভিক দৰকাৰী ফল উল্লেখ কৰিছে। তেৱেঁই পোনতে ‘অবিৰত ভগ্নাংশ’(Continued fraction) নামটো ব্যৱহাৰ কৰে। বিখ্যাত হলেণ্ড দেশীয় গণিতজ্ঞ, জ্যোতিৰ্বিদ তথা পদাৰ্থবিদ ক্ৰিশ্চিয়ান হাইজেনে(১৬২৯-১৬৯৫) এটা তাৰকা গৃহৰ(Planetarium) দাঁতযুক্ত চকৰিৰ(wheel) শুদ্ধ নক্সা এটাৰ অবিৰত ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰে। অইলাৰ(১৭০৭-১৭০৩), লেম্বাৰ্ট(১৭২৮-১৭৮৩), লেগ্ৰাণ্জৰ(১৭৩৬-১৮১৩) উপৰিও আৰু বহুতো গণিতজ্ঞই অবিৰত ভগ্নাংশক আজিৰ ৰূপত আনি দিয়ে। ইয়াৰ ভিতৰত অইলাৰৰ De Fractionibus Continius (1737) হ’ল অবিৰত ভগ্নাংশৰ আধুনিক তত্ত্বৰ ভেটি।

আধুনিক যুগৰ গণিতত অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰভাৱ প্ৰভূত। সংখ্যাতত্ত্বৰ বহুতো নতুন আৱিষ্কাৰত ই অতি দৰকাৰী হাতিয়াৰ হিচাপে ব্যৱহৃত হৈছে। ডায়েফ’ণ্টাইন(Diaphontine) আসন্নকৰণতো ইয়াৰ বিশেষ ব্যৱহাৰ পৰিলক্ষিত হয়। “অবিৰত ভগ্নাংশৰ বিশ্লেষণ তত্ত্ব”(Analytic Theory of Continued Fractions) নামৰ এটা দৰকাৰী সৰলীকৰণ আছে আৰু এই শাখাটোত যথেষ্ট পৰিমাণে গৱেষণামূলক চিন্তা-চৰ্চা হৈ আছে। এইখিনিতে উল্লেখযোগ্য যে কম্পিউটাৰৰ ক্ষেত্ৰটো অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰভাৱ বহুমুখী। এই সন্দৰ্ভত এফ, বি, হিলডাৰব্ৰেণ্ডৰ Introduction to Numerical Analysis (New York: McGraw Hill Book Company, 1956) কিতাপখন উল্লেখ কৰা হ’ল।

এজন খেতিয়কে প্ৰতিটোত ৮০.০০ টকা হিচাপে কেইটামান ছাগলী, প্ৰতিটোত ৫০.০০ টকা হিচাপে কেইটামান গাহৰি কিনিলে। তেওঁ মুঠতে দাম দিবলগীয়া হ’ল ৮১০.০০ টকা। খেতিয়কজনে কেইটা ছাগলী আৰু কেইটা গাহৰি কিনিছিল?

$x$ সংখ্যাক ছাগলী আৰু $y$ সংখ্যাক গাহৰি কিনা বুলি ধৰিলে আমি পাম

$80x+50y=810$

বা $8x+5y=81dots (1)$

যিহেতু $x$ আৰু $y$ ৰ মান ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাহে হ’ব লাগিব, আমি ওপৰৰ সমীকৰণটো বাছনি(Trial) পদ্ধতিৰে বা বৌদ্ধিক অনুমানেৰে(Intelligent guess) সমাধান কৰিব পাৰোঁ।

যেনেঃ $x=0,1,2,dots ,10$ লৈ বহুৱাই গ’লে দেখো যে $81-8x$ অৰ মান 5অৰ গুণিতক হ’ব যদিহে $x=2$ বা $x=7$ হয়। তেতিয়া $y$ ৰ মান হ’ব ক্ৰমে 13 আৰু 5। গতিকে সমাধান হ’ব (2,3) বা (7,5) ইত্যাদি।

পাঠকে অনুমান কৰিছে নিশ্চয় যে পদ্ধতিটো ঠিক খাপ খোৱা বিধৰ যেন নহ’ল। অবিৰত ভগ্নাংশইনো এনে ধৰণৰ সমীকৰণ সমাধানৰ ক্ষেত্ৰত কেনে সহায় কৰে মন কৰোঁহক।

আমাৰ উদ্দেশ্য হ’ল $8x+5y=81$ সমীকৰণটো সমাধান কৰা।

প্ৰথমতে আমি মন কৰোঁহক যে 8 আৰু 5অৰ গ.সা.গু. 1 অৰ্থাৎ সংখ্যা দুটা পৰস্পৰ মৌলিক (আৰু তেতিয়াহে $frac{8}{5}$ অৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ পাম)।

এতিয়া আমি (3) নং সমীকৰণৰ ঠাইত $8x-5y=1$ এই সমীকৰণটো লওঁ। আৰু $frac{8}{5}$ অৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ লওঁ এনেদৰেঃ

$frac{8}{5}=1+frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{2}}}$

অৰ্থাৎ $frac{8}{5}=[1,1,1,2]$ । ইয়াত আংশিক ভগ্নাংশ 4টা (যুগ্ম সংখ্যক) আছে। সেয়া $c_{1}=1,c_{2}=2,c_{3}=frac{3}{2},c_{4}=frac{8}{5}$

দেখা যায় যে $c_{3}=frac{3}{2}$ ৰ পৰা পোৱা (2,3) এই যোৰটো $8x-5y=1$ অৰ এটা সমাধান হয়। কাৰণ 8(2)-5(3) = 1 [ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে $ax-by=1$ সমীকৰণটো লৈ সূত্ৰাৱদ্ধ কৰাৰ চেষ্টা কৰি চাব। এই ক্ষেত্ৰত $frac{a}{b}=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n-1},a_{n}]$ ধৰি $c_{1},c_{2},dots ,c_{n-1},c_{n}$ উলিয়ালে যদি $c_{n-1}=frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ হয় তেনেহ’লে $(q_{n-1},p_{n-1})$ এটা সমাধান হয়।]

এতিয়া $8x+5y=81Rightarrow 8x+5y=81(8.2-5.3)Rightarrow x=162+5t, y=-243-8t$

ওপৰৰ সম্পৰ্ক দুটাই x আৰু y ৰ সম্ভৱপৰ সকলো মান দিব ( $t=0,pm 1,pm 2,dots$ হ’লে)। উদাহৰণস্বৰূপে t=-32 হ’লে x=2, y=13; t=-31 হ’লে x=7, y=5 ইত্যাদি। এইখিনিতে (“গণিত-এটা বিৰক্তিকৰ বিষয়!” প্ৰবন্ধটোত উল্লেখিত) বিখ্যাত ‘নাবিক, নাৰিকল াৰু বান্দৰ সমস্যা’টো উল্লেখ কৰা হ’ল। একে পদ্ধতিৰে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে চেষ্টা কৰিব।

সাগৰত নাৱেৰে গৈ থাকোঁতে ধুমুহাৰ মাজত সোমাই পাঁছজন নাবিক দিশহাৰা হৈ জনপ্ৰানীহীন এটা দ্বীপত উঠিলেগৈ। নাৰিকল গছ বহুত আছিল। নাৰিকলকেই অন্ততঃ কেইদিনমানৰ খাদ্য হিচাপে লোৱাৰ মনেৰে নাৱিককেইজনে বেছ কিছুসংখ্যক নাৰিকল সংগ্ৰহ কৰি থূপ খুৱালে। ৰাতি হ’লত শুই থাকিল। কিছুপৰ যোৱাত এজন নাৱিকে সাৰ পালে। তেওঁ থূপ কৰি থোৱা নাৰিকলকেইটা সমানে পাঁচ ভাগ কৰি এটা বেছি পালে। বেছি হোৱাটো বান্ধৰক দি নিজৰ ভাগটো লুকুৱাই থ’লে আৰু শুই থাকিল। কিছুসময় পিছত আন এজন নাৱিক সাৰ পাই উঠিল আৰু একেদৰে বাকীৰোৱা নাৰিকলকেইটা সমানে ভাগ কৰিলত এটা বেছি পালে। বেছি হোৱাটো তেৱোঁ বান্দৰক দি নিজৰ ভাগটোলুকুৱাই ৰাখিলে আৰু শুই থাকিল। এনেদৰে বাকী তিনিজনৰ ক্ষেত্ৰটো একে ঘটনাই ঘটিল। ৰাতি পুৱালত আটাইকেইজনেই আগৰাতিৰ ঘটনা একো নজনাৰ ভাও জুৰি বাকী ৰোৱা নাৰিকলকেইটা সমানে পাঁচ ভাগত ভগালে। এইবাৰ কিন্তু নাৰিকল বাকী নৰ’ল। অৰ্থাৎ সকলোৰে ভাগত সমান সমান হ’ল। এতিয়া সমস্যাটো হ’ল তেওঁলোকে কমেও কিমান নাৰিকল সংগ্ৰহ কৰিছিল? [উত্তৰঃ 3121]

এতিয়ালৈকে আমি দেখিলো যে পৰিমেয় সংখ্যাৰ অবিৰত ভগ্নাংশত প্ৰসাৰণ সীমিত আৰু সৰল আৰু বিপৰীত ক্ৰমে প্ৰতিটো সীমিত সৰল অবিৰত ভগ্নাংশই এটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ সমান।

অপৰিমেয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত কিন্তু অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ (সৰল) অসীম।

আমি জানো যে যি সংখ্যাক দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ অনুপাতত প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি সেয়েই অপৰিমেয় সংখ্যা।

$sqrt{2}$ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা। প্ৰথমে ইয়াৰ প্ৰসাৰণ মন কৰোঁহক।

$sqrt{2}>1$ আৰু 1 য়েই হ’ল বৃহত্তম অখণ্ড সংখ্যা যি $sqrt{2}$ তকৈ সৰু।

গতিকে $sqrt{2}=1+alpha , 0<alpha <1$

$alpha =frac{1}{x_{2}}$ লিখিলে, $sqrt{2}=1+frac{1}{x_{2}}$ আৰু তেতিয়া

$x_{2}=frac{1}{sqrt{2}-1}=sqrt{2}+1$ গতিকে $sqrt{2}=1+frac{1}{sqrt{2}+1}$

ইয়াত $sqrt{2}+1>2$ (বৃহত্তম অখণ্ড সংখ্যা) গতিকে

$x_{2}=sqrt{2}+1=2+frac{1}{x_{3}} -> x_{3}=frac{1}{sqrt{2}-1}=sqrt{2}+1>2$

গতিকে $sqrt{2}=1+frac{1}{2+frac{1}{sqrt{2}+1}}$

এনেদৰে গৈ থাকিলে আমি পাম $sqrt{2}=[1,2,2,dots] = 1, overline{2}]$

এতিয়া প্ৰশ্ন হ’ল [1,2,…] এই অসমী অবিৰত ভগ্নাংশটোৱে প্ৰকৃততে $sqrt{2}$ বুজায়নে?

যিহেতু $x=1+frac{1}{2+frac{1}{2+frac{1}{2+dots}}}$

$x=1+frac{1}{2+left(frac{1}{2+frac{1}{2+dots}} right) }$

$=> x=1+frac{1}{2+(x-1)}=1+frac{1}{x+1}$

$=> x-1+frac{1}{x+1}=> x^{2}=2 => x=sqrt{2}$

একে ধৰণৰ অবিৰত ভগ্নাংশ কেইটামান উল্লেখ কৰা হ’ল:

$sqrt{3}=[1,1,2,1,dots ]=[1,overline{1},overline{2}]$

$sqrt{15}=[3,1,6,1,dots]=[3,overline{1},overline{6}]$

$sqrt{31}=[5,1,1,3,5,3,1,1,0]$

১৭৭০ চনত লেগ্ৰাঞ্জে কোনো দ্বিঘাত অপৰিমেয়ৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ কোনো সীমিত ঢাপৰ(step) পিছত পৌনঃপুনিক(periodic) হয় বুলি প্ৰমাণ কৰোতে ওপৰৰ ব্যাখ্যাকৰী উদাহৰণকেইটা দিছিল।

ওপৰৰ ধৰণেৰে, $frac{25+sqrt{53}}{22}=[1,2,7,7,dots]$ পোৱা যায়। (ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে কৰি চাব পাৰে)।

সদৌ শেষত অবিৰত ভগ্নাংশৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা এটা উদাহৰণৰদ্বাৰা দিয়াৰ আগতে আমি মন কৰোঁহক যে কোনো অসীম সৰল অবিৰত ভগ্নাংশৰ কোনো এটা অভিসাৰক $C$ (যেনে, $C_{1}$ ), তাৰ আগৰ কোনো অভিসাৰতকৈ (যেনে, $C_{i-1},C_{i-2}$ ইত্যাদি) অবিৰত ভগ্নাংশটিৰ বেছি ওচৰৰ।

ধৰা হ’ল এটা অপৰিমেয় সংখ্যা xঅৰ প্ৰসাৰণ তলত দিয়া ধৰণৰঃ

$x=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n-1},a_{n}]$ – (A)

য’ত $x_{n+1}=[a_{n+1},a_{n+2},dots]$

ইয়াত $c_{1}=a_{1}=frac{a_{1}}{1}=frac{p_{1}}{q_{1}}$ (ধৰা হ’ল) গতিকে $a_{1}=p_{1}$

$c_{2}=a_{1}+frac{1}{a_{2}}=frac{a_{1}a_{2}+1}{a_{2}}=frac{p_{2}}{q_{2}}$ (ধৰা হ’ল)

তেতিয়া $a_{1}a_{2}+1=p_{2}, a_{2}=q_{2}$

$c_{3}=a_{1}+frac{1}{a_{2}+frac{1}{a_{3}}}=frac{a_{1}a_{2}a_{3}+a_{3}+a_{1}}{a_{2}a_{3}+1}=frac{p_{3}}{q_{3}}$

গতিকে $p_{3}=a_{1}a_{2}a_{3}+a_{3}+a_{1}=a_{3}(a_{1}a_{2}+1)+a_{1}=a_{3}p_{2}+p_{1}$ বা $p_{3}=a_{3}p_{2}+p_{1}$ তেনহ’লে $q_{3}=a_{3}q_{2}+q_{1}$ তেনেদৰে যিকোনো i ৰ বাবে $p_{i}=a_{i}p_{i-1}+p_{i-2}, q_{i}=a_{i}q_{i-1}+q_{i-2},$

সেয়ে (A)ত $c_{n+1}=frac{x_{n+1}p_{n}+p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}+q_{n-1}}$

গতিকে $x=frac{x_{n+1}p_{n}+p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}+q_{n-1}}$

$=> x(x_{n+1}q_{n}+q_{n-1})=x_{n+1}p_{n}+p_{n-1}$

$=> x_{n+1}(xq_{n}-p_{n})=-(xq_{n-1}-p_{n-1}), ngeq 2$

$=> x_{n+1}(xq_{n}-p_{n})=-q_{n-1}left( x-frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}right)$

$=> x-frac{p_{n}}{q_{n}}=left( -frac{q_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}}right)left( x-frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}right)$

$=> |x-frac{p_{n}}{q_{n}}|=|frac{q_{n-1}}{x_{n}+q_{n}}| |x-frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}|$

গতিকে যিহেতু $ngeq 2, x_{n+1}>1$ আৰু $q_{n}>q_{n-1}>0,$

$0<frac{q_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}}<1$

আৰু সেয়ে $0<|frac{q_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}}|<1$

তেতিয়া $|x-frac{p_{n}}{q_{n}}|<|x-frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}|, (ngeq 2)$

বা $|x-c_{n}|<|x-c_{n-1}|$

গতিকে $c_{n-1}$ অতকৈ $c_{n},$ $x$ অৰ বেছি ওচৰত। শেষত, অবিৰত ভগ্নাংশৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা উদাহৰণৰদ্বাৰা দিবলৈ চেষ্টা কৰা হৈছে।

$1+frac{sqrt{5}}{2}=[1,1,1,dots ]$ ( এইখিনিতে মন কৰিবলগীয়া যে ওপৰৰ অবিৰত ভগ্নাংশটি সুৱৰ্ণ অনুপাত $phi$ ৰ প্ৰসাৰণ)।

এতিয়া আমি এই $phi$ ৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা বুজিবলৈ চেষ্টা কৰিম।

$[1,1,1,dots ]$ অৰ $c_{1}=frac{1}{1}, c_{2}=1+frac{1}{1}=frac{2}{1}, c_{3}=1+frac{1}{1+frac{1}{1}}=frac{3}{2}, c_{4}=frac{5}{3}, c_{5}=frac{8}{5}, c_{6}=frac{13}{8},dots$ ইত্যাদি।

ধৰা হ’ল $phi >0$ আৰু চক-কাগজৰ সেইবোৰ $(x,y)$ বিন্দু চিহ্নিত কৰা হ’ল য’ত x আৰু y প্ৰত্যেকে একোটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। এনে ধৰণৰ বিন্দুক জালক(lattice) বোলা হয়। এতিয়া $y=phi x$ ৰেখাটো অঁকা হ’ল। এই ৰেখাটো কোনো জালক বিন্দুৰেই নাযাব অন্যথা $phi$ এটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ব।

এতিয়া $y=phi x$ ৰেখাটোৰ এই মূৰটোৰপৰা বহুত আঁতৰত, ৰেখাটোৰ ওপৰত জানিবা এটা পিন(pin) পুতি সূতা এডাল গাঁথি লোৱা হ’ল। আনটো মূৰ মূল বিন্দুৰপৰা বাওঁফালে ঘূৰোৱা হ’ল। সূতাডালে ৰেখাটোৰ ওপৰফালে থকা কেতবোৰ জালক বিন্দু লগ পাব। জালক বিন্দুবোৰত পিন্ পুতি থোৱা বুলি ভাবিলে সূতাডাল ৰেখাটোৰ তলফালৰ বিন্দুবোৰত লাগি যাব। এই বিন্দুবোৰ বুজোৱা যথাক্ৰমিক অভিসাৰকবোৰ হ’ল

$c_{1}=frac{p_{1}}{q_{1}}, c_{3}=frac{p_{3}}{q_{3}}, c_{5}=frac{p_{5}}{q_{5}}, dots$

(অযুগ্ম অভিসাৰকবোৰ) ইহঁত প্ৰত্যেকেই $phi$ তকৈ সৰু। আনহাতে ওপৰফালৰ তেনে ধৰণৰ বিন্দবোৰ হ’বঃ $(q_{2},p_{2}), (q_{4},p_{4}), dots$ ইত্যাদি। এইবোৰৰ যথাক্ৰমিক অভিসাৰকবোৰ হ’লঃ $c_{2}=frac{p_{2}}{q_{2}}, c_{4}=frac{p_{4}}{q_{4}}$ ইত্যাদি। (যুগ্ম অভিসাৰকবোৰ) ইহঁত প্ৰতিটোৱেই $phi$ তকৈ ডাঙৰ। গতিকে $(q_{1},p_{1}), (q_{3},p_{3}),dots$ বিন্দুবোৰ সংযোগ কৰি পোৱা বহুভূজবিশিষ্ট লেখ আৰু $(q_{2},p_{2}), (q_{4},p_{4}),dots$ ইত্যাদি বিন্দু সংযোগ কৰি পোৱা বহুভূজবিশিষ্ট লেখ দুয়োটাই ক্ৰমে ৰেখাটোৰ তল আৰু ওপৰ ফালৰপৰা ৰেখাটোৰ ফালে ক্ৰমে ওচৰ চাপে। উদাহৰণটি আমি $phi$ ৰ অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ লৈছো যদিও ওপৰৰ যুক্তিখিনি পিছে যি কোনো অপৰিমেয় সংখ্যাৰ প্ৰসাৰণৰেই জ্যামিতিক ব্যাখ্যা। তলৰ চিত্ৰখন অৱশ্যে $phi$ ৰ প্ৰসাৰণৰ জ্যামিতিক ৰুপ।

$continued fraction$

ওপৰৰ আলোচনাখিনিত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে মন কৰিছে যে হঠাতে পৰিচয় হ’ব লগা যেন হোৱা অতি সহজতে পোৱা, সংখ্যা এটা বিশেষ সজ্জাৰ প্ৰকাশত বহুতো নভাবা তাত্ত্বিক ফল, প্ৰতিসম গাঁথনি অথবা ধুনীয়া জ্যামিতিক ব্যাখ্যা নিহিত থাকে। আৰু এনেদৰে গণিতত বুদ্ধিদীপ্ততা আৰু সৌন্দৰ্য অংগাংগীভাৱে জড়িত। আচলতে অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰাৰম্ভিক ধৰ্মসমূহৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিব পৰা যায়। আনকি অবিৰত ভগ্নাংশৰ তত্ত্ব জ্যামিতিকভাৱেই আগবঢ়াই নিব পাৰি। এই বিষয়ত H. Haonck Development of Minkowsky Geometry of Numbers (New York Macmillan Company) কিতাপখন উল্লেখ কৰা হ’ল।

অবিৰত ভগ্নাংশ সম্পৰ্কীয় কেইখনমান কিতাপঃ

1. An Introduction of Theory of Numbers : G.H. Hardy & E.M. Wright, Oxford Clarendon Press.

2. Irrational Numbers : Ivan Niven, John Wiley & Sons.

3. Numbers: Rational and Irrational : Ivau Niven, New Mathematical Library, New York, Random House Inc.

4. Number Theory and its History : O. Ore, New York, Mc Graw Hill.

5. Analytic Theory of Continued Fractions : H.S. Wall, New York, D. Van Nostrand.

6. Continued Fractions : C.D. OLDS, New Mathematical Library, The L.W. Singer Company.

[ড° খনীন চৌধুৰীৰ “গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়” নামৰ গ্ৰন্থখনৰ এটি প্ৰবন্ধ।]

[ad#ad-2]