কাল্পনিক সংখ্যা

24 Apr কাল্পনিক সংখ্যা

Posted at 16:41h in ইতিহাস, গ্ৰন্থ, নিবন্ধ by পংকজ জ্যোতি মহন্ত 0 Comments

গণিতত কল্পনা! সঁচাকৈয়ে যুক্তিৰ বাহিৰত যেনেই লাগে। পিছে গাণিতিক যুক্তিৰ নিছিগা হাৰডালিত গণিতৰ নানা হীৰা মৰকত গাঁথি যাঁওতে গণিতজ্ঞসকলে যিধৰণৰ সমস্যাৰ সমুখীন হ’ব লগা হয় সেই সকলোবোৰেই গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ ইতিহাসত নিজে নিজে সোমাই পৰে আৰু কিছুদূৰ আগবাঢ়ি আহি পিছলৈ উভটি চালে কোনো কোনো গাণিতিক সংঘটন অতি আচৰিত যেন লাগে।

ঠিক এনে ধৰণৰ গাণিতিক সংঘটন এটাৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিব খুজিছো আমাৰ এই প্ৰবন্ধটিত। সেয়া হ’ল বৰ্তমান গণিতৰ এৰাব নোৱাৰা অংশ— জটিল সংখ্যা, যাৰ স’তে $i=sqrt{-1}$ ওতঃপ্ৰোতভাৱে জড়িত। এই $i=sqrt{-1}$ সংখ্যাটিক নাম দিয়া হৈছিল “কাল্পনিক সংখ্যা”। এই “অসম্ভৱ” বা কাল্পনিক সংখ্যাৰ উৎপত্তি, ইয়াৰ ক্ৰমবিকাশ তথা প্ৰয়োগ ইত্যাদি সম্পৰ্কে আলোচনা কৰাই প্ৰবন্ধটিৰ উদ্দেশ্য।

সোতৰ শতিকা পৰ্যন্ত ঋণ সংখ্যাবোৰো এক ধৰণৰ গোলমলীয়া সংখ্যায়েই আছিল| ষোল শতিকাৰ মাজভাগত এণ্টইন আৰ্ণল্ডে (Antoine Arnauld) $frac{-1}{1}=frac{1}{-1}$ এনে ধৰণৰ সমতাত আশ্চৰ্য প্ৰকাশ কৰিছিল| এই আশ্চৰ্যকৰ যুক্তিটো আছিল এনে ধৰণৰ যে— সৰু সংখ্যা এটা আৰু ডাঙৰ সংখ্যা এটাৰ অনুপাত জানো ডাঙৰ সংখ্যাটো আৰু সৰু সংখ্যাটোৰ অনুপাতৰ সমান হ’ব পাৰে? সেয়ে ওপৰৰ ধৰণৰ সমতা তেওঁৰ চিন্তাৰে (যুক্তিৰে) এক ধৰণৰ বুৰ্বকামী (nonsense) আছিল। 1712 চনত কলন গণিতৰ অন্যতম পিতৃস্বৰূপ লাইবনিজে (Leibnitz) কৈছিল যে, এই সন্দৰ্ভত ‘Arnauld had a point’, থমাচ্‌ হেৰিঅত্‌ (Thomas Harriot. 1560-1621) ঋণ সংখ্যাক লৈ হোৱা গাণিতিক সমস্যাৰ স’তে জড়িত আছিল। অৱশ্যে তাৰো বহুত আগতে 628 খীষ্টাব্দত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰক্ষ্মগুপ্তই কৃতকাৰ্যতাৰে ঋণ সংখ্যাৰ খেল খেলাৰ উদাহৰণ আছে| পিছে ৰাফেল বম্বেলিয়েহে (Raphel Bombelli) ঋণ সংখ্যাৰ স্পষ্ট সংজ্ঞা দিয়ে।

দুইৰ বৰ্গ চাৰি, তিনিৰ বৰ্গ ন, পাঁচৰ বৰ্গ পঁচিছ ইত্যাদি| সেয়ে চাৰিৰ বৰ্গমূল দুই, নৰ বৰ্গমূল তিনি, পঁচিছৰ বৰ্গমূল পাঁচ ইত্যাদি আমি সহজতেই পাওঁ। পিছে ঋণ সংখ্যা এটাৰ বৰ্গমূলে কি বুজাব? $sqrt{-5}$ বা $sqrt{-1}$ এনে ধৰণৰ ৰাশিবোৰ অৰ্থপূৰ্ণনে? যুক্তিসংগত (rational way) পথেৰে আগবাঢ়িলে এনেবোৰ ৰাশিৰ অৰ্থ নাই যেনেই লাগে| এই ক্ষেত্ৰত জৰ্জ গেমোয়ে (George Gamow) বাৰ শতিকাৰ ব্ৰাহ্মণ ভাস্কৰৰ উদ্ধৃতি দিছে এনেদৰে— “এটা ধন সংখ্যাৰ বৰ্গ, ঋণ সংখ্যাৰ দৰেই ধনাত্মক| সেয়ে, কোনো সংখ্যাৰ বৰ্গমূল দুটা বৈশিষ্ট্যৰ, ধন আৰু ঋণ| ঋণ সংখ্যাৰ কোনো বৰ্গমূল নাই, কিয়নো ঋণ সংখ্যা এটা কেতিয়াও কাৰো বৰ্গ নহয়| পিছে, গণিতজ্ঞসকল বৰ অঁকৰা-আপচু লোক| যেতিয়া কোনো কথাই কোনো অৰ্থ বহন নকৰা যেন দেখে, তেতিয়াও তেওঁ সূত্ৰসমূহত দৃষ্টি নিক্ষেপ কৰে এই মনেৰে যে, কিজানিবা ইয়াৰ কিবা অৰ্থ উলিয়াব পৰা যায়।”

সংখ্যা গণিতৰ অতি সাধাৰণ সমস্যাতেই হওক বা কুৰি শতিকাৰ বিখ্যাত আপেক্ষিকতাবাদৰ স্থান আৰু কালৰ একত্ৰীকৰণ (space time unification) সমস্যাতেই হওক, ঋণ সংখ্যাৰ বৰ্গমূলৰ দৰে এনে (প্ৰথম দৃষ্টিত) অৰ্থহীন(!) সংখ্যাৰ প্ৰচুৰতা প্ৰায়েই আছিল।

ষোল শতিকাৰ ইটালীয় গণিতজ্ঞ জিৰ’লামো কাৰ্ডান’ (Girolamo Cardano, 1501-1576) আছিল এই ক্ষেত্ৰত বাটকটীয়া| কাৰ্ডান’য়ে প্ৰথমে এই আপাততঃ অৰ্থহীন বৰ্গমূলক স্থান দিয়ে তেওঁৰ এটা বিশেষ গাণিতিক সমস্যাত| 1545 খ্ৰীষ্টাব্দত তেওঁ $x(10-x)=40$ এই সমীকৰণটো সমাধা কৰিবলৈ যাওঁতে $x=5+sqrt{-15},5-sqrt{-15}$ এনে ধৰণৰ অতি অচিনাকি সংখ্যাৰ সৈতে পৰিচয় হ’বলগাত পৰে| এই সম্পৰ্কত কাৰ্ডান’ৰ ভাষাৰেই তেওঁৰ প্ৰতিক্ৰিয়া আমাৰ জ্ঞাত হওকচোন— “জড়িত হৈ পৰা মানসিক কষ্টখিনি একাষৰীয়াকৈ থৈ ধৰি লোৱা উত্তৰটো সমীকৰণত বহুৱাই চোৱাচোন! তুমি পাবা যে, $x(10-x)=(5+sqrt{-15})(5-sqrt{-15})=5^2-(sqrt{-15})^2=25-(-15)=40,$ আশা কৰা দৰে| এনেদৰেই সংখ্যাৰ গণিত আগবাঢ়িল ধীৰে-ধীৰে| শেষটো হ’ল, ব্যৱহাৰ-অনুপযোগীকৈ পৰিশোধিত ৰূপ এটা| ই যেন গণিতজ্ঞসকলে কষ্ট পোৱাকৈ অনুভূত হোৱা এক অনুভৱ! কোনো অৰ্থ বহন নকৰিলে হয়, পিছে কামৰ হ’লে আহিল|” কাৰ্ডান’ৰ যুক্তিৰে ই আছিল অৰ্থহীন, কৃত্ৰিম আৰু কাল্পনিক| তথাপি তেওঁ লিখিছিল। কাৰণ এবাৰ যদি এনেধৰণে ঋণ সংখ্যাৰ বৰ্গমূল লিখা হয়, তেনেহ’লে দহ সংখ্যাটিৰ ওপৰত বৰ্ণোৱাৰ দৰে বিভাজন সম্ভৱ হয়| ইয়াৰ পিছৰপৰাই বহুতো গণিতজ্ঞই অতি সাৱধানে আৰু প্ৰাপ্য ক্ষমাৰে ভিন্ন ধৰণৰ গাণিতিক সমস্যাত ঋণ সংখ্যাৰ বৰ্গমূল লিখাতো চলাই দিয়ে।

বিখ্যাত চুইছ গণিতজ্ঞ অইলাৰে 1770 খ্ৰীষ্টাব্দত প্ৰকাশিত তেওঁ বীজগণিতৰ কিতাপত এনে কাল্পনিক সংখ্যাৰ বহুল উল্লেখ কৰে| অৱশ্যে এই ক্ষেত্ৰত অইলাৰে এক সাৱধানসূচক মন্তব্যৰেহে আগবাঢ়িছিল| সেয়া হ’ল— “ $sqrt{-1},sqrt{-2}$ এনে ধৰণৰ ৰাশিসমূহ অসম্ভৱ বা কাল্পনিক সংখ্যা| যিহেতু এইবোৰে ঋণ সংখ্যাৰ বৰ্গমূল বুজায় আৰু এনে সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত আমি সঁচাকৈ সাব্যস্ত কৰিব পাৰোঁ যে, এইবোৰ হয়তো ’একোৱে নহয়’ (অৰ্থাৎ শূন্য নহয়) বা ’একো নোহোৱাতকৈ’ ডাঙৰ বা সৰু নহয় (শূন্যতকৈ ডাঙৰ বা সৰু নহয়) আৰু সেয়ে ই এক কাল্পনিকতা বা অসম্ভৱতাৰ কথাকে কয়|”

অথচ এনে ধৰণৰ হাজাৰ সাৱধানতা সত্ত্বেও কাল্পনিক সংখ্যাই গণিতজ্ঞৰ গাণিতিক যুক্তিৰ মাজত এখন উল্লেখযোগ্য এৰাব নোৱাৰা আসন দখল কৰিলে। বাস্তৱ সংখ্যাৰ 1 অৰ দৰে হৈ পৰিল কাল্পনিক $sqrt{-1}$ সংখ্যাটি! আৰু ইয়াৰ ওপৰতেই গঢ়ি উঠিল যেনিবা কাল্পনিক সংখ্যাৰ (তথা জটিল সংখ্যা) বাস্তৱ সৌধ।

কাল্পনিক সংখ্যাই গাণিতিক ক্ষেত্ৰত বিচৰণ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰাৰ প্ৰায় দুটা শতিকাৰ পিছতহে ইয়াৰ ৰহস্য আৰু অবিশ্বাস্যতাৰ আঁৰ কাপোৰ আঁতৰাই দিছিল দুজন ‘নেশাদাৰ’ (amateur) গণিতজ্ঞ— ৱেছেল আৰু ৰবাৰ্ট আৰ্গেণ্ডে। প্ৰথমজন আছিল নৰৱেৰ এজন পৰিমাপক (surveyor) আৰু পিছৰজন পেৰিছৰ এজন হিচাবৰক্ষক (book-keeper)। তেওঁলোকে $3+4i$ ধৰণৰ সংখ্যাটিক এখন সমতলৰ এটা বিন্দুৰে বুজালে| কলেজৰ গণিতত আৰ্গাণ্ডৰ সমতল বুলি যিখিনি কথা আছে তাতে এই প্ৰতিষ্ঠাপন পোৱা যায়| $3+4i$ ৰ 3 সংখ্যাটি অনুভূমিক অক্ষত আৰু $4i$ ৰ 4 সংখ্যাটো উলম্ব অক্ষত লোৱা হয়| 3 ক $i$ ৰে পূৰণ কৰিলে $3i$ হয়| গতিকে বাস্তৱ (অনুভূমিক) অক্ষৰ 3 সংখ্যাটো বুজোৱা বিন্দুটোৰপৰা এই পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াটোৰদ্বাৰা আমি কাল্পনিক অক্ষত এটা বিন্দু পাওঁ, যিয়ে $3i$ সংখ্যাটো বুজাব| অৰ্থাৎ $i$ ৰে পূৰণ কৰা প্ৰক্ৰিয়াটো জ্যামিতিকভাৱে ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত এক সমকোণ ঘূৰাৰ সমতুল্য| গতিকে $3i$ ক পুনৰ $i$ ৰে পূৰণ কৰিলে পোৱা বিন্দুটো হ’ব $3i$ ৰ অৱস্থানৰ পৰা ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত $90^{circ}$ ঘূৰালে বাস্তৱ অক্ষত পোৱা -3 বিন্দুটো| গতিকে $3itimes i=3i^2=-3$ বা $i^2=-1$ আৰু সেয়েহে “ $i^2$ ৰ বৰ্গ -1 ৰ সমান”— এই কথাখিনি “কোনো কাল্পনিক সংখ্যাৰ অৱস্থানৰপৰা ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত এক সমকোণ, এক সমকোণ কৰি দুবাৰ ( বা $180^{circ}$ ) ঘূৰিলে কাল্পনিক সংখ্যাটোৰ অৱস্থানৰ বিপৰীত দিশটো পোৱা যায়”— এই কথাখিনিতকৈ সহজবোধ্য| এইবোৰ নিয়ম $a+bi$ ঠাঁচৰ জটিল সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰতো সত্য|

$5+sqrt{-5},5-sqrt{-5}$ এনে ধৰণৰ (সেই সময়ত) অৰ্থহীন ৰাশি লিখি কাৰ্ডানৰ নিজৰ সমস্যা সমাধানৰ সাহসী পদক্ষেপৰ পৰা অইলাৰৰ বীজগণিতত কাল্পনিক সংখ্যাৰ প্ৰচুৰ উল্লেখৰ মাজেৰে $i^2=-1$ হোৱা স্তৰলৈকে কাল্পনিক সংখ্যাৰ এই ক্ৰমবিকাশ তথা জন্মৰ পৰা যৌৱন প্ৰাপ্তিলৈকে কাল্পনিক সংখ্যাৰ এই ইতিকথাখিনি “গাণিতিক অৰ্থ”তেই অতি মোহনীয় নহয়নে?

নৰৱেৰ পৰিমাপক কেস্পাৰ ৱেছেল (Casper Wessel 1745-1818) এ 1797 চনত “On the Analytical representation of Direction : An attempt” নামৰ গৱেষণামূলক প্ৰবন্ধটিৰ §5 অত প্ৰকৃততে $i$ য়ে যেনে ধৰণে ভূমুকি মাৰিছে তাক পাঠকৰ জ্ঞাতাৰ্থে হুবহু তুলি দিয়া হ’লঃ

ধৰা হ’ল, +1 এ বুজায় এক ধানত্মক ৰৈখিক একক আৰু $+varepsilon$ বুজায় এক অন্য একক, যি ধনাত্মক ৰৈখিক এককক লম্ব দিশত একে মূল বিন্দুক লৈ আছে| তেতিয়া +1 অৰ দিশকোণ হ’ব 0 ডিগ্ৰী, -1 অৰ হ’ব 180 ডিগ্ৰী, $+varepsilon$ অৰ হ’ব 90 ডিগ্ৰী, আৰু $-varepsilon$ ৰ হ’ব -90 ডিগ্ৰী বা 270 ডিগ্ৰী| নিয়ম অনুসৰি, পূৰণৰ দিশকোণ উৎপাদক দুটাৰ কোণৰ যোগফল আৰু তেতিয়া পাম—

$(+1)(+1)=1$ ; $(+1)(-1)=-1$ ; $(-1)(-1)=1$ ;

$(+1)(+varepsilon)=+varepsilon$ ; $(+1)(-varepsilon)=-varepsilon$ ;

$(-1)(+varepsilon)=-varepsilon$ ; $(-1)(-varepsilon)=+varepsilon$ ;

$(+varepsilon)(+varepsilon)=-1$ ; $(+varepsilon)(-varepsilon)=+1$ ; $(-varepsilon)(-varepsilon)=-1$ .

ইয়াৰ পৰা দেখা যায় যে, $varepsilon$ $sqrt{-1}$ ৰ সমান|

কাল্পনিক সংখ্যাৰ ৰহস্যময়ীতা আঁতৰাই তাৰ প্ৰয়োগৰ মূৰ্ততাৰ স্ফটিকী প্ৰকাশ কৰিছে জৰ্জ গেমোৱে এটা গল্পৰ যোগে| গল্পটো হ’ল—

এজন মানুহে তেওঁৰ মৃত ককাদেউতাকৰ বহু কাগজ-পত্ৰ মাজত এখন অতি পুৰণি কাগজ পালে| এঠাইত লুকুৱাই ৰখা ৰত্ন ভাণ্ডাৰৰ অৱস্থান সম্পৰ্কে কাগজখনত তলত দিয়া ধৰণে নিৰ্দেশ দিয়া আছে|

“অমুক” উত্তৰ অক্ষাংশ আৰু “অমুক” পশ্চিম দ্ৰাঘিমাংশলৈ নাওখন লৈ যোৱা| তাত জনপ্ৰাণীহীন এটা দ্বীপ পাবা। তৈতে এখন ডাঙৰ চৰণীয়া পথাৰ দেখিবা। দ্বীপটোৰ উত্তৰফালে এডাল ওক্‌ গছ আৰু এডাল সৰল গছ দেখিবা| তাতেই এখন ফাঁচী মঞ্চ পাবা| (এসময়ত হেনো মৃত্যু দণ্ডেৰে দণ্ডিত অপৰাধীক ফাঁচী দিয়া হৈছিল)| ফাঁচী মঞ্চৰপৰা খোজ গণি ওক্‌ গছৰ ওচৰ পাই সোঁফালে এক সমকোণ ঘূৰিবা আৰু একে সমান খোজ দি আগুৱাই যাবা| ফাঁচী মঞ্চলৈ ফিৰি আহি সৰলজোপালৈ খোজ গণি একেদৰে আগুৱাই যোৱা| সৰল গছৰ ওচৰ পালে বাঁওফালে এক সমকোণ ঘূৰা আৰু একেসংখ্যক খোজেৰে সন্মুখলৈ আগুৱাই যোৱা আৰু তাতেই অন্য এটা খুঁটি মাৰিবা| খুঁটি দুটাৰ ঠিক মাজতে খান্দিবা|

পিছে আমাৰ গল্পৰ নায়ক বিবুধিত পৰিল, যেতিয়া তেওঁ দ্বীপটোলৈ গৈ দেখিলে যে কাগজখনত লিখাৰ দৰে তাত ওক্‍ গছ, সৰল গছ আছে কিন্তু ফাঁচী মঞ্চখনৰ কোনো চিন-মোকাম নাই| বৰ হতাশ হ’ল আৰু শেষত খং উঠি উধাই-মুধাই কোৰেৰে, গন্ধমাদনত বিশল্যকৰণী বিচৰাৰ দৰে গোটেই দ্বীপ খান্দিবলৈ ধৰিলে| ফল হ’ল— অতি সহজ সমাপ্তি, অৰ্থাৎ বিফল মনোৰথ হৈ ফিৰি আহিল| গল্পটোৰ মতে ৰত্ন ভাণ্ডাৰটি হেনো আজিও আছে| গেমোৱে লিখিছে যে মানুহজনে কাল্পনিক সংখ্যাৰ ব্যৱহাৰ জানিলে তেওঁ এই সম্পত্তিৰ মালিক হ’ব পাৰিলেহেঁতেন অৰ্থাৎ তেওঁ কাগজখন পঢ়ি যদি এনেদৰে ভাবিলেহেঁতেন—

দ্বীপটোক জটিল সংখ্যাৰ সমতলখন বুলি লোৱা হওক| গছ দুজোপাৰ গুৰিৰে টনা ৰেখাটোক বাস্তৱ অক্ষ লোৱা হওক| গছ দুজোপাৰ অৱস্থান সংযোগ কৰি পোৱা ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুৰে লম্বভাৱে টনা ৰেখাটোক কাল্পনিক অক্ষ লোৱা হওক| ওক্‌ গছডাল এই বিন্দুটোৰপৰা -1 দূৰত্বত থাকিলে সৰল গছজোপা +1 দূৰত্বত থাকিব| যিহেতু ফাঁচী মঞ্চখন হেৰাই গৈছে তাক x এৰে বুজালোঁ| x যিহেতু অক্ষৰেখাৰ মাজত নাই, ধৰা হ’ল ইয়াৰ অৱস্থানে বুজোৱা জটিল সংখ্যাটো a+bi আৰু তেতিয়া x অৰ সাপেক্ষে ওক্‌ গছজোপাৰ অৱস্থান -1-(a+bi) = -(1+a+bi); তেনেদৰে x অৰ সাপেক্ষে সৰল গছজোপাৰ অৱস্থান 1-(a+bi) = 1-a-bi । এতিয়া বৰ্ণনা মতে ওক্‌ গছৰ গুৰিৰপৰা সোঁফালে অৰ্থাৎ ঘড়ীৰ কাঁটাৰ দিশত এক সমকোণ ঘূৰি সমান খোজ আগুৱাই গৈ খুঁটিটো পুতিলে আমি সেই স্থান বুজাব পৰা সংখ্যাটো হ’ব—

(-i){-{1+a+bi)}+1 = i(1+a+bi)+1 = (1-b)+i(1+a).
তেনেদৰে সৰল গছজোপাৰ গুৰিৰপৰা বাঁওফালে অৰ্থাৎ ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীতে এক সমকোণ ঘূৰি সমান খোজ আগুৱাই গৈ দ্বিতীয় খুঁটিটো পুতিলে সেই স্থান বুজাব পৰা সংখ্যাটো হ’ব—

i(1-a-bi)-1 = -(1-b)+i(1-a).

গতিকে সম্পত্তিখিনি লুকাই থোৱা ঠাইখিনি হ’ল ওপৰৰ জটিল সংখ্যা দুটি বুজোৱা অৱস্থান দুটিৰ মধ্যবিন্দুটো অৰ্থাৎ

(1/2){(1-b)+i(1+a)-(1-b)+i(1-a)} = +i.

গতিকে দেখা গ’ল যে ফাঁচী মঞ্চখন হেৰালেও আপত্তি নাই কিয়নো x য’তেই নাথাকক কিয়, কাল্পনিক অক্ষত +1 একক দূৰত্বত নিৰ্ণেয় অৱস্থানটো আমি পাম|

কাল্পনিক সংখ্যাৰ অংকুৰণৰ পৰা ইয়াৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যালৈকে আৱশ্যক হোৱা শতিকা দুটাৰ ভিতৰত এই সন্দৰ্ভত হোৱা ক্ৰম বিকাশৰ ধাৰাটোত অলপ মন দিওঁচোন|

নবন্যাসৰ সময়ৰ কাৰ্ডান কৃত এখন উল্লেখনীয় কিতাপ “Artis Magnae”ত টাৰ্টাগ্লিয়াৰ ঘনফল সম্পৰ্কীয় সূত্ৰই কিছুমান মন কৰিবলগীয়া ৰাশি আনি দিছিল| যেনে—

$x^3=15x+4$ সমীকৰণটোৰ পৰা $x=^3sqrt{2+sqrt{-121}}+^3sqrt{2-sqrt{-121}}$ পোৱা যায়| পিছে x=4, ওপৰৰ সমীকৰণটোৰ এটা সহজ সমাধান| গতিকে কিবা যেন এটা খেলিমেলি আছে|

বাস্তৱ সংখ্যাক জটিল সংখ্যাৰ সহায়ত লিখিব পৰা যাবনে? বম্বেলিয়ে (Bombeli) মন কৰিলে যে $(2pm sqrt{-1})^3-2pmsqrt{-121}$ আৰু সেয়ে $x=(2+sqrt{-1})+(2-sqrt{-1})=4.$ বম্বেলিয়েই পোনতে এই ধাৰণাটো দিলে যে বাস্তৱ (real) ফল পাবলৈ জটিল সংখ্যাৰ ধাৰণা ফলপ্ৰসূ হ’ব পাৰে| 1637 চনত ৰেণে ডেকাৰ্টে (1596-1650) প্ৰথমতে ঋণ সংখ্যাৰ বৰ্গমূলক কাল্পনিক নামেৰে নামকৰণ কৰিলে| পিছে তেতিয়া অৰ্থ এয়ে আছিল যে, ইয়াৰ পিছত আৰু সমস্যাটো সমাধানযোগ্য নহয়| চাওক, গণিতক কিমান সীমিত পৰিসৰৰ কৰি থোৱা হৈছিল! আনকি এই ক্ষেত্ৰত চাৰ আইজাক নিউটনেও একেই মত পোষণ কৰিছিল| জন বাৰ্ণলীয়ে (John Bernoulli) $frac{1}{x^2+3x+1}$ জাতীয় ফলনৰ অনুকল উলিয়াবলৈ গৈ জটিল সংখ্যাৰ ঘাতাংকৰ (logarithm) সন্মুখীন হওঁতে ৰৈ গৈছিল| 1712 চনমানলৈ বাৰ্ণলী আৰু লাইবনিজ ব্যস্ত আছিল ঋণ সংখ্যাৰ ঘাতাংক উলিওৱাৰ বাবে| এই বিষয়ত তলৰ কাল্পনিক কথোপকথনখিনিয়ে সুন্দৰভাৱে ক্ৰমবিকাশৰ ধাৰাটো ফুটাই তোলে|

বাৰ্ণলীঃ যিহেতু $frac{d(-x)}{-x}=frac{dx}{x},$ ইহঁতৰ অনুকলৰ পৰা আমি পাওঁ, $log(-x)=log x$ |

লাইবনিজঃ অনুকল অকল ধনাত্মক x ৰ বাবেহে|

অইলাৰঃ তোমালোক দুজনেই ভ্ৰান্ত| কাৰণ অনুকলনত ধ্ৰুবকৰ প্ৰয়োজন| গতিকে $log(-x)=log x+c$ আৰু সেয়ে $c=log(-1)$ (ই যিয়েই নহওঁক কিয়)। পিছে অইলাৰৰ ‘মিল’তেই (mill) হেনো 1714 চনত ভাঙি উলিওৱা হৈছিল এটা আচৰিত সূত্ৰ, $e^{itheta}=costheta+sintheta.$ 1714 চনত ৰ’জাৰ কোট্‌চ (Roger Cotes)এ হেনো প্ৰায় একে ধৰণৰ সূত্ৰয়েই পাইছিল| পিছে তেতিয়া ইয়াক মন কৰা হোৱা নাছিল| অইলাৰৰ এই বিশেষ সূত্ৰত $theta=pi$ লিখিলে $e^{pi i}=1$ হয়| গতিকে $log(-1)=pi i.$ তেনেদৰে $e^{3pi i}=-1$ কাৰণে $log(-1)=3pi i$ ইত্যাদিও হয়| যদি এইবোৰৰ এটা $L$ হয়, তেন্তে আনবোৰ হ’ব $Lpm 2pi i,Lpm 4pi idots$ ইত্যাদি| 1673 চনত জন ৱালিচ (John Wallis)এ তেওঁৰ বীজগণিতত জটিল সংখ্যাক সমতল এখনৰ এটা বিন্দুৰে সূচায়| বাস্তৱ সংখ্যাৰেখাৰ x বিন্দুটোৰ পৰা ইয়াৰ লম্বভাৱে দূৰত্বত থকা বিন্দুটো যিহেতু $x+iy$ , গতিকে বালিছৰ যুক্তিৰে $sqrt{-1}$ ৰ (তেতিয়ালৈকে) ব্যাখ্যা দিব নোৱাৰা সমস্যাই ইয়াত কোনো ধৰণৰ বাধাৰ সৃষ্টি নকৰে| পিছে তথাপিও কোনো বিশেষ কাৰণত এই ব্যাখ্যাক সেই সময়ত গুৰুত্ব দিয়া হোৱা নাছিল| 1797 চনত ৱেছেল ওপৰত বৰ্ণোৱা ধৰণে জটিল সংখ্যাৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিয়ে| পিছে ডেনিচ্‌ (Danish) ভাষাত লিখা হেতুকে এক শতিকা পিছত ইয়াৰ ফৰাছী অনুবাদ নোলোৱা পৰ্যন্ত, ইও বেছিভাগ গণিতজ্ঞৰে অজানা আছিল| 1806 চনত আৰ্গণ্ডে নিজাববীয়াকৈ এই ধাৰণা লিখে| 1811 চনতহে প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ গাউছ স্বাভাৱিকতে ইয়াৰ স’তে জড়িত হৈ পৰে আৰু 1811 তেওঁৰ কৃতিখিনি প্ৰকাশ পায়| পিছে জটিল সংখ্যাৰ আধুনিকতম খোজটো দিয়ে উইলিয়াম ৰোৱান হেমিল্টনে 1837 চনত| হেমিল্টনে x+iy জটিল সংখ্যাটিক (x,y) এই ক্ৰমিত যোৰেৰে (ordered pair) বুজালে| গতিকে তেতিয়া (x,o) আৰু (o,y) য়ে ক্ৰমে বাস্তৱ আৰু কাল্পনিক সংখ্যা বুজাব| জটিল সংখ্যাৰ এই শেহতীয়া ব্যাখ্যাত (a,b) আৰু (c,d) এনে ধৰণৰ দুটা সংখ্যাৰ যোগ আৰু পূৰণৰ সংজ্ঞা দিয়া হয় এনেদৰেঃ
(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) আৰু
(a,b)(c,d) = (ac-bc, ad+bc) আৰু তেতিয়া পাওঁ, $i^2=(0,-1)$ বা -1| ঠিক এনেদৰেই জটিল সংখ্যাৰ এই উপস্থাপনে সকলো ধৰণৰ সমস্যাৰেই এটা সুসংহত নিৰাময় আগবঢ়ায়|

ষোল শতিকাৰ মাজৰ পৰা উনৈছ শতিকাৰ মাজলৈকে প্ৰায় তিনিটা শতাব্দী ধৰি কাল্পনিক সংখ্যাৰ এই ক্ৰমবিকাশ ঘটিল অথচ আজি প্ৰায় তিনি মিনিটতে ক্ৰমবিকাশৰ এই সোঁতটি আমি আয়ত্ত্বাধীন কৰাত একো কষ্ট নাপাওঁ|

শেষত জটিল সংখ্যাৰ ফলনৰ লগত জড়িত কলন গণিত আৰু শেহান্তৰত জটিল সংখ্যাৰ স’তে জড়িত দুটা বিখ্যাত অনুমান (conjecture) অলপ আলোচনা কৰি আলচটি শেষ কৰিম|

1825 চনৰ পৰা 1850 চনৰ ভিতৰত জটিল সংখ্যাৰ ফলনৰ কলনে ভূমুকি মাৰে আৰু ক্ৰমান্বয়ে ই আহি এনে এটা পৰ্যায় পালে যে কোনো গণিতজ্ঞৰ ‘গাণিতিক সুস্থ’ মনটোৱে কেতিয়াও ইয়াৰ ধাৰণাক উলাই কৰিব নোৱাৰা হ’ল|

পিছে জটিল সংখ্যাৰ, বীজগণিতৰ অংকুৰণত অনুভূত হোৱা সেই যন্ত্ৰণাদায়ক অনুভূতি জটিল সংখ্যাৰ কলনত নাই| কাৰণ, ই এটা অৰ্থত ইতিমধ্যে বৰ্তি থকা বাস্তৱ কলনৰ এক ধৰণৰ সৰলীকৰণ| সীমামান, অৱকলজ, ঘাতশ্ৰেণী এইবোৰৰ ধাৰণা অতি পোন বাটেৰেই জটিল কলনলৈ বুলি সৰলীকৃত| জটিল অনুকলৰ ধাৰণা অৱশ্যেই বাস্তৱ অনুকলৰ সৰলীকৰণ যদিও, ইয়াৰ ধৰ্মসমূহ তুলনামূলকভাৱে জটিল| বিশেষকৈ জটিল অনুকলত ই নিৰ্ভৰ কৰে কেনে ধৰণৰ বক্ৰৰে পৰিসৰটো বৰ্ণোৱা হৈছে— ইয়াৰ ওপৰত| যিহেতু এনেদৰে বহু ধৰণৰ বক্ৰ পোৱাৰ সম্ভাৱনা আছে, গতিকে বাছি লোৱা বক্ৰটোৰ ওপৰত কোনো বিশেষ অনুকলৰ মান কেনে ধৰণে নিৰ্ভৰশীল হ’ব— ইয়াক জনা দৰকাৰ| 1811 চনত গাউছে ফ্ৰেডেৰিক বেছেললৈ লিখা চিঠিত এই সম্পৰ্কে উল্লেখ কৰি কয় যে, কোনো বিশেষ দুটা বক্ৰৰ যদি অনুকলন কৰিবলগীয়া ফলনটো অসীম নহয়, তেনেহ’লে অনুকলৰ মান এই দুই ক্ষেত্ৰত একেই হয়| পিছে গাউছে এই ক্ষেত্ৰত প্ৰমান দিয়াৰ আগতেই 1825 চনত ক’চিয়ে (Couchy) জটিল অনুকলৰ বিখ্যাত উপপাদ্যটি আগবঢ়ায়| ইয়েই হ’ল আমাৰ অতি পৰিচিত ক’চিৰ উপপাদ্যঃ “অৰ্গাণ্ডৰ সমতলৰ কোনো আদিক্ষেত্ৰত D ত এই ফলন f(z) অবকলনীয় হ’লে, D ৰ অন্তৰ্গত এক সৰল, বদ্ধ আৰু সুনিৰ্দিষ্ট জোখৰ বক্ৰ C ৰে f(z)ৰ অনুকলৰ মান শূন্য|”

ঊনৈছ শতিকাৰ মাজৰ পৰা জটিল সংখ্যাৰ বিশ্লেষণ ‘তত্ত্ব’ (Analysis)ই সুদূৰপ্ৰসাৰী অগ্ৰগতিৰে জোৰতৰ আৰু সুস্থিৰভাৱে আগুৱাই যায়| ক’চিৰ মৌলিক ধাৰনাসমূহ বহু পৰিমাণে শোধিত হৈ সংস্থিতি বিদ্যাতো (Topology) সোমাই পৰে| এসময়ত ‘অসম্ভৱ’ বা ব্যৱহাৰৰ অনুপযোগী বুলি ভবা এই কাল্পনিক বা জটিল সংখ্যাৰ বাস্তৱ প্ৰয়োগ সোমাই পৰিল আজিৰ Aerodynamics, Fluid mechanics, Quantum Theory, Electrical Engineering আদিত|

সমাৰণিত জটিল সংখ্যাৰ স’তে জড়িত দুটা বিখ্যাত সমস্যা উল্লেখ কৰিব খুজিছোঁ| সেয়া হ’ল ৰিমানৰ “অনুমান” (Riemann Hypothesi) আৰু “বিৱাৰ্‌বাক অনুমান” (Bierbach conjecture)|

x অতকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাবোৰ যদি $pi(x)$ অৰ দ্বাৰা বুজোৱা হয়, তেনেহ’লে গাউছকে ধৰি কেইজনমানে কয় যে “বহুত ডাঙৰ” x অৰ বাবে $pi(x)$ অৰ মান $frac{x}{log x}$ অৰ ওচৰাউচৰি|

(অৰ্থাৎ $Lt_{xrightarrowinfty}pi(x)=frac{x}{log x}$ )| মৌলিক সংখ্যাৰ এই অনুমানে মৌলিক সংখ্যাৰ সৈতে ঘতাংক জড়িত হৈ থকা ধৰণৰ নভবা দিশ এটা মুকলি কৰি দিলে| ওপৰৰ এই মান (পিছত) আমাৰ চিনাকি জিটা(Zeta) ফলন

$zeta(s)=1+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+dots$ ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল| গণিতৰ অন্য এজন পুৰোধা (giant) অইলাৰে পালে আকৌ $frac{1}{zeta(s)}=(2-frac{1}{p_1^s})(1-frac{1}{p_2^s})$ য’ত $p_n$ হ’ল n তম মৌলিক সংখ্যা| জিটা ফলন ব্যৱহাৰ কৰি 1852 চনত “পাফ্‌নুটি চেৱাইচেফ্‌” (Pafnuti Chebyshow)এ মৌলিক সংখ্যাৰ, ওপৰত কৈ অহা অনুমানটোৰ ওচৰাউচৰি অন্য এটা অনুমান দিলে সেয়া হ’লঃ x ডাঙৰ হ’লে $pi(x)$ আৰু $frac{x}{log x}$ অৰ মান .322 আৰু 1.105 ৰ মাজত থাকে| 1859 চনত ৰিমানে যি কোনো জটিল সংখ্যা z অৰ বাবে $xi(z)$ ৰ সূত্ৰটো দিয়ে| z অৰ যি মানৰ বাবে $xi(z)=0$ হয়, z অৰ সেই মানৰ ওপৰত $xi(z)$ অৰ সূত্ৰটো নিৰ্ভৰশীল| z অৰ এনে মান একোটাক শূন্য (zero) বুলি ক’লে বাস্তৱ শূন্যবোৰ হ’লঃ
-2, -4, -6,… ইত্যাদি| এতিয়া ৰিমানৰ অনুমান হ’লঃ ওপৰত বৰ্ণোৱা অন্য “শূন্য” হ’ল $frac{1}{2}+iy$ ঠাঁচৰ| অৰ্থাৎ ইহঁতে থাকে বাস্তৱ অংশ $frac{1}{2}$ ৰ সমান হোৱা ৰেখাটোৰ ওপৰত| জে. ৱান্দে লুনে (J. Vande Lune) আৰু হাৰ‌মান্‌-তে-ৰিলে (Herman te Riele) য়ে অলপতে দেখুৱাইছে যে 1.5 বিলিয়ন (billion) টো শূন্য এই ‘right line’ টোত থাকে| ৰিমানৰ অনুমানৰ সৈতে সামঞ্জস্য থকা ফ্ৰেন্‌জ মাৰ্টেনাৰ (Freng Mertens) ৰ অনুমান এটা 1984 ত মিছা প্ৰমাণিত হয়| এই অনুমানটো সঁচা প্ৰমাণিত হ’লে ই দেখুৱালেহেঁতেন যে ৰিমানৰ অনুমানো সত্য|

জিটা ফলনৰ বহল পৰিসৰৰ সৰলীকৰণ আছে| বীজগাণিতিক ক্ষেত্ৰ (algebraic field) ত অইলাৰৰ সূত্ৰৰ সহায়ত মৌলিক সংখ্যাৰ ঠাইত মৌলিক আদৰ্শ (prime ideal) লৈ জিটা ফলনৰ সংজ্ঞা দিব পৰা যায়| বীজগাণিতিক জ্যামিতি (algebraic Geometry) আৰু ডাইঅ’ফণ্টাইন সমীকৰণ (Diophantine equation) ৰ কামত অহাকৈ ৰিমানৰ অনুমানৰ সমাৰ্থক উক্তি (analogue) দিয়া হৈছে| 1985 চনত ৰিমানৰ অনুমানৰ প্ৰমাণ বিমূৰ্ত বীজগণিতৰ (abstract algebra) দ্বাৰা হোৱা বুলি হেনো বহু প্ৰচাৰ হৈছে| পিছে কোনো কোনো গণিতজ্ঞই এই ক্ষেত্ৰত ৰক্ষণশীল মনোভাৱ লৈ আছে| তেওঁলোকৰ মতে এই প্ৰচাৰ হয়তো অপূৰঠ| তেওঁলোকে আশা কৰে যে জিটা ফলনে তাৰ গুঢ়তা ৰক্ষা কৰিয়েই ৰ’ব|

আনটো বিখ্যাত সমস্যা হ’ল— বিৱাৰবাকৰ অনুমান (Bieber bach Conjectwe)| ই জ্যামিতিক ফলন তত্ত্বৰ সৈতে জড়িত| একক ব্যাসাৰ্ধৰ ভিতৰত থকা জটিল সমতলখনৰ বিন্দুসমূহক আদিক্ষেত্ৰ হিচাবে লৈ f(z) এটা ফলন লোৱা হ’ল| এতিয়া এই ফলনটোক এনে এটা প্ৰক্ৰিয়া হিচাবে ল’ব পাৰি যেনিবা ওপৰত লোৱা আদি ক্ষেত্ৰৰ z বোৰ f(z) লৈ পৰিৱৰ্তিত হৈ আহিছে| এই z বোৰৰ পৰিৱৰ্তিত প্ৰতিবিম্ববোৰ ওপৰা-উপৰিও হ’ব পাৰে| পিছে ইউনিভেলেণ্ট (Univalent) ফলনৰ ক্ষেত্ৰত এনেধৰণৰ উপৰিপতন নঘটে আৰু এই ক্ষেত্ৰতেই সাংস্থিতিক (Topological) আৰু দূৰত্ব সম্পৰ্কীয় ধৰ্মৰ পৰস্পৰ সম্পৰ্কৰ কথা আহে| কিজানিবা আদিক্ষেত্ৰত থালখন যিমানে ডাঙৰ হয়, ফলনটোও সিমানেই ডাঙৰ হয় আৰু বৃহত্তম ইউনিভেলেণ্ট ফলনে থালখনক বৃহত্তম সম্ভৱ প্ৰতিবিম্বলৈ অৰ্থাৎ গোটেই জটিল সমতলখনলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিব| এনে ধৰণৰ উক্তিৰ কিবা যথাৰ্থতা আছেনে? যদি আছে তেন্তে সেই ইইউনিভেলেণ্ট ফলনটো কি? সাধাৰণ ধাৰণাত অহা এই ফলনটো হ’ল $frac{z}{(1-1)}$ ; ঘাত শ্ৰেণীত ইয়াৰ প্ৰসাৰণ হ’ব $z+2z^2+dots +nz^n+dots .$ 1916 ত লুডউইগ্‌ বিৱাৰ্‌বাকে এনেধৰণে ভাবিলে যে এনে ধৰণৰ ফলনৰ চৰমতা তাৰ ঘাত শ্ৰেণীটোত প্ৰতিফলিত হয়| গতিকে বিৱাৰ্‌বাকৰ মতে এই ফলনৰ ঘাত শ্ৰেণীৰ nতম সহগটো n তকৈ ডাঙৰ হ’ব নালাগিব| 1984 ত লুইচ দি ব্ৰাৰ্গাৰৰ (Louis de Brarger) এক বিশেষ ধৰণৰ হঠাতে পোৱা যেন প্ৰমাণ আহি নপৰালৈকে ই অপ্ৰমাণিত হৈয়েই আছিল| বিৱাৰ্‌বাকে দ্বিতীয় সহগলৈ, কাৰ্ল লোৱানাৰ (Karl Lowner)এ 1923 চনত তৃতীয় সহগলৈ, গাৰাবেদিয়ান (P. R. Garabedian) আৰু চিফাৰ (M. Schiffer) এ 1985 ত চতুৰ্থ, পেদাৰ্‌চন (R. N. Pederson) আৰু অ’জোৱা (M. Ozawa)ই 1968ত ষষ্ঠ আৰু চিফাৰে 1972 ত পঞ্চম সহগলৈ প্ৰমাণ কৰে| পিছে ব্ৰাৰ্গাৰৰ সকলো সহগৰ বাবে প্ৰমাণটো আহে ৰবাৰ্টচন (Robertson) (1936) আৰু মিলিনৰ (Milin)(1936) দুটা অনুমানৰ (Conjecture) পৰা|

অতি সংক্ষেপে এয়েই হ’ল কুৰি শতিকাৰ শেহলৈকে কাল্পনিক সংখ্যাৰ ইতিকথা|

গণিতৰ ছাত্ৰৰ সুপৰিচিত এগৰাকী প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ লিব্‌নিজে সৌ তাহানিতে কাল্পনিক সংখ্যাক মহীয়ান তথা গৰিমাময় কৰি কৰা এষাৰ উদ্ধৃতিৰে প্ৰবন্ধটো সামৰিব খুজিছোঁ— “দৈৱিক প্ৰতিভাটোৱে সেই বিশ্লেষণ-গণিতৰ মাজত এটা চমৎকাৰ সুৰুঙা পালে| পালে এক আদৰ্শ জগতৰ ইংগিত, যেনিবা জীৱ-জড়ৰ মাজত থকা উভচৰ— যাক আমি কওঁ ঋণ এককৰ বৰ্গমূল|”

লেখক : খনীন চৌধুৰী।
লেখকৰ “গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়!” গ্ৰন্থখনৰ পৰা।

[ad#ad-2]