08 Apr সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ উজুটিত!

আগৰ প্ৰবন্ধটিত জ্যামিতিক ধাৰণা আৰু স্বীকাৰ্যৰ প্ৰসংগত এটা সাধাৰণ (common) আলোচনা কৰিলোঁ| তাতেই, ইউক্লিদৰ জ্যামিতিৰ ‘ধাৰণাৰ বাটত’ উজুটি খাবলগীয়া হোৱা গোলমলীয়া স্বীকাৰ্য-সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটি সম্পৰ্কে অলপ আলোচনা কৰিছোঁ| এতিয়া আমি অলপ বেছি সুসংহতভাৱে, কিছু বহলাই অথচ পাৰ্যমানে কম ‘টেকনিকেল’ (technical) হৈ অৰ্থাৎ ‘ধাৰণাভিত্তিক’ মাথোন হৈ, ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰপৰা একধৰণৰ ‘ক্ৰমবিৱৰ্তন’ ঘটি কেনেধৰণে বিভিন্ন অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি অংকুৰিত হ’ল— সেই সম্পৰ্কেও আৰু এই বিভিন্ন জ্যামিতিৰ অংকুৰণৰ সৈতে জড়িত গণিতজ্ঞসকলৰ জীৱনৰ তেওঁলোকৰ ধাৰণাৰ দৃষ্টিভংগীৰ বিশেষত্ব সম্পৰ্কত অলপ আলোকপাত কৰিব বিচাৰিছোঁ|

ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ভেটি হ’ল পাঁচটা প্ৰধান স্বীকাৰ্য| সেয়া হ’ল :

(১) দুটা ভিন্ন বিন্দু P আৰু Qৰ মাজেৰে যোৱাকৈ মাত্ৰ এটা ৰেখা পোৱা যায়|

দ্বিতীয় স্বীকাৰ্যটি দিয়াৰ আগতে এটা সংজ্ঞাৰ প্ৰয়োজন, সেয়া হ’ল:

A আৰু B দুটা নিদিৰ্ষ্ট বিন্দু হ’লে ৰেখাখণ্ড (segment) হ’ল বিন্দুৰ সেই সংহতিটো যাৰ মৌলসমূহ A আৰু B বিন্দু দুটা আৰু ৰেখাৰ ওপৰৰ, A আৰু B মাজৰ বিন্দুবোৰ| A আৰু B হ’ল ৰেখাখণ্ডৰ মূৰবিন্দু দুটা|

এতিয়া ইউক্লিদৰ দ্বিতীয় স্বীকাৰ্যটি হ’লঃ

(২) কোনো দুটা ৰেখাখণ্ড আৰু ৰ সাপেক্ষে এনে এটা নিদিৰ্ষ্ট বিন্দু E পোৱা যায় যে, A আৰু Eৰ মাজত B থাকে আৰু ৰেখাখণ্ড ৰেখাখণ্ডৰ সৰ্বসম|

তৃতীয় স্বীকাৰ্যটিৰ বাবে অন্য এটা সংজ্ঞা দি লওঁ, সেয়া হ’ল :

O আৰু A দুটা নিদিৰ্ষ্ট বিন্দু| এতিয়া সেইবোৰ P বিন্দু লোৱা হ’ল যাতে আৰু ৰেখাখণ্ড সৰ্বসম হয়| এনেবোৰ P বিন্দুৰ সংহতিকেই বোলা হয় এটা বৃত্ত| O হ’ল বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ, প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ড হ’ল বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ|

এতিয়া তৃতীয় স্বীকাৰ্যটি হ’ল :

(৩) দুটা ভিন্ন বিন্দু O আৰু A ৰ বাবে সদায়েই এনে এটা বৃত্ত পোৱা যাব যাৰ কেন্দ্ৰ হ’ল O আৰু ব্যাসাৰ্ধ |

অৱশ্যে যিহেতু আমি ইয়াত, ইউক্লিদৰ ভাষাতকৈ কিছু বেলেগ, সংহতি গণিতৰ ভাষাৰেহে স্বীকাৰ্যসমূহৰ কথা কৈ আছোঁ, ওপৰত বৰ্ণোৱা তৃতীয় স্বীকাৰ্যটি স্বীকাৰ্য হিচাবে নল’লেও কোনো হানি নাই| কাৰণ সংহতি গণিতৰ যুক্তিৰ ফলশ্ৰুতি হিচাবেই OA ৰ সৰ্মসম OP হ’ব পৰা P বিন্দু আছে| প্ৰকৃততে ইউক্লিদে এই স্বীকাৰ্যটিৰ যোগে আগবঢ়াব খোজা কথাখিনি অংকন সম্পৰ্কেহে, যেনে: O কেন্দ্ৰ আৰু OAক ব্যাসাৰ্ধ ধৰি সদায়েই এটা বৃত্ত আঁকিব পাৰি (বিশেষতঃ কম্পাছৰ সহায়ত)|

ইউক্লিদৰ বাকী দুটা স্বীকাৰ্যৰ প্ৰসংগত দৰকাৰ হোৱা সংজ্ঞাকেইটা হ’ল :

ৰেখাৰ ওপৰৰ তলত বৰ্ণোৱা বিন্দুৰ সংহতিটোক ৰশ্মি (ray) বোলা হয় :

বিন্দুবোৰ হ’ল ৰেখাখণ্ড আৰু সেই সকলো এনে C বিন্দু যে B বিন্দুটো A আৰু Cৰ মাজত থাকে|

ৰশ্মি ABক Aৰ পৰা ওলোৱা আৰু AB ৰেখাটোৰ এটা অংশ বোলা হয়|

দুটা ৰশ্মি AB আৰু AC পৰস্পৰ বিপৰীত বোলা হয় যদি ইহঁত বেলেগ বেলেগ হয়, একেটা বিন্দু Aৰ পৰা ওলায় আৰু যদি ইহঁত একোটা ৰেখা A´B´=A´C´ ৰ অংশ হয়| A কৌণিক বিন্দুযুক্ত কোণ A হ’ল বিন্দু A আৰু দুটা পৰস্পৰ বিপৰীত নোহোৱা ৰশ্মি AB আৰু AC (Aৰ পৰা ওলোৱা কোণক বাহু বোলে।) এই কোণটোৰ বাবে আমাৰ আলোচনাত , বা CAB এই চিহ্ন ল’ম|

দুটা কোণ আৰু ৰ AC উমৈহতীয়া বাহু হ’লে আৰু অন্য দুটা বাহু AE আৰু ACয়ে বিপৰীত ৰশ্মি গঠন কৰিলে কোণ দুটাৰ এটাক আনটোৰ পৰিপূৰক (supplementary of each other) বা পৰিপূৰক কোণ (supplementary angles) বোলে|

এটা কোণ ৰ যদি এনে এটা পৰিপূৰক কোণ থাকে যে ই ৰ সৰ্বসম, তেনেহ’লে ক এটা সমকোণ (right angle) বোলে|

এতিয়া আমি ইউক্লিদৰ চতুৰ্থ স্বীকাৰ্যৰ কথা কৈ থওঁ :

সকলো সমকোণেই পৰস্পৰ সমান| ইউক্লিদৰ প্ৰথম চাৰিটা স্বীকাৰ্য গণিতজ্ঞসকলৰ দ্বাৰা স্বীকৃত— কোনো ধৰণৰ মতান্তৰ নোহোৱাকৈ| পঞ্চম স্বীকাৰ্যটোহে গোলমলীয়া| এই স্বীকাৰ্যটোৰ খেলিমেলি ধাৰণায়েই সকলো ধৰণৰ অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ গুৰি|

প্ৰথমতে, আমি জন প্লেফেয়াৰৰ স্বীকাৰ্যৰে আগবাঢ়োঁ| এই স্বীকাৰ্যটো আচলতে ইউক্লিদৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যৰ এক সমাৰ্থক উক্তি| ১৭৯৫ খ্ৰি.ত প্লেফেয়াৰে নিজৰ ‘ষ্টাইলে’ৰে ইউক্লিদীয় জ্যামিতি উপস্থাপন কৰোঁতে ইউক্লিদৰ এই স্বীকাৰ্যটিক এনে ৰূপ দিয়ে| এই স্বীকাৰ্যটিক ইউক্লিদীয় সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য (Euclidean parallel postulates) কোৱাই ভাল| কাৰণ তেতিয়া ই ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰপৰা অন্য সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ ওপৰত বৰ্তি থকা জ্যমিতিক সুস্পষ্ট ৰূপত সাব্যস্ত কৰিব|

ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত তলৰ পদকেইটা সংজ্ঞাহীন (undefined) হিচাবেই লোৱা হয় :

(১) বিন্দু, (২) ৰেখা, (৩) ওপৰত থকা [যেনে : দুটা বিন্দু এটা নিৰ্দিষ্ট ৰেখাৰ ওপৰত থাকে], (৪) মাজত থকা [যেনে : C বিন্দুটো A আৰু B বিন্দুৰ মাজত থাকে], (৫) সৰ্বসম|

এতিয়া আটাইতকৈ দৰকাৰী সংজ্ঞাটো হ’ল : দুটা ৰেখা m আৰু n সমান্তৰাল বোলা হয় যদিহে ইহঁত পৰস্পৰ লগ নালাগে বা নাকাটে অৰ্থাৎ যদি কোনো বিন্দু দুয়োটা ৰেখাৰেই ওপৰত নাথাকে তেতিয়া আমি ইয়াক বুজাব m||n এনেদৰে|

ওপৰৰ সংজ্ঞাটিত মন কৰিবলগীয়া কথাকেইটা হ’ল :

(১) ওপৰৰ সংজ্ঞাটোৰ পৰা এইটো আমি নাজানোঁ যে ৰেখা দুডাল সমদূৰৱৰ্তী| এইখিনি কথা অলপ বহলাই কৈ থোৱা ভাল| সাধাৰণতে সমন্তৰাল ৰেখা আঁকোতে মনলৈ অহা ৰেখা দুডালৰ সমদূৰৱৰ্তীতা ধাৰণাৰ দ্বাৰা ভুলভাৱে পৰিচালিত হোৱাৰ পৰা নিজকে বিৰত ৰখা উচিত| মাৰ্ভিন জেয় গ্ৰীণবাৰ্গৰ ভাষাৰে ক’বলৈ হ’লে “সমান্তৰাল ৰেখাৰ চিত্ৰই আনি দিয়া ‘সমান্তৰাল ৰেখাবোৰ সমদূৰৱৰ্তী’— এই ধাৰণাটোৰে ভুল পৰিচালিত নহ’বা।” আমি এনে সাৱধাণতাৰে আগবাঢ়িব লাগিব যে বিশদভাৱে বা স্পষ্টভাৱে কোনোবা কোনো ‘ধৰি লোৱা ধাৰণা’ আমাৰ প্ৰমাণৰ বাটত আহিবলৈ দিব নালাগিব| সেয়ে আমি এই সিদ্ধান্তও ল’ব নোৱাৰোঁ যে সমান্তৰাল সৰলৰেখা পৰস্পৰ সমদূৰৱৰ্তী নহয়| এই সম্পৰ্কত কোনো ধৰণৰ ৰায় নিদিয়াকৈয়ে আমাৰ অধ্যয়ন চলিব| এই মুহূৰ্তত আমি মাথোন এইখিনিয়েই জানোঁ যে সমান্তৰাল ৰেখাই কেতিয়াও পৰস্পৰ নিমিলে|

 

ইউক্লিদীয় সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য :

l কোনো এটা নিদিৰ্ষ্ট ৰেখা। P l ৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দু হ’লে Pৰে যোৱা মাত্ৰ এটা ৰেখা পোৱা যাব, যি l ৰ সমান্তৰাল|

ওপৰত বৰ্ণোৱা স্বীকাৰ্য পাঁচটাত এবাৰ চকু ফুৰোৱা হওক|

প্ৰথম স্বীকাৰ্য দুটা আচলতে আমাৰ অভিজ্ঞতাৰপৰা অহা, সেয়া হ’ল— স্কেলৰ সহাত অঁকা চিত্ৰৰ বিমূৰ্ত ৰূপ| তৃতীয় স্বীকাৰ্যটোও তেনে এক অভিজ্ঞতালব্ধ ধাৰণা, সেয়া হ’ল— কম্পাছৰ সহায়ত কৰা অংকনৰ ধাৰণা| চতুৰ্থ স্বীকাৰ্যটো অৱশ্যে সহজলভ্য নহয় যদিও ই অভিজ্ঞতালব্ধ ধাৰণায়েই— কোণমান যন্ত্ৰৰ সহায়ত কোণ জোখা অভিজ্ঞতাৰ পৰা প্ৰাপ্ত (পৰিপূৰক কোণৰ যোগফল ১৮০°)| গতিকে পৰিপূৰক কোণ দুটা সৰ্বসম হ’লে ইহঁত প্ৰতিটোৱে ৯০°| লেঠা হ’ল পঞ্চম স্বীকাৰ্যটোক লৈ| ইয়াক আমি যুক্তিৰে সত্যাপিত কৰিব নোৱাৰোঁ| ইয়াৰ প্ৰধান কাৰণ হ’ল— আমি অকল ৰেখাখণ্ডহে আঁকিব পাৰো, ৰেখা নহয়| কোনো দুটা ৰেখা পৰস্পৰে কাটে নে নাকাটে তাক বঢ়াই দি চাব পাৰোঁ হয়, পিছে ইহঁতক আমি অসীমভাৱে বঢ়াব নোৱাৰোঁ| সেয়ে পঞ্চম স্বীকাৰ্যটি সত্যাপন কৰি চোৱাৰ উপায় হ’ব সংজ্ঞাৰ বাহিৰৰ কিবা ধৰ্মৰদ্বাৰা|

l আৰু m সমান্তৰাল হোৱাৰ অন্য বৈশিষ্ট্যটোনো বাৰু কি? এই বিষয়ত ইউক্লিদে আগবঢ়োৱা উপায়টো এনে ধৰণৰ :

l আৰু mক দুটা বিন্দুত কটাকৈ এডাল ছেদক t টনা হ’ল| tৰ একেফালৰ অন্তঃকোণ দুটা a আৰু bৰ যোগফাল লোৱা হ’ল| যোগফল ১৮০° তকৈ কম হ’লে ইউক্লিদৰ (কল্পনা?) মতে ৰেখা দুডাল, tৰ যি ফালে আছে সেইফালে বঢ়াই দিলে লগ লাগিব| প্ৰকৃততে এইখিনিয়ে ইউক্লিদৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যৰ বিষয়বস্তু| পিছে সমস্যা হ’ল ওপৰত এইমাত্ৰ বৰ্ণোৱা কথাখিনি আৰু আমি ইতিমধ্যে কৈ অহা ইউক্লিদৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য— এই দুয়োটাই যৌক্তিভাৱে থাকে| সেয়ে একে কথাকেই বেলেগ ধৰণে কোৱাৰ বাদে নতুনত্ব একোৱেই নাই, অৰ্থাৎ ওপৰৰ স্বীকাৰ্যটিৰ শুদ্ধতা সম্পৰ্কে আমি নিঃসন্দেহ হ’ব নোৱাৰোঁ|

স্বীকাৰ্য এটা এনেদৰে লোৱা হয় যাতে ইয়াৰ সত্যতাত সন্দেহ নথকাকৈ ই সৰল হয় আৰু সহজতম ‘বোধ’ৰ (intuition) ওপৰত প্ৰতিষ্ঠিত হয়| একেবাৰে আৰম্ভৰপৰাই এই বিশেষ স্বীকাৰ্যটোক এনেদৰে গঢ় দিব বিচৰা হৈছে যাতে ই, ইয়াৰ সত্যতাত সন্দেহ থাকিব নলগা এটা কল্পনা হয়| গণিতজ্ঞসকলে প্ৰায় দুই হাজাৰ বছৰ ধৰি প্ৰথম চাৰিটা স্বীকাৰ্যৰ সহায়ত পঞ্চমটো পাবলৈ চেষ্টা চলাই আহিছে| পিছে দুৰ্ভাগ্যৰ কথা যে প্ৰথম চাৰিটা স্বীকাৰ্যৰ সহায়ত পঞ্চমটো পোৱাৰ কাৰণে চলোৱা সকলো চেষ্টা একে কাৰণতেই অকৃতকাৰ্য হৈছিল| সেয়া হ’ল, প্ৰতি ক্ষেত্ৰতেই আগবঢ়োৱা প্ৰমাণসমূহৰ মাজত এনেকুৱা একোটা কল্পনা (assumption) সুমুৱাব লগা হয়, যি প্ৰকৃততে যুক্তিযুক্ত (justified) নহয়| এনে ধৰণৰ বহুতো চেষ্টাৰ এটা অলোচনা কৰিব খুজিছোঁ|

l ৰেখাটোৰ ওপৰত নথকা, P এটা বিন্দু| Pৰ পৰা lৰ Q বিন্দুত PQ লম্ব টনা হ’ল|

ধৰা হ’ল n ৰেখাটোৰ PR এটা ৰশ্মি| ই PQ ৰশ্মি আৰু Pৰ পৰা ওলোৱা mৰ এটা ৰশ্মিৰ মাজত থাকে| PQ ৰশ্মিৰ যি ফালে R আছে তাৰ বিপৰীত ফালে R´ এটা বিন্দু লোৱা হ’ল যাতে ÐQPR´=ÐQPR| তেতিয়া Q বিন্দুটো ÐRPR´ ৰ অন্তৱৰ্তী হৈ থাকিব| যিহেতু l ৰেখাটো ÐRPR´ ৰ অন্তৱৰ্তী বিন্দু Qৰে যায়, lএ নিশ্চয় কোণটোৰ এটা বাহু কাটিব| যদি lএ PR বাহুক কাটে, তেনেহ’লে নিশ্চয় ই nক কাটিব| ধৰাহ’ল lএ PR বাহুটোৰ A বিন্দুত কাটে আৰু ধৰা হ’ল PR বাহুৰ ওপৰত B সেই একক (unique) বিন্দুটো যে PA= PB তেতিয়া DPQA=DPQB (SAS)| গতিকে ÐPQB এটা সমকোণ| সেয়েহে B বিন্দুটো n আৰু nৰ ওপৰত থাকে|

এতিয়া কথা হ’ল ওপৰৰ প্ৰমাণটোৰ শুদ্ধতা সম্পৰ্কে সন্দেহ কোনখিনিত? আমি যদি প্ৰতিটো খাপেই (step) সাৱধানে মন কৰোঁ, তেনেহ’লে প্ৰথমেই মনলৈ অহা প্ৰশ্নটো হ’ল : দুটা ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব বুলি কোৱা হ’ব কেতিয়া? কাৰণ ‘লম্ব’ৰ সংজ্ঞা জনাৰ পিছতহে আমি এই যুক্তিটো দিব পাৰিম যে দুটা ৰেখা l আৰু mৰ উমৈহতীয়া (common) লম্ব ৰেখা এটা থাকিলে l আৰু m পৰস্পৰ সমান্তৰাল হয়| ইয়াত মন কৰিবলগীয়া এয়ে যে আমি প্ৰমাণ কৰিব খোজা কথাখিনিৰ সহায় নোলোৱাকৈ এইমাত্ৰ উল্লেখ কৰা কথাখিনি প্ৰমাণ কৰিব পাৰিব লাগিব| দ্বিতীয়তে SAS (বাহু, কোণ, বাহু) সম্পৰ্কীয় কথাখিনিৰো শুদ্ধাশুদ্ধতা প্ৰত্যয় নিয়াব পাৰিব লাগিব| তৃতীয়তে এটা কোণৰ ‘অন্তৱৰ্তী বিন্দু’ৰ (interior point) সংজ্ঞা দিব লাগিব| আৰু এয়াও আমি প্ৰমাণ কৰিব পাৰিব লাগিব যে, কোনো কোণৰ অন্তৱৰ্তী বিন্দুৰে যোৱা এটা ৰেখাই কোণটোৰ এটা বাহুক কাটে| এই ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ জটিল কথাখিনি হ’ল এই যে— ওপৰত কৈ অহা আমি প্ৰমাণ কৰিবলগীয়া অথবা সংজ্ঞা দিবলগীয়া সকলোখিনি কাম কৰিব লাগিব— আদিতে বৰ্ণোৱা পাঁচটা স্বীকাৰ্যৰ প্ৰথম চাৰিটাৰ সহায়ত| পঞ্চম স্বীকাৰ্য অথবা ইয়াৰ সমাৰ্থক কোনো উক্তিৰেই আমি সহায় ল’ব নোৱাৰিম| অৰ্থাৎ ওপৰত বৰ্ণোৱা প্ৰমাণটোৰ ভিতৰত সোমাই থকা ত্ৰুটিখিনিৰ সম্পৰ্কত বহুতো অনুশীলনী কৰিবলগা আছে| ওপৰৰ এই প্ৰমাণটো আগবঢ়ায় অদ্ৰেই মেৰি লেজেণ্ডাৰে (Adrien Marie Legendre, 1752-1833)| লেজেণ্ডাৰৰ যুক্তিত এনেধৰণৰ বহুতো উক্তি আছে, যিবোৰ প্ৰথম স্বীকাৰ্য চাৰিটাৰদ্বাৰা প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰি|

অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি বুজিবলৈ যোৱাৰ আগতে বা ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ত্ৰুটিখিনি বিশদভাৱে জনাৰ আগতে আমি জ্যামিতিৰ এটা বিশেষ অংশত মন দিওঁহ্ক; সেয়া হ’ল— ইনচিডেঞ্চ জ্যামিতি| এই ক্ষেত্ৰত আমি ‘বিন্দু’ আৰু ‘ৰেখা’ দুটা মাত্ৰ সংজ্ঞাহীন পদ ল’ম আৰু ইনচিডেঞ্চ এটা সংজ্ঞাহীন সম্পৰ্কে ল’ম| এই সম্পৰ্কটো বুজোৱা হ’ব— ‘P বিন্দু, ৰেখা lৰ ওপৰত আছে’ এনেদৰে| লগতে তিনিটা স্বীকাৰ্য আমি ল’ম, সেইকেইটা হ’ল—

(১) কোনো দুটা (ভিন্ন) বিন্দু মাথোন এটা ৰেখা lৰ ওপৰত থাকে|

(২) প্ৰতিটো ৰেখা lৰ বাবে কমেও দুটা বিন্দু পোৱা যাব, যি দুটা lৰ ওপৰত থাকে|

(৩) এনেকুৱা তিনিটা বিন্দুৰ স্থিতি সম্ভৱ যে, সিহঁত কোনো ৰেখাৰ ওপৰতেই নাথাকে|

আগতে উল্লেখ কৰি অহা স্বীকাৰ্য পাঁচটাৰ সহায়ত আমি তলৰ কথাকেইটাৰ উত্তৰ দিব নোৱাৰোঁ|

(১) কোনো এটা ৰেখা lৰ ওপৰত এটা বিন্দু থাকে (কিয়নো ৰেখা এটা সংজ্ঞাহীন ধাৰণা আৰু স্বীকাৰ্যকেইটাই বিন্দু এটা ৰেখাটোৰ ওপৰত থকা সম্পৰ্কত একো নকয়)| তেনেদৰে

(২) কোনো এটা ৰেখা lৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দুৰ স্থিতি সম্পৰ্কেও একো ক’ব নোৱাৰি|

পিছে এইমাত্ৰ লোৱা স্বীকাৰ্যকেইটাই এই সমস্যাটো দূৰ কৰে| আমি দেখোঁ যে— ইউক্লিদে ‘বিন্দু’ আৰু ‘ৰেখা’ৰ স্থিতি সম্পৰ্কে, তেওঁৰ কল্পনাৰ সকলোবোৰ বিন্দুৱেই যে একৰেখীয় নহয়, সেই সম্পৰ্কে আৰু প্ৰতিটো ৰেখাৰ ওপৰত যে কমেও দুটা বিন্দু থাকে সেই সম্পৰ্কে স্পষ্টভাৱে উল্লেখ নকৰিলে| আনহাতে ওপৰত বৰ্ণোৱা স্বীকাৰ্য তিনিটাই এই কামখিনি সম্পূৰ্ণ কৰে| ‘মাজত থকা’ (betweenness) সম্পৰ্কে ধাৰণা দিব পৰা কল্পনাও ইউক্লিদে লৈ থোৱা নাছিল| কুৰি শতিকাৰ আগভাগৰ প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ ডেভিদ হিলবাৰ্টে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ভিতৰত সোমাই থকা স্বীকাৰ্যভিত্তিক ভেটিটোত এক আলোড়নকাৰী পৰিৱৰ্তন আনে— বহু ধৰণৰ স্বীকাৰ্য আৰোপ কৰি| হিলবাৰ্টৰ স্বীকাৰ্যসমূহক মুঠতে পাঁচটা ভাগত ভগোৱা হয়— ইনচিডেঞ্চ, মাজত থকা (betweenness), সৰ্বসমতা (congruence), অবিচ্ছিন্নতা (continuity) আৰু সমান্তৰালতা (parallelism)|

ইউক্লিদে এনেয়ে মানি লোৱা কেতবোৰ কথা হিলবাৰ্টৰ স্বীকাৰ্যসমূহে প্ৰমাণ কৰে| অন্যহাতে ইউক্লিদৰ তৃতীয় স্বীকাৰ্যটো হিলবাৰ্টৰ পদ্ধতিত এটা সংজ্ঞা হিচাবে ধৰা দিয়ে আৰু চতুৰ্থ স্বীকাৰ্যটি হৈ পৰে এটি উপপাদ্য| অকল (incidence, betweenness, congruence আৰু continuityৰ স্বীকাৰ্য ব্যৱহাৰ কৰি (সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ) পাব পৰা জ্যামিতিক কোৱা হয়— নিউট্ৰেল জ্যামিতি| এনে জ্যামিতিক এটা অৰ্থত পিওৰেষ্ট বা মৌলিক জ্যামিতি কোৱাত নিশ্চয় বাধা নাথাকে| ইয়াতেই এটা প্ৰশ্ন আমি তুলিব পাৰোঁ : এনেবিধ জ্যামিতি অধ্যয়নৰপৰা লাভ কি?

এনেবিধ জ্যামিতিৰ অধ্যয়নে জ্যামিতিত সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ প্ৰভাৱ বা গুৰুত্ব স্পষ্ট ৰূপত প্ৰকাশ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰে, জ্যামিতিৰ কি কি ফল বা কেনে ধৰণৰ ফল, সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ ওপৰত ভেজা নিদিয়াকৈ পাব পাৰি, ইয়াক নিৰ্ণয় কৰে| এইবিধ জ্যামিতিৰদ্বাৰা এনে ধৰণৰ এক বুজন সংখ্যক উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়|

‘নিউট্ৰেল জ্যামিতি’ নামটো দিছিল গণিতজ্ঞ জেনচ্‌ বল্যায়ে (যথাস্থানত বল্যাই সম্পৰ্কে আমি বিশেষ আলোচনা কৰিম)|

মাৰ্টিন জেয় গ্ৰীণ বাৰ্গে কয়— আমি ঐতিহাসিকভাৱে অতি বিতৰ্কমূলক হৈ পৰা হিলবাৰ্টৰ তালিকাখনৰ এটা স্বীকাৰ্যৰ সম্পৰ্কত নিৰপেক্ষ হৈ থাকোঁ| সেয়া হ’ল : হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য (Hilbert’s axiom of parallelism):

প্ৰতিটো ৰেখা l আৰু l ৰ ওপৰত নথকা প্ৰতিটো বিন্দু Pৰ বাবে খুব বেছি এটা ৰেখা m পোৱা যাব, যি Pৰে যায় আৰু l ৰ সমান্তৰাল হয়|

মন কৰিবলগীয়া এই যে, এই স্বীকাৰ্যটো ইউক্লিদীয় সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যতকৈ দুৰ্বল| ইয়াত খুব বেছি এটা তেনে সৰলৰেখাৰ স্থিতিৰ বিষয়ে কয়| গতিকে তেনে সৰলৰেখা নথকাৰ সম্ভাৱনাও নুই নকৰে| আনহাতে ইউক্লিদীয় সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ ক্ষেত্ৰত তেনে ৰেখা কমেও এটা থাকে|

উপৰোক্ত সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটোৰ হিলবাৰ্টৰ মুঠ ১৬টা স্বীকাৰ্যই ইউক্লিদীয় জ্যামিতিক সম্পূৰ্ণ কৰে| সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ লগত জড়িত নিউট্ৰেল জ্যামিতিৰ এটা উল্লেখযোগ্য উপপাদ্য এইখিনিতে কৈ থওঁ, সেয়া চচ্চেৰী লেজেণ্ডাৰ উপপাদ্য (Seaccheri-Legendre Theorem)|

কোনো ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ ডিগ্ৰীৰ জোখত যোগফল ১৮০° তকৈ কম বা ১৮০° সমান|

সাধাৰণ জ্যামিতিৰ ধাৰণাৰ অভ্যস্ত মনৰ বাবে এনে যোগফল ১৮০°ৰ সমান বুলিহে আমি জানো| পিছে নিউট্ৰেল জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত এই সঠিকতাখিনি (exactness) প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰি|

 

অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ আৱিষ্কাৰ :

ওলফ্‌ গ্যাঙ বল্যাই আছিল গাউছৰ বন্ধু| গট্ৰিংগেন দুয়োৰে (Gottingen) ছাত্ৰ| ওলফ্‌ গ্যাঙ বল্যাইৰ পুতেক জেনচ্‌ বল্যাই (Janos Bolyai 1802-1860)| অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সম্পৰ্কে জেনচ্‌ বল্যায়ে দেউতাকলৈ যেতিয়া লিখিলে, দেউতাকে তেতিয়া একপ্ৰকাৰ সাৱধান কৰি দিছিল:

“এয়া মই ক’ব খোজোঁ, যদি তুমি সমস্যাটোৰ এটা সমাধান পোৱাত প্ৰকৃততে কৃতকাৰ্য হৈছা, তেনে দুটা কাৰণত ইয়াৰ প্ৰকাশ হোৱাটো সংকোচৰ যোগ্য| প্ৰথম কাৰণটো হ’ল, ধাৰণা বোলা কথাখিনি সদায়েই এজনৰপৰা আনজনলৈ সহজতেই গুচি যায় আৰু সেয়ে আনজনেও এইবোৰ প্ৰকাশ কৰিব পাৰে| দ্বিতীয়তে, বসন্তকালত সকলো ফালে বেঙুনীয়া ৰঙে ভূমুকি মৰাৰ দৰে এয়া সত্য হোৱা দেখা যায় যে, বহুতো বস্তুৰ যেন একোটা ‘যুগ’ আছে, য’ত এইবোৰ কেবাঠাইতো একেলগে আৱিষ্কৃত হৈছে|”

জেনচ্‌ বল্যায়ে দেউতাকৰ এখন কিতাপত The Tentamen (1831) ২৫ পৃষ্ঠাৰ Appendix হিচাবে তেওঁৰ আৱিষ্কাৰখিনি প্ৰকাশ কৰিছিল| দেউতাকে বন্ধু গাউছলৈ কিতাপখনৰ এটা কপি অত্যাগ্ৰহেৰে পঠিয়ালে| গাউছ আছিল তেওঁৰ ছাত্ৰৱস্থাৰ বন্ধু, তদুপৰি তেওঁলোকৰ মাজত চিঠি-পত্ৰৰো আদান-প্ৰদান আছিল| প্ৰত্যুত্তৰত গাউছে লিখা চিঠিখনৰ এক ঐতিহাসিক মূল্য আছে বাবেই উদ্ধৃত কৰিব বিচাৰিছোঁ মূল চিঠিৰ ভাষা :

“যদি মই এই বক্তব্যৰে আৰম্ভ কৰোঁ যে, মই এই কামক প্ৰশংসা কৰিবলৈ সাহস নকৰোঁ, তেনেহ’লে তুমি নিশ্চয় এক মুহূৰ্তৰ বাবে অৱশ্যেই বিমোৰত পৰিবা| কিন্তু মই আন বেলেগ কৰিব যে নোৱাৰোঁ| ইয়াক প্ৰশংসা কৰাটো যে মই নিজকে প্ৰশংসা কৰা যেন হ’ব| কিয়নো এই কৰ্মৰ সমস্ত বিষয়খিনি বা তোমাৰ পুত্ৰই যি পথেৰে গৈছে বা যি ফলাফল পাইছে, এই সকলোখিনিয়েই মোৰ নিজৰ মনত নিজা ‘মেডিটেশ্যন’ৰে আজি ত্ৰিছ-পঁয়ত্ৰিছ বছৰ ধৰি মোৰ মনত ঠাই পাই আহিছে| এই বিষয়ত মই নিজেই এই চৰম কৰ্ম-ফলশ্ৰুতিত আচৰিত হৈছোঁ|”

এইখিনিতে গণিতজ্ঞজনৰ ব্যক্তিগত কথা অলপ মন কৰিব খুজিছোঁ :

জেনচ্‌ বল্যায়ৰ দেউতাকে পুতেকক গাউছৰ ঘৰত ‘এপ্ৰেষ্টিছ’ হিচাবে কাম কৰাৰ কাৰণে থ’ব খুজি গাউছলৈ চিঠি লিখিছিল| পিছে গাউছে কোনো উত্তৰ দিয়া নাছিল| গাউছৰ পুতেক ঘৰৰপৰা এবাৰ পলাই গুচি গৈছিল| এনে ধৰণৰ বেমেজালিয়ে গাউছক কষ্ট দিছিল বাবে তেওঁ বল্যাইক লগত ৰাখিব খোজা নাচিল| জেনচ্‌ৰ দেউতাকে পুতেকৰ কৃতিৰ সম্ভাৱনা সম্পৰ্কে অতি নিশ্চিত আছিল আৰু সেয়ে গাউছৰপৰা এই বিষয়ত প্ৰশংসা বিচাৰিছিল| যিহেতু গাউছ ইতিমধ্যেই প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ হিচাবে সু-প্ৰতিষ্ঠিত হৈছিল, সেয়ে এই বিষয়ত গাউছৰদ্বাৰা প্ৰচাৰ হোৱাটো স্বাভাৱিকভাৱেই আশা কৰিছিল| গতিকে ওপৰৰ লেখাখিনি পঢ়ি জেনচ্‌ যে কিমান হতাশ হৈছিল, সেয়া সহজেই অনুমেয়| নামত এনেয়ে, গাউছে প্ৰশংসা কৰিলেও জেনচ্‌ গাউছৰ প্ৰতি ইমানেই তিতা হৈ পৰিছিল যে তেওঁ আনকি দেউতাককো সন্দেহ কৰিছিল এইবুলি— কিজানিবা দেউতাকে জেনচ্‌ৰ অজ্ঞাতেই তেওঁৰ ফলসমূহ গাউছক জনাইছিল আৰু শেষত গাউছে যদি সেইবোৰকেই নিজৰ নামত চলাব খুজিছিল| ইয়াৰ পিছত, উগ্ৰসাহসী, একেৰাহে তেৰখন দ্বন্দ্ব যুদ্ধত জিকা, অতি ধৈৰ্যশীল জেনচ্‌ গভীৰ মানসিক হতাশাত ভোগে আৰু কেতিয়াও নিজৰ গৱেষণালব্ধ ফাল প্ৰকাশ নকৰা হয়| ১৮৫১ চনত তেওঁ লিখে:

“আনৰ প্ৰতি কোনো ভেদ ভাৱ নোলোৱাকৈ বিচাৰ কৰি, মোৰ মতানুসৰি মই প্ৰত্যায়িত হৈছিলো যে, গাউছে তেওঁৰ জীৱনকালত একোৱেই প্ৰকাশ নকৰিম বোলা কথাটো তেওঁ কিয় ব্যাখ্যা নকৰিব— এই বিষয়ত গাউছৰদ্বাৰা আগবঢ়োৱা সকলোবোৰ কাৰণ যেন শক্তিহীন আৰু ৰিক্ত ভাৱৰ আছিল| সাধাৰণ জীৱনৰ দৰেই বিজ্ঞানৰ ক্ষেত্ৰতো এয়া স্পষ্ট কৰি দিয়া প্ৰয়োজন যে, এতিয়াও অস্পষ্ট হৈ থকা, জগাই তুলিবলগীয়া হৈ থকা, শক্তিৱন্ত কৰি তুলিবলগীয়া হৈ থকা, ৰাইজৰ স্বাৰ্থজড়িত বস্তুবোৰক সত্য আৰু শুদ্ধতাৰ বাবে, পিছপৰি থকা বা হেঁচা খাই থকা ভাৱটোক আগবঢ়াই দিবলগীয়া আছে| পিছে হায়, মানৱৰ বাবে এয়া অতি ক্ষতিকাৰক আৰু অসুবিধাৰ যেন কথা যে, মাথোন কেইমুঠিমান মানুহৰহে গণিতৰ ধী-ক্ষমতা আছে আৰু এই কাৰণতেই আৰু সাব্যস্তকৰণৰ বাবে গাউছে তেওঁৰ কৰ্মৰ এক বুজন অংশ প্ৰকাশ কৰাৰ পৰা আঁতৰাই ৰাখিছিল| এয়া সঁচা যে, গণিতজ্ঞসকলৰ মাজত, আনকি বহুত প্ৰতিষ্ঠিতসকলৰ মাজতো উপৰুৱাতকৈয়ো উপৰুৱা অনেক লোক আছে| কিন্তু ইয়েই কোনো জ্ঞান থকাজনক এনে এক কাৰণ নেদেখুৱায় যে, এইবাবেই মধ্যমধৰণৰ বস্তুহে লিখা হ’ব| আৰু ফল হিচাবে বিজ্ঞানক স্থবিৰতাৰ জগতখনৰ এক এলেহুৱা উত্তৰাধিকাৰী হ’বলৈ বুলি এৰি দিব| এনে এটা কল্পনা অ-প্ৰাকৃতিক বা তেনেই মূৰ্খামি বুলিহে ক’ব পাৰি| গতিকে, মই এয়া সঠিকভাৱেই ল’ব পাৰোঁ যে, সৎ খোলা আৰু নিশ্চিতভাৱে পৰম মূল্যমানৰ পৰিশিষ্ট বা সংযোজনক মানি লোৱাৰ বিপৰীতে, তেওঁ এক ধৰ্মীয় ইচ্ছাৰ সন্তুষ্টিৰ লেখীয়া| এই মানসিকতাক আমি জীৱন, কৰ্ম আৰু মূল্যবোধ নোবোলো নিশ্চয়|”

অৱশ্যে জেনচ্‌ বল্যাইৰ আৱিষ্কাৰখিনিৰ কিছু ধাৰণা গাউছৰ থকাটোৰ সাক্ষ্য পোৱা যায়| কিয়নো পোন্ধৰ বছৰ বয়সতেই গাউছে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ওপৰত কাম কৰে| গাউছে Wolber নামৰ এজনলৈ লিখে যে ‘মই ক্ৰমান্বয় অধিকৰপৰা অধিকতৰ ভাৱে বুজি আহিছোঁ যে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ প্ৰয়োজনীয়তা অন্ততঃ মানৱীয় যুক্তিৰে বা মানৱীয় যুক্তিৰ বাবে প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰি| হয়তো অন্য এটা জীৱনতহে- বৰ্তমানে ঢুকি নোপোৱা- অন্তৰীক্ষৰ প্ৰাকৃতিক অন্তৰ্দৃষ্টিক কৰায়ত্ত কৰিব পাৰিম| ১৮২৪ চনত F A Taurinusলৈ লিখিছিল (Taurinusয়েও সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য তত্ত্বৰ অনুসন্ধানৰ চেষ্টা কৰিছিল)|

“তোমাৰ চেষ্টাৰ সম্পৰ্কত ইয়াৰ অসম্পূৰ্ণতাত বাদে মোৰ বিশেষ ক’ব লগা (বা বেছি ক’ব লগা) নাই| এয়া সঁচা যে, সমতলীয় ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ বেছি হ’ব নোৱৰা বুলি প্ৰদৰ্শন কৰাটোও যেন ‘জ্যামিতীয় গোন্ধ’ৰ অনুপস্থিতি হৈছে| কিন্তু ইয়াক পৰিশোধন কৰি ল’ব পাৰি| আৰু এয়া নিঃসন্দেহ যে অসম্ভৱতাটো অতি নিয়ম মাফিকভাৱে প্ৰমাণ কৰিবও পাৰি| কিন্তু দ্বিতীয় অংশত পৰিস্থিতিটো বেলেগ— য’ত কোণকেইটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম হ’ব নোৱাৰে| ইয়েই সংকট বিন্দুটো আৰু ইয়াৰ ওপৰৰ গাঁঠিটোতেই সকলো ধ্বংসাৱশেষখিনি দেখা দিয়ে| মই ভাবোঁ যে এই সমস্যাটোৱে তোমাক বৰ বেছি ব্যস্ত ৰখোৱা নাই| মই এইটোত ত্ৰিছ বছৰৰো অধিক সময় নিয়োজিত কৰিছোঁ| আৰু মই বিশ্বাস নকৰোঁ যে, মোত বাদে অইন কোনোবাই এই দ্বিতীয় অংশটোত বেছি চিন্তা খটুৱাব পাৰিছে, যদিওবা মই ইয়াৰ ওপৰত একো প্ৰকাশ কৰা নাই|

এই কোণকেইটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম এই কথাটোৱে এবিধ উত্‍সুকতাপূৰ্ণ জ্যামিতিলৈ লৈ যায়, ই আমাৰ (ইউক্লিদীয়) জ্যামিতিতকৈ বেলেগ| কিন্তু ই নিয়মমাফিক সংগতিপূৰ্ণ| ইয়াক মই মোৰ পূৰা সন্তুষ্টিৰ সহিত প্ৰসাৰ ঘটাইছোঁ, এই ভাবিয়েই যে যাতে মই ইয়াৰ স’তে জড়িত সকলো ধৰণৰ সমস্যাক সমাধা কৰিব পাৰোঁ| ইয়াত মই পূৰ্ব নিৰ্ধাৰিত বুলিব নোৱৰা এটা ধ্ৰুৱক নিৰ্ণয়ৰ সমস্যাটোত বাদে দিছো| ডাঙৰটোৱে এটা ধ্ৰুৱক লয়| ওচৰৰটো ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিলৈ আহে আৰু যেতিয়া ইয়াক অসীমভাৱে ডাঙৰ কৰি লোৱা হয়, এই দুয়োটাই একেলগ হয়| এই জ্যামিতিৰ উপপাদ্যসমূহ গোলমলীয়া যেন ভাব হয়, আৰু অনা-ঔদ্যোগিকভাৱে অসম্ভৱ| কিন্তু এক শান্ত, স্থিৰ প্ৰতিফলনে প্ৰকাশ কৰে যে, এইবোৰে মুঠেই কোনো অসম্ভৱতা বহন নকৰে| উদাহৰণ স্বৰূপে ত্ৰিভূজৰ তিনিটা কোণৰ যোগফল ইচ্ছামতে সৰু কৰি ল’ব পৰা যায় যদিহে বাহুকেইটা যথেষ্ট ডাঙৰ কৰি লোৱা হয়| তথাপি ত্ৰিভূজটোৰ কালি এক বিশেষ সংখ্যাতকৈ বেছি নহয়| কোনো কথা নাই, বাহুকেইটা যিমানেই ডাঙৰ নহওক কিয় বা ই কেতিয়াও ইয়াত উপনীত নহয়| অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত বিসংগতি বা বিৰোধ আৱিষ্কাৰ উলিয়াবলৈ চলোৱা মোৰ সকলো প্ৰচেষ্টা বিফলে গৈছিল| আমাৰ ধাৰণাত আউল লগোৱা এটা কথা আছিল যে, অন্তৰীক্ষত ইয়াৰ নিজৰ বাবেই এক ৰৈখিক মাত্ৰা থাকিব লাগিব— (আমাৰ অজানা হৈ থকাকৈ)| দেখা যায় যে, অন্তৰীক্ষৰ শুদ্ধ প্ৰকৃতি সম্পৰ্কে আমি একোকে নাজানো| যদি এই অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সত্য হয়, আৰু আমি আমাৰ জোখ-মাপত ‘পৃথিৱী আৰু সৰগ’ত সোমোৱাৰ দৰে এয়া তুলনা কৰাটো সম্ভৱ হয় যে, সেই ধ্ৰুৱকটো এনে মাত্ৰাৰেই, তেতিয়া হ’লে ইয়াক পশ্চাত্‌-নিৰ্ধাৰিতভাৱে (a posterior) নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিলোহেঁতেন| ফলশ্ৰুতি হিচাবে মই কেতিয়াবা কৌতুকৰ খাটিৰত এই ইচ্ছাটোও প্ৰকাশ কৰিছোঁ যে, ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সত্য নহয়|’ আৰু তেতিয়াৰপৰাই আমাৰ এটা আগতীয়া (a prior) জোখ আছে|

মই একো মন নকৰোঁ যে, যদি কোনো চিন্তাশীল গাণিতিক মন থকা এজন মানুহে ওপৰত কোৱা কথাখিনি ভুল বুজে| পিছে যি কোনো ক্ষেত্ৰতেই ই এক ব্যক্তিগত বিষয় বুলিহে ধৰা হ’ব| ইয়াৰ কোনো ৰাজহুৱা ব্যৱহাৰ নাথাকিব| বোধহয়, যদি মই বৰ্তমানৰ তুলনাত অধিক আহৰি পাওঁ, তেনেহ’লে মোৰ এই অনুসন্ধানখিনি ৰাজহুৱা কৰিম|

গণিতজ্ঞ হিচাবে অতি সন্মানীয় প্ৰতিষ্ঠা থকা সত্ত্বেও গাউছে এই বিষয়ত তেওঁৰ আৱিষ্কাৰসমূহ প্ৰকাশ কৰিবলৈ সংকোচ কৰা বা ভয় (?) কৰাটো অতি আমোদজনক| ১৮২৯ খ্ৰি.ত F W Besselলৈ তেওঁ লিখিছিল যে “মই মূৰ্খৰ চিত্‍কাৰক ভয় কৰোঁ|” (I fear the howl from the Boeotian) নিজৰ বহুতো আৱিষ্কাৰ গাউছে প্ৰকাশ নকৰাৰ আঁৰত অন্য এটা মন্তব্যও মন কৰা হয়; সেয়া হ’ল গাউছ আছিল পূৰামাত্ৰাই এজন Perfectionist| তেওঁ অকল, সম্পূৰ্ণ কৰিব পৰা কামৰ দলিলহে প্ৰকশ কৰিছিল| তেওঁ যে এই বিষয়ত অতি পূৰঠ মনৰ আছিল ইয়াৰ প্ৰমাণ পোৱা যায় তেওঁ ব্যৱহাৰ কৰা চিল্‌-মোহৰটিত| তাত লিখা আছিল এইশাৰী কথা : (Pauca sed matura (few but ripe)| শুনা যায় যে, অন্য এজন গণিতজ্ঞ KGJ জেকবি প্ৰায়েই গাউছৰ ওচৰলৈ আহিছিল গণিতৰ নতুন আৱিষ্কাৰসমূহ জনাবলৈ| আচৰিত কথা যে গাউছে নিজৰ ড্ৰয়াৰৰ (Drawer) পৰা জেকবিয়ে দেখুৱাবলৈ যোৱা একেই আৱিষ্কাৰ অন্ততঃ কেতবোৰ (?) টুকি থোৱা কাগজসমূহ জেকবিক দেখুৱাইছিল|

পাঠকে এই বিষয়ত কোনো ৰহস্যৰ গোন্ধ পোৱাৰ আৱশ্যক নাই| দেখাত এনে আচৰিত ঘটনা ঘটিবলৈ এই কাৰণেই পাইছিল যে খুব সম্ভৱ মৌলিকতা থকা কৰ্মৰ চিন্তাৰে গাউছ মানুহটো যেনিবা সদাব্যস্ত আছিল| গণিতৰ বিভিন্ন শাখাত— আনকি টেলিগ্ৰাফিতো তেওঁৰ কৃতিৰ পয়োভৰে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিক পৰিপাটি ৰূপত সজাবলৈ সুযোগ দিয়া নাছিল| গাউছৰ মৃত্যুৰ পিছতহে তেওঁৰ ব্যক্তিগত টোকাসমূহৰ পৰা এইবোৰ কথা গম পোৱা যায়|

সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ লগত জড়িত অন্য এজন বিশেষ ব্যক্তি হ’ল ৰাছিয়ান গণিতজ্ঞ নিকলাই আইভান’ভিচ্‌ লবাচেভস্কি (Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792-1856)| অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সম্পৰ্কে এইজন গণিতজ্ঞৰ কৃতিখিনি প্ৰকাশ পায় ১৮২৯ খ্ৰি.ত| পিছে তেওঁৰ কামখিনিয়ে বিশেষ আকৰ্ষণ কৰিব পৰা নাছিল এইকাৰণেই যে ই ৰাছিয়ান ভাষাত প্ৰকাশ হৈছিল| তদুপৰি, ৰাছিয়ানসকল আছিল নিৰ্মম সমালোচক| ১৮৪০ খ্ৰি.ত যেতিয়া এইখিনি জাৰ্মান ভাষাত প্ৰকাশ হৈ ওলায়, তেতিয়া অৱশ্যে গাউছৰ দৃষ্টিগোচৰ হয়| গাউছে এই ফলাফলসমূহৰ প্ৰশংসা কৰে যদিও নিজৰ কথা উল্লেখ কৰিবলৈ নাপাহৰে|

লবাচেভস্কিয়ে অন্তৰীক্ষ (space) সম্পৰ্কে কাণ্টৰ স্ব-প্ৰত্যয়বোধৰ (Subjective intuition) ধাৰণাক খোলাভাৱেই নুই কৰে| এই সম্পৰ্কত ১৮৩৫ খ্ৰি.ত তেওঁ লিখে-“ইউক্লিদৰ দিনৰপৰাই চেষ্টাৰ নিস্ফল প্ৰয়াস চলি আছিল-মোৰ মাজত সন্দেহৰ ভাৱ জগাই তুলিছিল যে সত্য, তথ্যসমূহৰ মাজত সোমাই নাথাকে যে ইয়াক সাব্যস্ত কৰিবলৈ বুলি পৰীক্ষাৰ দৰকাৰ হ’ব| উদাহৰণ স্বৰূপে কোনো জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানী বা প্ৰকৃতিৰ আন আন সূত্ৰবোৰৰ দৰে|”

E T Bellয়ে লবাচেভস্কিক এজন ‘মহান ত্ৰাণকৰ্তা’ বুলি অভিহিত কৰিছে| তেওঁ লিখিছে যে ল’বাচেভস্কিৰ নাম মহান শিল্পী মাইকেল এঞ্জেলো বা দুৰ্দ্ধৰ্ষ সৈনিক নেপ’লিয়নৰ দৰে প্ৰতিজন হাইস্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে জনা দৰকাৰ|

পিছে দুৰ্ভাগ্যৰ কথা যে এইজন গণিতজ্ঞৰ নাম তেওঁৰ জীৱনকালত বৰকৈ লোৱা হোৱা নাছিল| তেওঁ শেষত অন্ধ হৈ পৰে আৰু শেষ কিতাপখন বেলেগৰ হতুৱাই শ্ৰুতলিপি দি লিখোৱায়| নিয়তিৰো(?) কি পৰিহাস— এই অন্ধ মানুহজনকেই কাজান (Kazan) বিশ্ববিদ্যালয় চৌহদৰ পৰা গুলী কৰা হয় ১৮৪৬ খ্ৰি.ত| ১৮৮৫ চনত গাউছৰ মৃত্যুৰ পিছত তেওঁৰ কৰ্মৰাজি প্ৰকাশ হোৱাতহে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ধাৰণাত গণিতৰ জগতখন এই বিষয়ত উঠি পৰি লাগে| বেট্ৰামি (Betrami), ক্লেইন (klein), পঁইকেয়াৰ (Poincare) আৰু ৰাইমানকে (Reimaan) আদি কৰি শ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞসকলে এই বিষয়ত মন দিছে, ইয়াৰ প্ৰসাৰ ঘটাই অস্পষ্টতাখিনি স্পষ্ট কৰিবলৈ মনোনিবেশ কৰে আৰু জটিল ফলন তত্ত্বকে (Complex function theory) ধৰি গণিতৰ অন্য শাখাসমূহত ইয়াৰ প্ৰয়োগ আৰম্ভ হয়| ১৮৬৮ খ্ৰী.ত ইটালীয়ান গণিতজ্ঞ বেল্ট্ৰামিয়ে সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য সম্পৰ্কীয় সকলোবোৰ প্ৰশ্ন সামৰিব পৰা এক আঁসোৱাহমুক্ত সমাধান দিবলৈ সক্ষম হয়| তেওঁ প্ৰমাণ কৰে যে কোনো প্ৰমাণেই সম্ভৱপৰ নহয়| বেল্ট্ৰামিৰ প্ৰমাণেৰে এয়া সাব্যস্ত হয় যে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ দৰেই অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিও সংগতিপূৰ্ণ|

পিছে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিনো কি?

সংক্ষেপতে, ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰপৰা বেলেগ, যি কোনো জ্যামিতিয়েই অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি| বৰ্তমানে এনে ধৰণৰ বহুতো অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ অংকুৰণ ঘটিছে| গাউছ, জেনচ্‌ বল্যাই আৰু লবাচেভস্কিৰদ্বাৰা আৱিষ্কৃত জ্যামিতিক বৰ্তমান পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি (Hyperbolic geometry) হিচাবে জনা যায়|

ইতিমধ্যে নিউট্ৰেল জ্যামিতিত চাচ্চেৰী-লেজাণ্ডৰ উপপাদ্যৰ কথা কৈ অহা হৈছে| এই উপপাদ্যটি অন্য এবিধ অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি— উপবৃত্তীয় জ্যামিতিত (elliptic geometry) শুদ্ধ নহয় বুলি বুজিবলৈ সহজ বাবে ব্যাখ্যা কৰা হ’ল|

উপবৃত্তীয় জ্যামিতিত কোনো ৰেখা l ৰ P এটা মেৰু (pole) থাকে| এই মেৰু এনে এটা বিন্দু যে Pৰে যোৱা প্ৰতিটো ৰেখাই l ৰ লম্ব| গোলীয় ত্ৰিভূজ (spherical triangle) আদিৰ সৈতে পৰিচিত পাঠকে হয়তো সহজেই বুজি পাব| এটা গোলকৰ বৃহৎ বৃত্ত মানে হ’ল গোলকৰ কেন্দ্ৰৰে যোৱা সমতল এখনে গোলকটোৰ পৰা যি বৃত্তটো দিব, সেই বৃত্তটো| ধৰা হ’ল l এটা তেনে বৃহৎ বৃত্ত আৰু P ইয়াৰ উত্তৰ মেৰু (অৰ্থাৎ বৃহৎ বৃত্তটোৰ সমতলখনৰ ওপৰত বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰৰে টনা লম্বডালে গোলকটোত ওপৰফালে যি বিন্দুত কাটিব) Pৰে যোৱা প্ৰতিটো বৃহৎ বৃত্তয়েই আগতে লোৱা বৃহৎ বৃত্তৰ লম্ব| এনে ক্ষেত্ৰত কোনো (গোলীয়) ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ বেছি|

হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য দি লওঁতে এয়া আশা কৰা হৈছিল যে, কিজানিবা ইউক্লিদীয় সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ স্বকীয় প্ৰমাণ পোৱা যায়| হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য আৰু ইউক্লিদীয় পঞ্চম স্বীকাৰ্য কোনোটোকে স্বকীয়ভাৱে প্ৰমাণ কৰিব পৰা নহ’ল| মাথোন এটাই আনটোক সাব্যস্ত কৰাখিনিহে প্ৰমাণ কৰিব পাৰি (PÛQ, এনে অৰ্থত)| হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটিয়ে অৱশ্যে এটা সত্য নিৰূপণ কৰে— কোনো ত্ৰিভূজৰ কোণৰ যোগফল ১৮০°|

চাচ্চেৰী-লেজেণ্ডাৰ উপপাদ্য অনুসৰি, কোনো ত্ৰিভূজৰ কোণৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম বা ১৮০° সমান| এইখিনিতে এটা ‘মন খোৱা’ সংজ্ঞা দিয়া হয়; সেয়া কোনো ত্ৰিভূজৰ ত্ৰুটি (detect) হ’ল ১৮০° (কোণকেইটাৰ ডিগ্ৰীৰ জোখৰ যোগফল)|

গতিকে দেখা যায় যে, ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত আমি এই অৰ্থত ‘ত্ৰুতিমুক্ত’ ত্ৰিভূজেই পাওঁ| অৰ্থাৎ এনে ত্ৰিভূজৰ ত্ৰুটি শূন্য| প্ৰমাণ কৰিব পাৰি যে, কোনো ত্ৰিভূজ ত্ৰুটিপূৰ্ণ হ’লে সকলোবোৰ ত্ৰিভূজেই ত্ৰুটিপূৰ্ণ| গতিকে কোনো ত্ৰিভূজ ত্ৰুটিশূন্য হ’লে (কোনো বিশেষ পদ্ধতিৰ জ্যামিতিত) অৰ্থাৎ এটা ত্ৰিভূজৰ কোণৰ যোগফল ১৮০° হ’লে বাকী সকলো ত্ৰিভূজেই (সেই পদ্ধতিত) তেনে প্ৰকৃতিৰ|

এতিয়ালৈকে আমি সমতলীয় জ্যামিতিত ইউক্লিদৰ স্বীকাৰ্য বা সংজ্ঞাৰ খেলিমেলি কিছুমান মন কৰিলোঁ| এইখিনিও গম পালোঁ যে এইবোৰৰ নিৰাকৰণৰ বাবেই হিলবাৰ্টৰ সংজ্ঞা আৰু স্বীকাৰ্যসমূহ লোৱা হ’ল| সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ বাদে এনে ধৰণৰ স্বীকাৰ্য আৰু সংজ্ঞাৰ ওপৰত ভেটি কৰি দিয়া জ্যামিতিক নাম দিয়া হ’ল নিউট্ৰেল জ্যামিতি| সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটো কম বিশ্বাসযোগ্য বাবেই ইয়াক বাদ দি স্বীকাৰ্য পদ্ধতিটো আগবঢ়াই নিয়া হ’ল| এই কথা পাঠকে মন কৰিছে যে, আমি ইউক্লিদৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্যটো আৰম্ভতে অলপ বেগেল ধৰণকৈ থৈছিলো| তলত স্বীকাৰ্যটো ইউক্লিদৰ বাক্য গাঁথনিৰে উল্লেখ কৰা হ’ল : “যি কোনো এডাল সৰলৰেখা, দুডাল সৰলৰেখাৰ ওপৰত পৰি গঠন কৰা একেফালৰ অন্তঃকোণ দুটা যদি দুই সমকোণতকৈ কম হয়, তেনেহ’লে সৰলৰেখা দুটা অসীমলৈ বঢ়ালে সেইফালে লগ লাগিব যিফালে কোণ দুটা দুই সমকোণতকৈ সৰু|”

আমোদৰ কথা এয়ে যে, এই স্বীকাৰ্যটি অন্য স্বীকাৰ্যৰ তুলনাত জটিল হিচাবে ধৰা দিয়ে| পিছে তাতোকৈ আমোদৰ কথা হ’ল এই— স্বীকাৰ্যটিৰদ্বাৰা প্ৰকাশ পোৱা ধাৰণাখিনি নাকচ কৰিব যোৱাতোও কমন্‌চেঞ্চ (common sense)ৰ বিৰুদ্ধে যোৱা| এইখিনিতে, আইনষ্টাইনৰ এটা উক্তি প্ৰণিধানযোগ্য : “কমন্‌চেঞ্চ, বেছিখিয়েই প্ৰকৃতপক্ষে ১৮ বছৰৰ আগত আমাৰ স্মৃতি আৰু আৱেগত সঞ্চিত হৈ থকা, প্ৰাকধৃত ধাৰণাৰ স্তৰৰ বাহিৰে একো নহয়|”

ইউক্লিদেও অৱশ্যে তেওঁৰ ২৭ নং উপপাদ্য পৰ্যন্ত এই স্বীকাৰ্য ব্যৱহাৰ কৰা নাছিল| গ্ৰীক জ্যামিতিৰ এজন মুখ্য টিপ্পনীকাৰ প্ৰক্লাচে (Proclus, 410-485) সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটোৰ সমালোচনা কৰিছে এনেদৰে : “ইয়াক স্বীকাৰ্যসমূহৰ পৰা একেবাৰে আঁতৰাই দিব লাগে| টলেমি’য়ে সমাধা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা ই এটা বহুতো সমস্যা জড়িত হৈ থকা কথা| উক্তিটোত মন কৰোঁ যে, ৰেখা দুটা বঢ়াই দিলে ক্ৰমে ক্ৰমে বেছি অভিসাৰী হয়, কেতিয়াবা কেতিয়াবা হয়তো সম্ভৱ হ’ব পাৰে, পিছে ই প্ৰয়োজনীয় নহয়|” এই সংক্ৰান্তত প্ৰক্লাচে পৰাবৃত্ত আৰু অসীম স্পৰ্শকৰ (asymptote) উদাহৰণ দিয়ে| আমি জানো যে অসীম স্পৰ্শকে পৰাবৃত্ত এটাক নকটাকৈ ক্ৰমাৎ ওচৰ চাপে| এই উদাহৰণটিৰদ্বাৰা অন্ততঃ ইউক্লিদৰ স্বীকাৰ্যটিৰ বিপৰীত ধাৰণা এটা কৰিব পৰা হয়|

প্ৰায় দুহেজাৰ বছৰ ধৰি শ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞসকলে ইউক্লিদৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্য প্ৰমাণত ব্যস্ত থাকে| টলেমিয়ে (Ptolemy) হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যকে লৈ (অৱশ্যে ইয়াক নুবুজাকৈ) চেষ্টা কৰিছিল| তাৰ পিছত এই ক্ষেত্ৰত ল’বলগীয়া নামটো হ’ল প্ৰক্লাচৰ| পিছে প্ৰক্লাচৰ যুক্তি শুদ্ধ নাছিল| প্ৰক্লাচৰ যুক্তিৰ অশুদ্ধতাই সমান্তৰাল ৰেখাৰ ধাৰণাত ল’ব লগা ‘অতি সতৰ্কতা’ আমাক সকীয়াই দিয়ে| ইয়াৰ পিছতেই লেখত ল’বলগীয়া চেষ্টাটো হ’ল— পাৰ্ছিয়ান জ্যোতিৰ্বিদ আৰু গণিতজ্ঞ নাছিৰদ্দিনৰ (Nasuraddin 1201-1274)| পিছে তেওঁ দিব খোজা প্ৰমাণটোতো বহুতো অযৌক্তিক অনুমান (assumption) সোমাই আছিল| সেয়ে ইয়াক সাধাৰণতে মন দিয়া নহয়| অলপ আগুৱাই গৈ আমি লগ পাওঁ জন ৱালিচক (John Wallis, 1616-1703)| ৱালিচে নিউট্ৰেল জ্যামিতিত সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ প্ৰমাণৰ চেষ্টা বাদ দিয়ে| তাৰ ঠাইত তেওঁ এটা নতুন স্বীকাৰ্য লয়| এই স্বীকাৰ্যটো আৰু নিউট্ৰেল জ্যামিতিৰ অন্য স্বীকাৰ্যৰ সহায়ত তেওঁ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটো প্ৰমাণ কৰে| ৱালিচৰ স্বীকাৰ্য হ’ল :

ABC এটা নিৰ্দিষ্ট ত্ৰিভূজ| DE এটা নিদিৰ্ষ্ট ৰেখাখণ্ড| এতিয়া, DE এটা বাহু হিচাবে থকা এনে এটা ত্ৰিভূজ DEF পোৱা যাব যে, ই ABC ত্ৰিভূজৰ সদৃশ (সদৃশ ত্ৰিভূজ সম্পৰ্কে পাঠকে জনা বুলিয়েই আমি ধৰি লৈছোঁ)| গতিকে ৱালিচৰ স্বীকাৰ্যটোৰ ‘সাধাৰণ বোধ’ ভিত্তিক ধাৰণা এনেধৰণৰ হ’ব যে এটা ত্ৰিভূজৰ বিকৃত নকৰাকৈ (without distortion) ডাঙৰ বা সৰু কৰিব পৰা যায়| পিছে অলপ অনুশীলনী কৰিলেই ধৰিব পাৰি যে, ৱালিচৰ স্বীকাৰ্যটো ইউক্লিদৰ স্বীকাৰ্যৰ সমাৰ্থক প্ৰকাশহে| এজন জেচুইট (Jesuit) পুৰোহিত জিৰলামো চাচ্চেৰীয়ে (Jire Lamo Sacchery, 1667-1733) মৃত্যুৰ আগতে প্ৰকাশ কৰি যোৱা এখন কিতাপত ‘Euclids ab omni naevo vindicates (Euclid freed of every flaw) অন্য এটা উল্লেখনীয় চেষ্টা গণিতজ্ঞসকলে মন কৰে| প্ৰায় ডেৰ শতিকা ধৰি ই প্ৰকৃততে কাৰো চকুত পৰা নাছিল| ডেৰটা শতিকাৰ পিছত ইউজেনিঅ’ বেল্ট্ৰমিয়েহে (Eugenio Beltrami) ইয়াক পুনঃআৱিষ্কাৰ কৰে| এই বিষয়ত তেওঁৰ কায়দাটো আছিল এনেধৰণৰ : তেওঁ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটো অসত্য বুলি ধৰি এটা বিৰোধ পাবলৈ চেষ্টা কৰে| প্ৰধানতঃ তেওঁ চতুৰ্ভূজ কেতবোৰেৰে অধ্যয়ন কৰিছিল| এনে ধৰণৰ চতুৰ্ভূজ লোৱা হৈছিল, যাৰ ভূমিৰ কোণবোৰ আছিল সমকোণ আৰু ভূমি সংলগ্ন বাহুবোৰ আছিল সৰ্বসম| নিউট্ৰেল জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত এয়া সহজেই প্ৰমাণিত হয় যে ওপৰৰ কোণকেইটা সৰ্বসম| (পাঠকে মন কৰিব যে কোণকেইটা সমকোণ বুলি প্ৰমাণ কৰা কথাটো এতিয়ালৈকে অহা নাই)| এই ক্ষেত্ৰত তিনিটা স্পষ্ট ধৰণ আহি পৰে ১) ওপৰৰ কোণকেইটা সমকোণ, ২) ওপৰৰ কোণকেইটা স্থূল, ৩) ওপৰৰ কোণকেইটা সূক্ষ্ম| ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ধাৰণাৰে প্ৰথমটো প্ৰমাণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিছিল-পিছৰ দুটা ভুল বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰি| দ্বিতীয়টোৱে এটা বিৰোধলৈ লৈ যোৱাটো প্ৰমাণ কৰিবলৈ চচ্চেৰী সক্ষম হৈছিল| কথাখিনি এনে ধৰণৰ : যদি ওপৰৰ কোণ দুটা স্থূল হয় তেনেহ’লে চতুৰ্ভূজটোৰ কোণকেইটাৰ যোগফল ৩৬০°তকৈ কম বা ৩৬০°ৰ সমান| অন্যহাতে তৃতীয় ক্ষেত্ৰত তেওঁ বিৰোধ পাব পৰা নাছিল, বহুতো আচৰিত ফল অৱশ্যে পাইছিল| শেষত হতাশ হৈ ক’বলগীয়া হ’ল : “সূক্ষ্মকোণৰ কল্পনাটো (hypothesis) চৰমভাৱে অসত্য, কাৰণ ই সৰলৰেখাৰ প্ৰকৃতিত পৰম বিৰক্তিকৰ| ঠিক যেনিবা, এজন মানুহে এটুকুৰা আপুৰুগীয়া হীৰা আৱিষ্কাৰ কৰিলে, কিন্তু তেওঁ যি দেখিলে তাক বিশ্বাস কৰিবলৈ সমৰ্থ নহ’ল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে তেওঁ ক’লে যে, ‘এইটুকুৰা কাঁচহে’| চাচ্চেৰীয়ে নিজে ধৰিব নোৱাৰিলে, গণিতৰ জগতত এটা বিশেষ সংঘটন ঘটিল, সেয়া হ’ল— চাচ্চেৰীয়ে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি আৱিষ্কাৰ কৰিলে|

একে উদ্দেশ্যৰে আগবাঢ়ি জেহান হেন্‌ৰিক লেম্বাৰ্টে (Johan Henrich Lambert, 1728-1777) অধ্যয়ন কৰিবলগা হৈছিল-অন্ততঃ তিনিটা সমকোণ থকা চতুৰ্ভূজৰ ধৰ্ম| সূক্ষ্মকোণ সম্পৰ্কীয় স্বীকাৰ্যটোৰ পৰা লেম্বাৰ্টেও অ-ইউক্লিদীয় ফল বহুত পালে| চাচ্চেৰীৰ বিপৰীতে, তেওঁ বিৰোধ পোৱাৰ দাবী নকৰি এখোজ আৰু আগুৱাই আহিল| লেম্বাৰ্টে দেখুৱালে : সূক্ষ্মকোণৰ স্বীকাৰ্যটোৱে এইটো কথা প্ৰমাণ কৰে যে— ই সত্য হ’লে ত্ৰিভূজৰ কালি ইয়াৰ সমানুপাতি| আৰু ইয়েই লেম্বাৰ্টক কাল্পনিক ব্যাসাৰ্দ্ধৰ গোলকৰ জ্যামিতিলৈ লৈ যায়|

ইউক্লিদৰ পঞ্চম স্বীকাৰ্য প্ৰমাণৰ বাবে চলোৱা চেষ্টাৰ ওপৰত গৱেষণা কৰোতে ১৭৬৩ খ্ৰি.ত জি এছ ক্লজেল্‌ নামৰ এজনে বিভিন্ন প্ৰমাণৰ মাজত ভিন্ন ধৰণৰ ২৪টা ভুল উলিয়ায়| ফৰাচী গণিতজ্ঞ জে এল্‌ ডে-এলেম্বাৰ্ট-এ ইয়াক জ্যামিতিৰ কলংক (scandal of geometry) বুলি অভিহিত কৰে| ১৮২৩ চনত লেজেণ্ডাৰে পঞ্চম স্বীকাৰ্যৰ প্ৰমাণ পোৱা বুলি দাবী কৰোঁতে গণিতজ্ঞসকল হতাশহে হৈছিল| ডব্লিউ বল্যাইয়ে পুতেকলৈ লিখিছিল :

“তুমি সমান্তৰাললৈ বুলি এই বাটেৰে আগ নাবাঢ়িবা কৰণ, মই এই বাটটোৰ শেষলৈকে জানো| মই এই ‘তলি নোহোৱা ৰাতিটো’ ইতিমধ্যে অতিক্ৰম কৰিছোঁ| ই মোৰ জীৱনৰ আনন্দখিনিৰ লগতে সকলো পোহৰ নুমুৱাই পেলাইছিল| মই তোমাক কৈছোঁ, তুমি অকল সমান্তৰালৰ বিজ্ঞানখিনি এৰি পেলোৱা| মই এয়াও ভাবিছিলোঁ যে, সত্যৰ বাবে মই মোক বলি দিছিলোঁ| জ্যামিতিৰ পৰা ভুলখিনি আঁতৰাই মানৱক ইয়াৰ পৰিশোধিত ৰূপটো দিবলৈ খোজা মই এজন শ্বহীদ হ’বলৈ সাজু আছিলোঁ| মই এক কিযে ভয়লগা শ্ৰম কৰিছিলোঁ| মোৰ সৃষ্টিখিনি অইনতকৈ বহু বেছি উচ্চ আছিল, তথাপি মই আহিছিলোঁ| মোৰ লগতে সমগ্ৰ মানৱকেই পুতৌ কৰি মই অশান্ত হৈয়েই ফিৰি আহিছিলোঁ| মই মানি লৈছিলোঁ, মই তোমাৰ পথৰ পৰা হোৱা চ্যুতিখিনিৰপৰা কম আশা কৰিছিলোঁ| এনে দেখা গৈছিল যে, মই এনে এটা অংশত আছোঁ য’ৰপৰা মই এই মৃত সাগৰৰ সকলো ‘ৰিফ্‌’ পাৰ হৈ আহিছোঁ, আৰু ফিৰি অহিছোঁ ভগ্ন মাস্তুল আৰু ছিন্ন নাও লৈ|”

পিছে পুতেক জেনচ্‌ বল্যাই তথাপিও আগবঢ়াৰ সাহস কৰিছিল এই ভাবিয়ে যে তেওঁৰ (মতে) ধাৰণাটো নতুন| জেনচে ধৰি লৈছিল যে স্বীকাৰ্যটো নাকচ কৰাটো অসম্ভৱ নহয়, সেয়ে ১৮২৩ চনত দেউতাকলৈ লিখিছিল :

“এতিয়া মোৰ নিশ্চিত পৰিকল্পনা প্ৰকাশ কৰিবলৈ বুলি, সমান্তৰালৰ ওপৰত এটা কাম, যেতিয়াই মই সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰিম, আৰু কথাখিনি সজাই ল’ব পাৰিম আৰু সুবিধাটো উলিয়াই ল’ব পাৰিম| এই মুহূৰ্তত মই কোনো স্পষ্ট পথ পোৱা নাই, পিছে মই যি পথ অনুসৰণ কৰি আছো, ইয়েই ধনাত্মক ইংগিত দি আছে যে, যদি সঁচাকে সম্ভৱ হয়, তেনে লক্ষ্যত উপনীত হোৱা যাব| মই এয়া পোৱা নাই হয়, পিছে মই এনে আচৰিত বস্তু আৱিষ্কাৰ কৰিছোঁ যে, মই আমোদ পাইছোঁ আৰু এয়া দুৰ্ভাগ্য এটাৰ চিৰদিনীয়া শান্তিৰ কথা হ’ব যদি মই এইবোৰ হেৰাই যায়| দেউতা তুমি যেতিয়া এইবোৰ দেখিবা, তেতিয়া বুজিবা এতিয়া মই ইয়াত বাদে বেলেগ একো ক’ব নোৱাৰ যে— “মই একো নোহোৱাৰ পৰা এখন আচৰিত নতুন জগত সৃষ্টি কৰিছোঁ’| (Out of nothing I have created a strange new universe) ইয়াৰ আগতে মই তোমালৈ যি পঠিয়াইছিলো, সেয়া স্তম্ভ এটাৰ তুলনাত তাচপাতৰ এটা ঘৰ যেন| মই এয়া একবাৰে কম বুজি নোপোৱা নহয় যে, যদি এইবোৰ সম্পূৰ্ণ হয় তেনেহ’লে এই আৱিষ্কাৰসমূহে মোলৈ সন্মান কঢ়িয়াই আনিব|”

নিউট্ৰেল জ্যামিতিৰ স্বীকাৰ্যসমূহ আৰু হিলবাৰ্টৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ ঠাইত ইয়াৰ ‘নিগেচন’টোলৈ (negation) যি জ্যামিতি পোৱা যায় তাকেই পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি কোৱা হয়| হিলবাৰ্টৰ স্বীকাৰ্যটোৰ নিগেচন্‌টোক পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্য (Hyperbolic axiom) কোৱা হয়|

এই স্বীকাৰ্যটি হ’ব এনে ধৰণৰ : পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত এনে এটা ৰেখা l আৰু l ৰ ওপৰত নথকা এনে এটা বিন্দু P পোৱা যায় যে Pৰ মাজেৰে কমেও দুডাল ভিন্ন ৰেখা l ৰ সমান্তৰাল হয়| ওপৰত ইতিমধ্যে উল্লেখ কৰি অহা, সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ প্ৰমাণৰ ক্ষেত্ৰত লেজেণ্ডাৰে আগবঢ়োৱা যুক্তিৰ এটা ক্ৰুটি হ’ল— l ৰেখাটো সম্পূৰ্ণভাৱে APB কোণক নকটাকৈ ইয়াৰ অন্তৱৰ্তী হৈ থাকে, যিটো বৈশিষ্ট্য লেজেণ্ডাৰৰ ধাৰণাত অসম্ভৱ আছিল| এনেবিধ জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰতেই, কোনো ত্ৰিভূজৰ কোণ তিনিটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম| পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিৰ স্বীকাৰ্যৰ উল্লেখ যোগ্যফল তেনেহ’লে এইটোঃ এনেকুৱা ত্ৰিভূজ পোৱা যাব যাৰ কোণকেইটাৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম| এই ফলটোৱে পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্যৰ এটা সৰলতৰ (universal) উক্তি দিছে, কথাটো এনে ধৰণৰ :

ইউক্লিদৰ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য অনুসৰি, একোটা ৰেখা আৰু ৰেখাটোৰ ওপৰত নথকা একোটা বিন্দুৰ বাবে একোটা সুনিৰ্দিষ্ট সমান্তৰাল ৰেখা পোৱা যায়| আনহাতে ইয়াৰ বিপৰীত পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্যই কয়— কোনো ৰেখা l আৰু l ৰ ওপৰত নথকা কোনো বিন্দু Pৰ বাবে এটা সুনিৰ্দিষ্ট সমান্তৰাল পোৱাটো সম্ভৱ নহয়| গতিকে এয়াও সম্ভৱ হ’ব পাৰে নেকি যে পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত কোন l আৰু Pৰ বাবে একক (unique) সমান্তৰাল স্থিতি সত্য আৰু কোনো l আৰু Pৰ ক্ষেত্ৰত অসত্য| পিছে দেখা যায় যে এনে নঘটে| অলৰ সৰল পৰাবৃত্তীয় উপপাদ্যই এনেদৰে সাব্যস্ত কৰেঃ পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত প্ৰতিটো ৰেখা l আৰু ইয়াৰ ওপৰত নথকা প্ৰতিটো বিন্দু Pৰ বাবে কমেও দুটা সমান্তৰাল ৰেখা থাকে|

পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি আয়তক্ষেত্ৰৰ অস্তিত্ব নাই আৰু সকলো ত্ৰিভূজৰেই কোণৰ যোগফল ১৮০°তকৈ কম| তদুপৰি পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি ৱালিছৰ স্বীকাৰ্য নাখাটে| কাৰণ ৱালিছৰ স্বীকাৰ্যই সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য সাব্যস্ত কৰে| সেয়েহে কোনো বিশেষ পৰিস্থিতিত সদৃশ ত্ৰিভূজৰ অস্তিত্ব নাই| পিছে আৰু এখোজ আগুৱাই এইবিধ জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত এয়াও সত্য হয় যে কোনো পৰিস্থিতিতেই সদৃশ অ-সৰ্বসম ত্ৰিভূজ নাথাকে| অৰ্থাৎ, পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি যদি দুটা ত্ৰিভূজ সদৃশ হয় তেনেহ’লে ইহঁত সৰ্বসম| গতিকে, এই সিদ্ধান্তয়েই আমি নাপাওঁনে : পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত কোনো ত্ৰিভূজক বিকৃত নকৰাকৈ (without distortion) ডাঙৰ বা সৰু কৰিব নোৱাৰোঁ| অৰ্থাৎ পৰাবৃত্তীয় জগতত ফট’গ্ৰাফী (Photography) এটা স্বাভাৱিক চাৰ্‌ৰিয়েলিষ্টিক (surrealistic) ধাৰণা|

সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য প্ৰমাণ কৰিবলৈ প্ৰ’ক্লাছে কৰা চেষ্টা সম্পৰ্কত এটা ক্ৰুটি মন কৰিবলগীয়া; সেয়া হ’ল-সমান্তৰাল সৰলৰেখা ‘ৰেলৱে ট্ৰেক’ৰ (railway track) দৰেই বুলি কৰা ‘প্ৰাক্‌ নিৰ্দ্ধাৰণ’ অৰ্থাৎ‍ অন্য ভাষাত ৰেখা দুটা সকলো ঠাইতে পৰস্পৰ সমদূৰৱৰ্তী| কথাখিনি এনেদৰে ব্যাখ্যা কৰিব পাৰি|

L, L´ দুটা নিৰ্দিষ্ট ৰেখা| L ৰ ওপৰত A,B,C তিনিটা বিন্দু| AA´, BB´, CC´ হ’ল এই বিন্দুবোৰৰপৰা Lলৈ লম্ব| A, B, Cক L´ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বুলি কোৱা হ’ব যদিহে এই লম্ব ৰেখা খণ্ডবোৰ পৰস্পৰ সৰ্বসম| দেখা যায় পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত L, L´ দুটা ভিন্ন সমান্তৰাল ৰেখা হ’লে Lৰ ওপৰত থকা, L´ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী যি কোনো বিন্দুৰ সংহতিত খুব বেছি দুটা বিন্দুহে থাকিব পাৰে| গতিকে পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত এই উপপাদ্যটোৱে এনে সম্ভাৱনাও দিয়ে যে Lৰপৰা  সমদূৰৱৰ্তী, Lৰ ওপৰত বিন্দুৰ কোনো যোৰা (pair) নাই| আনহাতে এনে ধৰণৰ সম্ভাৱনাও নোহোৱা নহয় :

ধৰা হ’ল (A,B), (C,D) Lৰ ওপৰত থকা এনে বিন্দুৰ যোৰা যে প্ৰতিটো যোৰাই L´ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী| গতিকে AA´=BB´ আৰু CC´=DD´| কিন্তু AA´ আৰু CC´ সৰ্বসম নহয়|

প্ৰথম চিত্ৰত আমি মন কৰোঁ যে Lৰ বিন্দুবোৰ Lৰপৰা বিভিন্ন দূৰত্বত আছে| L ৰ পৰা L ক্ৰমান্বয়ে এটা ফালে আঁতৰি যায়| অন্যফালে Lৰ ফালে ইয়াক নকটাকৈ চাপি আহে| দ্বিতীয় চিত্ৰত আমি মন কৰোঁ : Lৰ মাজৰ বিন্দুৰ দুয়োফালে Lৰ পৰা L´ ক্ৰমান্বয়ে আঁতৰি আহে| গতিকে আমি দুবিধ সমান্তৰাল ৰেখা পালোঁ| প্ৰথমবিধত Lৰ ফালে এটা দিশত L´ কাষ চাপি আহে অথচ লগ নালাগে| দ্বিতীয়বিধত ৰেখা দুটাৰ উমৈহতীয়া লম্ব (common perpendicular) থাকে; উমৈহতীয়া লম্বৰ দুয়োফালে Lৰপৰা L´ আঁতৰি যায়|

এতিয়া পৰ্যন্ত পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত, আমি স্বাভাৱিকাভাৱেই ইতিমধ্যে অভ্যস্ত হৈ থকা ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সাপেক্ষে, আচৰিত যেন লগা ধৰ্ম কেতবোৰ মন কৰিলোঁ| পাঠকে নিশ্চয় ধৰিব পাৰিছে এই সকলোবোৰৰ গুৰিতে আছে আমি আৰম্ভণিতে লৈ থোৱা পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্য| পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত, আমি মন কৰি অহা ধৰ্মসমূহৰ প্ৰমাণ যদিওবা যৌক্তিকভাৱে সত্য, ধৰ্মসমূহৰ খেলি-মেলি যেন লগা বৈশিষ্ট্যই পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্যটো ভুল ধাৰণা এটাৰ ওপৰত প্ৰতিষ্ঠিত বুলি অনুভৱ কৰাটো দোষৰ কথা নহয়| পিছে লেঠা হ’ল এইখিনিতে যে স্বীকাৰ্য মিছা বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ কোনো ধৰণৰ ভৌতিক পৰীক্ষা কৰাটোও সম্ভৱ নহয়|

পিছে এইখিনিতে প্ৰশ্ন এটা উঠে যে জ্যামিতি (বিষয়টো) আমি আঁকিবপৰা ৰেখা সম্পৰ্কে নে? পাযোজিক (applied, Engineering) জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত আমি সমৰ্থক (Assertion) উত্তৰেই পাওঁ| পিছে শুদ্ধ জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত (pure geometry) ই ‘আদৰ্শ ৰেখা’ (ideal line) সম্পৰ্কেহে— যি মাথোন ধাৰণাতহে সম্ভৱ, বাস্তৱত নহয়| এনে আদৰ্শ ৰেখাৰ ওপৰত কৰা পৰীক্ষাবোৰ চিন্তা বা ভাবৰহে পৰীক্ষা (thought experiments), গতিকে প্ৰশ্নটো আমি নতুনকৈ কৰিম এনেদৰে— কোনো এক অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি আমাৰ “বোধ”ৰ ভিতৰলৈ আনিব পাৰোঁনে? (can we conceive of a non Euclidean geometry?) দাৰ্শনিক ইমানুৱেল কাণ্টৰ যুক্তি অনুসৰি আমি নোৱাৰোঁ| ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ বাহিৰে যি কোনো অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিয়েই ‘বোধ’ অতীত (inconceivable) আৰু এই অৰ্থতেই গাউছ, বল্যাই আৰু ল’বাচেভস্কিয়ে এখন ‘নতুন জগত’ (new universe) সৃষ্টি কৰিছিল|

গণিতজ্ঞসকলে নিজৰ বহুতো ধাৰণা বাদ দিব লগা হয় প্ৰধানতঃ দুটা কাৰণত| এটা হ’ল যদি ধাৰণাটোৱে ‘বিৰোধ’ৰ ফালে লৈ যায়, আনটো হ’ল যদি ধাৰণাটোৱে কোনো লাভজনক অথবা দৰকাৰী বা আমোদজনক ফল নিদিয়ে| গতিকে সেই চিন্তাৰেই আমিও প্ৰশ্ন কৰিব পাৰোঁ যে পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্যই কোনো বিৰোধৰ ফালে লৈ যায়নে? চাচ্চেৰীয়ে ভাবিছিল— হয়তো পাৰে| আৰু সেয়ে, ওপৰত আলোচনা কৰা ধৰণে সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য প্ৰমাণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিছিল| আনটো প্ৰশ্ন হ’ল: পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতি কামত লগা (fruitful), দৰকাৰী (useful) আৰু আমোদজনক (interesting) হয়নে? পিছে ইয়াৰ আগতে অন্য এটা প্ৰশ্নৰ উত্তৰ কি চাওক : পৰাবৃত্তীয়  জ্যামিতি সু-সংগত (consistent) নে? যদি নহয়, এটা সাধাৰণ যুক্তিয়েই বিৰোধৰ ফালে লৈ যাব পাৰে| চাচ্চেৰীয়ে এই বিষয়ত চেষ্টা কৰিছিল যদিও কৃতকাৰ্য নহ’ল| পিছে ইয়াৰ কাৰণ চাচ্চেৰীৰ ‘বুদ্ধি’ওতো হ’ব পাৰে| সেয়ে হয়তো আগত (coming) কোনো দিনত কোনো প্ৰতিভাবানে এটা ‘বিৰোধ বিচাৰি পাব’! অন্যহাতে পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিৰ মাজত এটা বিৰোধ পাব পৰা সম্ভৱপৰ কায়দা নাই বুলি প্ৰমাণ কৰিব পাৰিনে? অতি আমোদজনক কথা হ’ল, একে ধৰণৰ প্ৰশ্ন আমি ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত কৰিব পাৰো : আমি কেনেকৈ জানো যে ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগত? অৱশ্যে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ আৱিৰ্ভাৱৰ আগত এইটো কোনো বিশেষ প্ৰশ্ন নাছিল| কাৰণ, প্ৰত্যেকেই বিশ্বাস কৰিছিল যে ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগত| এই বিষয়ত পৰা-গাণিতিক (Meta mathematical) উপপাদ্য এটা জনাবলগীয়া হ’ল : ‘If Euclidean Geometry is consistent then so I hyperbolic geometry’ অৰ্থাৎ ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগত হ’লে পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিতো হ’ব| সাময়িকভাৱে এই উপপাদ্যটি সত্য বুলি ধৰিলে তলৰ অনুসিদ্ধান্তটি পোৱা যায় : যদি ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগত হয়, তেনেহ’লে হিলবাৰ্টৰ বাকীবোৰ স্বীকাৰ্যৰ পৰা সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটি ‘সত্য’ বুলি অথবা ‘অসত্য’ বুলি কোনো প্ৰমাণেই পোৱা নাযাব| অৰ্থাৎ সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যটি অন্য স্বীকাৰ্যবোৰৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল নহয়| এইখিনি কথা খেলিমেলি নলগা, সহজবোধ্য অথচ সূক্ষ্ম বাবে আলোচনা কৰিব বিচাৰিছোঁ এনেদৰে : ধৰা হ’ল সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ এটা প্ৰমাণ আছে| (সেয়ে) যিহেতু পৰাবৃত্তীয় স্বীকাৰ্যটিয়ে প্ৰমাণিত ফল এটত বিৰোধ আনি দিব, পৰাবৃত্তীয় জ্যামিত সু-সংগত নহ’ব| কিন্তু পৰাগাণিতিক উপপাদ্যটিয়ে কয় যে— ইউক্লিদীয় জ্যামিত সু-সংগত হ’লে পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিও সু-সংগত| গতিকেই আমি এটা বিৰোধৰ সন্মুখীন হওঁ| আৰু এই বোৰোধেই সাব্যস্ত কৰে যে সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ প্ৰমাণ নাই|

এইখিনিতে পাঠকে এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সূক্ষ্ম পৰ্যবেক্ষণ মন কৰিব : ইউক্লিদীয় জ্যামিতিক বেছি নিৰাপদ আৰু সুন্দৰ কৰা মানসেৰে চাচ্চেৰী, লেজেণ্ডাৰ, বল্যাই আৰু অন্যান্যসকলে অন্য স্বীকাৰ্যসমূহৰ পৰা ইউক্লিদীয় পঞ্চম স্বীকাৰ্য যদি প্ৰমাণ কৰাত কৃতকাৰ্য হ’লহেঁতেন, তেতিয়াহ’লে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ চিন্তাৰ সু-সংগত গঠন সম্পূৰ্ণভাৱে ধ্বংস হ’লহেঁতেন| আৰু ইয়াতেই— মানে এই যুক্তিৰ মাজতেই ইউক্লিদীয় আৰু অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ গুৰুত্ব সোমাই আছে|

আমি ওপৰত উল্লেখ কৰা পৰাগাণিতিক উপপাদ্যটোৰ প্ৰমাণত সমস্যাটোলৈ নোযোৱাকৈ এটা বিষয়ত টিপ্পনী দিব বিচাৰিছোঁ : পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিত ৰেখা কেনেকুৱা বা সমতলৰ ধাৰণায়েই বা কেনে ধৰণৰ? উত্তৰত এইটোৱেই ক’ব পাৰি যে— আমি নাজানোঁ| ই মাথোন এটা বিমূৰ্ত ধাৰণাহে| পৰাবৃত্তীয় ৰেখা এটা সংজ্ঞাহীন পদ| এইখিনিতে এই লেখকৰ প্ৰশ্ন : ইউক্লিদীয় ‘ৰেখা’ও যদি সংজ্ঞাহীন পদ হয়— এই দুই সংজ্ঞাহীন পদৰ পাৰ্থক্যৰ সম্পৰ্ক আমি ভাবিব পাৰো নে নাই? ইয়াৰ উত্তৰ তলৰ ব্যাখ্যাৰপৰা বুজিব পাৰিব নিশ্চয়| ইউক্লিদীয় ৰেখাৰ লগত জড়িত সমান্তৰাল ধৰ্মক বাদ দি বাকীখিনিৰে গঢ় লোৱা ই এটা বিমূৰ্ত ধাৰণা| পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিৰ দৰ্শন ((visualization) সম্ভৱ নে? এই ‘দৰ্শন’ৰ অৰ্থ এয়ে নহ’ব জানো যে ই পৰাবৃত্তীয় ‘বস্তু’ বুজাবপৰা ইউক্লিদীয় প্ৰতিষ্ঠাপনৰ (replacement) এটা কায়দা? অৰ্থাৎ পৰাবৃত্তীয় জ্যামিতিৰ ইউক্লিদীয় সজ্জা (model) এটাৰ উদ্ভাৱন? এনে ধৰণৰ সজ্জা আমি কেইবাটাও পাওঁ| অতি সংক্ষেপতে এই সজ্জাকেইটিৰ আভাস দিয়াৰ চেষ্টা কৰিম| সজ্জাকেইটা হ’ল— বেল্ট্ৰামি ক্লেইন সজা (Beltrami Klein model), পঁইকেয়াৰ সজ্জা (Poincare model)|

বেল্ট্ৰামিয়ে চিউডোস্ফেয়াৰ (Pseudosphere) নামৰ ‘তলৰ’ ধাৰণা আনে| এনে তলত জিঅ’ডেছিকবোৰে (geodesic) চচ্চেৰীৰ সূক্ষ্মকোণ সম্পৰ্কীয় কল্পনা মানে| কোনো বক্ৰতলত সৰলৰেখাৰ সমপৰ্যায়ৰ ধাৰণা হ’ল জিঅ’ডেছিক| ই হ’ল দুটা বিন্দুৰ মাজৰ লঘিষ্ঠতম দূৰত্ব| বেল্ট্ৰামিৰ জ্যামিত প্ৰকৃততে বল্যাই, ল’বাচেভস্কি বা গাউছৰ অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ছদ্মবেশ| বেল্ট্ৰামিৰ এই সজ্জাই কয় যে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিয়ে কোনো ধৰণেই বিৰোধৰ সন্মুখীন নকৰায়| কাৰণ তেতিয়াহ’লে চিউডোস্ফেয়াৰৰ স্থিতি অসম্ভৱ| ইফালে চিউডোস্ফেয়াৰ হ’ল ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ এক সজ্জা| গতিকে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত বিৰোধে দেখা দিব যদিহে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত বিৰোধ থাকে|

চাচ্চেৰীৰ চেষ্টা (সমান্তৰাল স্বীকাৰ্যৰ প্ৰতিপাদন) ফলৱতী নোহোৱা কাৰণেই তেনেহ’লে ইউক্লিদীয় জ্যামিতি অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ মাজেৰে পূৰ্ণতাৰ ফালে আগুৱাই আহিল|

বেল্ট্ৰামিয়ে উপযোগীকৈ বৰ্ণোৱা অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ এটা গাণিতিক পদ্ধতি, আমি যাক ম’ডেল বা আদৰ্শ গাঁথনি বুলি কওঁ তাকেই বিচাৰি পাইছিল| এনে ধৰণৰ আদৰ্শ সজ্জা এটাৰ স্থিতিয়ে সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য প্ৰমাণ কৰা সম্ভাৱনা নুই কৰিলে| কিয়নো তেনে প্ৰমাণত স্বীকাৰ্যটোকে ব্যৱহাৰ কৰিবলগীয়া হয়|

বাৰ্লিন ৰেল ষ্টেছনত এদিন গণিতজ্ঞ ডেভিদ হিলবাৰ্টে কোৱা কথাষাৰ প্ৰণিধানযোগ্য : “One must be able to say at all times- instead of points, straight lines and planes tables, chairs and beer mugs.” ইয়াৰ অৰ্থ এয়ে আছিল যে কোনো প্ৰমাণত, জ্যামিতিক বস্তুৰ সেইবোৰ ধৰ্মহে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি যিবোৰ স্বীকাৰ্যৰদ্বাৰা ব্যাখ্যাত|

যি হওক বেল্ট্ৰামিৰ আদৰ্শ সজ্জা অইনেও ল’লে| পঁইকেয়াৰে এই আদৰ্শ সজ্জাৰ এটা ধুনীয়া ত্ৰিমাত্ৰিক ব্যাখ্যা দিলে এনেদৰে :

এনে এখন জগতৰ কল্পনা কৰা হওক যে, ই এটা বৃহৎ গোলাকৃতিৰ| ইয়াত তলত দিয়া নিয়মসমূহ প্ৰযোজ্যঃ গোলকটোৰ উষ্ণতা সকলো অংশতে সমান নহয়, কেন্দ্ৰত সৰ্বোচ্চ আৰু পৰিধিৰ ফালে ক্ৰমাৎ কমি গৈ পৰিধিত শূন্য| এই উষ্ণতাৰ নিয়ম এনে ধৰণৰ যে R যদি গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ হয়, কেন্দ্ৰৰ পৰা r দূৰত্বত অৱস্থিত কোনো অৱস্থানৰ উষ্ণতা ৰ সমানুপাতী| ধৰা হ’ল এইখন জগতত কোনো বস্তুৰ দৈৰ্ঘ্য ইয়াৰ উষ্ণতাৰ সমানুপাতী| গতিকে কোনো চলমান বস্তু পৰিধিৰ ফালে গৈ থাকিলে ই আকাৰত ক্ৰমাৎ সৰু হৈ গৈ থাকিব| সাধাৰণ জ্যামিতিৰ ধাৰণাৰে এইখন জগত সীমিত আকৃতিৰ, পিছে ইয়াৰ অধিবাসীৰ বাবে ই অসীম আকাৰৰ| যিমানেই ইহঁত গোলাকটোৰ উপৰি তললৈ বুলি আগবাঢ়িব সিমানেই ইহঁত চেঁচা হৈ আহিব আৰু লগতে সৰু হৈও আহিব| গতিকে অধিবাসীবোৰ কেতিয়াও সীমা আহি নাপায়হি| যদি জ্যামিতিত দৃঢ় বস্তুৰ গতিৰ নিয়মসমূহ অধ্যয়ন কৰা হয়, তেনেহ’লে উপৰোক্ত কাল্পনিক প্ৰাণীবোৰৰ ক্ষেত্ৰত এই অধ্যয়ন হ’ব- উষ্ণতাৰ পাৰ্থক্য হেতু ৰূপ বিকৃত ঘটা দৃঢ় বস্তুবোৰৰ গতিৰ নিয়মসমূহৰ অধ্যয়ন|

এই আদৰ্শ সজ্জাটোৰপৰা এনেদৰে ব্যাখ্যা দিয়া হৈছিল যে ইয়াত পোহৰ ৰশ্মি বেঁকা হৈ যাব| যুক্তিটো আছিল এনে ধৰণৰ যে বৃত্তৰ চাপবোৰ পৰিসীমাত লম্বভাৱে মিলে আৰু অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতি মানে| দ্বিমাত্ৰিক জ্যামিতি এখন থাক (disc) লৈ ইয়াৰ অনুৰূপ অদৰ্শ সজ্জা এটা পোৱা যায়| ফেলিক্স ক্লেইনে চাচ্চেৰীৰ সূক্ষ্ম কোণৰ স্বীকাৰ্য সিদ্ধ হোৱাকৈ অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ আদৰ্শ সজ্জা এটা দিছিল| ইয়াৰেই নাম হ’ল পৰাবৃত্তীয় জ্যামিত (Hyperbolic geometry) আৰু বৃহৎ কোণৰ স্বীকাৰ্য সিদ্ধ হোৱাকৈ দিয়া সজ্জাটোৰ নাম হ’ল উপবৃত্তীয় জ্যামিতি (Elliptic geometry)| উপবৃত্তীয় জ্যামিতিৰ আদৰ্শ সজ্জা পোৱাটো উজু : এটা গোলকৰ উপৰিতল লোৱা হওক| ৰেখা বুজাবলৈ বৃহৎ বৃত্ত (great circles) আৰু বিন্দু বুজাবলৈ প্ৰতিমুখ (Antipodal) বিন্দুৰ যোৰা লোৱা হওক| দুটা ৰেখাই এটা বিন্দুত কটাকটি কৰা স্বীকাৰ্যটো মানি লোবাবলৈ হ’লে প্ৰতিমুখ বিন্দুৰ যোৰক এটা বিন্দুৰ সৈতে সাহুৰিব লাগিব| এইখিনিতেই পাঠকে হিলবাৰ্টৰ ‘মেজ’, ‘চকী’, ‘বিআৰ মাগ’ সম্পৰ্কীয় উক্তিটো মনত পেলাব পাৰে|

সমতলীয় ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত ধৰা হ’ল l এটা ৰেখা আৰু P, lৰ বাহিৰত এটা কোনো বিন্দু| Pৰ মাজেৰে lক লগ নধৰাকৈ (অৰ্থাৎ সমান্তৰালকৈ) এটাহে ৰেখা পাব পাৰি— সেই কথা আগতে কৈ আহিছোঁ| পিছে গাউছ, ল’বাচেভস্কি আৰু বল্যাইৰদ্বাৰা ব্যাখ্যাত অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত স্বীকাৰ্যটো এনেদৰে লোৱা হয় : ওপৰৰ ধৰণৰ লগ নধৰা ৰেখা, এটা ‘আদি’ আৰু এটা ‘অন্ত’ থকাকৈ অসীম সংখ্যক পোৱা যায়|

এনেধৰণে লোৱা স্বীকাৰ্যৰ ওপৰত ভেটি কৰি আগবঢ়াই নিয়া তেওঁলোকৰ জ্যামিতিত তেওঁলোকে কোনো ধৰণৰ বিৰোধৰ সন্মুখীন নহ’ল| গাউছে আনকি যথেষ্ট ডাঙৰ ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰত অ-ইউক্লিদীয় স্বীকাৰ্যটি প্ৰমাণ কৰিবলৈও আগবাঢ়ে| উল্লেখনীয় যে অ-ইউক্লিদীয় অন্তৰীক্ষত এটা ত্ৰিভূজৰ কোণসমূহৰ যোগফল ১৮০°ৰ সমান নহ’বও পাৰে|

অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ সহজবোধ্য অন্য এটা আদৰ্শ সজ্জা উল্লেখ কৰা হ’ল : আমি আগতে উল্লেখ কৰি অহা প্ৰক্ষেপ তলৰ আদৰ্শ সজ্জাটিক সাধাৰণ অন্তৰীক্ষত লোৱা হওক| Oৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাসমূহক ‘বিন্দু’ হিচাবে আৰু Oৰে যোৱা তলবোৰক প্ৰক্ষেপ তলৰ ‘ৰেখা’ হিচাবে ধৰা হওক| এতিয়া প্ৰক্ষেপ বিন্দুবোৰ Sৰ প্ৰতিমুখ (Antipodal) বিন্দুবোৰৰ অনুৰূপ আৰু প্ৰক্ষেপ ৰেখাবোৰ Sৰ বৃহত্‌ বৃত্তবোৰৰ অনুৰূপ| খেলিমেলিৰপৰা হাত সাৰিবলৈ প্ৰতিমুখ বিন্দুযোৰৰ একোটাক, এটা বিন্দুৰ সৈতে তুলনা কৰিব লাগিব| ফলস্বৰূপে Sত এনে দুটা ‘বিন্দু’ৰে এটা ‘ৰেখা’ (বৃহৎ বৃত্ত) যাব আৰু দুটা ‘ৰেখা’ই সদায় এটা বিন্দুত কাটিব| Sত ওপৰত হোৱা গতিসমূহ ৰৈখিকতা (Sৰ ধৰণত) ৰক্ষা কৰিব আৰু ইউক্লিদীয় তলৰ দৰে ৰেখাখণ্ড (বৃহৎ বৃত্তীয় চাপ) আৰু কোণ সম্পৰ্কীয় একেধৰণৰ সৰ্বাংগসমতা মানিব| ইয়াত সৰলৰেখাবোৰ হ’ব বন্ধ আৰু সীমিত|

গোলীয় জ্যামিতিৰ ধাৰণা আমাৰ ইতিমধ্যেই আছিল| বিশেষকৈ জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানত ইয়াৰ বহুল প্ৰয়োগ আছিল| তথাপি ভাবিলে আচৰিত লাগে যে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ স্থিতি মানি ল’বলৈ ইমান দীৰ্ঘদিনৰ প্ৰয়োজন হ’ল| কোনেও মন কৰা নাছিল নে গোলী জ্যামিতিত সমান্তৰাল স্বীকাৰ্য নাখাটে? হয়তো কৰিছিল, পিছে সমতল আৰু গোলীয় উপৰিতল দুটা সম্পূৰ্ণ স্ব-নিৰ্ভৰশীল ধাৰণা গুণে তুলনাযোগ্য কথাটোৱে হয়তো প্ৰভাৱিত কৰা নাচিল| তদুপৰি গোলকৰ ওপৰত দুটা ৰেখাই ( বৃহৎ বৃত্তই) দুটা বিন্দুত কাটে| গতিকে সাধাৰণ মনে স্বভাৱতে ইয়াক সৰলৰেখাৰ লগত একে বুলি নাভাবে : বেলেগ যৌক্তিক দৃষ্টিভংগী থকাজনেযে প্ৰতিমুখ বিন্দুৰ যোৰক এটা বিন্দু বুলি ভাবিব| পিছে এয়া এতিয়া বাৰু সম্ভৱ হ’ল কেনেকৈ? এই সম্পৰ্কত স্বীকাৰ্য পদ্ধতিৰ যুক্তিৰ বিজ্ঞানত এবাৰ চকু ফুৰাই লওঁহক|

খেল এখন খেলিবলৈ যাওঁতে আমি প্ৰথমতে খেলখনৰ নিয়মসমূহ নিয়াৰিকৈ কৈ ল’ব লাগিব| আমি কেতিয়াও নাভাবো বা নোসোধোঁ যে এই নিয়মবোৰ সঁচানে? আমি বিচাৰোঁ যাতে খেলখন এখন খেলিবপৰা খেল হয়| দবা খেলৰ নিয়মসমূহ লিখা থকা কাগজখনৰ এটা পিঠিত যদি লিখা থাকে প্ৰথমতে বগা গুটিৰ চাল হ’ব আকৌ সিপিঠিত লিখা থাকে যে কলা গুটিৰ চাল প্ৰথমতে হ’ব—  তেতিয়া সেইখন খেলিবপৰা খেল নহ’ব| ইয়াৰদ্বাৰা ইয়াকেই বুজাব খোজা হৈছে যে নিয়মবোৰ সংগতিপূৰ্ণ হ’ব লাগিব|

স্বীকাৰ্য পদ্ধতিতো সেই একেই কথা, স্বীকাৰ্যবোৰৰ সংগতিপূৰ্ণতা সত্যতা নহয়| কোনো স্বীকাৰ্য পদ্ধতিৰ সংগতিপূৰ্ণতা দেখুৱাবলৈ হ’লে এই পদ্ধতি কোনোবাই মানি চলাটো দেখুৱাব পাৰিব লাগিব| স্বীকাৰ্য পদ্ধতিৰ এটা আদৰ্শ সজ্জাই দেখুৱায় যে ইয়াৰ কল্পনাসমূহৰ মাজত পৰস্পৰ বিৰোধ নাই|

স্থানাংক জ্যামিতি আৰু ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ সম্পৰ্কটো এইখিনিতে অলপ মন কৰোঁচোন| সাধাৰণ স্বানাংক জ্যামিতিত (x,y) এনে ধৰণৰ ক্ৰমিত সংখ্যাৰ যোৰে সমতলৰ ওপৰৰ বিন্দু বুজায়| এনেধৰণে বুজোৱা বিন্দুৰদ্বাৰা ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ স্বীকাৰ্যসমূহৰ সত্যতা প্ৰতিপাদন কৰিব পৰা যায়| আনহাতে, (x,y) এই ক্ৰমিত যোৰৰ x আৰু  y হ’ল বাস্তৱ সংখ্যা| গতিকে ওপৰত কোৱা জ্যামিতিৰ আদৰ্শ স্থানাংক সজ্জাটো সু-সংগত হ’ব লাগিলে ইয়াৰ লগত জড়িত পাটীগণিত সু-সংগত হ’ব লাগিব| গতিকে এই সু-সংগত এটা আপেক্ষিক কথাহে| অৰ্থাৎ এটা পদ্ধতি X সু-সংগত হয় যদিহে অন্য এটা পদ্ধতি Y সু-সংগত হয়| বৰ্তমানে বহুলভাৱে গৃহীত এই দৃষ্টিভংগীত কোনো বিশেষ স্বীকাৰ্য পদ্ধতিৰ জ্যামিতিৰ সু-সংগত সমস্যাটোক এটা বেলেগ দৃষ্টিকোণৰপৰা চোৱা হয়| ইয়াৰ ফলস্বৰূপে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিহে একমাত্ৰ সত্য জ্যামিতি বুলি যি মৌলিক প্ৰশ্ন আছিল, তাৰ ঠাইত এতিয়া ইউক্লিদীয় জ্যামিতিও পৰীক্ষা-নিৰীক্ষাৰ মাজলৈ আহিল এটা মূল প্ৰশ্ন আগত লৈ— ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগতনে? পিছে সঁহাৰিত এটা বুদ্ধিদীপ্ত উত্তৰহে পোৱা যাব; সেয়া হ’ল— এই সম্পৰ্কে আমাৰ কোনো ধাৰণা নাই, যদি পাটীগণিত সু-সংগত হয়, তেনেহ’লে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিও হয়|

একেদৰে অ-ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ সু-সংগত সম্পৰ্কীয় প্ৰশ্নৰো একেই উত্তৰ যে— আমি নাজানো, যদি পাটীগণিত বা ইউক্লিদীয় জ্যামিতি সু-সংগত হয় তেনেহ’লে ইও হয়|

এনেদৰেই আগবাঢ়ি আহি আছে আজিৰ জ্যামিতি|

 

লেখক : খনীন চৌধুৰী।

লেখকৰ “গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়!” গ্ৰন্থখনৰ পৰা।