গণিত অলিম্পিয়াড পৰীক্ষাৰ্থীৰ বাবে ১৩টা প্ৰশ্নোত্তৰ

28 Jan গণিত অলিম্পিয়াড পৰীক্ষাৰ্থীৰ বাবে ১৩টা প্ৰশ্নোত্তৰ

Posted at 00:55h in অলিম্পিয়াড, সমস্যা আৰু সমাধান by পংকজ জ্যোতি মহন্ত 0 Comments

১) $x(\neq 0, 1)$ এটা বাস্তৱ সংখ্যা আৰু n এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n}$ এনে এটা অনুক্ৰম যাতে:

$a_{0} = x,$ $a_{1} = 1 - x$ , আৰু $a_{k} = 1 - a_{k-1}(1 - a_{k-1}),$ $k = 2, 3, . . . , n$

প্ৰমাণ কৰা যে:

$a_{0}a_{1}\cdots a_{n}\left(\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{1}} +\cdots + \frac{1}{a_{n}}\right) = 1$

সমাধান:-

দিয়া আছে, $a_{k} = 1 - a_{k-1}(1 - a_{k-1}),$ $k = 2, 3, . . . , n$

গতিকে, $1- a_{k} = a_{k-1}(1 - a_{k-1})$

$= a_{k-1}a_{k-2}(1 - a_{k-2})$

$\cdots$

$= a_{k-1}a_{k-2} \cdots a_{1}(1 - a_{1})$

$= a_{k-1}a_{k-2} \cdots a_{1}a_{0}$

অৰ্থাৎ, $a_{k} =1-a_{0}a_{1} \cdots a_{k-2}a_{k-1}$

এতিয়া, k=1 কাৰণে

$a_{0}a_{1}\left(\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{1}}\right) = x(1-x)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}\right) = 1$

এতিয়া, ধৰাহওক, k ৰ কোনো মান j ৰ বাবে প্ৰমেয়টো সত্য। গতিকে, k = j + 1 ৰা বাবে আমি পাম:

$a_{0}a_{1}\cdots a_{j+1}\left(\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{1}} +\cdots + \frac{1}{a_{j+1}}\right)$

$= a_{0}a_{1}\cdots a_{j}\left(\frac{1}{a_{0}} + \frac{1}{a_{1}} +\cdots + \frac{1}{a_{j}}\right)a_{j+1} + a_{0}a_{1}\cdots a_{j}$

$= a_{j+1} + a_{0}a_{1}\cdots a_{j}$

$= 1$

গতিকে, k = n ৰ বাবে প্ৰমেয়টো সত্য।

২) তলৰ চৰ্তটো মানি চলা ফলনসমূহ নিৰ্ণয় কৰা:

$f : N \rightarrow N,$

$\frac{f(x + y) + f(x)}{2x + f(y)} = \frac{2y + f(x)}{f(x + y) + f(y)}, \forall x, y \in N$

সমাধান:-

$x = y$ ধৰিলে আমি পাম:

$(f(2x) + f(x))^{2} = (2x + f(x))^{2}$

$\Rightarrow f(2x) + f(x) = 2x + f(x),$ [কাৰণ, x আৰু f(x) স্বাভাৱিক সংখ্যা।]

$\Rightarrow f(2x) = 2x$

গতিকে, $x$ যুগ্ম সংখ্যা হ’লে $f(x) = x$ ।

আকৌ, ধৰাহওক, $x$ অযুগ্ম আৰু $y = 1$ ।

তেতিয়া, $x+1$ যুগ্ম। গতিকে, $f(x+1) = x+1$ আৰু

$(x + 1 + f(x))(x + 1 + f(1)) = (2 + f(x))(2x + f(1))$

$\Rightarrow (x + 1)^{2} + (x + 1)(f(x) + f(1)) + f(x)f(1) = 4x + 2f(1) + 2xf(x) + f(x)f(1)$

$\Rightarrow (x - 1)^{2} + (x - 1)f(1) = (x - 1)f(x)$

$\Rightarrow f(x) = x - 1 + f(1), x>1$

আকৌ, ধৰাহওক, $x$ যুগ্ম আৰু $y = 1$ ।

তেতিয়া $f(x)=x$ আৰু $x+1>1$ ।

গতিকে, $f(x + 1) = x + f(1)$

এতেকে, $(2x + f(1))(x + 2f(1)) = (2+x)(2x + f(1))$

$\Rightarrow x + 2f(1) = 2 + x$

$\Rightarrow f(1) = 1$

গতিকে, $x$ অযুগ্ম আৰু ১তকৈ ডাঙৰ হ’লে আমি পাম: $f(x) = x+1-1 = x$

সেয়েহে, $f(x) = x \forall x\in N$ ।

সত্যাপন:-

$\frac{f(x + y) + f(x)}{2x + f(y)}=\frac{2x + y}{2x + y}= 1 =\frac{2y + x}{2y + x}=\frac{2y + f(x)}{f(x + y) + f(y)}$

৩) এটা ত্ৰিভূজৰ বাহুসমূহৰ দৈৰ্ঘ্য তলৰ সংখ্যাসমূহৰ পৰা নিৰ্বাচন কৰা হৈছে:

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

প্ৰমাণ কৰা যে ত্ৰিভূজটো সমদ্বিবাহু বা সমবাহু ত্ৰিভূজ হ’বই লাগিব।

সমাধান:-

প্ৰদত্ত সংখ্যাসমূহ ফিব’নাকি শ্ৰেণীৰ সংখ্যা। সেয়েহে ইয়াত দেখা গৈছে— 2 আৰু 3 ক এৰি প্ৰতিটো সংখ্যাই পূৰ্বৱৰ্তী দুটা সংখ্যাৰ যোগফল।

ধৰাহওক $a,b,c$ ত্ৰিভূজটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু $a<b<c.$

যিহেতু $a,b,c$ ফিব’নাকি শ্ৰেণীত আছে, গতিকে $a<b<c$ হ’লে $a+b\leq c$ হ’বই।

কিন্তু, ত্ৰিভূজীয় অসমতা অনুসৰি, ত্ৰিভূজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ। সেয়েহে, ইয়াত ত্ৰিভূজটোৰ তিনিওটা বাহু অসমান হ’ব নোৱাৰে।

৪) ১ৰ পৰা ৯ লৈকে প্ৰতিটো অংক মাথোঁ এবাৰ থকাকৈ ৯টা অংকৰে গঠিত এনে কেইটা সংখ্যা পোৱা যাব, য’ত ১ৰ পৰা ৫লৈ অংককেইটা ক্ৰম অনুসৰি থাকে আৰু ৬ অংকটো সেই ক্ৰমত নাথাকে? (উদাহৰণস্বৰূপে ৮১২৭৩৬৪৯৫ তেনে এটা সংখ্যা।)

সমাধান:-

এনে সংখ্যাসমূহ তলত দিয়া ধৰণে গঠন কৰিব পৰা যাব:

প্ৰথমে ১ৰ পৰা ৫লৈ প্ৰতিটো অংক ক্ৰম অনুসাৰে বঢ়োৱাই লোৱা হওক। তেতিয়া ৬ অংকটো তাৰ যিকোনো এটা অংকৰ বাওঁফালে বঢ়ুৱাব পৰা যাব (অৰ্থাৎ, ১ৰ সমুখত, বা ২ৰ সমুখত (অৰ্থাৎ ১ আৰু ২ৰ মাজত), বা ৩ৰ সমুখত, …. বা ৫ৰ সমুখত)। অৰ্থাৎ ৬ অংকটো ৫ধৰণেৰে বঢ়োৱাব পৰা যাব। গতিকে, ৭, ৮ আৰু ৯ অংককেইটা ক্ৰমে ৭, ৮ আৰু ৯ ধৰণেৰে বঢ়োৱাব পৰা যাব।

গতিকে, নিৰ্ণেয় মুঠ সংখ্যাৰ পৰিমাণ = $5\times7\times8\times9 = 2520$ টা।

৫) n এটা 2তকৈ ডাঙৰ অখণ্ড সংখ্যা। $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ বাস্তৱ সংখ্যাসমূহ এনেদৰে লোৱা হ’ যাতে $\sum_{i=1}^{n}x_{i} = 0$ আৰু $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = n.$

প্ৰমাণ কৰা যে এই বাস্তৱ সংখ্যাসমূহৰ মাজত এনে দুটা সংখ্যা আছে যি দুটাৰ পূৰণফল -1 তকৈ সৰু।

সমাধান:-

আমি ধৰি ল’ব পাৰে যে,

$x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{k}\leq 0\leq x_{k+1}\leq \cdots \leq x_{n}$

এতিয়া, $x_{1} \leq 0.$ গতিকে

$\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2} \leq \sum_{i=1}^{k}x_{1}x_{i} = -x_{1}(x_{k+1}+x_{k+2}+ \cdots +x_{n})$

সেয়েহে, $\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq -x_{1}(x_{n}+x_{n}+ \cdots +x_{n}) = -x_{1}(n-k)x_{n}$

আকৌ, $\sum_{i=k+1}^{n}x_{i}^{2} \leq \sum_{i=k+1}^{n}x_{n}x_{i} = -x_{n}(x_{1}+x_{2}+ \cdots +x_{k}) \leq -kx_{1}x_{n}$

দুয়োটা যোগ কৰি আমি পাম, $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} \leq -nx_{1}x_{n}$

এতেকে $x_{1}x_{n} \leq -1.$

৬) ${x_{1}, x_{2}, x_{3},\dots , x_{n}, \dots}$ হ’ল ধণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যাৰ এটা অনুক্ৰম। প্ৰমাণ কৰা যে অনুক্ৰমটো গুণোত্তৰ প্ৰগতিত থাকিব যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে

$\frac{x_{1}}{x_{2}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x_{n}^{2}}{x_{k}x_{k+1}} = \frac{x_{n}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}} , \forall n\geq2.$

সমাধান:-

প্ৰয়োজনীয়াৰ প্ৰমাণ:- ধৰাহওক, $x_{k} = ar^{k-1}$

এতিয়া আমি পাম,

$\frac{x_{1}}{x_{2}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{x_{n}^{2}}{x_{k}x_{k+1}} = \frac{r^{2(n-1)}}{r}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{r^{2k-1}}$

$= (r^{2n-3})\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r^{3}}+\cdots \frac{1}{r^{2n-3}}\right)$

$= 1+r^{2}+\cdots +r^{2(n-2)}$

$= \frac{r^{2(n-1)}-1}{r^{2}-1} = \frac{x_{n}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}.$

পৰ্যাপ্ততাৰ প্ৰমাণ:- গণিতীয়া আৱেশ তত্ত্ব খটুৱাই সহজে প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়।

৭) প্ৰমাণ কৰা যে তলৰ বহুপদ ৰাশিটো $x(x + 1)$ আৰু $x(x + 1)^{2}$ ৰে হৰণ কৰিলে একেটাই বাকী ৰয়—

$p(x) = x^{2007} + 2x^{2006} + 3x^{2005} + 4x^{2004} + \cdots \cdots + 2005x^{3} + 2006x^{2} + 2007x + 2008$

সমাধান:-

$p(x) = (x^{2007} + 2x^{2006} + x^{2005}) + 2(x^{2005} + 2x^{2004} + x^{2003}) + 3(x^{2003}+ 2x^{2002} + x^{2001})+ \cdots \cdots + 1003(x^{3} + 2x^{2} + x) + 1004x + 2008$

$= x(x + 1)^{2}[x^{2004} + 2x^{2002} + 3x^{2000} + \cdots + 1003] + (1004x + 2008).$

৮) $\{x_{n}\}$ হ’ল ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ এটা অণুক্ৰম য’ত $x_{1} = a.$

যদি $2\sum_{k=1}^{n}\sqrt{x_{i}} = (n+1)\sqrt{x_{n}}, n\geq2$ হয় তেন্তে $\sum_{k=1}^{n}x_{k}$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান:- n = 2 হ’লে $2(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=3\sqrt{x_{2}},$ আৰু সেয়েহে $\sqrt{x_{2}}=2\sqrt{x_{1}},$ অৰ্থাৎ $x_{2}=4x_{1}=4a.$

n = 3 হ’লে $2(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{3}})=4\sqrt{x_{3}},$ আৰু সেয়েহে $2\sqrt{x_{3}}=2(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=6\sqrt{x_{1}},$ অৰ্থাৎ $x_{3}=9x_{1}=9a.$

এতিয়া এটা প্ৰমেয় ধৰি লোৱাহওক যে সকলো ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা k ৰ বাবে $x_{k}=k^{2}a.$

এতিয়া ধৰাহওক, $m\geq2$ আৰু $x_{k}=k^{2}a$ য’ত $1\leq k\leq m-1.$

এতিয়া আমি পাম, $(m-1)\sqrt{x_{m}}=(m+1)\sqrt{x_{m}} 2\sqrt{x_{m}}=2(\sqrt{x_{1}}+\cdots +\sqrt{x_{m-1}})=2\sqrt{x_{1}}(1+2+\cdots +(m-1))=m(m-1)\sqrt{a}$

বা $\sqrt{x_{m}}=m\sqrt{a}$ বা $x_{m}=m^{2}a.$

সেয়েহে $x_{k}=k^{2}a, \forall k\geq 1.$

গতিকে, $\sum_{k=1}^{n}x_{k} = (1+4+ \cdots +n^{2})a = \frac{n(n+1)(2n+1)a}{6}.$

৯) প্ৰমাণ কৰা যে যদি $x^{2}+ax+b+1=0$ সমীকৰণটোৰ অশূন্য অখণ্ড সমাধান থাকে তেন্তে $a^{2}+b^{2}$ হ’ব এটা যৌগিক সংখ্যা।

সমাধান:- ধৰাহওক, সমীকৰণটোৰ অশূন্য অখণ্ড সমাধান দুটা u আৰু v। তেতিয়া আমি পাম, u+v=-a আৰু uv=b+1.

এতিয়া, $a^{2}+b^{2}=(u + v)^{2}+(uv-1)^{2}=u^{2}+v^{2}+u^{2}v^{2}+1=(u^{2}+1)(v^{2}+1).$

ইয়াত যিহেতু দুয়োটা উৎপাদক 1তকৈ ডাঙৰ, সেয়েহে $a^{2}+b^{2}$ এটা যৌগিক সংখ্যা হ’ব।

১০) তলৰ সমীকৰণ-প্ৰণালীটোৰ অখণ্ড সমাধান নিৰ্ণয় কৰা—

$1=x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{2}.$

সমাধান:- প্ৰথম সমীকৰণটো দ্বিতীয়টোত প্ৰতিষ্ঠা কৰি আমি পাম—

$x^{3}+y^{3}+[1-(x+y)]^{2}=1$

বা $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+(x+y)^{2}-2(x+y)=0$

বা $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}+x+y-2)=0$

অৰ্থাৎ, $x=-y$ নতুবা $(x^{2}-xy+y^{2}+x+y-2)=0$

প্ৰথমটো ক্ষেত্ৰত আমি পাম, (x,y,z) = (t,-t,1), য’ত t হ’ল যিকোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা।

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত আমি পাম, $x^{2}+(1-y)x+(y^{2}+y-2)=0,$ য’ত x চলকৰ সাপেক্ষে নিৰ্ণায়কটো হ’ব—

$-3y^{2}-6y+9=-3(y+1)^{2}+12.$

ই এটা অঋণাত্মক সংখ্যা হ’ব যদিহে $|y+1|\leq4.$

গতিকে y ৰ সাম্ভাব্য মানবোৰ হ’ব -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

আটাইখিনি সাম্ভাৱ্য মান পৰীক্ষা কৰিলে আমি প্ৰদত্ত সমীকৰণ-প্ৰণালীটোৰ সমাধাণসমূহ তলত দিয়া ধৰণে পাম—

(x,y,z) = (t,-t,1), (1,0,0), (0,1,0), (-2,-3,6), (-3,-2,6), (-2,0,3), (0,-2,3), য’ত t যিকোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা।

১১) nৰ সৰ্বোচ্চ অখণ্ড মানটো নিৰ্ণয় কৰা যাৰ বাবে $n^3+100$ ক $n+10$ ৰে হৰণ যায়।

সমাধান:-

$n+10\equiv 0(mod (n+10))$

$\Rightarrow n\equiv -10(mod (n+10))$

$\Rightarrow n^3\equiv -1000(mod (n+10))$

$\Rightarrow n^3+100\equiv -900(mod (n+10))$

এতিয়া আমি পাম, $n^3+100$ ক $n+10$ ৰে হৰণ যাবলৈ হ’লে -900কো হৰণ যাব লাগিব। -900ক হৰণ যোৱা সৰ্বোচ্চ অখণ্ড সংখ্যাটো হ’ল 900। গতিকে n=900-10=890.

১২) abcয়ে দশমিক প্ৰণালীৰ এটা সংখ্যাক নিৰ্দেশ কৰিছে। অৰ্থাৎ a, b, c হ’ল 0 ৰ পৰা 9লৈ কোনোবা এটা অংক। যদি $999\times abc=def132$ , য’ত d, e, f ও হ’ল 0 ৰ পৰা 9লৈ কোনোবা একোটা অংক, তেন্তে a, b, c, d, e, f নিৰ্ণয় কৰা।