23 Jul গণিত পাঠ – ৭ : বিভাজ্যতা নিৰ্ণয়ৰ কেইটামান পদ্ধতি আৰু iff

২:

সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো শূন্য বা যুগ্ম হ’লে, সংখ্যাটো ২ৰে হৰণ যায়।

৩:

সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৩ৰে হৰণ যায়।

৪:

ক) সংখ্যা এটাৰ একেবাৰে সোঁপিনৰ অংক দুটাই গঠন কৰা সংখ্যাটো যদি ৪ৰে হৰণ যায়, তেন্তে গোটেই সংখ্যাটোক ৪ৰে হৰণ যাব। যেনে: ৩২৫৯১৮৪ সংখ্যাটোৰ একেবাৰে সোঁপিনে থকা অংক দুটাৰে গঠন কৰা সংখ্যাটো ৮৪। ৮৪ক ৪ৰে হৰণ যায়, গতিকে ৩২৫৯১৮৪ক ৪ৰে হৰণ যাব।

খ) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ দহকৰ স্থানৰ অংকটোক ২ৰে পূৰণ কৰি এককৰ স্থানৰ অংকটোৰ লগত যোগ কৰা। যোগফলটো ৪ৰে হৰণ গ’লে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৪ৰে হৰণ যাব। ওপৰৰ উদাহৰণৰ সংখ্যাটোৰ বাবে: ৮×২ + ৪ = ২০। ২০ক ৪ৰে হৰণ যায়, গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোকো ৪ৰে হৰণ যাব।

[৪ৰে হৰণ যায় নে নাযায় পৰীক্ষা কৰিবলৈ ক)ত দিয়া পদ্ধতিটোৱেই সহজ। ৮ৰে হৰণ যায় নে নাযায় পৰীক্ষা কৰিবলৈ খ)ত দিয়া ধৰণৰ পদ্ধতি এটা আছে, তাত খ)ত দিয়া পদ্ধতিটো ব্যৱহাৰ কৰিলে সোনকালে উত্তৰ পোৱা যায়।]

৫:

সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ০ বা ৫ হ’লে সংখ্যাটোক ৫ৰে হৰণ যায়।

৬:

৬ৰে হৰণ যাবলৈ সংখ্যাটো যুগ্ম হ’ব লাগিব আৰু তাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ৰে হৰণ যাব লাগিব।

৮:

ক) সংখ্যা এটাৰ একেবাৰে সোঁপিনৰ অংক তিনিটাই গঠন কৰা সংখ্যাটো যদি ৮ৰে হৰণ যায়, তেন্তে গোটেই সংখ্যাটোক ৮ৰে হৰণ যাব। [কথাখিনি ৪ৰে হৰণ যোৱা ধৰ্মটোৰ সৈতে সামান্য একে, মন কৰা।]

খ) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ শতকৰ স্থানৰ অংকটো ৪ৰে পূৰণ কৰা, দহকৰ স্থানৰ অংকটোক ২ৰে পূৰণ কৰা, আৰু এককৰ স্থানৰ অংকটো লোৱা। এতিয়া তিনিওটা যোগ কৰা। যোগফলটো ৮ৰে হৰণ গ’লে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৮ৰে হৰণ যাব। যেনে: ৫৭৮৪১৬ৰ ক্ষেত্ৰত পাবা: ৪×৪ + ১×২ + ৬ = ২৪। ২৪ক ৮ৰে হৰণ যায়, গতিকে ৫৭৮৪১৬ক ৮ৰে হৰণ যাব।

৯:

সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৯ৰে হৰণ যায়।

১০:

সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ০ হ’লে সংখ্যাটোক ১০ৰে হৰণ যায়।

২৫:

এটা সংখ্যাৰ শেষৰ অংক দুটাৰে গঠিত সংখ্যাটো যদি ২৫য়ে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ২৫য়ে হৰণ যাব।

২৭:

প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৮ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই পূৰণফলটো বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ২৭ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ২৭ৰে হৰণ যাব।

৮১:

প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৮ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই পূৰণফলটো বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ৮১ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৮১ৰে হৰণ যাব।

১২৫:

এটা সংখ্যাৰ শেষৰ অংক তিনিটাৰে গঠিত সংখ্যাটো যদি ১২৫য়ে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ১২৫য়ে হৰণ যাব।

[৭, ১১, ১৩ আৰু তাতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ বাবে পৰীক্ষা কৰিবলৈ দুটামান অংক বেছিকৈ কৰিব লগা হয়। সেইবুলিয়েই এই নিয়মকেইটা নিশিকাকৈ বাদ নিদিবা। অন্ততঃ ৭, ১১ আৰু ১৩ৰ বাবে মনত ৰাখি ল’লে পিছত বহুত কামত আহে।]

৭:

ক) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ২ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই পূৰণফলটো বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ৭ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৭ৰে হৰণ যাব। যেনে: ২৯৪। ২৯ – ২×৪ = ২১। ২১ক ৭ৰে হৰণ যায়, গতিকে ২৯৪কো ৭ৰে হৰণ যাব।

প্ৰদত্ত সংখ্যাটো ডাঙৰ হ’লে এই কামটো কেইবাবাৰো কৰিব লগা হয়। যেনে: ৬৫৯৭৩৩৯০।

৬৫৯৭৩৩৯ – ২×০ = ৬৫৯৭৩৩৯, এইটো এটা ডাঙৰ সংখ্যা গতিকে পুনৰ ইয়াৰ বাবে পৰীক্ষা কৰিম:

৬৫৯৭৩৩ – ২×৯ = ৬৫৯৭১৫, পুনৰ পৰীক্ষা কৰি যাম:

৬৫৯৭১ – ২×৫ = ৬৫৯৬১

৬৫৯৬ – ২×১ = ৬৫৯৪

৬৫৯ – ২×৪ = ৬৫১

৬৫ – ২×১ = ৬৩, ইয়াক ৭ৰে হৰণ যায়।

গতিকে ৬৫৯৭৩৩৯০কো ৭ৰে হৰণ যাব।

খ) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৫ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ লগত এই পূৰণফলটো যোগ কৰা। যোগফলটো যদি ৭ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৭ৰে হৰণ যাব। যেনে: ২৯৪। ২৯ + ৫×৪ = ৪৯। ৪৯ক ৭ৰে হৰণ যায়, গতিকে ২৯৪কো ৭ৰে হৰণ যাব।

গ) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ শেষৰ তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাটো বাকী অংশৰ পৰা বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ৭ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ৭ৰে হৰণ যাব। যেনে: ৬৫৯৭৩৩৯০।

৬৫৯৭৩ – ৩৯০ = ৬৫৫৮৩, এইবাৰ এইটো সংখ্যাৰ বাবে পৰীক্ষা কৰিব লাগিব:

৬৫ – ৫৮৩ = – ৫১৮, ইয়াক ৭ৰে হৰণ যায়।

গতিকে ৬৫৯৭৩৩৯০ক ৭ৰে হৰণ যাব।

[গ) পদ্ধতিটো ১১ আৰু ১৩ৰ বাবেও কামত আহে। তাৰবাবে ক্ৰমে ১১ আৰু ১৩ৰে হৰণ কৰি পৰীক্ষা কৰিব লাগে। ১১ আৰু ১৩ৰ বাবে উদাহৰণ তলত দিছোঁ।]

১১:

ক) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো লোৱা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই এককৰ ঘৰৰ অংকটো বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ১১ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ১১ৰে হৰণ যাব। যেনে: ২৯৭। ২৯ – ৭ = ২২। ২২ক ১১য়ে হৰণ যায়, গতিকে ২৯৭কো ১১য়ে হৰণ যাব।

খ) এই পদ্ধতিটো আনকেইটাতকৈ সহজ। প্ৰথমে সংখ্যাটোৰ অযুগ্ম স্থানৰ অংকবোৰৰ যোগফল আৰু যুগ্ম স্থানৰ অংকবোৰৰ যোগফল উলিওৱা। এই দুয়োটা যোগফলৰ বিয়োগফলটো উলিওৱা। সেই বিয়োগফলটো যদি ১১ৰে হৰণ যায়, তেন্তে গোটেই সংখ্যাটোকো ১১ৰে হৰণ যায়। যেনে: ৫২৯১৪০৭। ইয়াৰ অযুগ্ম স্থানৰ অংককেইটা ৫, ৯, ৪, ৭, আৰু সিহঁতৰ যোগফল ২৫। যুগ্ম স্থানৰ অংককেইটা ২, ১, ০, আৰু সিহঁতৰ যোগফল ৩। এতিয়া, ২৫ – ৩ = ২২। ২২ক ১১য়ে হৰণ যায়, গতিকে ৫২৯১৪০৭কো ১১য়ে হৰণ যাব।

গ) ইয়াৰ বাবে প্ৰথমে ৭গ)ত দিয়া কথাখিনি পঢ়া।

উদাহৰণ: ৫৯৮১৬৯।

৫৯৮ – ১৬৯= ৪২৯, ইয়াক ১১ৰে হৰণ যায়।

গতিকে ৫৯৮১৬৯ক ১১ৰে হৰণ যাব।

১৩:

ক) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৪ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ লগত এই পূৰণফলটো যোগ কৰা। যোগফলটো যদি ১৩ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ১৩ৰে হৰণ যাব।

খ) প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৯ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই পূৰণফলটো বিয়োগ কৰা। যোগফলটো যদি ১৩ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ১৩ৰে হৰণ যাব।

গ) ইয়াৰ বাবে প্ৰথমে ৭গ)ত দিয়া কথাখিনি পঢ়া।

উদাহৰণ: ২৬৫২১৩।

২৬৫ – ২১৩= ৫২, ইয়াক ১৩ৰে হৰণ যায়।

গতিকে ২৬৫২১৩ক ১৩ৰে হৰণ যাব।

[তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বাবে দিয়া পৰীক্ষাসমূহ ৭, ১১ আৰু ১৩ প্ৰত্যেকৰ ক)ত দিয়া পদ্ধতিকেইটাৰ সৈতে একেই। মাথোঁ পূৰণ কৰা সংখ্যাকেইটা আৰু যোগ-বিয়োগ বেলেগ বেলেগ। এইসমূহ প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়। কিন্তু তাৰ বাবে তোমালোকে কিছু উচ্চ পৰ্যায়ৰ অংক শিকিব লাগিব। সেইখিনি শিকাৰ পাছত, তলত দিয়া প্ৰতিটো সংখ্যা বা তাতোকৈ ডাঙৰ যিকোনো মৌলিক সংখ্যাৰ বাবে কামত অহাকৈ সাধাৰণ ফৰ্মূলাও নিজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিবা।]

১৭:

প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটোক ৫ৰে পূৰণ কৰা। প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৰ বাকী অংশৰ পৰা এই পূৰণফলটো বিয়োগ কৰা। বিয়োগফলটো যদি ১৭ৰে হৰণ যায়, তেন্তে প্ৰদত্ত সংখ্যাটোৱো ১৭ৰে হৰণ যাব।

এই কথাখিনি আমি চমুকৈ লিখিম এইদৰে: ৫ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

এতিয়া বিভিন্ন মৌলিক সংখ্যাৰ বাবে তলত তালিকাখন দিছোঁ। চমুকৈ লিখি দিয়া কথাখিনি নিশ্চয় বুজি পাবা।

৭: ২ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

১১: ১ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

১৩: ৪ৰে পূৰণ, যোগ।

১৭: ৫ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

১৯: ২ৰে পূৰণ, যোগ।

২৩: ৭ৰে পূৰণ, যোগ।

২৯: ৩ৰে পূৰণ, যোগ।

৩১: ৩ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

৩৭: ১১ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

৪১: ৪ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

৪৩: ১৩ৰে পূৰণ, যোগ। নতুবা ৩০ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

৪৭: ১৪ৰে পূৰণ, বিয়োগ।

এটি অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ কথা:

ওপৰৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বাবে যিখিনি কথা কোৱা হৈছে, সেইখিনিৰ ওলোটাটোৱো শুদ্ধ। তোমালোক কোনোবা এতিয়া আচৰিত হ’বা: এইবোৰৰ ওলোটানো কি থাকিব পাৰে!! কিবা ওলোটা আছে যেনতো লগা নাই! কিন্তু সঁচাকৈ আছে। তোমালোকে ৩ আৰু ৯ৰ পৰীক্ষা দুটা মন কৰা:

৩: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৩ৰে হৰণ যায়।

৯: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ৰে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৯ৰে হৰণ যায়।

এই দুটাৰ ভিত্তিত বহুতে ভুলতে ২৭ আৰু ৮১ৰ বাবেও তলত দিয়া দৰে আৰ্হি এটা ধাৰণা কৰি লয়:

২৭: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ২৭য়ে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ২৭য়ে হৰণ যায়।

৮১: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৮১য়ে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোকো ৮১য়ে হৰণ যায়।

কিন্তু এই দুটা কথা ভুল। কিছুমান সংখ্যাৰ বাবে শুদ্ধ, কিন্তু সদায় শুদ্ধ নহয়।

কিছুমান কথা ভুল বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈ কেতিয়াবা এটা উদাহৰণেই যথেষ্ঠ। তেনে উদাহৰণবোৰক counter example বুলি কোৱা হয়। ইয়াতো এটা counter example দিম: ৩৯৭৮ৰ অংককেইটাৰ যোগফল ২৭। ২৭ক ২৭য়ে হৰণ যায়। কিন্তু ৩৯৭৮ক ২৭য়ে হৰণ নাযায়। ৩৯৭৮ = ২ × ৯ × ১৩ × ১৭। গতিকে ওপৰত ধৰি লোৱা ২৭ৰ উক্তিটো ভুল।

সেই উক্তিটোৰ ওলোটাটো হ’ল: “এটা সংখ্যা ২৭য়ে হৰণ গ’লে সংখ্যাটোৰ অংকবোৰৰ যোগফলটোও ২৭য়ে হৰণ যায়।”

এইটোৱো ভুল উক্তি। ইয়াৰ বাবেও এটা Counter example চোৱা: ৫৪। ৫৪ক ২৭য়ে হৰণ যায়। কিন্তু, ৫৪ৰ অংককেইটাৰ যোগফল হৈছে ৯। ৯ক ২৭য়ে হৰণ নাযায়।

অৰ্থাৎ দুয়োটা দিশেৰেই উক্তিটো ভুল। মানে, সকলোৰে বাবে ই শুদ্ধ নহয়। কিন্তু কিছুমান সংখ্যাৰ কাৰণে শুদ্ধ। যেনে: ১৯৯৮। ইয়াক ২৭য়ে হৰণ যায়, আৰু ইয়াৰ অংককেইটাৰ যোগফলো ২৭য়ে হৰণ যায়।

৮১ৰ বাবে তোমালোকে এই সংখ্যা তিনিটা পৰীক্ষা কৰি চাবা:

৮৮৮৮৮৮৮৮৮৮১, ২৪৩ আৰু ১১………..১১ (৮১টা ১ৰে গঠিত)।

iff:

যেতিয়া এটা উক্তি শুদ্ধ হয় আৰু লগতে তাৰ বিপৰীত উক্তিটোৱো শুদ্ধ হয়, তেতিয়া “যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে” শব্দগুচ্ছ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰকাশ কৰা হয়। যিটোৰ অৰ্থ ইংৰাজীত if and only if, আৰু চমুকৈ iff.

গতিকে ৩ আৰু ৯ৰ বাবে আমি এনেকৈ ক’ব পাৰোঁ:

৩: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ৰে হৰণ যায় যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সংখ্যাটো ৩ৰে হৰণ যায়।

৯: সংখ্যা এটাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ৰে হৰণ যায় যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সংখ্যাটো ৯ৰে হৰণ যায়।

বা এইদৰেও ক’ব পাৰোঁ:

৩: সংখ্যা এটা ৩ৰে হৰণ যায় যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সংখ্যাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৩ৰে হৰণ যায়।

৯: সংখ্যা এটা ৯ৰে হৰণ যায় যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সংখ্যাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটো ৯ৰে হৰণ যায়।

কিবা এটা কথা প্ৰতিপন্ন কৰিবলৈ কেতিয়াবা এটা চৰ্ত প্ৰয়োজনীয় (necessary) হয়। আৰু কেতিয়াবা সেই প্ৰয়োজনীয় চৰ্তটো পৰ্যাপ্ত (sufficient) হৈয়ো যাব পাৰে। প্ৰয়োজনীয় আৰু পৰ্যাপ্ত শব্দ দুটাৰ অৰ্থ এনেকুৱা: ধৰা ভাতকেইটা খাবলৈ তোমাক এখন আঞ্জা লাগে। কেতিয়াবা তোমাক ভাজি এখনো প্ৰয়োজন হয়। গতিকে যদি তোমাক ভাতৰ লগতে ভাজি আৰু আঞ্জা দিয়া হয়, তেন্তে সেয়া তোমাৰ বাবে পৰ্যাপ্ত, তুমি ধুনীয়াকৈ ভাত খাব পাৰিবা, তোমাক আন একো নালাগে।

কিবা এটা চৰ্ত যদি প্ৰয়োজনীয় আৰু পৰ্যাপ্ত দুয়োটাই হয়, তেতিয়া iff শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰা হয়। সংখ্যা এটা ২ৰে হৰণ যাবলৈ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ০ বা যুগ্ম হোৱাটো প্ৰয়োজনীয়। বিপৰীতক্ৰমে, সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো যদি ০ বা যুগ্ম পাওঁ, তেন্তে সেয়া আমাৰ বাবে পৰ্যাপ্ত, তেতিয়া সংখ্যাটো ২ৰে হৰণ যাবই। গতিকে আমি ক’ব পাৰোঁ: সংখ্যা এটা ২ৰে হৰণ যায় যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো শূন্য বা যুগ্ম হয়। ইংৰাজীত: A number is divisible by 2 iff the unit’s digit of the number is either 0 or even.

ওপৰত দিয়া আটাইবোৰ পদ্ধতিৰ বাবে বিপৰীত উক্তিটো কি হ’ব আৰু দুয়োটা উক্তি কেনেকৈ একেলগে ক’ব পাৰি, নিজে চেষ্টা কৰিবা। আন এটা পাঠত বিপৰীত উক্তি, নঞৰ্থক উক্তি আদিৰ সম্পৰ্কে দিয়া হৈছে। “যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে” (if and only if, চমুকৈ iff) কথাটো ভালকৈ আয়ত্ব কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিবা। এইটো সঘনাই প্ৰয়োজন হৈ থাকে।