20 Nov ফাৰ্মা সংখ্যা: এবিধ সুন্দৰ সাজৰ সংখ্যা

“He who seeks a method without having a definite problem in mind seeks most of the part in vain.”

– David Hilbert

মহান ফৰাচী গণিতজ্ঞ পিয়েৰ দ্য ফাৰ্মা (১৬০১-১৬৬৫) পেছাত এগৰাকী আইনজ্ঞ আছিল। কিন্তু গণিতৰ কিতাপ অধ্যয়ন কৰা আৰু গণিত চৰ্চা কৰাটো তেওঁৰ প্ৰকৃত নিচা আছিল। অধ্যয়ন কৰা কিতাপৰ দাঁতিত তেওঁৰ মনলৈ অহা গণিতৰ কথাবোৰ লিপিৱদ্ধ কৰি ৰাখিছিল। কেতিয়াবা দুই এটা আৱিষ্কাৰ, মনলৈ অহা প্ৰশ্ন, ধাৰণা আদি সমসাময়িক গণিতজ্ঞলৈও চিঠিৰে জনাইছিল আৰু আলোচনা কৰিছিল। কিন্তু এনেদৰে লিখা টোকাসমূহৰ ফলাফল আৰু পূৰ্বানুমানে পিছৰ কালৰ গণিতজ্ঞসকলক যথেষ্ট ব্যস্ত কৰি ৰাখিছে। সুদীৰ্ঘ তিনিশ পঞ্চাছ বছৰৰো অধিক কাল ‘ফাৰ্মাৰ অন্তিম উপপাদ্য’-ই বিশ্বৰ গণিতজ্ঞ আৰু গণিতপ্ৰেমীসকলক ব্যস্ত ৰাখি “সৌ সিদিনা”, ১৯৯৫ চনতহে গণিতজ্ঞ এন্দ্ৰু ৱাইলছৰ দ্বাৰা প্ৰমাণিত হ’ল। ফাৰ্মাৰ আন কিছুমান পূৰ্বানুমানেও গণিতজ্ঞ তথা কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানীসকলক আজিও ব্যস্ত ৰাখিছে। এই প্ৰবন্ধত ফাৰ্মাই অধ্যয়ন কৰা, সংখ্যাতত্ত্বত ‘সুন্দৰ সাজৰ সংখ্যা’ হিচাপে পৰিচিত ‘ফাৰ্মা সংখ্যা’ সম্পৰ্কে কিছু কথা আলোচনা কৰা হৈছে।

যদিহে $n$ এটা অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা (nonnegative integer) হয় তেনেহ’লে $\text{২}^{(\text{২}^n)}+\text{১}$ আকৃতিৰ সংখ্যাবোৰক ফাৰ্মা সংখ্যা বুলি কোৱা হয় আৰু $F_n= \text{২}^{(\text{২}^n)}+ \text{১}$ -ৰে বুজোৱা হয়। ইয়াত $\text{২}^n$ -ৰ দ্বাৰা $\text{২}$ -ৰ ঘাত $n$ বুজোৱা হৈছে, মানে $\text{২}$ -টো $n$ বাৰ গুণ হোৱাটো বুজাইছে। উদাহৰণস্বৰূপে $\text{২}^\text{৩}$ -ৰ অৰ্থ হ’ল $\text{২}\times\text{২}\times\text{২} =\text{৮}$। গতিকে $\text{২}^{(\text{২}^\text{৩})}$ মানে হ’ল $\text{২}^\text{৮}$, অৰ্থাৎ $\text{২}\times\text{২}\times\text{২}\times\text{২}\times\text{২}\times\text{২}\times\text{২}\times\text{২} =\text{২৫৬}$। অৱশ্যে $\text{২}^\text{০}$ মানে আমি $\text{১}$ বুলি ধৰিম।

এতিয়া, উপৰিউক্ত $F_n$ -ৰ সূত্ৰত $n$ -ৰ মান ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫ আদি ল’লে আমি

$F_\text{০}=\text{২}^{(\text{২}^\text{০})}+\text{১}=\text{২}^\text{১}+\text{১}=\text{৩}$,

$F_\text{১}=\text{২}^{(\text{২}^\text{১})}+\text{১}=\text{২}^\text{২}+\text{১}=\text{৫}$,

$F_\text{২}=\text{২}^{(\text{২}^\text{২})}+\text{১}=\text{২}^\text{৪}+\text{১}=\text{১৭}$,

$F_\text{৩}=\text{২}^{(\text{২}^\text{৩})}+\text{১}=\text{২}^\text{৮}+\text{১}=\text{২৫৭}$,

$F_\text{৪}=\text{২}^{(\text{২}^\text{৪})}+\text{১}=\text{২}^\text{১৬}+\text{১}=\text{৬৫৫৩৭}$,

$F_\text{৫}=\text{২}^{(\text{২}^\text{৫})}+\text{১}=\text{২}^\text{৩২}+\text{১}=\text{৪২৯৪৯৬৭২৯৭}$,

আদি ফাৰ্মা সংখ্যা পাম।

আমি জানো যে এটা দশমিক পদ্ধতিৰ সংখ্যাক ২ -ৰ ঘাতৰ যোগফল হিচাপে লিখিলে তাৰ প্ৰতিটো ৰাশিৰ সহগবোৰৰপৰা সংখ্যাটোৰ সমতুল্য দ্বৈত (Binary) সংখ্যাটো পোৱা যায়। উদাহৰণস্বৰূপে, ১৫ -অক তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰোঁ;

$\text{১৫} = \text{১}\times\text{২}^\text{৩} + \text{১}\times\text{২}^\text{২} + \text{১}\times\text{২}^\text{১} + \text{১}\times\text{২}^\text{০}$,

আৰু এই $\text{২}^\text{৩}, \text{২}^\text{২}, \text{২}^\text{১}, \text{২}^\text{০}$ -ৰ সহগবোৰে সৃষ্টি কৰা ১১১১ সংখ্যাটোৱেই ১৫ -ৰ সমতুল্য দ্বৈত সংখ্যা।

ঠিক তেনেকৈ, যিহেতু

$\text{৩৩} = \text{১}\times\text{২}^\text{৫} + \text{১}\times\text{২}^\text{০}$,

গতিকে ৩৩-ৰ সমতুল্য দ্বৈত সংখ্যা হ’ব ১০০০০১ (কাৰণ $\text{২}^\text{৪}, \text{২}^\text{৩}, \text{২}^\text{২}, \text{২}^\text{১}$ -ৰ সহগবোৰ $\text{০}$)।

অলপ মন কৰিলেই ধৰিব পাৰি যে $F_n$ -বোৰ ইতিমধ্যে $\text{২}$ -ৰ ঘাতৰ যোগফল হিচাপে আছেই, $F_n = \text{২}^{(\text{২}^n)}+ \text{১}$, গতিকে $F_n$ -অক দ্বৈত প্ৰণালীত লিখিবলৈ হ’লে দুইফালে দুটা ১ লিখি মাজত $(\text{২}^n-\text{১})$ টা ০ বহুৱালেই হ’ব। উদাহৰণস্বৰূপে, $F_\text{১} = \text{২}^{(\text{২}^\text{১})}= \text{৫}$ -অক দ্বৈতত লিখিবলৈ হ’লে দুইফালে দুটা ১ লিখি মাজত $\text{২}^\text{১}-\text{১} = \text{১}$ টা ০ বহুৱালেই হ’ব। তাৰমানে $F_\text{১}$ -ৰ দ্বৈত সমতুল্য হ’ব ১০১। ঠিক তেনেকৈ $F_\text{২}, F_\text{৩}$, আৰু $F_\text{৪}$ আদিৰ দ্বৈত সমতুল্য হ’ব ক্ৰমে ১০০০১, ১০০০০০০০১, আৰু ১০০০০০০০০০০০০০০০১।

ফাৰ্মা সংখ্যাৰ আৰু কেইটামান উল্লেখযোগ্য ধৰ্ম হ’ল–

(১) $n$ -অৰ মান ২ বা ততোধিক হ’লে $F_n$ -অৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো সদায় ৭ হয়।

(২) যিকোনো দুটা ফাৰ্মা সংখ্যা আপেক্ষিকভাৱে মৌলিক, অৰ্থাৎ সিহঁতৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ সা উ) হ’ল ১।

(৩) যদি $F_\text{০}, F_\text{১}, F_\text{২}, F_\text{৩}, F_\text{৪},\ldots F_n$ আটাইবোৰৰ গুণফলৰ লগত ২ যোগ কৰা যায়, তেন্তে $F_{(n+\text{১})}$ পোৱা যায়। অৰ্থাৎ $(F_\text{০}\times F_\text{১} \times F_\text{২} \times F_\text{৩}\times\cdots\times F_n) + \text{২}= F_{(n+\text{১})}$।

প্ৰায় ১৬৪০ চনত ফাৰ্মাই মন কৰিলে যে $F_\text{০}=\text{৩}, F_\text{১}=\text{৫}, F_\text{২}=\text{১৭}, F_\text{৩}=\text{২৫৭}, F_\text{৪}=\text{৬৫৫৩৭}$ প্ৰতিটোৱেই মৌলিক। সেয়েহে তেওঁ অনুমান কৰিলে যে বাকী ফাৰ্মা সংখ্যাবোৰো মৌলিক হ’ব। এখন চিঠিত তেওঁ সমসাময়িক গণিতজ্ঞ মেৰিন মাৰ্চেনলৈ (১৫৮৮–১৬৪৮) লিখিলে:

“If I can determine basic reason, why 3, 5, 17, 257, 65537, … are prime numbers, I feel that I would find very interesting results, for I have already found marvellous things (along these lines) which I will tell you later.”

পিছে ফাৰ্মাৰ পূৰ্বানুমান শুদ্ধ নাছিল। গণিতজ্ঞসকলৰ “হিৰো” ৰূপে পৰিচিত মহান লেওনাৰ্ড অয়লাৰে (১৭০৬–১৭৮৩) ১৭৩২ চনত দেখুৱালে যে $F_\text{৫}=\text{৪২৯৪৯৬৭২৯৭}$ মৌলিক নহয়; কাৰণ ইয়াৰ এটা উৎপাদক হ’ল ৬৪১।

ফাৰ্মাই ১৭৪৭ চনত প্ৰমাণ কৰিলে যে $F_n$ -অৰ যিকোনো মৌলিক উৎপাদকৰ গঠন $k\times\text{২}^{(n+\text{১})}+\text{১}$ আকৃতিৰ হ’ব, য’ত $k$ হ’ল এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। সুদীৰ্ঘ ১৩২ বছৰৰ পিছত এডৱাৰ্ড লুকাছে দেখুৱালে যে $k$ -ৰ মান যুগ্মহে হ’ব। অৰ্থাৎ $F_n$ -অৰ যিকোনো মৌলিক উৎপাদকৰ গঠন $k\times\text{২}^{(n+\text{২})}+\text{১}$ আকৃতিৰ হ’ব। অৰ্থাৎ ফাৰ্মাৰ গঠনটোত থকা ২-ৰ ঘাত $n+\text{১}$ টো লুকাছৰ গঠনটোত $n+\text{২}$ লৈ পৰিৱৰ্তিত হৈছে। এই অয়লাৰ-লুকাছ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি $F_\text{৪}=\text{৬৫৫৩৭}$ মৌলিক বুলি সহজে দেখুৱাব পাৰি।

অয়লাৰ-লুকাছ উপপাদ্যৰপৰা আমি পাওঁ যে $F_\text{৪}$ -অৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ $k\times\text{২}^\text{৬}+\text{১}=\text{৬৪}k+\text{১}$ আকৃতিৰ হ’ব। আমি আৰু জানো যে এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $n$-অৰ প্ৰকৃত উৎপাদকবোৰৰ (মানে ১ আৰু সেই সংখ্যাটোৰ বাহিৰে) এটা উৎপাদক $n$-ৰ বৰ্গমূল বা তাতকৈ সৰু হ’বই লাগিব (যদিহে থাকে)। পিছে ৬৫৫৩৭ -অৰ বৰ্গমূলতকৈ সৰু $\text{৬৪}k+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক মাথোন এটাই আছে; সেইটো হ’ল ১৯৩। কিন্তু ১৯৩ সংখ্যাটো ৬৫৫৩৭ -অৰ উৎপাদক নহয়, কিয়নো ৬৫৫৩৭-অক ১৯৩ -ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ বা বাকী শূন্য নহয়। গতিকে ৬৫৫৩৭ -অৰ উৎপাদক কেৱল ১ আৰু ৬৫৫৩৭-হে। সেয়েহে ৬৫৫৩৭ সংখ্যাটো মৌলিক।

ঠিক একেদৰে, অয়লাৰ-লুকাছ উপপাদ্য অনুসৰি $F_\text{৫}$ -অৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ $k\times\text{২}^\text{৭}+\text{১}=\text{১২৮}k+\text{১}$ আকৃতিৰ হ’ব। যেতিয়া $k=\text{২}$ হয় তেতিয়া $\text{২}\times\text{২}^\text{৭}+\text{১}=\text{১২৮}\times\text{২}+\text{১}=\text{২৫৭}$ টো মৌলিক। কিন্তু ই $F_\text{৫}$ -অৰ উৎপাদক নহয়, কিয়নো $F_\text{৫}=\text{৪২৯৪৯৬৭২৯৭}$ -অক ২৫৭ -ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ শূন্য নহয়। আকৌ, যেতিয়া $k=\text{৫}$ হয় তেতিয়া $\text{৫}\times\text{২}^\text{৭}+\text{১}=\text{১২৮}\times\text{৫}+\text{১}=\text{৬৪১}$ টো মৌলিক আৰু দেখা যায় যে ই $F_\text{৫}$ -অৰ এটা উৎপাদক। গতিকে $F_\text{৫}$ মৌলিক নহয়। একে পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি $F_\text{৬}$ মৌলিক নে যৌগিক হ’ব প্ৰমাণ কৰাটো বৰ সহজ নাছিল কাৰণ $F_\text{৬}$ টো এটা ১০ টা অংকবিশিষ্ট সংখ্যা।

অয়লাৰে $F_\text{৫}$ -অৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰি গণিতজ্ঞসকললৈ এটি নতুন ধাৰণা দি গ’ল– $F_n$ -অৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা। গণিতজ্ঞ লণ্ড্ৰি আৰু লা লাছোঁই ১৮৮০ চনত দেখুৱালে যে $F_\text{৬}$ -ও মৌলিক নহয়। তেওঁলোকে $F_\text{৬}$-অক $\text{১০৭১}\times\text{২}^\text{৮}+\text{১}$ আৰু $\text{২৬২৮১৪১৪৫৭৪৫}\times\text{২}^\text{৮}+\text{১}$ -অৰ পূৰণফল বুলি প্ৰমাণ কৰে।

গণিতজ্ঞ পেপিনে ১৮৭৭ চনত ফাৰ্মা-সংখ্যাৰ মৌলিকতা জানিবলৈ এটি ব্যৱহাৰিক পদ্ধতি উলিয়ায়। এই পদ্ধতিমতে $n$-অৰ মান ১ বা ততোধিকৰ বাবে $F_n=\text{২}^{(\text{২}^n)}+ \text{১}$ মৌলিক হ’ব যদি আৰু যদিহে $\text{৩}^{((F_n-\text{১})/\text{২})}$ -অক $F_n$ -ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ (-১), অৰ্থাৎ $F_n-\text{১}$ পোৱা যায়।

পেপিনৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি ম’ৰহেড আৰু ৱেষ্টাৰ্ণে ১৯০৫ চনত পৃথকে পৃথকে $F_\text{৭}$ যৌগিক বুলি প্ৰমাণ কৰে৷ কিন্তু $F_\text{৭}$ -অৰ উৎপাদক বিশ্লেষণলৈ সুদীৰ্ঘ ৬৫ বছৰ ৰ’ব লগা হ’ল৷ ব্ৰিলহাৰ্ট আৰু মৰিছনে ১৯৭০ চনত দেখুৱালে যে

$~~~~=(\text{১১৬৫০৩১০৩৭৬৪৬৪৩}\times\text{২}^\text{৯}+\text{১})\times(\text{১১১৪১৯৭১০৯৫০৮৮১৪২৬৮৫}\times\text{২}^\text{৯}+\text{১})$৷

উল্লেখযোগ্য যে ম’ৰহেড আৰু ৱেষ্টাৰ্ণে ১৯০৯ চনত $F_\text{৮}$ -ও যৌগিক বুলি প্ৰমাণ কৰে৷ কিন্তু ব্ৰেণ্ট আৰু পোলাৰ্ডে ১৯৮১ চনতহে ইয়াৰ সম্পূৰ্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিবলৈ সক্ষম হয়। ব্ৰিলহাৰ্ট, মৰিছন, ব্ৰেণ্ট, পোলাৰ্ডহঁতে কম্পিউটাৰ ব্যৱহাৰ কৰিহে $F_\text{৭}, F_\text{৮}$, আদি বৃহৎ সংখ্যাবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লষণ কৰিব পাৰিছিল। যদিও ফাৰ্মাই সকলো $F_n$ মৌলিক হ’ব পাৰে বুলি পূৰ্বানুমান কৰিছিল, কিন্তু $F_\text{৪}$ -অৰ পিছৰ যিমানবোৰ $F_n$ -ৰ প্ৰকৃতি এতিয়ালৈকে জানিব পৰা গৈছে সেই আটাইবোৰেই যৌগিক বুলিহে প্ৰমাণিত হৈছে। তাৰমানে এইটো অদ্যাপি জনা হোৱা নাই, তাত্ত্বিকভাৱেই হওক বা ব্যৱহাৰিকভাৱেই হওক, যে আৰু ফাৰ্মা-মৌলিক আছেনে নাই। কিন্তু নিৰ্দিষ্ট কিছুমান ফাৰ্মা সংখ্যা যৌগিক বুলি প্ৰমাণ কৰাত গণিতজ্ঞ আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানীসকল যথেষ্ট আগবাঢ়িছে।

এতিয়ালৈকে ৩১৫ টা ফাৰ্মা সংখ্যাক যৌগিক বুলি প্ৰমাণ কৰা হৈছে আৰু মুঠ ৩৫৯ টা উৎপাদক চিনাক্ত কৰা হৈছে। এতিয়ালৈকে $F_\text{৫}$ ৰপৰা $F_\text{১১}$ -লৈকে ফাৰ্মা সংখ্যাবোৰৰ সম্পূৰ্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ সম্পন্ন হৈছে। যদিও $F_\text{৫}$ ৰপৰা $F_\text{৩২}$ -লৈ আটাইবোৰ ফাৰ্মা সংখ্যা যৌগিক বুলি প্ৰমাণিত হৈছে, কিন্তু $F_\text{২০}$ আৰু $F_\text{২৪}$ -অৰ এটাও মৌলিক উৎপাদকৰ চিনাক্তকৰণ আজিলৈকে সম্ভৱ হোৱা নাই। এই দুটাৰ বাহিৰে $F_\text{১২}$ -ৰপৰা $F_\text{৩২}$ লৈকে ফাৰ্মা সংখ্যাবোৰৰ সম্পূৰ্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ সম্পন্ন কৰিব পৰা হোৱা নাই যদিও এটা বা ততোধিক মৌলিক উৎপাদক চিনাক্তকৰণ হৈছে। আজিলৈকে যৌগিক নাইবা মৌলিক বুলি প্ৰতিপন্ন নোহোৱা আটাইতকৈ সৰু ফাৰ্মা সংখ্যাটো হ’ল $F_\text{৩৩}$ আৰু যৌগিক হিচাপে প্ৰমাণিত হোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ ফাৰ্মা সংখ্যাটো হ’ল $F_\text{১৮২৩৩৯৫৪}$, যিটো ব্ৰাউন, ৰেনল্ড, পেনে আৰু ফাউগেৰণে ২০২০ চনৰ ৫ অক্টোবৰত প্ৰমাণ কৰিছে।

ফাৰ্মা সংখ্যা সম্পৰ্কীয় শেহতীয়া বাতৰিটো হ’ল যে ২০২১ চনৰ ১১ আগষ্টত ডশ্বেৰ, পেনে আৰু ফাউগেৰণে প্ৰমাণ কৰিছে যে $\text{৭৪৯৮৯৩}\times\text{২}^\text{৬৬৬৪৮}+\text{১}$ সংখ্যাটো হ’ল $F_\text{৬৬৬৪৮}$ -অৰ এটা উৎপাদক।

সংখ্যাতত্ত্বত ফাৰ্মা সংখ্যাৰ উৎপাদক $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ সংখ্যাবোৰেও এক সুকীয়া আসন দখল কৰি আছে। ফৰাচী গণিতজ্ঞ ফ্ৰেংক’ প্ৰোথে (১৮৫২–১৮৭৯) এনে আকৃতিৰ সংখ্যাবোৰ মৌলিক হয়নে নহয় নিৰ্ণয় কৰিবৰ বাবে এটা সূত্ৰ আগবঢ়াইছিল বাবে এই আকৃতিৰ সংখ্যাক প্ৰোথ সংখ্যা বোলা হয়। যদিহে এটা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যা $k$ আৰু আন এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ -অৰ বাবে $\text{২}^n > k$ হয় তেন্তে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক সংখ্যাক প্ৰোথ মৌলিক বুলি কোৱা হয়। মৌলিক সংখ্যা ৩, ৫, ১৩, ১৭, ৪১ আদি প্ৰোথ মৌলিক, কিয়নো $\text{৩}=\text{১}\times\text{২}^\text{১}+\text{১}, \text{৫}=\text{১}\times\text{২}^\text{২}+\text{১}$, ইত্যাদি। ফাৰ্মা সংখ্যা $F_\text{৫}$ -অৰ মৌলিক উৎপাদক ৬৭০০৪১৭ টো প্ৰোথ মৌলিক নহয় কাৰণ $\text{৬৭০০৪১৭}=\text{৫২৩৪৭}\times\text{২}^\text{৭}+\text{১}$ আৰু $\text{২}^\text{৭}<\text{৫২৩৪৭}$। কিন্তু ২০২০ চনৰ অক্টোবৰত ব্ৰাউন, ৰেনল্ড, পেনে আৰু ফাউগেৰণে প্ৰমাণ কৰা বৃহৎ যৌগিক ফাৰ্মা সংখ্যা $F_\text{১৮২৩৩৯৫৪}$ -অৰ এটা মৌলিক উৎপাদক $\text{৭}\times(\text{২}^\text{১৮২৩৩৯৫৬})+\text{১}$ টো প্ৰোথ মৌলিক, কিয়নো $\text{২}^\text{১৮২৩৩৯৫৬}>\text{৭}$।

মন কৰিবলগীয়া যে নিৰ্দিষ্ট $k$ -ৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক পাবলৈ $n$ -টো যথেষ্ট ডাঙৰো হ’ব পাৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, $\text{৪৭}\times\text{২}^n+\text{১}$ টো $n=\text{৫৮৩}$ হ’লে মৌলিক। কিন্তু $n$ -অৰ মান ৫৮৩ -তকৈ সৰু প্ৰতিটো সংখ্যাৰবাবে $\text{৪৭}\times\text{২}^n+\text{১}$ যৌগিক! গতিকে প্ৰশ্ন উঠিব পাৰে যে এনেকুৱা $k$ থাকিব পাৰেনে কি যে $n$-অৰ প্ৰতিটো মানৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ -টো সদায় যৌগিকেই হয়। প্ৰখ্যাত পোলেণ্ডীয় গণিতজ্ঞ ৱাকল’ চিয়েৰপিন্‌স্কিয়ে (১৮৮২–১৯৬৯) ১৯৬০ চনত তাত্ত্বিকভাৱে দেখুৱালে যে তেনেধৰণৰ অসীম সংখ্যক $k$ আছে, যদিও তেওঁ তেনেকুৱা এটা $k$ নিৰ্দিষ্টকৈ উলিওৱা নাছিল। পিছে বেছি দিন ৰ’ব লগা নহ’ল। জন ছেলফ্ৰীজে ১৯৬২ চনত প্ৰমাণ কৰিলে যে ৭৮৫৫৭ টো তেনে এটা $k$ -ৰ মান। অৰ্থাৎ ৭৮৫৫৭ -টো এনে এটা সংখ্যা যাৰ বাবে $\text{৭৮৫৫৭}\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ সংখ্যাবোৰ $n$-অৰ যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰবাবে যৌগিক হ’ব। এনেধৰণৰ সংখ্যাবোৰক চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা বোলা হয়। মন কৰিবলগীয়া যে $n$-অৰ যিকোনো স্বাভাৱিক মানৰ বাবে $\text{৭৮৫৫৭}\times\text{২}^n+\text{১}$ -অৰ এটা উৎপাদক সদায় ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৯, ৩৭, নাইবা ৭৩ হ’বই। এই $\{\text{৩}, \text{৫}, \text{৭}, \text{১৩}, \text{১৯}, \text{৩৭}, \text{৭৩}\}$ সংহতিটোক চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা ৭৮৫৫৭ -অৰ আচ্ছাদিত সংহতি (covering set) বুলি কোৱা হয়। ঠিক তেনেকৈ ২৭১১২৯, ২৭১৫৭৭, ২১৩১০৪৩ -ও একো-একোটা চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা। এই প্ৰতিটোৰে আচ্ছাদিত সংহতিটো হ’ল $\{\text{৩}, \text{৫}, \text{৭}, \text{১৩}, \text{১৭}, \text{২৪১}\}$। গণিতজ্ঞসকলে বিশ্বাস কৰে যে ৭৮৫৫৭ টোৱেই হ’ল আটাইতকৈ সৰু চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা। ইয়াতকৈ সৰু দুই-তৃতীয়াংশ $k$ -ৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ সংখ্যাবোৰ $n$ -অৰ মান ৯ -তকৈ সৰু হ’লেই মৌলিক পোৱা যায়। বাকী এক-তৃতীয়াংশ $k$ -ৰ বাবে গণিতজ্ঞ আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানীসকলে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ কমেও এটা মৌলিক উলিয়াবলৈ চেষ্টা কৰিলে। যদিও “বিশ্বাসে মিলয় হৰি”; কিন্তু গণিতত বিশ্বাসেই শেষ কথা নহয়। আমি ৭৮৫৫৭ -অতকৈ সৰু সকলো $k$ -ৰ বাবেই $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ এটা হ’লেও মৌলিক আছে বুলি প্ৰমাণ কৰিবই লাগিব।

হিচাপ কৰি পোৱা গ’ল যে ২০০২ চনৰ মাৰ্চ মাহলৈকে মাত্ৰ ১৭ টা $k$ -এৰ বাহিৰে ৭৮৫৫৭ -তকৈ সৰু আটাইবোৰ সংখ্যাই চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা নহয় বুলি প্ৰমাণিত হ’ল, মানে ইহঁতৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক পোৱা গ’ল। মৰ-কামোৰ মাৰি থকা এই ১৭ টা সংখ্যা হ’ল ৪৮৪৭, ৫৩৫৯, ১০২২৩, ১৯২৪৯, ২১১৮১, ২২৬৯৯, ২৪৭৩৭, ২৭৬৫৩, ২৮৪৩৩, ৩৩৬৬১, ৪৪১৩১, ৪৬১৫৭, ৫৪৭৬৭, ৫৫৪৫৯, ৬৫৫৬৭, ৬৭৬০৭, আৰু ৬৯১০৯।

উপৰিউক্ত ১৭ টা $k$ -ৰ বাবে যদিহে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যায় তেনেহ’লে চেলফ্ৰিজৰ ৭৮৫৫৭ -এই আটাইতকৈ সৰু চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা বুলি প্ৰতিপন্ন হ’ব। আমেৰিকাৰ মিচিগান বিশ্ববিদ্যালয়ৰ লুই হেলম্‌ আৰু ইলিনয় বিশ্ববিদ্যালয়ৰ ডেভিড নৰিচে এই চিয়েৰপিন্‌স্কি সমস্যা সমাধানত উপনীত হ’বলৈ ২০০২ চনৰ মাৰ্চ মাহত Seventeen or Bust নামৰ এটা প্ৰকল্প হাতত ল’লে। তেওঁলোকে এটা কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰেম কৰি প্ৰতিটো $k$ -ৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক নিৰ্ণয় কৰিবলৈ বিশ্বৰ বিভিন্ন প্ৰান্তৰ সহস্ৰাধিক কম্পিউটাৰ ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে। সেইমতে বিভিন্নজনৰ কম্পিউটাৰৰ অবাবত নষ্ট হোৱা গাণনিক সময়খিনি (idle time) Seventeen or Bust যোগে ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ ধৰিলে। সেইমতে সফলতাও পালে। সেই বছৰৰ ডিচেম্বৰৰ ভিতৰত ৫ টা সংখ্যা তালিকাৰপৰা আঁতৰিল। বিশ্বৰ বিভিন্ন প্ৰান্তত সিঁচৰতি কম্পিউটাৰে দেখুৱালে যে $k =$ ৪৪১৩১, ৪৬১৫৭, ৫৪৭৬৭, ৬৫৫৬৭, আৰু ৬৯১০৯ চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা নহয়, কিয়নো Seventeen or Bust -অৰ যোগেদি

$\text{৪৪১৩১}\times\text{২}^\text{৯৯৫৯৭২}+\text{১}$,

$\text{৪৬১৫৭}\times\text{২}^\text{৬৯৮২০৭}+\text{১}$,

$\text{৫৪৭৬৭}\times\text{২}^\text{১৩৩৭২৮৭}+\text{১}$,

$\text{৬৫৫৬৭}\times\text{২}^\text{১০১৩৮০৩}+\text{১}$,

আৰু

মৌলিক বুলি প্ৰমাণিত হ’ল।

পৰৱৰ্তী সময়ত ১৭ টাৰ ভিতৰৰ আৰু সাতটা সংখ্যা, $k =$ ৪৮৪৭, ৫৩৫৯, ১০২২৩, ১৯২৪৯, ২৭৬৫৩, ২৮৪৩৩, আৰু ৩৩৬৬১ চিয়েৰপিন্‌স্কি নহয় বুলি জানিব পৰা গ’ল। বৰ্তমান বাকী থকা পাঁচটা $k$, অৰ্থাৎ $k =$ ২১১৮১, ২২৬৯৯, ২৪৭৩৭, ৫৫৪৫৯, আৰু ৬৭৬০৭ ৰ বাবে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক Seventeen or Bust ৰ যোগেদি বিচাৰি থকা হৈছে। যদিহে আটাইকেইটাৰ বাবে তেনকুৱা মৌলিক পোৱা যায় তেন্তে প্ৰমাণিত হ’ব যে ৭৮৫৫৭ সংখ্যাটো আটাইতকৈ সৰু চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা। কিন্তু ইয়াৰে এটা $k$ -ৰ বাবেও যদিহে $k\times\text{২}^n+\text{১}$ আকৃতিৰ মৌলিক পোৱা নেযায়, তেন্তে Seventeen or Bust প্ৰগ্ৰেমটো অসীম সময়লৈকে চলি থাকিব। অৱশ্যে সেই $k$ কেইটাৰবাবে যদি একোটাকৈ আচ্ছাদিত সংহতি তাত্ত্বিকভাৱে বিচাৰি উলিয়াব পাৰি তেনে আমি ৭৮৫৫৭ -তকৈ সৰু চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যা এটা পাম। সমস্যাটোৰ স্থায়ী সমাধানৰ বাবে হয়তো আমি আৰু বেছ কিছুবছৰলৈ অপেক্ষা কৰিব লাগিব।

চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যাৰ অনুৰূপ আৰু এবিধ সংখ্যা হ’ল ৰিজেল সংখ্যা। হনছ ৰিজেলে ১৯৫৬ চনত দেখুৱালে যে প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ -ৰ বাবে $k\times\text{২}^n-\text{১}$ যৌগিক হোৱা অসীম সংখ্যক $k$ আছে। তেনে $k$ বোৰক ৰিজেল সংখ্যা বুলি কোৱা হয়। ৰিজেলে নিজেই $k=\text{৫০৯২০৩}$ টো তেনে এটা সংখ্যা বুলি প্ৰমাণ কৰে। আজিলৈকে ৫০৯২০৩ -তকৈ ডাঙৰ বহুকেইটা ৰিজেল সংখ্যা আৱিষ্কৃত হৈছে যদিও ৫০৯২০৩ টোয়েই যে আটাইতকৈ সৰু ৰিজেল সংখ্যা সেয়া প্ৰমাণিত হ’বলৈ বাকী। আমোদজনকভাৱে, ৰিজেল সংখ্যা ৰিজেলে চিয়েৰপিন্‌স্কিতকৈ আগতে আৱিষ্কাৰ কৰিছিল যদিও গৱেষণা পত্ৰখন চুইডীছ ভাষাত প্ৰকাশিত হোৱাৰ বাবে চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যাতকৈ ৰিজেল সংখ্যাই কম জনপ্ৰিয়তা পাইছিল। ফাৰ্মা সংখ্যাৰ উৎপাদকৰ সমস্যাৰ সৈতে জড়িত থকাৰ বাবেও হয়তো চিয়েৰপিন্‌স্কি সংখ্যাই ৰিজেল সংখ্যাতকৈ বেছি জনপ্ৰিয়তা লাভ কৰিছে।

(প্ৰৱন্ধটোৰ পূৰ্ব সংস্কৰণ এটি অসম গণিত শিক্ষায়তনৰ দ্বাৰা প্ৰকাশিত ‘গণিত বিকাশ’ আলোচনীৰ চতুস্ত্ৰিংশ সংখ্যা: জানুৱাৰী—জুন, ২০০৪-ত প্ৰকাশ হৈছিল। গণিত আৰু গণিত-সাহিত্যৰ প্ৰতি আগ্ৰহী পঢ়ুৱৈৰ বাবে শেহতীয়া অগ্ৰগতিৰ তথ্যসহ প্ৰৱন্ধটো আগবঢ়োৱা হ’ল।)

Image Courtesy: Wikimedia Commons

ড° নয়নদীপ ডেকা বৰুৱা

তেজপুৰ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ গণিতবিজ্ঞান বিভাগৰ অধ্যাপক। ‘ৰামানুজন আৰু তেওঁৰ গণিত’ গ্ৰন্থখনৰ লেখক।

en.wikipedia.org/wiki/Nayandeep_Deka_Baruah