23 Jul গণিত পাঠ – ৮ : ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ

তোমালোকৰ গোটেই পৰিয়াল-মিতিৰ-কুতুম্বৰ ঘৰত নানা সম্পৰ্কৰ মানুহ আছে: দাদা, ভন্তী, ভাইটি, মামা, খুৰা, খুৰী, মা, দেউতা, বাইদেউ, মামী……। ইয়াত দুটা প্ৰজন্মৰ মানুহৰ কথা ক’লো। তুমি আৰু তোমাৰ দাদা, বাইদেউ, ভাইটি, ভন্তী সম্পৰ্কৰ সৰু সৰু মানুহখিনি এটা প্ৰজন্মৰ। আৰু তোমালোকৰ খুৰা, মামা, মামী, মাহী, খুৰী আদি সম্পৰ্কৰ মানুহখিনি আন এটা প্ৰজন্মৰ। যদি ককা, আইতা, মামা-ককা আদি আছে, তেওঁলোকো আন এটা প্ৰজন্মৰ। আজো-ককা, আজো-আইতা আদি আন এটা প্ৰজন্মৰ।

তোমাক যদি সোধো, তোমালোকৰ প্ৰজন্মৰ আটাইতকৈ সৰু কোন আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ কোন? তেতিয়া তুমি পটকৈ ক’ব পাৰিবা। ধৰা তোমাৰ ভন্তী সবতকৈ সৰু। তোমাৰ বৰদেউতাৰ ল’ৰা চম্পক তোমালোকৰ সবতকৈ ডাঙৰ।

আকৌ, তোমাৰ ওপৰৰ প্ৰজন্মৰ যিসকল মানুহ আছে, তেওঁলোক প্ৰত্যেকেই তোমালোকৰ প্ৰজন্মটোৰ সকলোতকৈ ডাঙৰ। তেওঁলোক তোমাতকৈ ডাঙৰ, তোমাৰ ভন্তীতকৈ ডাঙৰ, বাইদেউতকৈ ডাঙৰ, চম্পকতকৈ ডাঙৰ। তোমাক যদি সোধো: তোমালোকৰ ওপৰৰ প্ৰজন্মটোৰ আটাইতকৈ সৰু কোন? তুমি পটকৈ উত্তৰ দিব পাৰিবা। তোমাৰ দেউতা সবতকৈ সৰু হ’ব পাৰে, নতুবা তোমাৰ মামাও সবতকৈ সৰু হ’ব পাৰে।

অচিনাকি মানুহ এজনে কথা-বতৰা পাতোতে যদি এই কথাখিনি তোমাক সোধে, তেন্তে তুমি পটাপট উত্তৰ দিব পাৰিবা। আৰু তেতিয়া অচিনাকি মানুহজনে, তোমালোকৰ পৰিয়াল-মিতিৰ-কুতুম্বত কোন কোন আছে, কেনেদৰে আছে, এনেবোৰ কথাৰ এটা স্পষ্ট ধাৰণা পাব।

এই কথাবোৰত কিছুমান অংক সোমাই আছে। যেনে: বসয়ৰ হিচাপ, বয়সৰ তুলনা ইত্যাদি। তুমি সবকে সদায় দেখি আছা কাৰণে পটাপট ক’ব পাৰিছা। সংখ্যাৰ বিষয়ে কিছুমান স্পষ্ট ধাৰণা পাবলৈ এনেধৰণৰ কিছুমান তুলনামূলক কথা জানিব লগা হয়। এনেদৰে তুমি সংখ্যাবোৰৰ লগত পৰিচয় গঢ়ি তুলিব লাগিব।

লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ এনেকুৱা ধৰণৰ দুটা বস্তু।

সংজ্ঞা: উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Divisor বা Factor):

এটা অখণ্ড সংখ্যা nৰ বাবে আন এটা অখণ্ড সংখ্যা mক এটা উৎপাদক বুলি কোৱা হয় যদিহে mৰ সৈতে কোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলে n পোৱা যায়।

অন্য ভাষাৰে: nক যদি mৰে হৰণ যায় তেন্তে mক nৰ উৎপাদক বুলি কোৱা হয়।

যেনে: ৬ৰ এটা উৎপাদক হ’ল ২। কাৰণ, ২ৰ লগত ৩ পূৰণ কৰিলে ৬ পোৱা যায়। সেইদৰে, ৬ৰ আন এটা উৎপাদক হ’ল ৬ নিজেই। কাৰণ, ৬ = ৬×১। ৬ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬, -১, -২, -৩, -৬। মানে, এইকেইটা সংখ্যাৰে ৬ক হৰণ যায়।

৬ৰ ধণাত্মক উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬।

সংজ্ঞা : গুণিতক (Multiple):

এটা অখণ্ড সংখ্যা nক আন এটা অখণ্ড সংখ্যা mৰে পূৰণ কৰি পোৱা ফলক nৰ গুণিতক বোলে।

অন্যভাষাৰে: nৰে হৰণ যোৱা সংখ্যাবোৰক nৰ গুণিতক বুলি কোৱা হয়।

যেনে: ৬ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……, ০, -৬, -১২, -১৮, -২৪, ……।

৬ৰ ধণাত্মক গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……

সাধাৰণ উৎপাদক আৰু সাধাৰণ গুণিতক (Common divisor আৰু common multiple):

“সাধাৰণ” শব্দটোৰ কেইবাটাও অৰ্থ আছে। “এইযোৰ একদম সাধাৰণ জোতা, তই কিয় দুহেজাৰ টকা দি কিনিলি?” ইয়াত “সাধাৰণ”টোৱে নগণ্য বা নৰম বুজাইছে। তাৰমানে জোতাযোৰত পাঁছশমান টকা দিলেই হ’লহেঁতেন। “সাধাৰণ”ৰ আন এটা অৰ্থ হৈছে উমৈহতীয়া। ধৰা “সাধাৰণ সম্পত্তি”, মানে উমৈহতীয়া সম্পত্তি। তোমালোকৰ ঘৰত থকা সৰু চাইকেলখন তোমাৰ আৰু ভন্তীৰ উমৈহতীয়া সম্পত্তি।

এতিয়া আমি “সাধাৰণ” শব্দটো উমৈহতীয়া বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰিম। উমৈহতীয়া বুজাওতে আমি দুই বা ততোধিকৰ কথা আলোচনা কৰিব লাগিব। যেনেকৈ উমৈহতীয়া চাইকেলখন বুজাওতে, তুমি আৰু ভন্তী, এই দুজনৰ কথা কোৱা হৈছে।

মানে, সাধাৰণ উৎপাদক আৰু সাধাৰণ গুণিতকৰ কথা আলোচনা কৰোঁতে আমি দুটা বা ততোধিক সংখ্যা ল’ব লাগিব।

আমি এতিয়া ৬ আৰু ১৫ লওঁ।

৬ৰ ধণাত্মক উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬।

১৫ৰ ধণাত্মক উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ৩, ৫, ১৫।

ইয়াৰ পৰা আমি দেখিলোঁ যে ৬ আৰু ১৫ৰ সাধাৰণ উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ৩।

আকৌ,

৬ৰ ধণাত্মক গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪২, ৪৮, ৫৪, ৬০, ৬৬, ৭২, ৭৮, ৮৪, ৯০, ৯৬, ১০২, ১০৮, ……

১৫ৰ ধণাত্মক গুণিতকবোৰ হ’ল: ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০, ১০৫, ১২০, ……

ইয়াৰ পৰা আমি দেখিলোঁ যে ৬ আৰু ১৫ৰ সাধাৰণ গুণিতকবোৰ হ’ল: ৩০, ৬০, ৯০, ……

আমি ইয়াত কেৱল ধণাত্মক উৎপাদক আৰু ধণাত্মক গুণিতকৰ কথাহে আলোচনা কৰি আছোঁ।

লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক, চমুকৈ লঃসাঃগুঃ (ইংৰাজীত Least common multiple, চমুকৈ lcm) আৰু গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক বা গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক, চমুকৈ গঃসাঃউঃ বা গঃসাঃগুঃ (ইংৰাজীত Greatest common divisor বা Highest common factor, চমুকৈ gcd বা hcf):

ওপৰত আমি দেখিলোঁ, সংখ্যাৰ গুণিতকবোৰ অসীমলৈকে বাঢ়ি বাঢ়ি গৈ আছে। সেইদৰে দুটা সংখ্যাৰ সাধাৰণ গুণিতকবোৰো অসীমলৈকে বাঢ়ি বাঢ়ি গৈ আছে। ৬ আৰু ১৫ৰ সাধাৰণ গুণিতকবোৰৰ ভিতৰত লঘিষ্ঠ গুণিতক কোনটো? লঘিষ্ঠ শব্দটোৰ অৰ্থ হ’ল আটাইতকৈ সৰু। গতিকে, উত্তৰটো হ’ল: ৩০। অৰ্থাৎ ৬ আৰু ১৫ৰ লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক ৩০। চমুকৈ, লঃসাঃগুঃ ৩০। (ইংৰাজীত Least common multiple, চমুকৈ lcm.)

আকৌ, আমি পাইছিলোঁ, ৬ আৰু ১৫ৰ সাধাৰণ উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ৩। ইহঁতৰ গৰিষ্ঠটো কোনটো? গৰিষ্ঠ শব্দটোৰ অৰ্থ হ’ল আটাইতকৈ ডাঙৰ। গতিকে, উত্তৰটো হ’ল: ৩। অৰ্থাৎ ৬ আৰু ১৫ৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক হ’ল ৩। চমুকৈ, গঃসাঃউঃ ৩। ইয়াকে গৰিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়ক, চমুকৈ গঃসাঃগুঃ বুলিও কয়। (ইংৰাজীত Greatest common divisor বা Highest common factor, চমুকৈ gcd বা hcf.)

দুটা সংখ্যা a আৰু b ৰ লঃসাঃগুঃক lcm(a,b) বা [a,b] ৰে বুজোৱা হয়। আৰু গঃসাঃউঃক gcd(a,b) বা (a,b) ৰে বুজোৱা হয়।

গতিকে, lcm(৬,১৫) = ৩০ আৰু gcd(৬,১৫) = ৩।

সংজ্ঞা : লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ:

দুটা বা ততোধিক অশূন্য অখণ্ড সংখ্যাৰ প্ৰতিটোৱে হৰণ যোৱা আটাইতকৈ সৰু ধণাত্মক সংখ্যাটোক সেই সংখ্যাকেইটাৰ লঃসাগুঃ বোলে।

দুটা বা ততোধিক অখণ্ড সংখ্যাৰ (য’ত আটাইকেইটা ০ নহয়) প্ৰতিটোকে হৰণ যোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ ধণাত্মক সংখ্যাটোক সেই সংখ্যাকেইটাৰ গঃসাঃউঃ বোলে।

সংজ্ঞাৰ পৰা আমি গম পালোঁ যে লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ সদায় ধণাত্মক।

(ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ) লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ নিয়ম:

পদ্ধতি ১:

ইয়াত আমি উদাহৰণ ৰূপে ১২০ আৰু ১২৬০ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিয়াম। তাৰ বাবে, প্ৰথমে প্ৰতিটো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ উলিয়াই ল’ম।

১২০  =  ২.২.২.৩.৫  = {\text{২}}^{\text{৩}}.৩.৫ = {\text{২}}^{\text{৩}}.\text{৩}.\text{৫}.{\text{৭}}^{\text{০}}

১২৬০  =  ২.২.৩.৩.৫.৭  = {\text{২}}^{\text{২}}.{\text{৩}}^{\text{২}}.\text{৫}.\text{৭}

* ইয়াৰ পৰা দেখিলোঁ যে, দুয়োটা সংখ্যাৰ সাধাৰণ মৌলিক উৎপাদকবোৰ হ’ল ২, ২, ৩, ৫ [২ক দুবাৰ লোৱা হৈছে, কাৰণ দুয়োটাকে ২ৰে দুবাৰকৈ হৰণ যাব]। গতিকে আটাইতকৈ ডাঙৰ সাধাৰণ উৎপাদকটো হ’ব ইহঁতৰ পূৰণফলটো। তাৰমানে gcd(১২০, ১২৬০) = ২.২.৩.৫ = ৬০।

* প্ৰদত্ত সংখ্যা দুটা যদি আমি পূৰণ কৰি দিওঁ, তেন্তে পূৰণফলটো, অৰ্থাৎ ১২০ × ১২৬০, দুয়োটা সংখ্যাৰে এটা সাধাৰণ গুণনীয়ক হ’ব। এই পূৰণফলটোত ২ পাঁচবাৰ পূৰণ হৈছে, ৩ তিনিবাৰ হৈছে, ৫ দুবাৰ হৈছে, ৭ এবাৰ হৈছে। মানে,

১২০ × ১২৬০  = {\text{২}}^{\text{৫}}.{\text{৩}}^{\text{৩}}.{\text{৫}}^{\text{২}}.{\text{৭}}^{\text{১}}।

এই পূৰণফলটোৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ পৰা দুটা ২ আঁতৰাই দিলেও নতুন সংখ্যাটোক ১২০ আৰু ১২৬০ দুয়োটাই হৰণ যাব। সেইদৰে এটা ৩ আঁতৰাই দিলেও নতুন সংখ্যাটোক ১২০ আৰু ১২৬০ৰে হৰণ যাব। গতিকে, আমি একেবাৰে লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণনীয়কটো পাবলৈ হ’লে, প্ৰদত্ত সংখ্যা দুটাত থকা মৌলিক উৎপাদকবোৰ যিটোত সৰহকৈ ঘাত আছে সেইকেইটা ল’লেই হ’ব। গতিকে, lcm(১২০, ১২৬০) = {\text{২}}^{\text{৩}}.{\text{৩}}^{\text{২}}.\text{৫}.\text{৭} = ২৫২০।

অংক কৰি থাকিলেই কথাখিনি তোমালোকে বুজি পাবা।

 

এই পদ্ধতি মতে কৰিবলগীয়া কামখিনি হ’ল:

ক) যি দুটা বা ততোধিক সংখ্যা দিয়া হৈছে, তাৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকত ভাগ কৰা।

খ) প্ৰতিটো সংখ্যাত মৌলিক উৎপাদকসমূহ কেইটাকৈ আছে, সেয়া ঘাত ৰূপত লিখা।

গ) এটা প্ৰদত্ত সংখ্যাত থকা কিবা মৌলিক উৎপাদক যদি আন এটা প্ৰদত্ত সংখ্যাত নাথাকে, তেন্তে সেই সংখ্যাটোত সেই মৌলিক উৎপাদকটোৰ ঘাত ০ বুলি লোৱা।

ঘ) এতিয়া, গঃসাঃউঃ পাবলৈ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকক আটাইতকৈ সৰু ঘাতৰ সৈতে লৈ গোটেইকেইটা পুৰণ কৰা। আৰু লঃসাঃগুঃ পাবলৈ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকক আটাইতকৈ ডাঙৰ ঘাতটোৰ সৈতে লৈ গোটেইকেইটা পুৰণ কৰা।

প্ৰশ্ন: ৯০, ৫২৫ আৰু ২৮ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰ:

৯০   = \text{২}.{\text{৩}}^{\text{২}}.\text{৫}={\text{২}}^{\text{১}}.{\text{৩}}^{\text{২}}.{\text{৫}}^{\text{১}}.{\text{৭}}^{\text{০}}

৫২৫  = \text{৩}.{\text{৫}}^{\text{২}}.\text{৭}={\text{২}}^{\text{০}}.{\text{৩}}^{\text{১}}.{\text{৫}}^{\text{২}}.{\text{৭}}^{\text{১}}

২৮  = {\text{২}}^{\text{২}}.\text{৭}={\text{২}}^{\text{২}}.{\text{৩}}^{\text{০}}.{\text{৫}}^{\text{০}}.{\text{৭}}^{\text{১}}

গতিকে,  lcm(৯০, ৫২৫, ২৮) = {\text{২}}^{\text{২}}.{\text{৩}}^{\text{২}}.{\text{৫}}^{\text{২}}.{\text{৭}}^{\text{১}} = ৬৩০০

আৰু  gcd(৯০, ৫২৫, ২৮) = {\text{২}}^{\text{০}}.{\text{৩}}^{\text{০}}.{\text{৫}}^{\text{০}}.{\text{৭}}^{\text{০}} = ১

পদ্ধতি ২:

প্ৰদত্ত সংখ্যাবোৰ একেলগে পাটি লৈ আটাইকেইটাকে একেলগে হৰণ কৰি যোৱা পদ্ধতি এটা আছে। পাঠ্যপুথিত এইটো দিয়া থাকেই। সেয়েহে ইয়াত পুনৰ দিয়া নাই। ওপৰত দিয়া পদ্ধতিটোৰ ভিত্তিতেই সেই হৰণবোৰ কৰা হয়। তোমালোকে ওপৰৰ পদ্ধতিটো আয়ত্ব কৰিবা। কেইটামান উদাহৰণ অনুশীলন কৰাৰ পাছতেই ১ নং পদ্ধতিটো তেনেই সহজ পাবা। ওপৰৰ পদ্ধতিটো খটুৱাই ভগ্নাংশৰো লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ সহজে উলিয়াব পাৰিবা। সেয়া তলত দিম।

পদ্ধতি ৩:

lcm(a,b) × gcd(a,b) = |a×b|

অৰ্থাৎ দুটা সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃৰ পুৰণফল, সেই সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফলৰ পৰম মানৰ সমান। গতিকে দুটা সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিয়াবলৈ দিলে, সুবিধা মতে যিকোনো এটা উলিয়াই আনটো এই ফৰ্মূলাটোৰ সহায়ত উলিয়াব পাৰি।

[এইটো কিন্তু দুটা সংখ্যাৰ বাবেহে প্ৰযোজ্য। অধিক সংখ্যাৰ বাবে নহয়। কাৰণ lcm(a,b,c) × gcd(a,b,c) আৰু |a×b×c| সদায় সমান নহয়।]

পদ্ধতি ৪:

দুটা সংখ্যাৰ গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ ইউক্লিডীয় বিধি (Euclidian algorithm):

ইয়াৰ কৰিবলগীয়া কামকেইটা হ’ল:

ক) সৰু সংখ্যাটোৰে ডাঙৰটোক হৰণ কৰা, আৰু কি বাকী (/ভাগশেষ) থাকিব সেইটো উলিওৱা।

খ) এই ভাগশেষটোৰে এইবাৰ সৰু সংখ্যাটোক, মানে ওপৰত যিটো ভাজক আছিল তাক হৰণ কৰা। আৰু কি বাকী থাকিব উলিওৱা।

গ) এইদৰে ভাগশেষটোৰে ভাজকটোক হৰণ কৰি কৰি গৈ থাকা যেতিয়ালৈকে ভাগশেষটো ০ নহয়।

ঘ) যেতিয়া ভাগশেষটো ০ হয়, তাৰ ওপৰৰ ভাগশেষটোৱেই নিৰ্ণেয় গঃসাঃউঃ।

ইয়াৰ ভিত্তিটো হ’ল: যদি a=bq+r,  gcd(a,b) = gcd(b,r).   [a=bq+r, এইটো দেখি হৰণৰ সংজ্ঞালৈ মনত পৰিছেনে? “ঋণাত্মকৰ হৰণ” শীৰ্ষক পাঠটো পঢ়ি চোৱা।]

এতিয়া, ১২০ আৰু ১২৬০ৰ গঃসাঃউঃ এই পদ্ধতিৰে উলিয়াই চাওঁ:

১২৬০ = ১২০ × ১০ + ৬০

১২০ = ৬০ × ২ + ০

গতিকে gcd(১২০, ১২৬০) = ৬০।

এটা সংখ্যা ০ বা গোটেইকেইটা সংখ্যা ০ হ’লে লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ কি হ’ব:

ধৰা ৬ আৰু ০ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিয়াব লাগে।

৬ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: -৬, -৩, -২, -১, ১, ২, ৩, ৬।

০ক সকলো অশূন্য সংখ্যাৰে হৰণ যায়। গতিকে সকলো অশূন্য সংখ্যাই ০ৰ উৎপাদক।

গতিকে gcd(৬, ০) = ৬।

গতিকে, যিকোনো ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a ৰ বাবে, gcd(a, ০) = a.

gcd(০, ০)ৰ মান কি হ’ব? ০ আৰু ০ৰ সাধাৰণ উৎপাদকবোৰ অসীমলৈকে পোৱা যাব। গতিকে তাৰ পৰা গৰিষ্ঠ সংখ্যাটো উলিওৱা সম্ভৱ নহয়। সেয়েহে gcd(০, ০) অনিৰ্ণেয়। সেইবাবেই গঃসাঃউঃৰ সংজ্ঞাতেই আটাইকেইটা সংখ্যা ০ নহয় বুলি কোৱা হৈছে (ওপৰত দিয়া সংজ্ঞাটো আকৌ পঢ়ি চোৱা)।

আকৌ, ৬ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ……….. -২৪, -১৮, -১২, -৬, ০, ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……

কিন্তু, ০ৰে একো সংখ্যাকেই হৰণ কৰিব নোৱাৰি। ০ৰ গুণিতকৰ কোনো সংজ্ঞায়েই নাই। গতিকে lcm(a, ০) বা lcm(০, ০)ৰ কোনো সংজ্ঞা দিয়াই নাই। ওপৰত দিয়া, লঃসাঃগুঃৰ সংজ্ঞাটোলৈ মন কৰা। তাত অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা বুলি কোৱা হৈছে। গতিকে, lcm(a, ০) আৰু lcm(০, ০) অনিৰ্ণেয়।

[অৱশ্যে, কেতিয়াবা কিছু সংখ্যক গণিতজ্ঞই gcd(০,০) = ০, lcm(a, ০) = ০ আৰু lcm(০, ০) = ০ বুলি ধৰি লয়। এইবোৰে বিশেষ অসুবিধা নিদিয়ে, “তুচ্চ সত্য” শীৰ্ষক পাঠটো পঢ়ি চাবা।]

ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ নিয়ম:

৬ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: -৬, -৩, -২, -১, ১, ২, ৩, ৬।

-৬ৰ উৎপাদকো হ’ব এইকেইটাই।

সেইদৰে, ১৫ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: -১৫, -৫, -৩, -১, ১, ৩, ৫, ১৫। আৰু -১৫ৰ উৎপাদকো এইকেইটাই।

আকৌ, ৬ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ……….. -২৪, -১৮, -১২, -৬, ০, ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……

-৬ৰ গুণিতকো এইসমূহেই।

১৫ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ………. -৭৫, -৬০, -৪৫, -৩০, -১৫, ০, ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ……

আৰু -১৫ৰ গুণিতকো এইসমূহেই।

আনহাতে, আমি পাইছিলোঁ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ সদায় ধণাত্মক। গতিকে, -৬ আৰু -১৫ৰ ক্ষেত্ৰতো আমি সাধাৰণ উৎপাদক আৰু সাধাৰণ গুণিতকবোৰৰ ধনাত্মকবোৰ বিবেচনা কৰিলেই হ’ব। গতিকে সাধাৰণ উৎপাদককেইটাৰ গৰিষ্ঠটো আৰু সাধাৰণ গুণিতকবোৰৰ লঘিষ্ঠটো আগৰ দৰে একেই হ’ব।

অৰ্থাৎ,  lcm(৬,১৫) = lcm(-৬,-১৫) = lcm(-৬,১৫) = lcm(৬,-১৫) = ৩০

আৰু  gcd(৬,১৫) = gcd(-৬,-১৫) = gcd(-৬,১৫) = gcd(৬,-১৫) = ৩।

গতিকে, যিকোনো অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b দিলে সিহঁতৰ পৰম মান লৈ লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ উলিয়াই দিবা:

lcm(a, b) = lcm(|a|, |b|)  আৰু  gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)

আৰু gcd(a, ০) = |a|  , য’ত a এটা অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা।

ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ নিয়ম:

পদ্ধতি ১:

এই পদ্ধতিটোতো আমি মৌলিক উৎপাদকীকৰণ খটুৱাম। আমাৰ কাম হ’ব ক্ৰমে এনেধৰণৰ:

ক) প্ৰতিটো ভগ্নাংশৰ হৰ আৰু লবক মৌলিক উৎপাদকলৈ ভাঙা।

খ) প্ৰতিটো ভগ্নাংশৰ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ ঋণাত্মক ঘাতৰ সহায়ত ওপৰলৈ লৈ আহা। মানে প্ৰতিটো ভগ্নাংশত হৰটো ১ হৈ যাব।

গ) এটা ভগ্নাংশত থকা কিবা মৌলিক উৎপাদক যদি আনটো ভগ্নাংশত নাথাকে, তেন্তে সেই সংখ্যাটোত সেই মৌলিক উৎপাদকটোৰ ঘাত ০ বুলি লোৱা।

ঘ) এতিয়া বাকী কামখিনি ওপৰত দিয়া নিয়মৰ দৰেই। গঃসাঃউঃ পাবলৈ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকক আটাইতকৈ সৰু ঘাতৰ সৈতে লৈ গোটেইকেইটা পুৰণ কৰা। আৰু লঃসাঃগুঃ পাবলৈ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকক আটাইতকৈ ডাঙৰ ঘাতটোৰ সৈতে লৈ গোটেইকেইটা পুৰণ কৰা।

উদাহৰণ ১: \frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}}।

\frac{\text{১২৫}}{\text{২}}=\frac{\text{৫.৫.৫}}{\text{২}}=\frac{{\text{৫}}^{\text{৩}}}{\text{২}}={\text{২}}^{\text{-১}}.{\text{৫}}^{\text{৩}}={\text{২}}^{\text{-১}}.{\text{৫}}^{\text{৩}}.{\text{৭}}^{\text{০}}

\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}}=\frac{\text{৫.৭}}{\text{২.২}}=\frac{\text{৫.৭}}{{\text{২}}^{\text{২}}}={\text{২}}^{\text{-২}}.{\text{৫}}^{\text{১}}.{\text{৭}}^{\text{১}}

গতিকে, gcd(\frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}})={\text{২}}^{\text{-২}}.{\text{৫}}^{\text{১}}.{\text{৭}}^{\text{০}}=\frac{\text{৫}}{{\text{২}}^{\text{২}}}=\frac{\text{৫}}{\text{৪}}

আৰু lcm(\frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}})={\text{২}}^{\text{-১}}.{\text{৫}}^{\text{৩}}.{\text{৭}}^{\text{১}}=\frac{{\text{৫}}^{\text{৩}}.\text{৭}}{\text{২}}=\frac{\text{৮৭৫}}{\text{২}}

পদ্ধতি ২:

ইয়াত দুটা ফৰ্মূলা ব্যৱহাৰ কৰিম। ফৰ্মূলা দুটা সম্পৰ্কীয় ব্যাখ্যা একেবাৰে শেষত দিম। এতিয়া মাথোঁ ফৰ্মূলা দুটা মনত ৰাখিবা।

lcm(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{lcm(a,c)}{gcd(b,d)} আৰু

gcd(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{gcd(a,c)}{lcm(b,d)}

আৰ্হিটো ভালকৈ মন কৰিলে ফৰ্মূলা দুটা মনত ৰখা সহজ:

লঃসাঃগুঃ উলিয়াবলৈ লবসমূহৰ লঃসাঃগুঃ আৰু হৰসমূহৰ গঃসাঃউঃ, আৰু

গঃসাঃউঃ উলিয়াবলৈ লবসমূহৰ গঃসাঃউঃ আৰু হৰসমূহৰ লঃসাঃগুঃ।

এতিয়া ওপৰত দিয়া উদাহৰণ দুটাকে লওঁ:

উদাহৰণ ১: \frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}}।

lcm(\frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}})=\frac{lcm(\text{১২৫},\text{৩৫})}{gcd(\text{২},\text{৪})}=\frac{\text{৮৭৫}}{\text{২}}

gcd(\frac{\text{১২৫}}{\text{২}},\frac{\text{৩৫}}{\text{৪}})=\frac{gcd(\text{১২৫},\text{৩৫})}{lcm(\text{২},\text{৪})}=\frac{\text{৫}}{\text{৪}}

দশমিক সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ নিয়ম:

দশমিক সংখ্যা দিয়া থাকিলে প্ৰতিটোকে ভগ্নাংশৰ ৰূপলৈ লৈ যাব লাগে। আৰু তাৰ পাছত ওপৰৰ পদ্ধতি দুটা খটুৱাই লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিয়াব লাগে। তোমালোকে দশমিক সংখ্যাক ভগ্নাংশ ৰূপলৈ নিব নিশ্চয় জানা। যেনে: ১.৩৫ ক ভগ্নাংশ ৰূপলৈ নিলে পাম: \text{১.৩৫}=\frac{\text{১৩৫}}{\text{১০০}}=\frac{\text{২৭}}{\text{২০}}।

পদ্ধতি ৩:

এটা উদাহৰণ দিলেই এইটো পদ্ধতি বুজি পাবা। ইয়াত দশমিক সংখ্যাবোৰ ভগ্নাংশৰ ৰূপলৈ নি হৰবোৰ ১০ৰ গুণ হিচাপে সমান কৰি ল’ব লাগে। আমি ১.২৬, ১.১৫৫ আৰু ০.২১ৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিয়াম:

\text{১.২৬}=\frac{\text{১২৬}}{\text{১০০}}=\frac{\text{১২৬০}}{\text{১০০০}}

\text{১.১৫৫}=\frac{\text{১১৫৫}}{\text{১০০০}}

\text{০.২১}=\frac{\text{২১}}{\text{১০০}}=\frac{\text{২১০}}{\text{১০০০}}

সমান সমান সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ সমান: lcm(a,a) = gcd(a,a) = |a|

গতিকে,

ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয়ৰ ফৰ্মূলা দুটাৰ ব্যাখ্যা:

সংখ্যাবোৰ মৌলিক উৎপাদকত ভাগ কৰি লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ উলিওৱা পদ্ধতিটো ভালকৈ শিকি ল’বা। প্ৰায়বিলাক অংক তেনেকৈ কৰিলে সোনকালে হয়। কিছুমান অংক অৱশ্যে বাকী পদ্ধতিবোৰেৰে কৰিলে সোনকালে হয়। অনুশীলন কৰিলে নিজে গম পাবা, কোনটো কেনেকৈ আৰম্ভ কৰিলে তোমাৰ লাভ হ’ব।

এই ফৰ্মূলা দুটা কেনেকৈ পোৱা গ’ল সেইটো বুজিবলৈ, কিবা এটা ভগ্নাংশৰ উৎপাদকবোৰ আৰু গুণিতকবোৰ কেনেকুৱা সেইটো জানিব লাগিব।

৬ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬, -১, -২, -৩, -৬। এই উৎপাদকসমূহেৰে ৬ক হৰণ কৰিলে আমি কি পাওঁ? এটা এটা গোটা সংখ্যা পাওঁ। মানে এটা এটা অখণ্ড সংখ্যা পাওঁ।

একেদৰেই, ভগ্নাংশ একোটাৰ উৎপাদকবোৰো এনেকুৱাই। মানে, উৎপাদকসমূহেৰে ভগ্নাংশটোক হৰণ কৰিলে এটা এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। যেনে: ২/৩ ৰ ধণাত্মক উৎপাদকসমূহ হ’ব: ২/৩, ২/৬, ২/৯, ২/১২, ২/১৫, ……..। ইয়াৰ যিকোনো এটাৰে ২/৩ক হৰণ কৰি চোৱাচোন, হৰণ যাবই। পাৰ্থক্য এটাই: ভগ্নাংশ একোটাৰ মুঠ উৎপাদকৰ সংখ্যাও অসীম। ভগ্নাংশৰ উৎপাদকসমূহ উলিওৱাটো সহজ: ভগ্নাংশটোক অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা এটাৰে হৰণ কৰি দিলেই হৰণফলটো এটা উৎপাদক হ’ব।

আকৌ, ৬ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……, ০, -৬, -১২, -১৮, -২৪, ……। এই গুণিতকবোৰক ৬ৰে হৰণ কৰিলে কি পাওঁ? এটা এটা অখণ্ড সংখ্যা পাওঁ। ভগ্নাংশৰ গুণিতকৰ ক্ষেত্ৰতো একেই; গুণিতকবোৰক ভগ্নাংশটোৰে হৰণ কৰিলে এটা এটা অখণ্ড সংখ্যা পোৱা যায়। যেনে: ২/৩ ৰ ধণাত্মক গুণিতকসমূহ হ’ব: ২/৩, ৪/৩, ৬/৩, ৮/৩, ১০/৩, ……..। ইয়াৰ যিকোনো এটাক ২/৩ৰে হৰণ কৰি চোৱাচোন, হৰণ যাবই। ভগ্নাংশৰ গুণিতকসমূহ উলিওৱাটোও সহজ: ভগ্নাংশটোক অখণ্ড সংখ্যা এটাৰে পূৰণ কৰি দিলেই পূৰণফলটো এটা গুণিতক হ’ব।

এতিয়া দুটা ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃৰ ফৰ্মূলাটো কেনেকৈ ওলাই চাম। ইয়াত কেৱল লঃসাঃগুঃৰ সম্পৰ্কেহে ব্যাখ্যা কৰিম, তোমালোকে গঃসাঃউঃৰ সম্পৰ্কে একে আৰ্হিৰে নিজে কৰি চাবা। আৰু সকলোৱে বুজি পোৱাকৈ কেৱল উদাহৰণ লৈহে ব্যাখ্যা কৰিম। সাধাৰণ ভগ্নাংশ লৈ প্ৰমাণটো কোনোবাই দিব পাৰা নেকি চাবা।

আমি এই ভগ্নাংশ দুটা লওঁ: ২/৩ আৰু ৪/১৫। মন কৰিবা, দুয়োটা ভগ্নাংশ সিহঁতৰ লঘিষ্ঠ আকাৰত লৈছোঁ। মানে প্ৰতিটো ভগ্নাংশৰ হৰ আৰু লৱৰ একে উৎপাদক নাই। সিহঁতক আৰু সৰু কৰিব নোৱাৰি।

\frac{\text{২}}{\text{৩}} ৰ ধণাত্মক গুণিতকসমূহ হ’ব: \frac{\text{২}}{\text{৩}},\frac{\text{৪}}{\text{৩}},\frac{\text{৬}}{\text{৩}},\frac{\text{৮}}{\text{৩}},\frac{\text{১০}}{\text{৩}},\frac{\text{১২}}{\text{৩}},\dots।

\frac{\text{৪}}{\text{১৫}} ৰ ধণাত্মক গুণিতকসমূহ হ’ব: \frac{\text{৪}}{\text{১৫}},\frac{\text{৮}}{\text{১৫}},\frac{\text{১২}}{\text{১৫}},\frac{\text{১৬}}{\text{১৫}},\frac{\text{২০}}{\text{১৫}},\frac{\text{২৪}}{\text{১৫}},\dots।

ধৰো ভগ্নাংশ দুটাৰ লঃসাঃগুঃটো \frac{a}{b}। ইয়ো লঘিষ্ঠ আকাৰত আছে বুলি ধৰিছোঁ।

যিহেতু \frac{a}{b} হ’ল ভগ্নাংশ দুটাৰ লঃসাঃগুঃ, গতিকে দুয়োটা ভগ্নাংশৰে তাক হৰণ যাব।

তাৰমানে,  \frac{a\times\text{৩}}{b\times\text{২}} আৰু \frac{a\times\text{১৫}}{b\times\text{৪}} এটা এটা অখণ্ড সংখ্যা।

মনত ৰাখিবা যে তিনিওটা ভগ্নাংশ লঘিষ্ঠ আকাৰৰ আছিল। গতিকে, \frac{a\times\text{৩}}{b\times\text{২}} এটা অখণ্ড সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে aক ২ৰে হৰণ যাব লাগিব আৰু ৩ক bৰে হৰণ যাব লাগিব। সেইদৰে, \frac{a\times\text{১৫}}{b\times\text{৪}} এটা অখণ্ড সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে aক ৪ৰে হৰণ যাব লাগিব আৰু ১৫ক bৰে হৰণ যাব লাগিব। তাৰমানে, একেবাৰে প্ৰথমে লোৱা ভংগ্নাংশ দুটাৰ লৱৰে aক হৰণ যাব লাগিব, আৰু ভগ্নাংশ দুটাৰ হৰক bৰে হৰণ যাব লাগিব।

লৱ দুটাৰে aক হৰণ যায়, তাৰমানে a লৱ দুটাৰ লঃসাঃগুঃ হ’ব। কাৰণ আমি আটাইতকৈ সৰুটো উলিয়াবলৈ গৈ আছো। গতিকে, a = lcm(২,৪)।

হৰ দুটাক bৰে হৰণ যায়, তাৰমানে bটো সিহঁতৰ সাধাৰণ উৎপাদক হ’ব লাগিব। এতিয়া আকৌ মন কৰিবা যে \frac{a}{b} ভগ্নাংশটো সিহঁতৰ লঃসাঃগুঃ; তাৰমানে ই আটাইতকৈ সৰু। ভগ্নাংশৰ সাধাৰণ ধৰ্মৰ পৰা কি পোৱা: \frac{a}{b} আটাইতকৈ সৰু হ’ব তেতিয়াই, যেতিয়াই নেকি b আটাইতকৈ ডাঙৰ হয়। bটো হৈছে সাধাৰণ উৎপাদক, গতিকে আমি \frac{a}{b} আটাইতকৈ সৰু হ’বলৈ হ’লে bটো গঃসাঃউঃ হ’ব লাগিব। গতিকে b = gcd(৩,১৫)।

অৰ্থাৎ lcm(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{lcm(a,c)}{gcd(b,d)}।

অপৰিমেয় সংখ্যাৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ:

কেতিয়াবা এনেকুৱা প্ৰশ্ন পাবা:  \frac{\pi\sqrt{\text{৬}}}{\text{২}} আৰু  \frac{\text{৩}\pi}{\text{৪}\sqrt{\text{২}}} ৰ লঃসাঃগুঃ বা গঃসাঃউঃ কিমান?

তেতিয়া ইহঁতক ভগ্নাংশ বুলি ভাবি, পোনে পোনে ভগ্নাংশৰ নিয়মকেইটা খটুৱাই লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ উলিয়াব সদায় নোৱাৰিবা। ভগ্নাংশ মানে পৰিমেয় সংখ্যা। আৰু এইকেইটা হৈছে অপৰিমেয় সংখ্যা। অপৰিমেয় সংখ্যাৰ লঃসাঃগু-গঃসাঃউঃৰ সংজ্ঞা তেনেদৰে দিয়া হোৱা নাই। আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ উৎপাদকৰো সংজ্ঞা নাই।

বীজগণিতীয় ৰাশিৰ লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ উলিওৱাৰ নিয়ম পাইছা বা পাবা। তাৰ সহায়ত ইহঁতৰ লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ উলিয়াব পাৰি। বীজগণিতীয় ৰাশিবোৰত অজ্ঞাত ৰাশি থাকে, ধ্ৰুৱক থাকে। অপৰিমেয় সংখ্যাবোৰক এটা এটা ধ্ৰৱক বুলি ধৰি আমি লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ উলিয়াব পাৰোঁ। ইহঁতক ধ্ৰুৱক বুলি লোৱাৰ পাছত আমি ওপৰৰ নিয়মবোৰ খটুৱাব পাৰোঁ। [বীজগণিতীয় ৰাশিৰ লঃসাঃগুঃ-গঃসাঃউঃ নিৰ্ণয়ৰ নিয়ম আন এক পাঠত দিয়া হৈছে।]

ইয়াত ধৰোঁ, π = a, √২ = b, √৩ = c। এতিয়া ওপৰৰ ৰাশি দুটা হ’ব ক্ৰমে:

\frac{abc}{\text{২}}={\text{২}}^{\text{-১}}abc আৰু \frac{\text{৩}a}{\text{৪}b}={\text{২}}^{\text{-২}}\text{৩}ab^{\text{-১}}।

ইহঁতৰ লঃসাঃগুঃ = {\text{২}}^{\text{-১}}\text{৩}abc আৰু গঃসাঃউঃ = {\text{২}}^{\text{-২}}ab^{\text{-১}}।

অৰ্থাৎ লঃসাঃগুঃ = \frac{\text{৩}abc}{\text{২}} আৰু গঃসাঃউঃ = \frac{a}{\text{৪}b}।

গতিকে, নিৰ্ণেয় লঃসাঃগুঃ \frac{\text{৩}\pi\sqrt{\text{৬}}}{\text{২}} আৰু গঃসাঃউঃ \frac{\pi}{\text{৪}\sqrt{\text{২}}}।

এতিয়া আমি ওপৰত দিয়া দৰে নকৰি, তলত দিয়া দৰে এনেকৈয়ো কৰিব পাৰোঁ:

lcm(\frac{abc}{\text{২}},\frac{\text{৩}a}{\text{৪}b})=\frac{lcm(abc,\text{৩}a)}{gcd(\text{২},\text{৪}b)}=\frac{\text{৩}abc}{\text{২}}=\frac{\text{৩}\pi\sqrt{\text{৬}}}{\text{২}}।

একেদৰে গঃসাউঃও উলিয়াব পাৰোঁ।