26 Jul গণিত পাঠ – ৯ : অংকৰ যাদু আৰু কেইটামান ৰহস্যপূ্ৰ্ণ সংখ্যা

১) আনৰ বয়সটো তুমি আগতে নজনাকৈয়ে কৈ দিব পৰা এটা যাদু:

কাৰোবাক তুমি দুটামান সৰু-সুৰা যোগ-বিয়োগ কৰিবলৈ দিলা। তেওঁলোকে কি কৰিছে সেয়া তুমি নাচাবা। আৰু নোচোৱাকৈয়ে তুমি তেওঁৰ বয়সটো কৈ দিব পাৰিছা। মানুহজন আচৰিত হৈ নাযাব নে?

যাদুটোৰ পদ্ধতিটো:

ক) প্ৰথমে, মানুহজনক নিজৰ বয়সটোৰ লগত ৯০ যোগ কৰিবলৈ কোৱা।

খ) তেওঁ যিটো যোগফল পালে, তাৰ একেবাৰে বাওঁপিনে থকা অংকটো বাকী অংশৰ লগত যোগ কৰিবলৈ কোৱা।

গ) তেওঁ যিটো যোগফল পালে সেইটো তুমি সোধা। সেইটোৰ সহায়তে তুমি তেওঁৰ বয়সটো কৈ দিব পাৰিবা।

ঘ) তেওঁ যিটো সংখ্যা তোমাক ক’লে সেইটোৰ লগত তুমি মনে মনে ৯ যোগ কৰা। সেই যোগফলটোৱেই তেওঁৰ বয়সটো হ’ব। গতিকে তুমি তেওঁক বয়সটো কৈ দিয়া।

উদাহৰণ ১: ধৰা মানুহজনৰ বয়স ৪৫ বছৰ। তাৰ লগত তেওঁ ৯০ যোগ কৰিলে পাব ১৩৫। এই যোগফলটোৰ একেবাৰে বাওঁপিনে আছে ১। আৰু বাকী অংশটো হ’ল ৩৫। গতিকে, এই ১টো বাকী অংশটোৰ লগত যোগ কৰিলে তেওঁ পাব ৩৬। এই শেষৰ যোগফলটো তুমি তেওঁৰ পৰা সুধি লৈ লোৱা।

এতিয়া, তুমি মনে মনে তাৰ লগত ৯ যোগ কৰি যিটো পাবা ৪৫। সেইটোৱেই তেওঁ বয়স।

উদাহৰণ ২: ধৰা মানুহজনৰ বয়স ৬৬ বছৰ। ৬৬ + ৯০ = ১৫৬। আৰু ১ + ৫৬ = ৫৭।

এতিয়া তুমি মানুহজনৰ পৰা শেষৰ যোগফলটো লৈ তাৰ লগত মনে মনে ৯ যোগ কৰি বয়সটো কৈ দিয়া। কাৰণ, ৫৭ + ৯ = ৬৬।

এইটো কেনেকৈ সম্ভৱ হৈছে? ইয়াৰ ৰহস্যটো কি?

ৰহস্যটো হ’ল:

তুমি এই ধেমালীটো কৰা মানুহজনৰ বয়স নিশ্চয়কৈ ১০ পৰা ১০০ৰ ভিতৰতে হ’ব। ১০ পৰা ১০৯লৈকে যিকোনো সংখ্যাৰ লগত ৯০ যোগ কৰিলে বাওঁপিনে সদায় ১য়েই পাবা। ১ৰ বাহিৰে বেলেগ নোপোৱা। আৰু ১টো আঁতৰাই দিলে যোগফলৰ বাকী অংশটোত কি থাকিব? মানুহজনৰ বয়সতকৈ ১০ কম থাকিব। ৪৫ বছৰ হ’লে ওলাল ৩৫। সেইদৰে ৬৬ বছৰ হ’লে ওলাল ৫৬। সেই ১টো মানুহজনে তাত যোগ কৰিবই। গতিকে শেষৰ যোগফলটোত তুমি মনে মনে মুখতে ৯ যোগ কৰিলে উত্তৰটো পাই গ’লা।

[এই নিময়টোৰ সহায়ত তুমি নিজেও কেইটামান যাদু উলিয়াব পাৰা। মানুহজনৰ বয়স ১০ বছৰতকৈ কম হ’লে, তুমি এনেদৰে উত্তৰটো পাবলৈ কি যোগ কৰিব লাগিব ভাবাচোন। ইয়াৰ বাবে তুমি যোগ কৰিবলৈ দিয়া সংখ্যাটো ৯০ৰ সলনি বেলেগ সংখ্যা হ’ব লাগিব।]

২) আন এটা বিখ্যাত যাদু:

এই যাদুটোত তুমি মানুহজনক একো সুধিবই নালাগে। প্ৰথমে, তেওঁক তিনিটা অংকৰে গঠিত এটা সংখ্যা ল’বলৈ কোৱা। কিন্তু সংখ্যাটোত অংকবোৰ বাওঁপিনৰ পৰা সোঁপিনলৈ ক্ৰমে সৰু হৈ থাকিব লাগিব। যেনে: ৮৫২। সংখ্যাটো তেওঁ মনে মন ল’ব, তুমি তেওঁৰ বহীখনলৈ নাচাবা। এতিয়া তেওঁক কেইটামান যোগ-বিয়োগ কৰিবলৈ দিয়া:

ক) তেওঁ লোৱা সংখ্যাটো ওলোটা কৰিবলৈ কোৱা। যেনে: ৮৫২ সংখ্যাটো ওলোটা কৰি দিলে তেওঁ পাব ২৫৮।

খ) ডাঙৰটোৰ পৰা সৰুটো বিয়োগ কৰিবলৈ কোৱা। যেনে: ৮৫২ৰ পৰা ২৫৮ বিয়োগ কৰিলে পাব ৫৯৪।

গ) বিয়োগ কৰি পোৱা সংখ্যাটোক আকৌ ওলোটা কৰিবলৈ কোৱা। যেনে: ৫৯৪ সংখ্যাটো ওলোটা কৰি দিলে পাব ৪৯৫।

ঘ) এই নতুন সংখ্যা দুটাক এইবাৰ যোগ কৰিবলৈ কোৱা। যেনে: ৫৯৪ আৰু ৪৯৫ক তেওঁ যোগ কৰিব লাগিব; আৰু এই সংখ্যা দুটাৰ যোগফলটো হ’ল ১০৮৯।

তেওঁ অংকখিনি তুমি নেদেখাকৈ তেওঁ কৰিছে। কিন্তু শেষত এতিয়া তুমি তেওঁক সোধা— “আপোনাৰ যোগফলটো ১০৮৯ হয়নে?” তেওঁ চক খাই যাব। কাৰণ, তেওঁ কি সংখ্যা লৈছে তুমি এবাৰো সোধাই নাই। তেওঁ যদি তিনিটা অংকৰে গঠিত বেলেগ সংখ্যা লৈ পুনৰ অংক কৰিব বিচাৰে, তেন্তে আকৌ কৰিবলৈ দিয়া। পুনৰ তুমি উত্তৰটো কৈ দিব পাৰিবা: ১০৮৯।

অৰ্থাৎ এই পদ্ধতিৰে অংককেইটা কৰিলে সদায় ১০৮৯য়েই পোৱা যায়।

ইয়াৰ ৰহস্যটো কি?

ৰহস্যটো হ’ল:

তলত a, b আৰু c এই তিনিটা অংকৰে গঠিত এটা সংখ্যা লৈ ৰহস্যটো ব্যাখ্যা কৰা হৈছে। য’ত a > b > c। অকণমান ধৈৰ্য্যৰে চালেই যোগ-বিয়োগকেইটা বুজি পাবা। হাতে যোৱা সংখ্যাটো, ধাৰে অনা আদি কথাখিনি মনত পেলাবা।

         a           b          c

    –    c           b          a

—————————————

      a-১-c       ৯         ১০+c-a

 +  ১০+c-a     ৯         a-১-c

—————————————-

       ১০           ৮          ৯

৩)

ওপৰৰ যাদুটোত আমি তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা লৈছিলোঁ। একেধৰণে চাৰিটা, পাঁচটা বা ততোধিক অংকৰে গঠিত সংখ্যা লৈয়ো আনক তুমি যাদু দেখুৱাব পাৰা। তুমি আনে কৰা অংকখিনি নোচোৱাকৈয়ে উত্তৰটো কৈ আচৰিত কৰি দিব পাৰিবা।

মাথোঁ মনত ৰাখিবা: চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত উত্তৰটো হ’ব ১০৮৯০।

পাঁচটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত উত্তৰটো হ’ব ১০৯৮৯০।

ছটা বা ততোধিক অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ বাবে কি হ’ব বাৰু? কিবা আৱিষ্কাৰ কৰিব পাৰিবানে? যিকোনো সংখ্যাৰ বাবেই উত্তৰটো একেটা ফৰ্মূলাতে ৰাখিব পৰাকৈ কিবা নিয়ম আৱিষ্কাৰ কৰিব পাৰিবা নেকি? দুটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ বাবে কি ওলাব বাৰু?

৪) আন এটা ৰহস্যপূৰ্ণ সংখ্যা:

তলত দিয়া পদ্ধতিটো শিকি লোৱা:

ক) চাৰিটা অংকবিশিষ্ট যিকোনো এটা সংখ্যা লোৱা, যাৰ চাৰিওটা অংক একে নহয়। (অৰ্থাৎ, ১১১১, ৮৮৮৮ এনেকুৱা সংখ্যাকেইটা ল’লে নহ’ব, কাৰণ এইকেইটা সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ অংকটো কৰোঁতেই বিয়োগফলটো ০ হৈ পৰিব।)

খ) তুমি লোৱা সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰে গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো লিখা।

গ) ডাঙৰ সংখ্যটোৰ পৰা সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰা।

ঘ) এতিয়া, যিটো বিয়োগফল পালা, সেইটোৰ অংককেইটা লৈ ওপৰৰ পদ্ধতিটো পুনৰ খটুৱাই দিয়া। মানে, আটাইতকৈ ডাঙৰ আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰি বিয়োগফলটো উলিওৱা।

ঙ) আকৌ যিটো বিয়োগফল পালা, সেইটোৰ অংককেইটা লৈয়ো একেটাই কাম কৰা।

এইদৰে কৰি গৈ থাকা।

এই কামটো কেইবাৰমান কৰাৰ পাছতে দেখিবা, বিয়োগফল ৰূপে বাৰে বাৰে ৬১৭৪ সংখ্যাটোৱেই ওলাই আছে। তুমি প্ৰথমে লোৱা সংখ্যাটো সলাই বেলেগ এটা লৈ চোৱা। তেনেকুৱা যি সংখ্যাই নোলোৱা কিয়, সদায় শেষত দেখিবা সদায় ৬১৭৪ সংখ্যাটোৱেই ওলাব।

উদাহৰণ: আমি ২৭০২ সংখ্যাটো লওঁ আহা।

ইয়াত থকা অংককেইটাৰে গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল ৭২২০, আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হ’ল ০২২৭।

ডাঙৰটোৰ পৰা সৰুটো বিয়োগ কৰিলে পাম ৭২২০ – ০২২৭ = ৬৯৯৩।

এই বিয়োগফলটোত থকা অংককেইটাৰে গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল ৯৯৬৩, আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হ’ল ৩৬৯৯।

এইবাৰ বিয়োগ কৰিলে পাম ৯৯৬৩ – ৩৬৯৯ = ৬২৬৪।

এইবাৰ গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল ৬৬৪২, আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হ’ল ২৪৬৬।

বিয়োগফল পাম ৬৬৪২ – ২৪৬৬ = ৪১৭৬।

ইয়াৰ পৰা গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল ৭৬৪১, আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হ’ল ১৪৬৭।

বিয়োগফল = ৭৬৪১ – ১৪৬৭ = ৬১৭৪।

এইবাৰ গঠন কৰিব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল ৭৬৪১, আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা হ’ল ১৪৬৭।

এইবাৰ বিয়োগ কৰিলে ৬১৭৪ য়েই পাবা।

এই গোটেই অংকটো আমি চমুকৈ এনেকৈ লিখিব পাৰোঁ:

২৭০২ সংখ্যাটোত এই পদ্ধতিটো খটুৱালে আমি পাম:

৭২২০ – ০২২৭ = ৬৯৯৩।

৯৯৬৩ – ৩৬৯৯ = ৬২৬৪।

৬৬৪২ – ২৪৬৬ = ৪১৭৬।

৭৬৪১ – ১৪৬৭ = ৬১৭৪।

৭৬৪১ – ১৪৬৭ = ৬১৭৪।

* এই ৰহস্যটো প্ৰথমে পোহৰলৈ আনিছিল দত্তাত্ৰে ৰামচন্দ্ৰ কাপ্ৰেকৰ নামৰ ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ এজনে। (Dattathreya Ramachandra Kaprekar, চমুকৈ D. R. Kaprekar)। ১৯০৫ চনৰ ১৭ জানুৱাৰীত মহাৰাষ্ট্ৰত তেওঁৰ জন্ম হয় আৰু মৃত্যু হয় ১৯৮৬ চনত। ১৯৪৬ চনত তেওঁ এইটো আৱিষ্কাৰ কৰে, আৰু ১৯৪৯ চনত তেতিয়াৰ মাদ্ৰাজত অনুষ্ঠিত গণিত অভিবৰ্তন এখনত ইয়াক তেওঁ উপস্থাপন কৰে। পিছলৈ তেওঁৰ নামেৰে ৬১৭৪ সংখ্যাটো কাপ্ৰেকৰৰ ধ্ৰুৱক (Kaprekar’s constant) বুলি বিশ্বত পৰিচিত হৈ পৰে।

 

* এজন জাপানী ব্যক্তিয়ে প্ৰমাণ কৰিছে যে এইদৰে ৬১৭৪ সংখ্যাটো পাবলৈ অতি বেছি সাতবাৰ বিয়োগ কৰিব লাগিব। ওপৰৰ উদাহৰণটোত আমি মাথোঁ চাৰিবাৰ বিয়োগ কৰিব লগা হৈছে।

৫)

ওপৰত দিয়া পদ্ধতিটো তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত খটুৱালে সদায় ৪৯৫ পোৱা যায়। তোমালোকে নিজে পৰীক্ষা কৰি চাবা। এইসমূহৰ প্ৰমাণ তোমালোকে দিব পাৰা নেকি অলপ চেষ্টা কৰি চাব পাৰা।

ইয়াৰ উপৰি তোমালোকে আন এটা কামো কৰিবা: দুটা অংকৰে গঠিত সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত এই পদ্ধতিটো খটুৱালে কি ফলাফল পাবা বাৰু? নে তাত তোমালোকে বেলেগ এটা ৰহস্যহে আৱিষ্কাৰ কৰিবা? সেই ৰহস্যটো প্ৰমাণ কৰিব পাৰিবা নে?

৬) হোৱাটছ্এপ, ফে’চবুক বা এচএমএছৰে অহা “৯ৰ যাদু”ৰে কোনোবাই তোমাক “গাধ” সাজিছে নেকি?

এই যাদুটো মেছেজেৰে ইজনৰ পৰা সিজনলৈ বিয়পি ফুৰে। ইয়াৰ দ্বাৰা বন্ধু-বান্ধৱক “গাধ” সজাই ধেমালী কৰা হয়। মইয়ো প্ৰথমে তেনেকৈয়ে লাভ কৰিছিলোঁ। মেছেজটো এনেধৰণৰ:

“এই অংকটোৱে ক’ব আপুনি প্ৰকৃততে কি!! তলত দিয়া সংখ্যাকেইটাৰ মাজৰ পৰা এটা বাচি লওক:

১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮।

বাচি ল’লে?

ঠিক আছে।

এতিয়া আপুনি বাচি লোৱা সংখ্যাটোক ৩ ৰে পূৰণ কৰক। এই পূৰণফলটোৰ লগত এতিয়া ৩ যোগ কৰক। আকৌ এবাৰ ৩ যোগ কৰক। এতিয়া যিটো সংখ্যা পালে সেই সংখ্যাটোক ৩ ৰে পূৰণ কৰক।

আপুনি দুটা অংক (digit) থকা এটা সংখ্যা পাইছে। দুয়োটা অংক যোগ কৰক। এতিয়া কি পালে সেই সংখ্যাটো তলত বিচাৰক, আৰু সংখ্যাটোৰ বিপৰীতে থকা গুণটোৰ পৰা জানিব পাৰিব আপুনি প্ৰকৃততে কি।

১ — ভাগ্যৱান।

২ — দয়ালু।

৩ — সৎ।

৪ — সাহসী।

৫ — বহুত ধুনীয়া।

৬ — শান্ত স্বভাৱৰ।

৭ — স্বাৰ্থপৰ।

৮ — দুখী-আত্মা।

৯ — গাধ।

১০ — বুধিয়ক।

যদি আপুনি মানি ল’বলৈ টান পাইছে তেন্তে অন্য সংখ্যা এটা বাচি লৈ পুনৰ চাব পাৰে। ধন্যবাদ।।”

এইটোৱেই মেছেজটো। আৰু তুমি যিকোনো এটা সংখ্যা বাচি লৈ অংকখিনি কৰিলে সদায় ৯য়েই পাবা। গতিকে, ফলাফলটো চাই দেখিবা যে তুমি হ’লা গাধ! আৰু তাকে জানি মেছেজটো দিয়া বন্ধুজনে ফূৰ্টি কৰিব।

এতিয়া প্ৰশ্ন হ’ল: বেলেগ বেলেগ সংখ্যা বাচি লৈ অংকখিনি কৰাৰ পাছতো সদায় ৯ কিয় পোৱা যায়? ৰহস্যটো কি?

প্ৰমাণটো খুৱ সহজ। গতিকে তলৰ কথাখিনি পঢ়াৰ আগতে নিজে কিছুসময় চেষ্টা কৰি চাব পাৰা।

প্ৰমাণ: যিকোনো এটা সংখ্যা বাচি লৈ অংকখিনি কৰাৰ পাছত আমি লাভ কৰা সংখ্যাটো কেনেকুৱা হয় চাওঁ আহা।

বাচি লোৱা সংখ্যাটো a বুলি ধৰি লৈ যদি অংকখিনি ক্ৰমে কৰি চাওঁ, তেতিয়া পাম:

  a × ৩ = ৩a;

৩a + ৩ + ৩ = ৩a + ৬;

(৩a + ৬) × ৩ = ৯a + ১৮ = ৯(a+২)।

অৰ্থাৎ, এতিয়া আমি লাভ কৰা সংখ্যাটো সদায় ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা।

ইয়াৰ পাছত আমাক সংখ্যাটোৰ অংক দুটা যোগ কৰিবলৈ কৈছে।

৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যাবোৰৰ এটা বিশেষ ধৰ্ম আছে। ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যাৰ অংকবোৰৰ যোগফলটোৱো সদায় ৯ ৰে বিভাজ্য হয়। মেছেজটোত সোমাই থকা যাদুটো এইটোৱেই।

মেছেজটো এনেকৈ দিয়া হৈছে যাতে, কিবা-কিবি পূৰণ-যোগ কৰি শেষত মুঠতে এটা ৯ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা ওলাব লাগে আৰু তাৰ অংকবোৰ যোগ কৰিলে ৯ পোৱা যাব লাগে।

[সেইবাবেই প্ৰথমে বাচি ল’বলৈ সংখ্যাকেইটা ১ ৰ পৰা ৮ লৈহে দিছে। ৯টো দিয়া নাই, কাৰণ ৯ দিলে আমি পাম:  ৯×৩=২৭; ২৭+৩+৩=৩৩; ৩৩×৩=৯৯; এতিয়া ৯+৯=১৮। ইয়াত শেষত ৯ পোৱা নাযায়, ১৮হে পোৱা গ’ল।]

৭)

{\text{১}}^{\text{৭}}+{\text{৪}}^{\text{৭}}+{\text{৪}}^{\text{৭}}+{\text{৫}}^{\text{৭}}+{\text{৯}}^{\text{৭}}+{\text{৯}}^{\text{৭}}+{\text{২}}^{\text{৭}}+{\text{৯}}^{\text{৭}}=\text{ ১৪৪৫৯৯২৯}

৮)

৭

৭৩

৭৩৯

৭৩৯৩

৭৩৯৩৯

৭৩৯৩৯১

৭৩৯৩৯১৩

৭৩৯৩৯১৩৩

এই আটাইকেইটা এটা এটা মৌলিক সংখ্যা।