24 Jun গণিত পাঠ – ১ : কেইটামান সংজ্ঞা আৰু উপপাদ্য

(ইয়াৰ দুটামান সংজ্ঞাৰ লগত কিছু ব্যাখ্যাও দিয়া হৈছে। প্ৰথমৰ পৰা গোটেইখিনি ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে এবাৰ পঢ়ি গ’লে কামত আহিব।)

স্বাভাৱিক সংখ্যা (natural number):

গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা সংখ্যাবোৰেই স্বাভাৱিক সংখ্যা। ইয়াত গণনা মানে লোকপিয়লৰ দৰে হিচাপৰ কথা কোৱা হৈছে।
কিছুমান গণিত অভিধানত স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ এনেধৰণৰ সংজ্ঞা কিছুমান দিয়ে: “ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাবোৰকে স্বাভাৱিক সংখ্যা বোলে” বা “যিবোৰ সংখ্যা ভগ্নাংশ ৰূপত নাথাকে সেইবোৰেই স্বাভাৱিক সংখ্যা”। কিন্তু এইবোৰ আচলতে সংজ্ঞা নহয়, এইবোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ধৰ্মহে। আমি সততে ব্যৱহাৰ কৰি থকা সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত স্বাভাৱিক সংখ্যাই অতি প্ৰাচীন সংখ্যা। আৰু আমি অংক কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰোঁতে শিকিবলগীয়া প্ৰাৰম্ভিক বস্তুখিনিয়েই হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যা। ঋণাত্মক সংখ্যা, অখণ্ড সংখ্যা, ভগ্নাংশ বা পৰিমেয় সংখ্যা আদি বহু পিছত আহিব। গতিকে এইসমূহৰ কথা একো উল্লেখ নকৰাকৈ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞাটো দিব পাৰিব লাগিব। সাধাৰণতে পিঅ’নো স্বতঃসিদ্ধ/স্বীকাৰ্যসমূহৰ (Peano axioms) সহায়ত এই সংজ্ঞাটো দিয়া হয়। এইটো পিয়ানো বাদ্যযন্ত্ৰটোৰ কথা কোৱা নাই, জুচেপ্পি পিঅ’নো (Giuseppe Peano) নামৰ গণিতজ্ঞ এগৰাকীয়ে আগবঢ়োৱা কেইটামান স্বতঃসিদ্ধ। স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকাৰ্য হৈছে একোটা উক্তি যিবোৰ নিজে নিজেই সত্য। প্ৰমাণ বা প্ৰশ্ন অবিহনেই যিবোৰক সদায় সত্য বুলি স্বীকাৰ কৰি লোৱা হয়।

স্বাভাৱিক সংখ্যাসমূহ হ’ল: ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ….

কিন্তু, সাধাৰণতে স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলিলে ০ক লোৱা নহয়। ০ক ধৰি স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰক পূৰ্ণ সংখ্যা (whole number) বুলি কোৱা হয়। আমিও ইয়াত স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলিলে ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, …. আদি সংখ্যাবোৰক বুজিম।

যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা (additive inverse):

দুটা সংখ্যাৰ যোগফল ০ হ’লে, এটাক আনটোৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা বোলে।

ইয়াৰ পৰাই ঋণাত্মক সংখ্যাৰ ধাৰণাটো আমাক প্ৰয়োজন হয়। ঋণাত্মক সংখ্যাৰ ধাৰণাটো প্ৰথমে কেনেকৈ মানুহৰ মাজলৈ আহিছিল সেই সম্পৰ্কে এই প্ৰৱন্ধটোত দিয়া হৈছে: অংক নহয় আতংক।

অখণ্ড সংখ্যা (integer):

স্বাভাৱিক সংখ্যা, শূন্য আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যাবোৰেই অখণ্ড সংখ্যা।

যিকোনো দুটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণৰ এটি ধৰ্ম:

এই ধৰ্মটো কেৱল অখণ্ড সংখ্যাতে নাথাকে, পিছলৈ আন সংখ্যাটো আমি পাম।

হৰণ (division):

যেতিয়া তোমালোকক দুটা সংখ্যা দি এটাই আনটোক হৰণ কৰিবলৈ দিয়া হয়, তেতিয়া সেই সংখ্যা দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা দিয়া থাকে। ধৰা aক bৰে হৰণ কৰিবলৈ দিছে। তেতিয়া আমি হৰণ কৰি আন দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা, ধৰা q আৰু r পাওঁ। ঠিক এনেদৰে:

a = qb + r

এটা সংখ্যাক আন এটা সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে, আমি যিটো সংখ্যাক হৰণ কৰোঁ তাক ভাজ্য (dividend) বোলে, যিটো সংখ্যাৰে হৰণ কৰোঁ তাক ভাজক (divisor), হৰণ কৰি যিটো ফল পাওঁ তাক ভাগফল (quotient), আৰু যিটো বাকী পাওঁ তাক ভাগশেষ বা বাকী (remainder) বুলি কোৱা হয়। ইয়াত a ভাজ্য, b ভাজক, q ভাগফল, r ভাগশেষ। এই r টোৰ এটা বিশেষ ধৰ্ম আছে।

যদি r টো ০ হয়, তেন্তে a = qb, আৰু তেতিয়া aক bৰে হৰণ যায় বুলি কোৱা হয়।

[“ঋণাত্মকৰ হৰণ” শীৰ্ষক পাঠটিত সকলো অখণ্ড সংখ্যাৰে হৰণৰ বিষয়ে বহলাই আলোচনা কৰা হৈছে।]

হৰণ কাৰ্যটো হ’ল পৌণঃপুনিক বিয়োগ। মানে, aৰ পৰা b পৰিমাণ বাৰে বাৰে বিয়োগ কৰি থকা হয়। বিয়োগ কৰি কৰি আমি ঋণাত্মক সংখ্যা পোৱাৰ আগত ৰৈ দিওঁ। মানে r টো হ’ল b তকৈ সৰু অঋণাত্মক সংখ্যা।

মনত ৰাখিবা: ভাগশেষটো সদায় শূন্য হ’ব নতুবা ধণাত্মক সংখ্যা হ’ব আৰু ইয়াত সি ভাজকতকৈ সৰু হ’ব।

* ভাজ্য ০ হ’লে ভাগফল আৰু ভাগশেষ দুয়োটা শূন্য। যেনে: ০ক ৫ৰে হৰণ কৰিলে ০ = ০ × ৫ + ০।

* ভাজক ০ হ’লে হৰণফল নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি। কাৰণ, যদি ৫ক ০ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে ৫ৰ পৰা ০ বাৰে বাৰে বিয়োগ কৰি থাকিব লাগিব। যিমানবাৰ বিয়োগ কৰিলেও আমি বাকী হিচাপে ০তকৈ সৰু ধণাত্মক সংখ্যা কেতিয়াও নাপাম। ৫-০=৫, ৫-০=৫, ৫-০=৫, ….. , কিন্তু বাকীটো কমি নাযায়। গতিকে হৰণফলটো নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি।

* aক bৰে হৰণ কৰা কাৰ্যটোক a÷b, \frac{a}{b} নতুবা a/b চিহ্নৰ দ্বাৰা বুজাৱা হয়। আৰু যদি aক bৰে হৰণ যায়, তেন্তে তাক b|a ৰে বুজুৱা হয়। যেনে: ২|৬, ১০|৪০

হৰণৰ কেইটামান ধৰ্ম:

a|b, b|c ⇒a|c

a|b, a|c ⇒ a|bc

a|c, b|c ⇒ ab|c

a|b, a|c ⇒ a|(b+c), a|(b-c)

কিন্তু, a|c, b|c হ’লে a+bয়ে cক হৰণ নাযাবও পাৰে। যেনে: ২|৬, ৩|৬, কিন্তু ৫ৰে ৬ক হৰণ নাযায়।

পৰিমেয় সংখ্যা (rational number):

যিবোৰ সংখ্যাক \frac{p}{q} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত p আৰু q দুটা অখণ্ড সংখ্যা আৰু q টো ০ নহয়, তেনে সংখ্যাক পৰিমেয় সংখ্যা বোলে।

প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যায়েই একোটা পৰিমেয় সংখ্যা। যেনে: ৩ এটা অখণ্ড সংখ্যা, ইয়াক ৩/১, ৬/২ ইত্যাদি ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। গতিকে ৩ এটা পৰিমেয় সংখ্যাও।

উৎপাদক বা গুণনীয়ক (divisor বা factor):

এটা অখণ্ড সংখ্যা m ক আন এটা অখণ্ড সংখ্যা n ৰ এটা উৎপাদক বুলি কোৱা হয় যদিহে mৰ সৈতে কোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণ কৰিলে n পোৱা যায়।

অন্য ভাষাৰে: nক যদি mৰে হৰণ যায় তেন্তে mক nৰ উৎপাদক বুলি কোৱা হয়।

যেনে: ৬ৰ এটা উৎপাদক হ’ল ২। কাৰণ, ২ৰ লগত ৩ পূৰণ কৰিলে ৬ পোৱা যায়। সেইদৰে, ৬ৰ আন এটা উৎপাদক হ’ল ৬ নিজেই। কাৰণ, ৬ = ৬×১। ৬ৰ উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬, -১, -২, -৩, -৬। মানে, এইকেইটা সংখ্যাৰে ৬ক হৰণ যায়।

৬ৰ ধণাত্মক উৎপাদককেইটা হ’ল: ১, ২, ৩, ৬।

আকৌ, ৩ হ’ল -৬ৰ এটা উৎপাদক। কাৰণ ৩ৰ লগত -২ পূৰণ কৰিলে -৬ পোৱা যায়।

গুণিতক (Multiple):

এটা অখণ্ড সংখ্যা nক আন এটা অখণ্ড সংখ্যা mৰে পূৰণ কৰি পোৱা ফলক nৰ গুণিতক বোলে।

অন্য ভাষাৰে: nৰে হৰণ যোৱা সংখ্যাবোৰক nৰ গুণিতক বোলে।

উদাহৰণ: ৬ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……, -৬, -১২, -১৮, -২৪, ……।

৬ৰ ধণাত্মক গুণিতকবোৰ হ’ল: ৬, ১২, ১৮, ২৪, ……

[“ভগ্নাংশৰ লঃসাঃগুঃ আৰু গঃসাঃউঃ” শীৰ্ষক পাঠটো পঢ়া।]

প্ৰকৃত উৎপাদক (proper divisor):

কোনো এটা সংখ্যাৰ উৎপাদক একোটাক সংখ্যাটোৰ প্ৰকৃত উৎপাদক বুলি কোৱা হয় যদিহে সেই উৎপাদকটো সংখ্যাটোতকৈ সৰু। উদাহৰণস্বৰূপে ৬ৰ উৎপাদকসমূহ হ’ল ৬, ৩, ২, ১, -১, -২, -৩ আৰু -৬। ইয়াত ৬ক বাদ দি বাকী আটাইকেইটা ৬ৰ প্ৰকৃত উৎপাদক।

ভগ্নাংশ (fraction):

একোটা অখণ্ড সংখ্যাক সমানে ভাগ কৰি লোৱা একোটা অংশই হ’ল এটা ভগ্নাংশ। ইয়াক সাধাৰণতে \frac{a}{b} ৰূপত লিখা হয়। ইয়াৰ দ্বাৰা, এটা বস্তুক সমানে b ভাগ কৰি, তাৰে a ভাগ লোৱা বুজায়৷

ভগ্নাংশ এটাৰ ওপৰৰ অংশটোক লৱ (numerator) আৰু তলৰ অংশটোক হৰ (denominator) বোলে।

[পিছলৈ এই ধাৰণাখিনি সাধাৰণীকৰণ কৰি বেলেগ বেলেগ ৰূপৰ ভগ্নাংশ গঠন কৰা হয়। সেইবোৰত হৰ আৰু লৱত অখণ্ড সংখ্যাৰ পৰিৱৰ্তে বেলেগ সংখ্যা বা বেলেগ গাণিতিক বস্তুও থাকে। আৰু সেইবোৰকো সাধাৰণতে চমুকৈ কেৱল ভগ্নাংশ বুলিয়েই কোৱা হয়।]

সৰল ভগ্নাংশ (simple faction): যি ভগ্নাংশত হৰ আৰু লবত কেৱল অখণ্ড সংখ্যা থাকে সেইবোৰক সৰল ভগ্নাংশ বোলে।

প্ৰকৃত ভগ্নাংশ (proper fraction): যি সৰল ভগ্নাংশৰ হৰটো লবতকৈ ডাঙৰ তাক প্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলে। যেনে: \frac{\text{২}}{\text{৫}}

অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ (improper fraction): যি সৰল ভগ্নাংশৰ হৰটো লবতকৈ সৰু বা সমান তাক অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ বোলে। যেনে: \frac{\text{৫}}{\text{২}}, \frac{\text{২}}{\text{২}}

* ওপৰৰ সংজ্ঞা দুটাত আমি কেৱল ধণাত্মক ভগ্নাংশৰ কথাহে ক’লোঁ। এই ভগ্নাংশটো চোৱা: \frac{-\text{৬}}{\text{৫}} । ইয়াতো হৰটো লবতকৈ ডাঙৰ, কিন্তু ই প্ৰকৃত ভগ্নাংশ নহয়। সেইদৰে \frac{\text{২}}{-\text{৫}} ত হৰটো সৰু, কিন্তু ই অপ্ৰকৃত নহয়। প্ৰকৃত বা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ বুজাবলৈ কেৱল মানটোহে লোৱা হয়।

মিশ্ৰ ভগ্নাংশ (mixed faction): এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশ আৰু এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফলকে মিশ্ৰ ভগ্নাংশ বোলে, য’ত অখণ্ড সংখ্যাটো ০ নহয়। যেনে: \text{৩}+\frac{\text{২}}{\text{৫}} এটা মিশ্ৰ ভগ্নাংশ। ইয়াক প্ৰকাশ কৰিবলৈ মাজৰ যোগ চিনটো আঁতৰাই দিয়া হয়, আৰু এনেদৰে প্ৰকাশ কৰা হয়: \text{৩}\frac{\text{২}}{\text{৫}} । এইটোৱে ভগ্নাংশটোৰ লগত ৩ পূৰণ হৈ থকা বুজুৱা নাই, কাষতে থকাহে বুজাইছে৷

* প্ৰকৃত বা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ এটাৰ হৰ আৰু লবক একেটা সংখ্যাৰে হৰণ বা পূৰণ কৰিলে ভগ্নাংশটো একেই থাকে। কিন্তু যোগ বা বিয়োগ কৰিলে একে নাথাকিবও পাৰে।

ভগ্নাংশৰ লঘিষ্ঠ আকাৰ (simplest form of fraction বা lowest form of fraction বা fraction in lowest terms):

এটা ভগ্নাংশ আন একাধিক ভগ্নাংশৰ সমান হ’ব পাৰে। অৰ্থাৎ সেই গোটেই ভগ্নাংশসমূহে একেটা সংখ্যাকে বুজাব। তাৰে যিটো ভগ্নাংশত হৰটো আৰু লবটোৰ সাধাৰণ উৎপাদক ১ হয়, তাক ভগ্নাংশটোৰ লঘিষ্ঠ আকাৰ বোলে।

যেনে: \frac{\text{২}}{\text{৩}}=\frac{\text{৪}}{\text{৬}}=\frac{\text{৬}}{\text{৯}}=\dots

ইয়াত \frac{\text{২}}{\text{৩}} হ’ল লঘিষ্ঠ আকাৰত থকা ভগ্নাংশ, কাৰণ ২ আৰু ৩ৰ সাধাৰণ উৎপাদক ১।

ঘাত (power) বা সূচক (exponent বা index) আৰু ভূমি (base):

এটা সংখ্যা কেইবাবাৰো পূৰণ কৰিলে যিটো ফল পোৱা যায়, তাক বুজাবলৈ ঘাত বা সূচক শব্দ দুটা ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ধৰাহওক, আমি ৫ সংখ্যাটো ৩৮ বাৰ পূৰণ কৰিছোঁ। সেই পূৰণফলটো বুজাবলৈ আমি লিখোঁ {\text{৫}}^{\text{৩৮}} । তেতিয়া, ৫ কোৱা হয় ভূমি আৰু ৩৮ ক কোৱা হয় ঘাত বা সূচক। অৰ্থাৎ {\text{৫}}^{\text{৩৮}} ক কোৱা হয় “ভূমি ৫ৰ ৩৮তম ঘাত”। বা চমুকৈ, “৫ৰ ৩৮তম ঘাত”।

যদি এটা সংখ্যাক n বাৰ পূৰণ কৰোঁ, সেই কাৰ্যটোক “সংখ্যাটোৰ nতম ঘাত লোৱা” বুলি কোৱা হয়। যদি আমি সংখ্যাটোক দুবাৰ পূৰণ কৰোঁ তেন্তে তাক “২তম ঘাত লোৱা” বুলি নকৈ “সংখ্যাটোৰ বৰ্গ লোৱা” বা “সংখ্যাটোৰ বৰ্গ কৰা” (square) বুলি কোৱা হয়। যেনে: ২ৰ বৰ্গফল ৪। সেইদৰে তিনিবাৰ পূৰণ কৰিলে “সংখ্যাটোৰ ঘনফল লোৱা” (cube) বুলি কোৱা হয়। যেনে: ২ৰ ঘণফল ৮।

এই বৰ্গ লোৱা আৰু ঘনফল লোৱা বুলি কোৱা ধাৰণাটো জ্যামিতিৰ লগত যুক্ত। এটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ চাৰিওডাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান আৰু বৰ্গৰ কালি পাবলৈ আমি বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যক দুবাৰ পূৰণ কৰিব লাগে। সেয়েহে ওলোটাকৈ, এটা সংখ্যাক দুবাৰ পূৰণ কৰিলে বৰ্গ কৰা বুলি কোৱা হয়। একেদৰে ঘনকৰ ক্ষেত্ৰতো, ঘনকৰ আয়তন পাবলৈ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যক তিনিবাৰ পূৰণ কৰিব লাগে। মন কৰিবা, বৰ্গৰ কালি, আৰু ঘনকৰ আয়তনৰ কথা কোৱা হৈছে; ঘনকৰ কালিৰ কথা কিন্তু কোৱা হোৱা নাই। এতিয়া তোমালোকে কল্পনা কৰি চোৱাচোন, আমি দুবাৰ আৰু তিনিবাৰৰ কথাখিনি বাৰু পালোঁ; কিন্তু এটা সংখ্যাক চাৰিবাৰ, পাঁচবাৰ বা ততোধিক বাৰ পূৰণ কৰিলে আমি কিবা আকৃতিৰ বস্তু পাম নেকি? আৰু তাৰ বাবে কালি বা আয়তনৰ দৰে আন কিবা মান পাম নেকি?

কৰণী (surd) আৰু মূল (root):

সূচকৰ সংজ্ঞাৰ পৰা আমি পাওঁ {\text{২}}^{\text{৩}}=\text{৮} । অৰ্থাৎ ৮ হ’ল ২ৰ ঘণফল। এই কথাটো ওলোটাকৈ, ২ক ৮ৰ এটা ঘণমূল বুলি কোৱা হয়। অৰ্থাৎ a^n=b হ’লে, aক bৰ nতম মূল বোলে। ইয়াক চিহ্নৰ সহায়ত এইদৰে বুজুৱা হয়: \sqrt[n]{b}=a । এই √ চিহ্নটোক কৰণী (Radical sign বা radix বা surd) বুলি কোৱা হয়। আৰু এই চিহ্ন যুক্ত সংখ্যাবোৰকো কৰণী বুলিয়েই প্ৰায়ে কোৱা হয়।

\sqrt[n]{b}=a ক সূচকৰ সহায়ত এইদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি: b^{\frac{\text{১}}{n}}=a । অৰ্থাৎ bৰ ঘাত \frac{\text{১}}{n} ।

এই nৰ মান ২ হ’লে বৰ্গমূল (square root) বুলি কোৱা হয়, ৩ হ’লে ঘনমূল (cube root) বুলি কোৱা হয়।

মিশ্ৰ কৰণী (mixed surd): যদি এটা কৰণীৰ লগত ১ বা -১তকৈ বেলেগ পৰিমেয় সংখ্যা এটা পূৰণ হৈ থাকে, তেন্তে গোটেই সংখ্যাটোক মিশ্ৰ কৰণি বোলে। যেনে: ৫√৩ , \frac{\text{১}}{\text{২}}√৭। আৰু যিবোৰত এনেদৰে পূৰণ হৈ নাথাকে সেইবোৰক বিশুদ্ধ কৰণী (pure surd) বোলে।

সদৃশ কৰণী (similar surd): যদি দুটা কৰণীত থকা বিশুদ্ধ কৰণী দুটা একেই, তেন্তে এটাক আনটোৰ সদৃশ কৰণী বোলে। যেনে: ৫√৩ আৰু \frac{\text{১}}{\text{২}}√৩ সদৃশ কৰণী।

দ্বিপদ কৰণী (binomial surd): যিবোৰ ৰাশিত দুটা বিশুদ্ধ কৰণী যোগফল বা বিয়োগফল ৰূপে থাকে, নতুবা যিবোৰ ৰাশিত এটা পৰিমেয় সংখ্যা আৰু এটা কৰণী যোগফল বা বিয়োগফল ৰূপে থাকে, সেইবোৰ ৰাশিক দ্বিপদ কৰণী বোলে। যেনে: √২ + √৩, √২ + \sqrt[\text{৮}]{\text{৩}} , ২ – √৩।

এনেদৰে দুটা বা ততোধিক কৰণী যোগ-বিয়োগ হৈ থাকিলে সিহঁতক জটিল কৰণী (compound surd) বোলে।

সংযুগ্ম কৰণী (conjugate surd): এটা কৰণীৰ লগত যিটো কৰণী পূৰণ কৰিলে পৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যায় তাকে সেই কৰণীটোৰ সংযুগ্ম কৰণী বোলে। যেনে: ২ + √৩ ৰ সংযুগ্ম কৰণীটো হ’ল ২ – √৩।

সূচকৰ ধৰ্ম:

ক)

খ)

গ) , যদিহে a শূন্য নহয়।

ঘ)

ঙ) a^{\text{০}} = \text{১} , যদিহে a শূন্য নহয়।

ঋণাত্মক ঘাত (negative exponent) সম্পৰ্কে ব্যাখ্যা:

আমি ওপৰত দেখিলোঁ যে \sqrt[n]{b}=b^{\frac{\text{১}}{n}} ।

কিন্তু বহুতো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে এটা খেলিমেলি কৰে। তেওঁলোকে লিখে b^{-n} = b^{\frac{\text{১}}{n}} । তেওঁলোকে এইদৰে ভুল কৰে: {\text{৮}}^{-\text{৩}} = \text{২} ।

ধণাত্মক ঘাতৰ ক্ষেত্ৰত আমি বাৰে বাৰে পূৰণ কৰা বুজাইছিলোঁ। {\text{৮}}^{\text{৩}} মানে ৮ক তিনিবাৰ পূৰণ কৰা বুজাইছিলোঁ। এই কথাটোচোন আমি এনেদৰেও ক’ব পাৰোঁ: {\text{৮}}^{\text{৩}} মানে ১ৰ লগত ৮ক তিনিবাৰ পূৰণ কৰিছোঁ। {\text{৮}}^{-\text{৩}} য়ে ইয়াৰ বিপৰীতটো প্ৰকাশ কৰে। অৰ্থাৎ {\text{৮}}^{-\text{৩}} মানে ১ক ৮ৰে তিনিবাৰ হৰণ কৰিম। সেয়েহে,

এনেদৰেই b^{-n} = (\frac{\text{১}}{b})^n হে হ’ব; b^{\frac{\text{১}}{n}} নহয়।

* টোকা: যদি a শূন্য নহয়, তেন্তে a^{-m} = (\frac{\text{১}}{a})^m = \frac{\text{১}}{a^m} । কিন্তু, যদি a শূন্য হয়, তেন্তে a^{-m} সংজ্ঞাত নপৰে; যিটোক কেতিয়াবা অসীম বুলি লোৱা হয়। তেতিয়াহ’লে,

অনোন্যক বা প্ৰতিক্ৰম বা প্ৰতিলোম (inverse) বা গুণাত্মক বিপৰীত সংখ্যা (multiplicative inverse):

দুটা সংখ্যাৰ পূৰণফল ১ হ’লে, এটাক আনটোৰ অনোন্যক বোলে। যেনে ৩ × \frac{\text{১}}{\text{৩}} = ১। গতিকে, ৩ৰ অনোন্যক হ’ল \frac{\text{১}}{\text{৩}} । সেইদৰে, \frac{\text{১}}{\text{৩}} ৰ অনোন্যক হ’ল ৩।
এই সংজ্ঞাটো কোনো ক্ষেত্ৰত আমি ঘাতৰ সহায়তো দিব পাৰোঁ। এটা সংখ্যাৰ ঘাত -১ ল’লে, আমি যিটো সংখ্যা পাম সেইটোৱেই প্ৰথম সংখ্যাটোৰ অনোন্যক।

অপৰিমেয় সংখ্যা (irrational number):

যিবোৰ সংখ্যাক কোনো অখণ্ড সংখ্যা p আৰু qৰ বাবেই \frac{p}{q} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি, তেনে সংখ্যাক অপৰিমেয় সংখ্যা বোলে।

যেনে: √২। ইয়াক অপৰিমেয় বুলি সহজে প্ৰমাণ কৰিব পাৰি, যিটো নৱম-দশম শ্ৰেণীৰ পাঠ্যপুথিত পাবা।
এইখিনিতে এটা কথা মন কৰিবা:

কিন্তু ইয়াৰ ভিত্তিত ক’ব নোৱাৰি যে ১ আৰু ৩ পৰিমেয় সংখ্যা। এইসমূহ সত্য, কিন্তু এইসমূহৰ ভগ্নাংশৰ মান ৰূপেহে সত্য। পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞা হিচাপে প্ৰযোজ্য নহয়। পৰিমেয় সংখ্যা বুলি ক’বলৈ আমি এনেকুৱা ভগ্নাংশ ৰূপত দেখুৱাব লাগিব য’ত হৰ আৰু লব দুয়োটাই অখণ্ড সংখ্যা (আৰু লবটো অশূন্য সংখ্যা)।

বাস্তৱ সংখ্যা (real number):

পৰিমেয় সংখ্যসমূহ আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাসমূহক একেলগে বাস্তৱ সংখ্যা বুলি কোৱা হয়। অৰ্থাৎ, প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো অপৰিমেয় সংখ্যা এটা এটা বাস্তৱ সংখ্যা। কেইবাটাও ধৰণে বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংজ্ঞা দিয়া হয়। যেনে: এডাল সৰল লেখাৰ ওপৰত নিৰ্দেশ কৰিব পৰা প্ৰতিটো সংখ্যাক বাস্তৱ সংখ্যা বোলে।

সংখ্যা ৰেখা (number line):

এডাল সৰল ৰেখাত ০ সংখ্যাটোক মধ্যবিন্দু হিচাপে লৈ, তাৰ দুয়োপিনে বাকী সংখ্যাবোৰক মান অনুসৰি বহুৱালে, ৰেখাডালক সংখ্যাৰেখা বোলে।

চিত্ৰত আমি কেইটামান অখণ্ড সংখ্যাহে বহুৱাই দেখুৱাইছোঁ। প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবেই সংখ্যা ৰেখাডালত এটা একক (unique) বিন্দু পোৱা যায়। দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ মাজতেই অগণন সংখ্যা থাকে। সেয়েহে, প্ৰতিটো সংখ্যা আঁকি দেখুওৱাটো সম্ভৱ নহয়, কিন্তু ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। সংখ্যা ৰেখাডালক কল্পনা কৰি মনতে অংকণ কৰি ল’বলৈ চেষ্টা কৰিবা। পিছলৈ ফলন, অনুক্ৰম আদি কিছুমান শাখা পঢ়িবলৈ পাবা। গোটেই বাস্তৱ সংখ্যাসমূহক এনেদৰে “সংখ্যা ৰেখা”ডালত কল্পনা কৰি ল’লে সেই অংকবোৰ আয়ত্ব কৰিবলৈ বহুত সহজ হয়।

এইয়া প্ৰমাণ কৰিব পাৰি যে: যিকোনো দুটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজত অসংখ্য পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা আছে। সংখ্যা দুটা যিমানেই সৰু নহওক লাগিলে। সেইদৰে যিকোনো দুটা অপৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজতো অসংখ্য পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা আছে। স্কুলীয়া অংকৰ সহায়ত এইবোৰ প্ৰমাণ কৰাটো সম্ভৱ নহয়।

দশমিক (decimal):

আমাৰ সাধাৰণ হিচাপ-নিকাছবোৰত বিভিন্ন সংখ্যা বুজাবলৈ আমি ১০টা চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰোঁ: ০, ১, ২, …. ৯। এই ১০টা চিহ্নৰেই বাকী সংখ্যাবোৰ গঠন কৰোঁ, যেনে: ২৭, ২৫৮, ২৯০১। এই নতুনকৈ গঠন কৰা সংখ্যাবোত ১০ৰ গুণফল কিছুমান যোগ হৈ থাকে। কাৰণ চোৱা: ২৫৮ = ২×১০০ + ৫×১০ + ৮। ভাবি চোৱাচোন, কেৱল ১০টা চিহ্নৰেই এনেকৈ সজাই লিখি আমি কিমান ডাঙৰ ডাঙৰ সংখ্যাকো প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ। কেৱল ১০টা চিহ্নৰেই। এতিয়া,

যদি কিবা এটা সংখ্যাত ১০ৰ হৰণফল কিছুমান যোগ হৈ থাকে তেন্তে কি হ’ব? তেনে সংখ্যাক আমি কেনেকৈ প্ৰকাশ কৰিম? তলত দিয়া ৰাশিটোলৈ চোৱা, সেইটোক আমি সংখ্যা ৰূপত কেনেকৈ প্ৰকাশ কৰিম?

এনেবোৰক সংখ্যা ৰূপত প্ৰকাশ কৰিবলৈ, এই গুণফল আৰু হৰণফল সমূহৰ মাজতে এটা ডট (.) চিন দিয়া হয়। আৰু ডটটোৰ সোঁফালে হৰণফলবোৰ ক্ৰম অনুসাৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। মানে,

এই ডট চিহ্নটোক দশমিক বুলি কোৱা হয়। আৰু এইদৰে দশমিক যুক্ত হৈ থকা সংখ্যাক দশমিক সংখ্যা (decimal number) বোলে নতুবা “দশমিক ৰূপত থকা সংখ্যা” বোলে। “দশমিক সংখ্যা”ৰ আন দুটামান পৃথক অৰ্থও আছে, তাৰ ভিত্তিত গোটেই বাস্তৱ সংখ্যাবোৰকে এটা এটা দশমিক সংখ্যা বুলিও কোৱা হয়।

এই যে আমি দহটা চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰিলোঁ ০, ১, ২, … ৯; ইহঁতক অংক (digit) বুলি কোৱা হয়। এই “অংক” শব্দটোৱে কিন্তু আমি অংক কৰি থকা কামটো (calculation)ক বুজুৱা নাই।

এই অংকবোৰ (digits) লগ লগাই প্ৰকাশ কৰা পৰিমাণবোৰকে সংখ্যা (number) বোলা হয়। যেনে: ২৪, ২.৬, ১/৩, √২। আৰু কোৱা হয় যে ২৪ সংখ্যাটোত থকা অংক দুটা ২ আৰু ৪। ২৩৭ সংখ্যাটোত থকা অংক তিনিটা ২, ৩ আৰু ৭। ক্ৰম অনুসাৰে কোৱা হয়। সেইদৰে ২৫৮.৩৭৪ৰ অংকসমূহ ২, ৫, ৮ আৰু তাৰ দশমিকৰ সোঁপিনৰ অংকসমূহ ৩, ৭ আৰু ৪।

আকৌ, ০, ১, ২, … ৯ এইকেইটা নিজেও এটা এটা সংখ্যা। ১/৩, √২ আদিৰ অংকবোৰৰ সম্পৰ্কে ক’বলৈ ইহঁতক দশমিক ৰূপলৈ নিব লাগিব।

স্থানীয় মান (place value):

“দশমিক” সম্পৰ্কীয় কথাখিনিত আমি দেখিলোঁ যে সংখ্যা এটাত অংকবোৰে এটা এটা নিৰ্দিষ্ট স্থান দখল কৰি থাকে। মাথোঁ এটা অংকৰ স্থানটো সলনি হ’লেই সংখ্যাটো বেলেগ হৈ যাব।

সংখ্যা এটাত থকা একোটা অংকই দখল কৰি থকা স্থানটোক অংকটোৰ স্থানীয় মান বোলে। এতিয়া চোৱা:

১০ গুণফলবোৰৰ সহায়ত স্থানীয় মানবোৰ বুজুৱা হয়। {\text{১০}}^{\text{০}} ৰ লগত পূৰণ হৈ থকা অংকটোক কোৱা হয় এককৰ স্থানৰ (ones place) অংক। {\text{১০}}^{\text{১}} ৰ লগত পূৰণ হৈ থকা অংকটোক কোৱা হয় দহকৰ স্থানৰ (tens place) অংক। {\text{১০}}^{\text{২}} ৰ লগত পূৰণ হৈ থকা অংকটোক কোৱা হয় শতকৰ স্থানৰ (hundreds place) অংক। সেইদৰে ক্ৰমে হাজাৰৰ স্থানৰ (thousands place), দহ হাজাৰৰ স্থানৰ (ten thousands place),…. ইত্যাদি।

আনহাতে, {\text{১০}}^{\text{-১}} ৰ লগত পূৰণ হৈ থকা অংকটোক কোৱা হয় দশমাংশ স্থানৰ (tenths place) অংক। {\text{১০}}^{\text{-২}} ৰ লগত পূৰণ হৈ থকা অংকটোক কোৱা হয় শতাংশ স্থানৰ (hundredths place) অংক। তাৰ পাছৰটো সহস্ৰাংশ স্থানৰ (thousandths place) অংক…..।

গতিকে, ৪৫২৮৩ৰ শতকৰ স্থানৰ অংকটো হ’ল ২, হাজাৰৰ স্থানৰ অংকটো হ’ল ৫। সেইদৰে ২৫৮.৩৭৪ ৰ শতকৰ স্থানৰ অংশটো ২, এককৰ স্থানৰ অংকটো ৮, দশমাংশ স্থানৰ অংকটো ৩, শতাংশ স্থানৰ অংকটো ৭, ….।

যুগ্ম সংখ্যা (even number):

স্বাভাৱিক সংখ্যা এটা ২ৰে হৰণ গ’লে তাক যুগ্ম সংখ্যা বা চমুকৈ যুগ্ম বোলে। যেনে: ২, ৪, ৬, …..।

অযুগ্ম সংখ্যা (odd number):

২ৰে হৰণ নোযোৱা স্বাভাৱিক সংখ্যাক অযুগ্ম সংখ্যা বা চমুকৈ অযুগ্ম বোলে। যেনে: ১, ৩, ৫, …..।

মৌলিক সংখ্যা (prime number):

১তকৈ ডাঙৰ যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ উৎপাদক কেৱল ১ আৰু সেই সংখ্যাটো নিজে, তেনে স্বাভাৱিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যা বোলে। যেনে: ৭। কাৰণ, ৭ হ’ল ১তকৈ ডাঙৰ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা আৰু ৭ৰ উৎপাদক কেৱল ১ আৰু ৭।

যৌগিক সংখ্যা (composite number):

১তকৈ ডাঙৰ যি স্বাভাৱিক সংখ্যা মৌলিক নহয়, তেনে সংখ্যাক যৌগিক সংখ্যা বোলে।

অৰ্থাৎ, যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দুটাতকৈ অধিক উৎপাদক থাকে তেনে সংখ্যাক যৌগিক সংখ্যা বোলে।

১তকৈ ডাঙৰ যি স্বাভাৱিক সংখ্যাক নিজতকৈ সৰু দুটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পুৰণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি সিয়েই এটা যৌগিক সংখ্যা।

মৌলিক উৎপাদক (prime factor):

এটা সংখ্যাৰ কোনো উৎপাদক মৌলিক সংখ্যা হ’লে সেই উৎপাদকটোক সংখ্যাটোৰ এটা মৌলিক উৎপাদক বোলা হয়। যেনে: ১২ৰ ধণাত্মক উৎপাদকসমূহ হ’ল ১২, ৬, ৪, ৩, ২, ১। ইয়াৰে ৩ আৰু ২ হ’ল মৌলিক সংখ্যা। সেয়েহে ১২ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ হ’ল ৩ আৰু ২।

মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত (prime power):

কোনো সংখ্যাক যদি এটা মৌলিক সংখ্যা ভূমিত এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা ঘাত ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, তেন্তে সংখ্যাটোক কোৱা হয় মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত। যেনে: {\text{৫}}^{\text{৪}} । আকৌ, \text{৮} = {\text{২}}^{\text{৩}} ; য’ত ২টো এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু ৩টো স্বাভাৱিক সংখ্যা। গতিকে ৮ হ’ল এটা মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত। সেই দৰে ২ নিজেও এটা মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত, কাৰণ \text{২} = {\text{২}}^{\text{১}} । কিন্তু ৬ মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাত নহয়, কাৰণ ৬ = ২×৩, ইয়াত দুটা মৌলিক সংখ্যা পূৰণ হৈ আছে।

অৰ্থাৎ, মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতসমূহক কেৱল এটা মৌলিক সংখ্যাইহে হৰণ যায়।

মৌলিক উৎপাদকীকৰণ (prime factorization বা prime decomposition):

এটা অখণ্ড সংখ্যাক তাৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহৰ পূৰণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰাকে মৌলিক উৎপাদকীকৰণ বোলা হয়। যেনে: ১২ = ২×২×৩। বা ৭=৭।

১২ক আমি এনেদৰেও লিখিব পাৰোঁ: \text{১২}={\text{২}}^{\text{২}}\times{\text{৩}}^{\text{১}} নতুবা এনেদৰেও: \text{১২}={\text{৩}}^{\text{১}}\times{\text{২}}^{\text{২}} ।

পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য (fundamental theorem of arithmetic বা unique factorization theorem বা unique-prime-factorization theorem):

১ত কৈ ডাঙৰ প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যাই এটা মৌলিক সংখ্যা নতুবা মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতৰ পূৰণফল; আৰু এই পূৰণৰ ৰূপটোত যদি মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ ক্ৰমটোক উপেক্ষা কৰা হয়, তেন্তে মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো এটা সংখ্যাৰ বাবে সদায় একেই।

উদাহৰণস্বৰূপে ১২ক আমি মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতৰ পূৰণফল ৰূপে দুইধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ: \text{১২}={\text{২}}^{\text{২}}\times{\text{৩}}^{\text{১}} আৰু \text{১২}={\text{৩}}^{\text{১}}\times{\text{২}}^{\text{২}} । এই ২ আৰু ৩ৰ ক্ৰম দুটা উপেক্ষা কৰিলে দুয়োটা ৰূপেই একেটা কথাই বুজাব। অৰ্থাৎ, ১২ক মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতৰ পূৰণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰাৰ উপায় এটায়েই: তাত সদায় ২ৰ ঘাত ২য়েই হ’ব আৰু ৩ৰ ঘাত ১য়েই হ’ব, বেলেগ কেতিয়াও নহয়।

এই উপপাদ্যটো এইদৰেও ক’ব পাৰি (দুয়ো ক্ষেত্ৰতে অৰ্থ একেটাই): প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক কিছুমান মৌলিক সংখ্যাৰ ঘাতৰ পূৰণফল ৰূপে অদ্বিতীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি; যদিহে মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ ক্ৰমটো বিবেচনা কৰা নহয়।

অংকৰ বিভিন্ন শাখাত মৌলিক উপপাদ্য আৰু আছে। যেনে: বীজগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য (fundamental theorem of algebra)।

পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা (relatively prime numbers বা co-primes বা mutually prime numbers):

দুটা সংখ্যাৰ সাধাৰণ উৎপাদক কেৱল ১ হ’লে সংখ্যা দুটাক পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা বোলে। যেনে: ৬ আৰু ৩৫ পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা।

অৰ্থাৎ, দুটা সংখ্যাৰ গঃসাঃউঃ ১ হ’লে সংখ্যা দুটাক পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা বোলে।

বৰ্গ সংখ্যা বা নিখুঁত বৰ্গ সংখ্যা বা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা (Square number or perfect square):

কোনো এটা অখণ্ড সংখ্যাক যদি আন এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি তেন্তে তাক বৰ্গ সংখ্যা বোলে। অৰ্থাৎ এটা বৰ্গ সংখ্যাক আন এটা সংখ্যাৰ ২ ঘাত ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনে: ১৪৪ এটা বৰ্গ সংখ্যা, কাৰণ \text{১৪৪} = {\text{১২}}^{\text{২}} । আটাইতকৈ সৰু বৰ্গ সংখ্যাটো হ’ল ০, কাৰণ \text{০} = {\text{০}}^{\text{২}} ।

ঘণ সংখ্যা (cube number or perfect cube):

কোনো এটা অখণ্ড সংখ্যাক যদি আন এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘণফল ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি তেন্তে তাক ঘণ সংখ্যা বোলে।

যেনে: ২৭ আৰু -৬৪। কাৰণ \text{২৭} = {\text{৩}}^{\text{৩}} ২৭= আৰু \text{-৬৪} = {\text{-৪}}^{\text{৩}} ।

[প্ৰশ্ন: আটাইতকৈ সৰু ঘণ সংখ্যাটো কি?

উত্তৰ: অনিৰ্ণেয়।]

[অবৈধ মৌলিক বা নিষিদ্ধ মৌলিক (illegal prime) বুলিও এবিধ মৌলিক সংখ্যা আছে। কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ বিশেষ শাখা কিছুমান অধ্যয়ন কৰিলে এনে সংখ্যা পাবা। অবৈধ সংখ্যা বা নিষিদ্ধ সংখ্যা (illegal number) বোলা এবিধ সংখ্যাৰ সংজ্ঞাও কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ সেই শাখাত দিয়া হৈছে।]

নিখুঁত সংখ্যা (perfect number):

যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সকলো ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকৰ যোগফল সংখ্যাটোৰ সমান হয়, তেনে সংখ্যাক নিখুঁত সংখ্যা বোলে।

যেনে: ৬ৰ উৎপাদকসমূহ হ’ল ৬, ৩, ২, ১, -১, -২, -৩ আৰু -৬। অৰ্থাৎ ৬ৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকসমূহ হ’ল ৩, ২, ১। আৰু ৩+২+১=৬। সেয়েহে ৬ এটা নিখুঁত সংখ্যা। ই আটাইতকৈ সৰু নিখুঁত সংখ্যা।

পৰৱৰ্তী নিখুঁত সংখ্যাটো হ’ল: ২৮। ২৮=১৪+৭+৪+২+১। আন নিখুঁত সংখ্যাসমূহ হ’ল ক্ৰমে: ৪৯৬, ৮১২৮, ৩৩৫৫০৩৩৬, …..।

[নিখুঁত সংখ্যা কিমান আছে, আৰু সকলো নিখুঁত সংখ্যায়েই যুগ্ম সংখ্যা নেকি সেই কথা এতিয়াও প্ৰমাণ কৰিব পৰা হোৱা নাই।]

সমৃদ্ধ সংখ্যা বা পুষ্ট সংখ্যা (abundant number):

যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সকলো ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকৰ যোগফল সংখ্যাটোতকৈ ডাঙৰ হয়, তেনে সংখ্যাক সমৃদ্ধ সংখ্যা বোলে।

যেনে: ১২। কাৰণ, ১২ৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকসমূহ হ’ল ৬, ৪, ৩, ২, ১। ৬+৪+৩+২+১=১৬>১২। ১২ আটাইতকৈ সৰু সমৃদ্ধ সংখ্যা।

পৰৱৰ্তী সমৃদ্ধ সংখ্যাসমূহ হ’ল: ১৮, ২০, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪০, ৪২, …..।

আটাইতকৈ সৰু অযুগ্ম সমৃদ্ধ সংখ্যাটো হ’ল ৯৪৫।

অভাৱী সংখ্যা (deficient number):

যি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সকলো ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকৰ যোগফল সংখ্যাটোতকৈ সৰু, তেনে সংখ্যাক অভাৱী সংখ্যা বোলে।

যেনে: ১০, ১১। ১০ৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকসমূহ হ’ল ৫, ২, ১। ৫+২+১=৮ < ১০।

আকৌ, ১১ৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদক হ’ল কেৱল ১। গতিকে ১১ অভাৱী সংখ্যা। এই উদাহৰণটো দেখাৰ লগে লগে তোমালোকৰ মনলৈ এটা প্ৰশ্ন আহিছেনে? সকলো মৌলিক সংখ্যাই অভাৱী সংখ্যা নেকি?

অনুশীলন: সকলো মৌলিক সংখ্যাই অভাৱী সংখ্যা হয় নে নহয় বিচাৰ কৰা।

[প্ৰশ্ন: আটাইতকৈ সৰু অভাৱী সংখ্যাটো কি?

(ওপৰৰ কথাখিনি পঢ়াৰ পাছত তোমালোকে এই প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰটো কিমান সোনকালে উলিয়াব পাৰিলা নিজে পৰীক্ষা কৰা। উত্তৰটো কেৱল সাধাৰণ বুদ্ধি খটুৱাই পটকৈ পৰিলা নে প্ৰথমে মিছাকৈ বহুখিনি অংক কৰি থকাৰ পিছতহে সাধাৰণ বুদ্ধিটো মনলৈ আহিল নিজে মন কৰা। আৰু তুমি শুদ্ধ উত্তৰটো পোৱাৰ পিছত, সেইটো যে শুদ্ধ উত্তৰ হ’ব তাক যুক্তিৰে আৰু খুৱ কম কথাৰে আনক পতিয়ন নিয়াব পৰাকৈ লিখি পেলোৱা।)

উত্তৰটো ইয়াত দিয়া হৈছে →।]

ফেক্টৰিয়েল বা ক্ৰমগুণিত (factorial):

n এটা পূৰ্ণ সংখ্যা হ’লে, n আৰু nতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাসমূহৰ পূৰণফলক nৰ ফেক্টৰিয়েল বুলি কোৱা হয়। ইয়াক n! ৰ সহায়ত বুজোৱা হয়। যেনে: ৫! = ১.২.৩.৪.৫ = ১২০।

মাৰ্চিন সংখ্যা (Mersenne number):

যিকোনো এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা nৰ বাবে, {\text{২}}^{\text{n}}-\text{১} আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব পৰা সংখ্যাক মাৰ্চিন সংখ্যা বোলে। আৰু সেই সংখ্যাটোক M_n ৰে বুজোৱা হয়।

যেনে: ৩, ৭, ১৫, ৩১, ….। অৰ্থাৎ M_{\text{২}} = ৩, M_{\text{৩}} = ৭, M_{\text{৪}} = ১৫, …..।

মাৰ্চিন মৌলিক (Mersenne prime):

যিবোৰ মাৰ্চিন সংখ্যা মৌলিক সেইবোৰক মাৰ্চিন মৌলিক বোলে। যেনে: ৩, ৭, ৩১, ১২৭, ৮১৯১,….। অৰ্থাৎ M_{\text{২}} , M_{\text{৩}} , M_{\text{৫}} , M_{\text{৭}} , M_{\text{১৩}} , …..।

মন কৰিবা: M_{\text{n}} = {\text{২}}^{\text{n}}-\text{১} ত nটো যদি মৌলিক হয়, তেতিয়াও M_{\text{n}} টো মৌলিক নহ’ব পাৰে, অৰ্থাৎ n মৌলিক হ’লেও M_{\text{n}} মাৰ্চিন মৌলিক নহ’ব পাৰে। যেনে: M_{\text{১১}} ত ১১টো মৌলিক, কিন্তু M_{\text{১১}} মৌলিক নহয়। কাৰণ M_{\text{১১}} = ২০৪৭ = ২৩ × ৮৯।

মেৰিন মাৰ্চিন (Marin Marsenne) নামৰ গণিতজ্ঞ এজনৰ নামেৰে এই নাম দুটা দিয়া হৈছে।

২০১৭ চনলৈকে মাথোঁ ৫০টা মাৰ্চিন মৌলিক আৱিষ্কাৰ কৰা হৈছে। ৫০ নম্বৰৰ মাৰ্চিন মৌলিকটো হ’ল M_{\text{৭৭২৩২৯১৭}} । আৰু এইটোৱেই হ’ল এতিয়ালৈকে আৱিষ্কাৰ হোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাটোৱো। অৰ্থাৎ এতিয়ালৈকে আৱিষ্কাৰ হোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাটো হ’ল {\text{২}}^{\text{৭৭২৩২৯১৭}}-\text{১} ।

পেলিনড্ৰম সংখ্যা (palindrome number):

যিবোৰ সংখ্যা সচৰাচৰ পঢ়াৰ ধৰণতকৈ বিপৰীত ফালৰ পৰা, অৰ্থাৎ সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ পঢ়িলেও একেই হয় সেইবোৰক পেলিনড্ৰম সংখ্যা বা পেলিনড্ৰম বোলে। যেনে: ২১৩১২, ৯৯, ৬।

[আকৌ, যিবোৰ শব্দ, বাক্য বা ছন্দ সচৰাচৰ পঢ়াৰ ধৰণতকৈ বিপৰীত ফালৰ পৰা, অৰ্থাৎ সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ পঢ়িলে একেই হয় সেইবোৰকো পেলিনড্ৰম বোলে। যেনে: Refer, level, নৱজীৱন, মৰম, তলত, কনক, মলম, কাজিৰঙাৰ জিকা, डालडा ইত্যাদি।]

পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যা (palindromic prime):

যিবোৰ মৌলিক সংখ্যা পেলিনড্ৰম সংখ্যাও সেইবোৰক পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যা বোলা হয়। যেনে: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১০১, ১৩১ ইত্যাদি।

ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা (triangular number):

কিছু সংখ্যক একে আকৃতিৰ বস্তু লৈ সেইসমূহেৰে আমি একোটা সুষম বহুভূজ গঠন কৰি সজাই ৰাখিব পাৰোঁ। বৰ্গ, সমবাহু ত্ৰিভূজ আদি সুষম বহুভূজৰ উদাহৰণ। চাৰিটা বল দুটা দুটাকৈ শাৰী পাতি থৈ আমি এটা বৰ্গ গঠন কৰিব পাৰোঁ (তলৰ চিত্ৰ – ক)। একেদৰে নটা বল লৈ তিনিটা তিনিটাকৈ শাৰী পাতি থৈ এটা বৰ্গ গঠন কৰিব পাৰোঁ (তলৰ চিত্ৰ – খ)। মাৰ্চপাষ্ট কৰোঁতে সৈনিকসকলক আয়তাকাৰ আৰ্হিত সজোৱা নিশ্চয় দেখিছা। নতুবা বজাৰত আপেল, কণী আদি বিভিন্ন ধৰণে একোটা আৰ্হিত সজাই ৰখা নিশ্চয় দেখিছা। ওপৰত আমি পাই আহিছোঁ যে ৪ আৰু ৯ বৰ্গ সংখ্যা। গতিকে এতিয়া আমি দেখিলোঁ: বৰ্গ সংখ্যাৰ লগত জ্যামিতিৰ বৰ্গক্ষেত্ৰৰো কিবা সংযোগ আছে।

এইদৰেই কিছুমান সংখ্যাক আন কিছুমান সুষম বহুভূজ বা সুষম আকৃতিত সজাব পাৰি।

যিবোৰ সংখ্যাক এইদৰে সমবাহু ত্ৰিভূজ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি সেইবোৰক ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা বোলে। ত্ৰিভূজীয় সংখ্যাসমূহ হ’ল ক্ৰমে: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬, ৪৫, ….।

তলৰ চিত্ৰত প্ৰথম ছটা ত্ৰিভূজীয় সংখ্যাক একেলগে দেখুওৱা হৈছে।

এই চিত্ৰটো তলৰ পিনৰ পৰা চাই যোৱা। প্ৰথমে অকল এটা শাৰী চোৱা, মানে একেবাৰে তলৰ শাৰীটো চোৱা। তাত অকল এটা বল আছে।

তাৰ পাছত একেলগে তলৰ দুটা শাৰী চোৱা। দুয়োটা শাৰী মিলাই তিনিটা বল আছে, আৰু সিহঁতেও এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ গঠন কৰিছে। গতিকে ৩ এটা ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা।

এইবাৰ তলৰ তিনিটা শাৰী চোৱা। মুঠ ৬টা বল আছে, আৰু সিহঁতেও এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ গঠন কৰিছে। গতিকে ৬টোৱো এটা ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা। এইদৰে আমি শাৰী বঢ়াই গৈ থাকিব পাৰিম।

[এইটো আৰ্হিতে আমি তলৰ সংজ্ঞাত দিয়া অন্য সংখ্যাবোৰো গঠন কৰিম।]

ত্ৰিভূজীয় সংখ্যাসমূহ \frac{n(n+\text{১})}{\text{২}} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। সেয়েহে ত্ৰিভূজীয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞাটো এনেদৰেও দিয়া হয়:

যিবোৰ সংখ্যাক \frac{n(n+\text{১})}{\text{২}} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেনে সংখ্যাক ত্ৰিভূজীয় সংখ্যা বোলে।

পঞ্চভূজীয় সংখ্যা (pentagonal number):

যিবোৰ সংখ্যাক \frac{n(\text{৩}n-\text{১})}{\text{২}} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেনে সংখ্যাক পঞ্চভূজীয় সংখ্যা বোলে। পঞ্চভূজীয় সংখ্যাসমূহ হ’ল ক্ৰমে: ১, ৫, ১২, ২২, ৩৫, ৫১, ৭০, …..।

এই সংখ্যাবোৰক সুষম পঞ্চভূজ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। তলৰ চিত্ৰত প্ৰথম ছটা পঞ্চভূজীয় সংখ্যা দেখুওৱা হৈছে।

পঞ্চভূজীয় সংখ্যাসমূহক আন এক ধৰণেও, তলত দিয়া দৰে সজাব পাৰি। তলৰ চিত্ৰত প্ৰথম চাৰিটা পঞ্চভূজীয় সংখ্যা দেখুওৱা হৈছে। ইয়াত একেবাৰে তলৰ বাওঁপিনৰ পৰা চিত্ৰটো চাবা।

চতুস্ফলকীয় সংখ্যা (tetrahedral (pyramidal) number) :

যিবোৰ সংখ্যাক \frac{n(n+\text{১})(n+\text{২})}{\text{৬}} আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেনে সংখ্যাক চতুস্ফলকীয় সংখ্যা বোলে। চতুস্ফলকীয় সংখ্যাসমূহ হ’ল ক্ৰমে: ১, ৪, ১০, ২০, ৩৫, ৫৬,….।

এই সংখ্যাবোৰক সুষম ত্ৰিভূজীয় পিৰামিড ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। তলত প্ৰথম চাৰিটা চতুস্ফলকীয় সংখ্যা দেখুওৱা হৈছে। চিত্ৰটো ওপৰৰ পৰা ক্ৰমে চাই যাবা।

ক্ষমতাশালী সংখ্যা (powerful number):

একোটা অখণ্ড সংখ্যা nক ক্ষমতাশালী সংখ্যা বোলা হয়, যদিহে nৰ প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদক pৰ বাবে, nক {\text{p}}^{\text{২}} ৰেও হৰণ যায়। যেনে: ১, ৪, ৩৬। ৩৬ৰ মৌলিক উৎপাদককেইটা হ’ল ২ আৰু ৩। ৩৬ এটা ক্ষমতাশালী সংখ্যা, কাৰণ ৪ আৰু ৯ৰেও তাক হৰণ যায়।

আয়তাকাৰ সংখ্যা (rectangular number বা pronic number বা heteromecic number):

যিবোৰ সংখ্যা দুটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ পূৰণফল ৰূপত থকে সেইবোৰক আয়তাকাৰ সংখ্যা বোলে। যেনে: ২, ৬, ১২, ২০, ৩০, ৪২, ….। অৰ্থাৎ এই সংখ্যাবোৰ n(n+১) আৰ্হিত থাকে, য’ত n স্বাভাৱিক সংখ্যা।

Repunit সংখ্যা (repunit number):

যিবোৰ সংখ্যাৰ প্ৰতিটো অংক ১ সেইবোৰকে repunit সংখ্যা বোলে। যেনে: ১, ১১, ১১১, ১১১১, ….। ইয়াৰ repunit শব্দটো repeated আৰু unitক লগ লগাই গঠন কৰা হৈছে।

বৰ্গমুক্ত সংখ্যা (square-free number):

যিবোৰ সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকত ভাঙিলে কোনো এটা উৎপাদকেই এবাৰতকৈ বেছি নাথাকে সেইবোৰ সংখ্যাক বৰ্গমুক্ত সংখ্যা বোলে। যেনে: ১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১১, ১৩, ১৪, ১৫, ১৭, ১৯, ২১, ২২, ……।

ইহঁতক ১ৰ বাহিৰে কোনো বৰ্গ সংখ্যাৰে হৰণ নাযায়।

যমজ মৌলিক সংখ্যা (twin prime বা twin prime number):

যদি এটা মৌলিক সংখ্যাতকৈ ২ ডাঙৰ বা ২ সৰু আন এটা মৌলিক সংখ্যা থাকে, তেন্তে তাক যমজ মৌলিক সংখ্যা বোলে। অৰ্থাৎ a এটা যমজ মৌলিক সংখ্যা হ’লে a+২ বা a-২ মৌলিক সংখ্যা হ’ব। যেনে: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৯, ৩১, …..।

যমজ মৌলিকৰ যোৰ বিলাকক কেতিয়াবা এইদৰেও লিখা হয়: (৩, ৫) , (৫, ৭) , (১১, ১৩) , (১৭, ১৯) , (২৯, ৩১) , …..।

সুহৃদ সংখ্যা বা বন্ধু সংখ্যা (amicable number):

এটা সংখ্যা nৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকবোৰৰ যোগফল যদি আন এটা সংখ্যা mৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকবোৰৰ যোগফলৰ সমান হয়, তেন্তে n আৰু mক সুহৃদ যোৰ বা বন্ধুত্বপূৰ্ণ যোৰ (amicable pair) বোলে। আৰু তেতিয়া এই দুয়োটা সংখ্যাকে এটা এটা সুহৃদ সংখ্যা বোলে। সুহৃদ যোৰৰ উদাহৰণ: (২২০, ২৮৪) , (১১৮৪, ১২১০) , (২৬২০, ২৯২৪) , …..।

স্পৰ্শাতীত সংখ্যা (untouchable number):

যিবোৰ সংখ্যাক কোনো সংখ্যাৰেই ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকবোৰৰ যোগফলৰূপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি তেনে সংখ্যাক স্পৰ্শাতীত সংখ্যা বোলে। যেনে: ২, ৫, ৫২, ৮৮, ৯৬, ১২০, ….।

২ সংখ্যাটো চালে আমি দেখিম: ইয়াক কেৱল ১+১ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। পৃথক পৃথক ধণাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল ৰূপে ইয়াক প্ৰকাশ কৰিবই নোৱাৰি। গতিকে ইয়াক কোনো সংখ্যাৰে ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদকবোৰৰ যোগফল ৰূপে পোৱা নাযায়।

সেইদৰে, ৫ক ১+৪ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ইয়াতকৈ বেলেগ পৃথক পৃথক সংখ্যাৰ যোগফল ৰূপে ৫ক প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। এতিয়া কথা হ’ল, ১ আৰু ৪ কোনোবা সংখ্যাৰ উৎপাদক হ’লে সেই সংখ্যাটো যুগ্ম হ’ব, কাৰণ সংখ্যাটোক ৪ ৰে হৰণ গৈছে। গতিকে সেই সংখ্যাটোৰ আন এটা প্ৰকৃত উৎপাদক ২ হ’ব। গতিকে, সংখ্যাটোৰ আটাইকেইটা ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদক যোগ কৰিলে আমি ৫ কৈ বেছি পাম। গতিকে ৫ স্পৰ্শাতীত সংখ্যা।

কিন্তু ৭ক আমি ১+২+৪ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ, আৰু এইকেইটা হ’ল ৮ৰ ধণাত্মক প্ৰকৃত উৎপাদক। গতিকে ৭ স্পৰ্শাতীত নহয়।

৫টো একমাত্ৰ অযুগ্ম স্পৰ্শাতীত সংখ্যা নেকি, সেই কথা এতিয়াও প্ৰমাণ কৰিব পৰা হোৱা নাই।

পৰম মান (absolute value বা modulus):

যিকোনো এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰ মানটোক সংখ্যাটোৰ পৰম মান বোলে। যেনে: ৫ৰ মানটো ৫য়েই। কিন্তু -৫ৰ মানটো ৫। অৰ্থাৎ ঋণাত্মক সংখ্যা এটাৰ ঋণাত্মক চিনটো আঁতৰালে যিটো সংখ্যা পোৱা যায় সিয়েই তাৰ পৰম মান। এটা সংখ্যা aৰ পৰম মানক |a| ৰে বুজুৱা হয়।

পৰম মানৰ সংজ্ঞাটো এনেদৰে দিব পাৰি:

|a| = a যদিহে a≥০, নতুবা -a যদিহে a<০।

মন কৰিবা: পৰম মানৰ এই সংজ্ঞাটো কেৱল বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবেহে। আগলৈ বহুত বেলেগ বেলেগ সংখ্যা পাবা, সেইবোৰৰ পৰম মানৰ সংজ্ঞা বেলেগ হ’ব। সকলো সংখ্যাৰ বাবেই হোৱাকৈ পৰম মানৰ সাধাৰণ সংজ্ঞাও হয়তো কেতিয়াবা পাবাগৈ।

পৰম মানৰ কেইটামান ধৰ্ম:

ক) |ab| = |a| |b|

খ) |a+b| ≤ |a| + |b|

গ) |a-b| = ০ ⇔ a=b

ঘ) |a-b| ≥ | |a| – |b| |

ঙ) |\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}

চ) |a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b

ছ) |a| ≥ b ⇔ a ≥ b নতুবা a ≤ -b

দ্বিঘাত সূত্ৰ (quadratic formula):

ax^{\text{২}}+bx+c=\text{০} এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ, য’ত a শূন্য নহয়। এই সমীকৰণটোৰ মূল দুটা হ’ব—

\frac{-b\pm\sqrt{b^{\text{২}}-\text{৪}ac}}{\text{২}a}

দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূল দুটাৰ ধৰ্ম:

সূত্ৰটোত থকা b^{\text{২}}-\text{৪}ac ৰাশিটোক সমীকৰণটোৰ নিৰূপক (discriminant) বোলে।

১) যদি b^{\text{২}}-\text{৪}ac > ০, তেন্তে মূল দুটা বাস্তৱ আৰু অসমান।

২) যদি b^{\text{২}}-\text{৪}ac = ০, তেন্তে মূল দুটা বাস্তৱ আৰু সমান।

৩) যদি b^{\text{২}}-\text{৪}ac < ০, তেন্তে সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল নাথাকে।

সমান্তৰ প্ৰগতি (arithmetic progression):

কিছুমান সংখ্যা যদি এই আৰ্হিত থাকে:

a , (a+d) , (a+২d) , (a+৩d) , ……

তেন্তে সিহঁতক সমান্তৰ প্ৰগতিত থকা বুলি কোৱা হয়।

ইয়াত, aক প্ৰথম পদ আৰু dক সাধাৰণ অন্তৰ (common difference) বোলে।

* সমান্তৰ প্ৰগতি এটাৰ প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d হ’লে,

প্ৰগতিটোৰ nতম পদটো হ’ব a + (n-১)d [ইয়াক প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ পদ (general term) বুলিও কোৱা হয়।]

প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল হ’ব \frac{n}{\text{২}} [২a + (n-১)d]

* যদি সমান্তৰ প্ৰগতি এটাৰ প্ৰথম পদ a আৰু nতম পদটো b হয়, তেন্তে প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল হ’ব \frac{n}{\text{২}} (a + b)

* ১ + ২ + ৩ + …. + n = (n/২)(n + ১)

* যদি a, b, c সমান্তৰ প্ৰগতিত থকা ক্ৰমিক তিনিটা পদ, তেন্তে b = \frac{n}{\text{২}} (a + c)। আৰু bক a আৰু cৰ সমান্তৰ মাধ্য (arithmetic mean) বোলে।

গুণোত্তৰ প্ৰগতি (geometric progression):

a , ar , ar^{\text{২}} , ar^{\text{৩}} , ar^{\text{৪}} , \dots

এইটো এটা গুণোত্তৰ প্ৰগতি। ইয়াত aক প্ৰথম পদ আৰু rক সাধাৰণ অনুপাত (common ratio) বোলে।

* গুণোত্তৰ প্ৰগতি এটাৰ প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অনুপাত r হ’লে,

প্ৰগতিটোৰ nতম পদটো হ’ব ar^{(n-\text{১})}

প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল হ’ব a(\frac{\text{১}-r^n}{\text{১}-r}) , যদিহে r ≠ ১।

* যদি a, b, c গুণোত্তৰ প্ৰগতিত থকা তিনিটা ক্ৰমিক পদ, তেন্তে b=\sqrt{ac} । আৰু bক a আৰু cৰ গুণোত্তৰ মাধ্য (geometric mean) বোলে।

* a + ar + ar^{\text{২}} + ar^{\text{৩}} + ar^{\text{৪}} + \dots = \frac{a}{\text{১}-r} , যদিহে -১ < r < ১। [মন কৰিবা: ইয়াত অসীমলৈ যোগ কৰা হৈছে]

টোকা:

১) “সংখ্যা” বুলি কওঁতে আমি প্ৰায়ে মনত ৰাখিব লগা হয় কোনবোৰ সংখ্যাৰ কথা কোৱা হৈছে। যদি কওঁ “এটা সংখ্যাক ২ৰে হৰণ গ’লে তাক যুগ্ম সংখ্যা বোলে”, এই বাক্যটোত “সংখ্যা” বুলি কোৱা লগে লগে কেৱল “স্বাভাৱিক সংখ্যা” বা “অখণ্ড সংখ্যা” বুজোৱা হৈছে। ইয়াত ভগ্নাংশবোৰ আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাবোৰ বুজুৱা নাই বুলি আমি বুজি পাব লাগিব। কাৰণ অপৰিমেয় সংখ্যাৰ উৎপাদক বুলি একো বস্তু নাই। আকৌ যদি কোৱা হয় “এটা সংখ্যাৰ পৰম মানটো, সেই সংখ্যাটোৰ ঋণাত্মক মানৰ পৰম মানৰ সমান”, তেতিয়া বুজিব লাগিব যে গোটেই বাস্তৱ সংখ্যাৰ কথাই কোৱা হৈছে। এনেকুৱা বহুত কথা মন নকৰিলে বিষয়টো বুজাত অসুবিধা হয়। সাধাৰণ কথাবতৰাত আমি এনেকুৱা কথাবোৰ সহজেই বুজি পাওঁ। যেনে: “মানুহঘৰৰ কুঁৱাটো বহুত দূৰত আছে” বুলি ক’লে তুমি নিশ্চয় বুজি পাবা যে কুঁৱাটো কেইশ মিটাৰমান দূৰত আছে চাগে। আকৌ “দোকানখন বহুত দূৰত আছে” বুলি ক’লে নিশ্চয় এক কিলোমিটাৰমান দূৰত আছে বুলি তুমি অনুমান কৰিবা। তেনেকৈ “আমেৰিকা বহুত দূৰত আছে” বুলি ক’লে হাজাৰ হাজাৰ কিলোমিটাৰ দূৰত আছে বুলি ভাবিবা। একেটা “দূৰ” শব্দটোৰেৰে বেলেগ বেলেগ পৰিমাণৰ কথা তুমি ভাবিব লগা হৈছে!

২) “যদি a এটা বাস্তৱ সংখ্যা আৰু সি শূন্য নহয়, তেন্তে a/a এটা বাস্তৱ সংখ্যা”। এই বাক্যটো আমি এনেকৈয়ো ক’ব পাৰোঁ: “যদি a এটা অশূন্য বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে a/a এটা বাস্তৱ সংখ্যা”। এই “অশূন্য” শব্দটোৱে “শূন্য নহয়” বুজাইছে।