23 Jul গণিত পাঠ – ৫ : পেমদাস আৰু বদমাছ

যদি কেইবাটাও সংখ্যা আমাক যোগ কৰিবলৈ দিয়া হয়, তেন্তে আমি গোটেই যোগসমূহ একেসময়তে কৰিব পাৰোঁ জানো? ধৰা, তোমাক এই যোগফলটো নিৰ্ণয় কৰিবলৈ দিয়া হৈছে: উদাহৰণ-ক: ১ + ৭ + ৬ + ৩। এই চাৰিওটা সংখ্যাৰ যোগ তুমি একে সময়তে কৰা জানো? সদায় এনেকুৱা সৰু-সুৰা যোগ কৰি থকা বাবে এই যোগফলটো তুমি তৎক্ষণাত উলিয়াব পাৰিবা; সেইবাবে ইয়াত যোগসমূহ তুমি একে সময়তে কৰা যেন অনুভৱ হ’ব পাৰে। কিন্তু সেইটো নহয়। আচলতে, তুমি প্ৰথমে ইয়াৰ যিকোনো দুটাহে যোগ কৰিছা; আৰু সেই দুটা যোগ কৰি যিটো ফল পালা তাৰ লগত আন এটা সংখ্যা যোগ কৰিছা। এনেদৰে দুটা দুটাকৈ যোগ কৰি গৈ থাকা আচলতে।

যদি তুমি বাওঁপিনৰ পৰা কৰা, তেন্তে প্ৰথমে ১ৰ লগত ৭ যোগ কৰি ৮ পালা। তাৰপাছত ৮ৰ লগত ৬ যোগ কৰিলা; ১৪ পালা। ১৪ৰ লগত ৩ যোগ কৰিলা, উত্তৰটো ১৭ পালা। কামটো এনেধৰণৰ:

১ + ৭ + ৬ + ৩ = ৮ + ৬ + ৩ = ১৪ + ৩ = ১৭

নতুবা তুমি মাজৰ পৰা যিকোনো দুটা ল’ব পাৰা। ধৰা ৭ + ৬ = ১৩ নতুবা ১ + ৩ = ৪ নতুবা ১৩ + ৪ = ১৭। তাৰপাছত বাকীকেইটা যোগ কৰিলা। এইদৰে কৰিও তুমি কেতিয়াবা উত্তৰটো উলিওৱা।

আকৌ, একেবাৰে সোঁপিনৰ পৰা বাওঁপিনলৈ কৰি গ’লেও একেটা উত্তৰেই পাবা।

১ + ৭ + ৬ + ৩ = ১ + ৭ + ৯ = ১ + ১৬ = ১৭

এই উদাহৰণটোত কেৱল যোগ আছে বাবে এইটো সহজ। মাথোঁ এটা চিহ্ন থকা বাবেই ই কিউপিনৰ পৰা একেটাই উত্তৰ দিয়ে। কিন্তু যদি যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আদি মিহলি হৈ থাকে তেন্তে আমি চাৰিটা কথা মানিব লগা হয়। সৰু সৰু মাথোঁ চাৰিটা কথা। কাৰণ, যেনিতেনি কৰিলে উত্তৰবোৰ বেলেগ ওলাব। দোকানত তোমাৰ কিবা লাভ হ’বলগীয়া আছে, কিন্তু অংকটো নজনা বাবে তুমি লোকচান ভৰি ঘৰলৈ উভটিব লাগিব। দোকানীয়ে জানিশুনি বা নজনাকৈয়ে এনেকুৱা ভুল কৰি গ্ৰাহকক হাৰাশাস্তি কৰে কেতিয়াবা।

এই উদাহৰণটো চোৱা: উদাহৰণ-খ: ১২ – ২ + ৪।

এইটো প্ৰথমে বাওঁপিনৰ পৰা কৰি চোৱা:

১২ – ২ + ৪ = ১০ + ৪ = ১৪

এইবাৰ সোঁপিনৰ পৰা কৰা:

১২ – ২ + ৪ = ১২ – ৬ = ৬

এতিয়া, শুদ্ধ উত্তৰটো ৬ নে ১৪? দোকানীয়ে তোমাক ঘূৰাই দিব লাগিছিল ১৪ টকা, কিন্তু ভুলকৈ অংকটো কৰি তোমাক দিলে মাথোঁ ৬ টকা। তোমাৰ লোকচান হ’ল।

আন এটা উদাহৰণ চোৱা: উদাহৰণ-গ: ১২ ÷ ২ × ৪

বাওঁপিনৰ পৰা কৰিলে: ১২ ÷ ২ × ৪ = ৬ × ৪ = ২৪

সোঁপিনৰ পৰা কৰিলে: ১২ ÷ ২ × ৪ = ১২ ÷ ৮ = ৩/২

ইয়াত শুদ্ধ উত্তৰটো হ’ল: ২৪। মানে, বাওঁপিনৰ পৰা কৰাটো শুদ্ধ।

কিন্তু এইটো উদাহৰণ চোৱা: উদাহৰণ-ঘ: ১২ – ২ × ৪

বাওঁপিনৰ পৰা কৰিলে: ১২ – ২ × ৪ = ১০ × ৪ = ৪০

সোঁপিনৰ পৰা কৰিলে: ১২ – ২ × ৪ = ১২ – ৮ = ৪

ইয়াত কিন্তু শুদ্ধ উত্তৰটো ৪ হে, ৪০ নহয়।

এইখিনি কিয় ওল্টা-পোল্টা হৈছে, সেয়া জানিবলৈ এতিয়া আমি নিৰ্দিষ্ট নিয়মটো শিকিম, য’ত মাথোঁ চাৰিটা কথা আছে। বীজগণিতীয় ৰাশি একোটাৰ মান উলিয়াওতেও এই নিয়মটো প্ৰয়োজন হয়। সংখ্যাৰ যোগ-বিয়োগ-পূৰণ-হৰণৰ এই অতি সহজ আৰ্হিটো আয়ত্ব কৰি নোলোৱা বাবে বীজগণিতো বহুতে টান পায়। আনহাতে, কম্পিউটাৰে একোটা আৰ্হিত স্তৰে স্তৰে কামবোৰ কৰি যায়। আমি স্ক্ৰীণত উত্তৰবোৰ সহজে পাওঁ, কিন্তু কম্পিউটাৰে ভিতৰত কামবোৰ কৰিবলৈ আৰ্হিটো মানুহে কষ্টৰে প্ৰস্তুত কৰিব লগা হয়। যোগ-বিয়োগ-পূৰণ-হৰণৰ এই আৰ্হি কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীকো বহুত প্ৰয়োজন হয়। এই অংকবোৰে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ নিৰীক্ষণ ক্ষমতাও প্ৰমাণ কৰে বাবে বেংক, ৰেলৱে আদিৰ পৰীক্ষাতো এনেকুৱা অংক আহে। নিয়মটোত থকা অতি সহজ চাৰিটা কথা আয়ত্ব নকৰা বাবেই পিছলৈ বহুতৰ সমস্যা হয়।

নিয়মটো:

যোগ, বিয়োগ, পূৰণ, হৰণ, ব্ৰেকেট আৰু সূচক যেতিয়া একেলগে থাকে, তেতিয়া অংকবোৰ তলৰ ক্ৰমটো মতে কৰি যাব লাগে:

১) ব্ৰেকেট আৰু সূচক (আৰু মূল)

২) পূৰণ আৰু হৰণ

৩) যোগ আৰু বিয়োগ

আৰু চাৰি নম্বৰৰ কথাটো হ’ল: অংকটোৰ যিটো অংশ আমি কৰিবলৈ লৈছোঁ সেইটো সদায় বাওঁপিনৰ পৰা কৰিব লাগে।

এটা উদাহৰণ দিলে কথাখিনি সহজ হ’ব:

উদাহৰণ-ঙ: ৮৩ – (৬ × {\text{৫}}^{\text{২}} + ৩) + ৯০

ইয়াত যোগ, বিয়োগ, পূৰণ, ব্ৰেকেট আৰু সূচক আছে।

এতিয়া নিময়টোলৈ চোৱা। নিয়মটোৰ মতে আমি ব্ৰেকেট আৰু সূচকৰ কাম প্ৰথমে কৰিব লাগিব। আৰু নিয়মটোত ব্ৰেকেট আৰু সূচকক একেলগে দিয়া হৈছে। সেয়েহে ইহঁত দুটাৰ মাজত কোনো অগ্ৰাধিকাৰ নাই, সুবিধা মতে কৰি গ’লেই হ’ল। সুবিধাটো কেনেকৈ হয়, সেইটো নিজে চাব লাগিব। গতিকে,

৮৩ – (৬ × {\text{৫}}^{\text{২}} + ৩) + ৯০

= ৮৩ – (৬ × ২৫ + ৩) + ৯০

এতিয়া আমি যিটো পালোঁ তাতো ব্ৰেকেট আছেই। সেয়েহে আমি ব্ৰেকেটৰ ভিতৰৰ অংকখিনি প্ৰথমে কৰিব লাগিব। ব্ৰেকেটটোৰ ভিতৰত পূৰণ আৰু যোগ আছে। এতিয়া আমি নিয়মটো আকৌ চালে দেখিম: নিয়মটোত পূৰণ দুই নম্বৰত আছে, যোগ তিনি নম্বৰত আছে। সেয়েহে, পূৰণ প্ৰথমে কৰিব লাগিব, তাৰ পাছত যোগ। গতিকে,

৮৩ – (৬ × {\text{৫}}^{\text{২}} + ৩) + ৯০

= ৮৩ – (৬ × ২৫ + ৩) + ৯০

= ৮৩ – (১৫০ + ৩) + ৯০

= ৮৩ – ১৫৩ + ৯০

এতিয়া কেৱল যোগ আৰু বিয়োগ আছে। বহুতে এইখিনিতে ভুল কৰে। ইয়াত আমি যোগটো প্ৰথমে আৰু বিয়োগটো দ্বিতীয়ত কৰিব নালাগে। কাৰণ ওপৰত দিয়া নিয়মটোত যোগ আৰু বিয়োগ একে স্থানত আছে; ইয়াত কাৰোৰে অগ্ৰাধিকাৰ নাই। সেয়েহে আমি বাওঁপিনৰ পৰা অংকটো কৰি যাম। গতিকে,

৮৩ – (৬ × {\text{৫}}^{\text{২}} + ৩) + ৯০

= ৮৩ – ১৫৩ + ৯০

= – ৭০ + ৯০

= ২০

আন এটা উদাহৰণ: উদাহৰণ-চ: ৪৮ ÷ ২ (৯ + ৩)

এই অংকটো কৰিবলৈ ইণ্টাৰনেটত বহুতে যুঁজি থাকে। কিছুমান নেটৱৰ্কিং ছাইটৰ পে’জত জমনি কৰি কয় যে এইটো ৯৯ শতাংশ মানুহেই শুদ্ধকৈ কৰিব নোৱাৰে। কিছুমানে আকৌ কয়, এইটো যিসকলে কৰিব পাৰিব তেওঁলোক গণিতৰ জিনিয়াছ। এইটো কৰিব পাৰিলেই কোনো জিনিয়াছ নহয়, কাৰণ এইটো তেনেই সহজ কাম, জিনিয়াছ ইমান সহজে বোলাব নোৱাৰি। কিন্তু বহুতেই এইটো সঁচাকৈয়ে ভুল কৰে। ইণ্টাৰনেটত বহুত ঘূৰি ফুৰা এনেকুৱা উদাহৰণ আৰু তিনিটা তলত দিম। এতিয়া এই অংকটো কৰিবলৈ তুমি ওপৰৰ নিয়মটোলৈ চোৱা, আৰু সেইমতে কৰি যোৱা:

৪৮ ÷ ২ (৯ + ৩)

= ৪৮ ÷ ২ (১২)

= ৪৮ ÷ ২ × ১২  [ওপৰৰ শাৰীটোৱে এইটো কথাকে বুজুৱা নাই জানো? আমি মাথোঁ পূৰণ চিনটো মাজত বুজিবলৈ দি লৈছোঁ। বুজি পালে চিনটো নিদিলেও হয়।]

= ২৪ × ১২     [বাওঁপিনৰ পৰা অংকটো কৰি গৈ এইটো পালোঁ।]

= ২৮৮

এইটোৱেই শুদ্ধ উত্তৰ।

এই অংকটোত বহুতে যে ভুল কৰে, ভুলটো ক’ত কৰে বাৰু? তেওঁলোকে ভুলটো ইয়াৰ দ্বিতীয় শাৰীটোত কৰে। ২ (১২) এই অংশটো দেখাৰ লগে লগে তেওঁলোকে প্ৰথমে পূৰণটো কৰি দিয়ে। তেওঁলোকে ব্ৰেকেটটো দেখি পূৰণ কৰি দিয়ে। কিন্তু, নিয়ম মতে ব্ৰেকেটৰ ভিতৰৰ কামখিনিহে প্ৰথমে কৰিব লাগে। ইয়াত ২ টোতো ব্ৰেকেটৰ ভিতৰত নাই, গতিকে সেইটো প্ৰথমে পূৰণ কৰি দিয়াটো ভুল। মানে, তেওঁলোকে অংকটো কৰে এনেকৈ:

৪৮ ÷ ২ (৯ + ৩)

= ৪৮ ÷ ২ (১২)

= ৪৮ ÷ ২৪

= ২ , এইটো ভুল উত্তৰ।

নিয়মটো মনত ৰখাৰ উপায়:

এই অংকবোৰ কৰোঁতে ক্ৰমটো হ’ল: ব্ৰেকেট আৰু সূচক, পূৰণ আৰু হৰণ, যোগ আৰু বিয়োগ।

ইংৰাজীত:

parenthesis and exponent, multiplication and division, addition and subtraction. [parenthesisৰ অৰ্থ ব্ৰেকেট, আৰু exponentৰ অৰ্থ সূচক।]

নতুবা

bracket and order, division and multiplication, addition and subtraction. [ইয়াত order মানে ঘাত বুজুৱা হৈছে। ঘাত দুই হ’লে বৰ্গ, তিনি হ’লে ঘণ, আধা হ’লে বৰ্গমূল….। আৰু হৰণ-পূৰণৰ মাজত অগ্ৰাধিকাৰ নাই। গতিকে “পূৰণ আৰু হৰণ” বুলিলে যিটো হ’ব, “হৰণ আৰু পূৰণ” বুলিলেও একেটাই কথা। সুবিধাৰ বাবে division and multiplication লিখা হৈছে।]

দুয়ো ক্ষেত্ৰতে প্ৰথম আখৰখিনি ল’লে পাম:

P, e, m, d, a, s নতুবা b, o, d, m, a, s

ইহঁতৰ পৰা আমি দুটা শব্দ পাম: Pemdas আৰু bodmas

এই শব্দ দুটাৰ কোনোবা এটা মনত ৰাখিলেই তোমালোকে অংক কৰোঁতে ক্ৰমটো মনত পৰি যাব। বেলেগ বেলেগ দেশত নিজা ভাষাত এনেকুৱা আৰু বেলেগ বেলেগ শব্দ উলিয়াই লয়। এই শব্দ দুটা মনত ৰাখিবলৈ কিছুমান বাক্যও নিজে তৈয়াৰ কৰি লয়। আন কেইটামান কথা সহজে মনত ৰাখিবলৈ এনেকুৱা কেইটামান বাক্যৰ সম্পৰ্কে বেলেগ এটা পাঠত দিছোঁ। ইয়াত তোমালোকক কোনো বাক্য নালাগে, কাৰণ পেমদাস আৰু বদমাছ শব্দ দুটা ভাৰতীয় শব্দৰ নিচিনা, সদায় শুনি থকা শব্দ। গতিকে এই দুটা নিশ্চয় এনেইয়ে মনত ৰৈ যাব। এইধৰণৰ অংকবোৰ কৰোঁতে এইদৰে মনত ৰখা কৌশলটো বহুত বেছি জনপ্ৰিয়। সেয়েহে এই নিয়মটোক বহুতে মুখে মুখে “bodmas ফৰ্মূলা”, “bodmas বিধি” বা “bodmas rule” বুলিও কয়।

এনেধৰণৰ আন এটা শব্দ হ’ল gema। ইয়াত g মানে grouping; e মানে exponent; m মানে multiplication; a মানে addition। ইয়াৰ grouping মানে ব্ৰেকেটেৰে লগ লগোৱাৰ কথা কোৱা হৈছে। গতিকে সেইটো কাম প্ৰথমে কৰিব লাগিব। exponentটো ওপৰত কোৱা হৈছেই। তাৰ পাছত কেৱল multiplication আৰু addition দিছে। কাৰণ, পূৰণ আৰু হৰণৰ মাজত অগ্ৰাধিকাৰ নাই, আৰু পূৰণ বুলি কোৱা লগে লগে তাৰ বিপৰীত হিচাপে হৰণলৈ মনত পৰিয়েই যাব। সেইদৰে যোগ বোলোতে বিয়োগ মনলৈ আহি যাব।

আন কেইটামান উদাহৰণ:

উদাহৰণ-ছ:  ৮ – (√(৮+১)+২) + (৮-\sqrt[৩]{\text{৮}})√(৮-৪)

এইটো উদাহৰণ অলপ টান; গতিকে ভালকৈ মন কৰি নিজে দুই-তিনিবাৰ কৰি চাবা। ব্ৰেকেটৰ ভিতৰত ব্ৰেকেট থাকিলে ভিতৰৰ ব্ৰেকেটটোৰ অংক কৰিবই লাগিব। কাৰণ, ভিতৰৰ ব্ৰেকেটটো নাঁতৰালে বাহিৰৰ ব্ৰেকেটটো আঁতৰোৱা সম্ভৱ নহয়।

৮ – (√(৮+১)+২) + (৮-\sqrt[৩]{\text{৮}})√(৮-৪)

= ৮ – (√৯+২) + (৮-২)√৪    [একেবাৰে ভিতৰত থকা অংশ দুটা কৰি এইটো পালোঁ। এইকণেই বহুতে টান পোৱা কাম।]

= ৮ – (৩+২) + ৬.২

= ৮ – ৫ + ১২

= ৩ + ১২

= ১৫

উদাহৰণ-জ: {\text{৬}}^{\text{২}} ÷ ২(৩) + ৪

এইটো আকৌ পচলাৰে দাঁত ভঙাৰ দৰে উদাহৰণ। ব্ৰেকেটটোৰ কাৰণেই বহুতে ভুল কৰে। তেওঁলোকে কৰা ভুলটো হ’ল: প্ৰথমেই দুই আৰু তিনি পূৰণ কৰি দিয়ে। ওপৰত উদাহৰণ-চ ত দিয়া অংকটোৱো এনেকুৱাই আছিল। গতিকে এইটো অংক প্ৰথমে নিজে এবাৰ কৰি চোৱা।

 {\text{৬}}^{\text{২}} ÷ ২(৩) + ৪

= ৩৬ ÷ ২ × ৩ + ৪

= ১৮ × ৩ + ৪

= ৫৪ + ৪

= ৫৮

এটা বিশেষ ব্যতিক্ৰম:

উদাহৰণ-ঝ: ৯ – ৩ ÷ ১ / ৩ + ১

কিছুমান কেলকুলেটৰ, চফ্টৱেৰ বা ৱেবছাইটে এই অংকটোৰ উত্তৰটো ভুলকৈ দিয়ে। আচলতে ভুলকৈ নকৰে, সেই যন্ত্ৰসমূহত সেই পদ্ধতিটো দিয়া থাকে, যিটো কথা বহুতে গম নাপায়।

এই অংকটোত হৰণৰ দুটা চিহ্ন দিয়া আছে: ÷ আৰু /। গতিকে বহুতে অংকটো এনেকুৱা বুলি ভাবি লয়:

৯ – ৩ ÷ ১ ÷ ৩ + ১ নতুবা ৯ – ৩ / ১ / ৩ + ১

এই দুটা ক্ষেত্ৰতে উত্তৰটো পাবা এইদৰে:

৯ – ৩ ÷ ১ ÷ ৩ + ১  =  ৯ – ৩ ÷ ৩ + ১  =  ৯ – ১ + ১  =  ৯। কিন্তু এইটো উত্তৰ ভুল।

তুমি গুগলত এনেকৈ চাৰ্চ কৰি চাবা পাৰা: 9–3÷1/3+1 = ?

তেতিয়া গুগলেও এটা ভুল উত্তৰেই দিব এইদৰে: 9–((3/1)/3)+1 = 9

এইটো ভুল হোৱাৰ কাৰণ হ’ল ÷ আৰু / চিহ্ন দুটাক তুমি সনাপোটোকা কৰি পেলোৱাটো। গুগলত থকা কেলকুলেটৰটোৱে বা আন কিছুমান কেলকুলেটৰে ÷ চিহ্নটো অংকটো কৰোতে ব্যৱহাৰ নকৰে। তাত ÷ চিহ্নটো পোৱা লগে লগে সেইটো / চিহ্নটোলৈ সলনি কৰি লয়। সেইবাবে ওপৰত আমি দিয়া অংকটোত ÷ চিহ্নটো পোৱাৰ লগে লগে সলনি কৰি পেলালে। ফলত উত্তৰটো ভুল হ’ল।

আচলতে, অংকটোত দিয়া ১/৩ অংশটিয়ে এটা সংখ্যাহে বুজাইছে। তাৰমানে, আমাক দিয়া অংকটো হ’ব:

৯ – ৩ ÷ \frac{\text{১}}{\text{৩}} + ১

কিতাপ, বহী বা প্ৰশ্নকাকতত যদি ১/৩ বুলি দিয়া থাকে, সেইটো আচলতে লিখাৰ সুবিধাৰ বাবেহে তেনেকৈ দিয়ে। সেইটো এটা ভগ্নাংশহে, মানে \frac{\text{১}}{\text{৩}}। সেয়েহে আমি অংকটো কৰিব লাগিব এইদৰে:

৯ – ৩ ÷ ১ / ৩ + ১

= ৯ – ৩ ÷ (১ / ৩) + ১

= ৯ – ৩ ÷ \frac{\text{১}}{\text{৩}} + ১

= ৯ – ৯ + ১

= ০ + ১

= ১, এইটোহে শুদ্ধ উত্তৰ।

এইবাৰ গুগলত এনেকৈ চাৰ্চ কৰি চাবাচোন: 9–3÷(1/3)+1 = ?

তেতিয়া শুদ্ধ উত্তৰটো দিব এইদৰে: 9–(3/(1/3))+1 = 1

সেয়েহে এনে অংকৰ মাজত ২/৩, ৮/৪ আদি দিয়া থাকিলে সেইটো এটা সংখ্যা হিচাপে ল’বা। সেইবোৰ এটা এটা ভগ্নাংশৰ ৰূপত থকা সংখ্যাহে।

উদাহৰণ-ঞ: ১/২ + ( ( ২/৩ × ৩/৮ ) / ৪) – ৯/১৬

১/২ + ( ( ২/৩ × ৩/৮ ) / ৪ ) – ৯/১৬

= ১/২ + ((\frac{\text{২}}{\text{৩}}\times\frac{\text{৩}}{\text{৮}})/৪) – ৯/১৬

= ১/২ + (\frac{\text{১}}{\text{৪}}/৪ ) – ৯/১৬

= ১/২ + \frac{\text{১}}{\text{১৬}} – ৯/১৬

= \frac{\text{১}}{\text{২}}+\frac{\text{১}}{\text{১৬}}-\frac{\text{৯}}{\text{১৬}}

= \frac{\text{৯}}{\text{১৬}}-\frac{\text{৯}}{\text{১৬}}

= ০

উদাহৰণ-ট: ১০ + ৭(৩-১) × ৮/{\text{২}}^{\text{২}} – ১

১০ + ৭(৩-১) × ৮/{\text{২}}^{\text{২}} – ১

= ১০ + ৭ × ২ × ৮/৪ – ১

= ১০ + ৭ × ২ × \frac{\text{৮}}{\text{৪}} – ১

= ১০ + ৭ × ২ × ২ – ১  [ইয়াতো কিন্তু আমি হৰণটো সোঁপিনৰ পৰা কৰা নাই। মানে, অংকটো সোঁপিনৰ পৰা ইয়াতো কৰা নাই। \frac{\text{৮}}{\text{৪}} সংখ্যাটোৰ অৰ্থ ২, সেয়েহে ২ বুলি বহুৱাই লৈছোঁ মাথোঁ।]

= ১০ + ২৮ – ১

= ৩৭

উদাহৰণ-ঠ: {\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}/ ৮×৩ – ১

{\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}/ ৮×৩ – ১

= {\text{২}}^{\text{৩}} / ৮×৩ – ১

= ৮ / ৮×৩ – ১

= \frac{\text{৮}}{\text{৮}} × ৩ – ১

= ১ × ৩ – ১

= ৩ – ১

= ২

[অৰ্থাৎ  {\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}/৮×৩–১  = \frac{{\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}}{\text{৮}}×৩–১ ।

কিন্তু,  {\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}/৮×৩–১  আৰু \frac{{\text{২০-১৮}}^{\text{৩}}}{\text{৮}\times\text{৩}}-\text{১} সমান নহয়।]

উদাহৰণ-ড: ৮ ÷ ৮ × ৮ ÷ ৮ ÷ ৮ × ৮ ÷ ৮ × ৮ × ৮

উত্তৰ: ৮।

উদাহৰণ-ঢ: ৪ ÷ ৮ ÷ ২ ÷ ৪ × ৮

উত্তৰ: ১/২।

উদাহৰণ-ণ: ৪ ÷ ৮ ÷ ( ২ ÷ ৪ × ৮)

উত্তৰ: ১/৮।

উদাহৰণ-ত: ১ + ১ + ১ + ১ + ১ + ১ × ০ + ১ + ১

উত্তৰ: ৭

বীজগণিতীয় ৰাশি সম্পৰ্কীয় দুটা কথা:

x + ২(৪x-৫) + ৩(২(x+৬))

= x + ৮x-১০ + ৩(২(x+৬))    [ইয়াতো ব্ৰেকেটৰ কাম প্ৰথমে কৰিছোঁ। আৰু বিতৰণ বিধি খটুৱাইছোঁ।]

= x + ৮x-১০ + ৬(x+৬)      [ইয়াত ৩(২(x+৬)) = (৩.২)(x+৬)। কাৰণ, দুটা বিধি আছে: a(b(x+y)) = (ab)(x+y), a(b(x+c)) = (ab)(x+c)]]

= x + ৮x-১০ + ৬x+৩৬

= ১৫x + ২৬

এটা সংজ্ঞা আছে: যদি p(x) এটা বহুপদ ৰাশি, তেন্তে p(k) = 0 হ’লে, k ক সেই বহুপদ ৰাশিটোৰ শূন্য (zero of the polynomial) বোলে।

বিভিন্ন সংখ্যা লৈ বহুপদ ৰাশি একোটাৰ মান উলিয়াওতে বহুতৰ সমস্যা হয়। ওপৰৰ গোটেই কথাখিনি পঢ়াৰ পাছত এই সমস্যাটো নিশ্চয় কোনেও অনুভৱ নকৰে।

উদাহৰণ-থ : p(y)= ২y^{\text{৩}}– ২y(y+৩) – ১৮। ৩ টো এই বহুপদ ৰাশিটোৰ এটা শূন্য হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।

এতিয়া, p(৩) = ২×{\text{৩}}^{\text{৩}} – ২×৩×(৩+৩) – ১৮

             = ২×২৭ – ২×৩×৬ – ১৮   [সূচক আৰু ব্ৰেকেটৰ কাম প্ৰথমে কৰিলোঁ।]

             = ৫৪ – ৩৬ – ১৮

             = ০

গতিকে বহুপদ ৰাশিটোৰ এটা শূন্য ৩।

সূচক সম্পৰ্কীয় এটা কথা:

উদাহৰণ-দ: {\text{৪}}^{{\text{৩}}^{\text{২}}} ৰ অৰ্থ ({\text{৪}}^{\text{৩}})^{\text{২}} নে {\text{৪}}^{({\text{৩}}^{\text{২}})} ?

({\text{৪}}^{\text{৩}})^{\text{২}} আৰু {\text{৪}}^{({\text{৩}}^{\text{২}})} ৰ মান বেলেগ বেলেগ। সূচকৰ ধৰ্ম খটুৱাই তোমালোকে এই দুটাৰ মান এইদৰে উলিয়াব পাৰিবা:

({\text{৪}}^{\text{৩}})^{\text{২}}={\text{৪}}^{\text{৩}\times\text{২}}={\text{৪}}^{\text{৬}} = ৪০৯৬

{\text{৪}}^{({\text{৩}}^{\text{২}})}={\text{৪}}^{\text{৯}} = ২৬২১৪৪

প্ৰথমটোত অংকটো তলৰ পৰা কৰি যোৱা হৈছিল, দ্বিতীয়টোত ওপৰৰ পৰা কৰি অহা হৈছে।

দুয়োটাৰ মান বেলেগ, গতিকে {\text{৪}}^{{\text{৩}}^{\text{২}}} ৰ মান কোনটোৰ সমান?

সূচক এটা এনেদৰে থাকিলে ওপৰৰ পৰা অংকটো কৰি অহাটো নিয়ম।

সেয়েহে, দ্বিতীয়টো শুদ্ধ। মানে, {\text{৪}}^{{\text{৩}}^{\text{২}}}={\text{৪}}^{({\text{৩}}^{\text{২}})} = ২৬২১৪৪।

উদাহৰণ-ধ:

 

তলৰ পৰা অংকটো কৰি চাবা পাৰা, তেতিয়া উত্তৰটো ভুল হ’ব, কাৰণ তলৰ পৰা অংকটো কৰিলে পাম {\text{২}}^{\text{৮}}।

উদাহৰণ-ন: ৬ + ((১৬-৪) ÷ (২+{\text{২}}^{{\text{১}}^{\text{২}}})) – ২

৬ + ((১৬-৪) ÷ (২+{\text{২}}^{{\text{১}}^{\text{২}}})) – ২

= ৬ + (১২ ÷ (২+{\text{২}}^{\text{১}})) – ২

[পুনৰ কৈছোঁ, এইখিনিত ভুল নকৰিবা। সূচকটো তলৰ পৰা কৰিলে ভুল হ’ব, {\text{২}}^{\text{২}} হে পাবা।]

= ৬ + (১২ ÷ (২+২)) – ২

= ৬ + (১২ ÷ ৪) – ২

= ৬ + ৩ – ২

= ৭