11 Oct সম্ভাৱিতা তত্ত্ব বিজড়িত দুটা প্ৰখ্যাত সমস্যা – ২

মন্টি হলৰ নিচিনাকৈয়ে এইটোও সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰ লগত জড়িত অন্য এটা প্ৰশ্ন। এইবাৰ আপুনি পোনে পোনে সঠিক উত্তৰটো নিদিলেও হ’ব; কিন্তু একে উশাহে উত্তৰটো জনাৰ পূৰ্বে আপোনাৰ মতে উত্তৰটো কিমান হ’ব লাগে, সেইটো ভাবি চোৱাৰ সুযোগ ল’ব পাৰিব।

ধৰক এটা পাৰ্টী অনুষ্ঠানত কেইজনমান মানুহ লগ হৈছে। আপুনি নাজানে কাৰ জন্মদিন কেতিয়া। এতিয়া কওঁকচোন, পাৰ্টীটোত কিমানজন মানুহ উপস্থিত থাকিলে অন্ততঃ দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে বুলি সম্পূৰ্ণৰূপে নিশ্চিত হ’ব পাৰিব? মানে গাণিতিকভাৱে ক’বলৈ গ’লে ১০০% নিশ্চিত হ’ব পাৰিব?

এইটো বৰ এটা টান প্ৰশ্ন নহয়। হয়তো গম পাইছেই যে মুঠ ৩৬৬জন মানুহ থাকিলেহে দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হ’ব বুলি সম্পূৰ্ণৰূপে নিশ্চিত হ’ব পৰা যাব। কাৰণ প্ৰত্যেকৰে জন্মদিনটো বেলেগ বেলেগ বুলি ধৰি ল’লেও বছৰৰ ৩৬৫টা দিনত ৩৬৫জন মানুহৰহে বেলেগ বেলেগ জন্মদিন হ’ব পাৰে। ৩৬৬জন মানুহ থাকিলে অন্ততঃ দুটা তাৰিখ একে হ’বই লাগিব। আমি ইয়াত বছৰটো লিপ ইয়েৰ বা অধিবৰ্ষ নহয় বুলি ধৰি লৈছোঁ। অধিবৰ্ষৰ ক্ষেত্ৰত এবছৰত মুঠ দিন ৩৬৬টা, গতিকে তেনেক্ষেত্ৰত দুজনৰ জন্মদিন একে বুলি নিশ্চিত হ’বলৈ ৩৬৭জন লোকৰ প্ৰয়োজন হ’ব। বাস্তৱক্ষেত্ৰত দেখা যায় যে বছৰৰ প্ৰতিটো দিনতে সমানসংখ্যক ল’ৰা-ছোৱালী জন্মও নহয়। কিন্তু এইটো এটা বিশুদ্ধ গাণিতিক প্ৰশ্ন হিচাপে লোৱা হৈছে বাবে ইয়াত যমজ সন্তান, ঋতু, বাৰভিত্তিক ভিন্নতাসমূহক আওকাণ কৰা হৈছে আৰু বছৰৰ প্ৰতিটো দিন সমসম্ভাৱ্য বুলি ধৰি লোৱা হৈছে।

এইখিনি কথা আগতীয়াকৈ জানি লোৱাৰ পিছত এতিয়াহে আচল প্ৰশ্নটো আৰম্ভ হৈছে। প্ৰশ্নটো হ’ল- পাৰ্টীটোত কিমানজন মানুহ উপস্থিত থাকিলেনো দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ ৫০% সম্ভাৱনা থাকিব? লেখাটো পঢ়া বন্ধ কৰি কিছু সময় মনতে ভাবক।

ইয়াৰ গাণিতিকভাৱে সঠিক মানটো উলিয়াবলৈ কিছু গণনা কৰাৰ প্ৰয়োজন হ’ব। কিন্তু আপোনাৰ স্বাভাৱিক বিচাৰ-বুদ্ধিৰ পৰা ইয়াৰ উত্তৰটো কিমান হ’ব পাৰে বুলি মনলৈ আহিছে বাৰু? ……… উত্তৰটো হ’ল যে আপুনি দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হোৱাটো ৫০% নিশ্চিত হ’বলৈ মাত্ৰ ২৩জন মানুহ থাকিলেই হয়। আচৰিত যেন লাগিছেনে? ১০০% নিশ্চিতিৰ বাবে ৩৬৬জন, অথচ ৫০% নিশ্চিতিৰ বাবে মাত্ৰ ২৩জন! গতিকে এখন স্কুলত যদি দহটা শ্ৰেণী আছে আৰু প্ৰতিটো শ্ৰেণীতে মাত্ৰ ২৩ গৰাকীকৈ ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে, আপুনি অনুমান কৰিব পাৰে যে স্কুলখনৰ প্ৰায় ৫টা শ্ৰেণীত নিশ্চয় একে জন্মদিন থকা ছাত্ৰ-ছাত্ৰী ওলাব।

এইখিনিতে আন এটা প্ৰশ্ন কৰি চাওঁ। প্ৰথমে ১০০% নিশ্চিত হ’বলৈ ৩৬৬জন মানুহৰ প্ৰয়োজন হয় বুলি বাৰু বুজি ল’লোঁ। এতিয়া কিমানজন মানুহ উপস্থিত থাকিলেনো আমি ৯৯.৯% নিশ্চিত হ’ব পাৰিম?

প্ৰশ্নটো বাৰু প্ৰায় একেই নহ’লনে! অলপতে ১০০% আৰু এইবাৰ ৯৯.৯%? যেন এইমাত্ৰ আপোনাৰ ওজন জুখি ল’লোঁ আৰু তাৰপিছত আপোনাৰ চুলিখিনি কটাই পুনৰবাৰ ওজন জোখাৰ কথা কৈছোঁ। চুলি কটালেওনো ওজনত কিমানখিনি হেৰফেৰ হ’ব! কিন্তু আচৰিত কথাটো হ’ল যে আপুনি দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে বুলি ৯৯.৯% নিশ্চিত হ’বলৈ মাত্ৰ ৭০জন মানুহৰ আৱশ্যক। অৰ্থাৎ পাৰ্টী এটাত মাত্ৰ ৭০জন মানুহ উপস্থিত থাকিলেই আপুনি দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে বুলি মোটামুটি (৯৯.৯%) নিশ্চিত হ’ব পাৰিব। এয়াই গণিতৰ সৌন্দৰ্য্য! সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰ চমৎকাৰিত্ব। আৰু এনে কাৰণতেই এই জন্মদিনৰ সমস্যা বা সাঁথৰটোও ইমান বেছি বিখ্যাত। অলপ পিছতে অংকটো কৰি চালে আমি দেখিম যে ইয়াক সাঁথৰ বুলি ক’বলগীয়া একো কাৰণ নাই। মাত্ৰ আমাৰ মনটোৱে মানি ল’বলৈ টান পায় বাবেহে সমস্যাটো “জন্মদিনৰ সাঁথৰ” বুলিও বহুলভাৱে পৰিচিত।

এতিয়া স্বাভাৱিকতেই মনলৈ আহিব, কিয়নো এনে হ’ল? দ্বাদশ শ্ৰেণীৰ পৰ্য্যায়ত পঢ়িবলগীয়া চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতাৰ (Conditional probability) দৰে বিষয়ৰ সৰল সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি সমস্যাটো বুজিব পাৰি। তেনে সূত্ৰৰ সহায় লৈয়ে আমি ইয়াত সমস্যাটো সহজভাৱে বুজিবলৈ চেষ্টা কৰিম।

প্ৰথমে এটা মুদ্ৰা টছ কৰাৰ কথাটোকে মন কৰি চাওঁ আহক। মুদ্ৰা এটা টছ কৰোতে হে’ড বা টে’ইল পৰাৰ সম্ভাৱিতা সমান সমান। গতিকে মুদ্ৰা এটা টছ কৰিলে হে’ড পৰাৰ সম্ভাৱিতা ঠিক আধা। অৰ্থাৎ ইয়াৰ গাণিতিক মান ১/২, বা শতাংশৰ জোখত ৫০%। একেদৰে যদি মুদ্ৰাটো দুবাৰকৈ টছ কৰোঁ, তেন্তে দুয়োবাৰতে হে’ড পৰাৰ মুঠ সম্ভাৱিতা ১/৪। কথাটো কেনেকৈ গম পালোঁ? প্ৰথমে আমি মন কৰিব লাগিব, দুবাৰকৈ মুদ্ৰাটো টছ কৰিলে কিমান বেলেগ বেলেগ প্ৰকাৰৰ বিন্যাস আহিব পাৰে। হয়তো দুয়োবাৰ হে’ড পৰিব পাৰে, দুয়োবাৰত টে’ইল পৰিব পাৰে, প্ৰথমবাৰত হে’ড দ্বিতীয়বাৰত টে’ইল অথবা তাৰ ঠিক ওলোটাটোও হ’ব পাৰে। গতিকে দুবাৰ টছ কৰিলে হ’ব পৰা বিন্যাসকেইটা হৈছে- (হে’ড, হে’ড), (হে’ড, টে’ইল), (টে’ইল, হে’ড) বা (টে’ইল, টে’ইল)। এই চাৰিটা ফলাফলৰ প্ৰতিটোৰে সম্ভাৱিতাও সমান সমান। দেখা গ’ল যে মুঠ চাৰিটা সম্ভাৱ্য বিন্যাসৰ এটা বিন্যাসতহে দুয়োটা মুদ্ৰাত হে’ড পৰিব পাৰে। গতিকে দুয়োটা মুদ্ৰাই হে’ড দেখুওৱাৰ সম্ভাৱিতা ১/৪। এতিয়া সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি এই মানটো আমি সহজেও উলিয়াব পাৰোঁ। প্ৰথমবাৰত হেড পৰাৰ সম্ভাৱিতা ১/২, একেদৰে অকল দ্বিতীয়টো টছত হেড পৰাৰ সম্ভাৱিতাও ১/২। গতিকে দুয়োবাৰ হেড পৰাৰ সম্ভাৱিতাটো হ’ব – (১/২).(১/২) = ১/৪। অৰ্থাৎ প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় টছত হে’ড পৰাৰ সম্ভাৱিতা দুটা পূৰণ কৰিলেই হ’ল। এনেদৰে যেতিয়াই দুই বা ততোধিক ক্ৰমিক ঘটনা একেলগে সংঘটিত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিয়াবলগীয়া হয়, তেতিয়া প্ৰত্যেকৰে নিজা নিজা সম্ভাৱিতাটো পূৰণ কৰিলেই হ’ল। ইয়াৰে এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱিতাই যদি পৰৱৰ্তী ঘটনাকেইটাৰ সম্ভাৱিতাত প্ৰভাৱ পেলায়, চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতাৰ নীতি অনুসৰি প্ৰতিটো ঘটনাৰে নিজস্ব সম্ভাৱিতা উলিয়াই লোৱাত আমি অধিক সচেতন হ’ব লাগিব। এই ধাৰণাটো অলপ পিছতে আমাৰ আলোচ্য সমস্যাটো বুজাৰ ক্ষেত্ৰতো প্ৰয়োগ হ’ব।

এতিয়া সাধাৰণভাৱে জন্মদিনৰ সমস্যাটোৰ ভিতৰত মূৰ সুমুৱাবলৈ যত্ন কৰি চাওঁ আহক। ধৰি লওক পাৰ্টী অনুষ্ঠানটোত মাত্ৰ দুজনেই মানুহ আছে। তেতিয়া কি হ’ব? যদি দুজন মানুহৰ এজনৰ জন্মদিনটো নিৰ্দিষ্টকৈ ধৰি লওঁ, দুয়োৰে জন্মদিন একে হ’বলৈ দ্বিতীয়জনৰ জন্মদিনটোও ঠিক আগৰজনৰ দিনটোৱেই হ’ব লাগিব। গতিকে এইক্ষেত্ৰত বছৰৰ ৩৬৫টা দিনৰ মাত্ৰ সেই নিৰ্দিষ্ট দিনটোহে দ্বিতীয়জনৰ জন্মদিন হ’বলৈ মুক্ত থাকিব। অৰ্থাৎ দুয়োৰে জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা ১/৩৬৫।

এতিয়া তিনিজন মানুহৰ ক্ষেত্ৰত কথাটো ভাবি চাওক। এইবাৰো প্ৰথম মানুহজনৰ জন্মদিনটো নিৰ্দিষ্টকৈ ধৰি ল’লোঁ। গতিকে দ্বিতীয় বা তৃতীয়- দুয়োজনৰে জন্মদিনটো প্ৰথমজনৰ জন্মদিনৰ লগত একে হয়নে নহয়, চাব লাগিব। আকৌ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয়জনৰ জন্মদিন দুটা একে হয়নে নহয়, সেইটোও পৰীক্ষা কৰিব লাগিব।

গতিকে অনুষ্ঠানটোত দহজন মানুহ থাকিলে প্ৰথমজন মানুহৰ জন্মদিন দ্বিতীয়জনৰ লগত একে হ’ব পাৰে; তৃতীয়, চতুৰ্থ, পঞ্চম বা একেবাৰে দশমজনৰ লগতো একে হ’ব পাৰে। একেদৰে দ্বিতীয়জনৰ জন্মদিনো বাকী যিকোনো এজনৰ লগত একে হ’ব পাৰে। গতিকে জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ আমি বহুবোৰ সম্ভাৱিতা একেলগে বিচাৰ কৰি চাব লাগিব। ফলত ইয়াৰ মান নিৰ্ণয় কৰাটো কিছু কঠিন হৈ পৰে। দহজনৰ পৰিৱৰ্তে বিশজন, ত্ৰিশজনৰ ক্ষেত্ৰত সমস্যাটো ইয়াতকৈও বেছি কঠিন হ’ব। তাৰ সলনি মানুহৰ গোটটোৰ সকলোৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱাটোহে তুলনামূলকভাৱে সহজ। আমি প্ৰথমে সেইটোকে উলিয়াই ল’ম।

এতিয়া মানুহকেইজনৰ কাৰোবাৰ জন্মদিন হয় একে হ’ব, অথবা সকলোৰে বেলেগ বেলেগ হ’ব; এই দুটাৰ কিবা এটাতো হ’বই লাগিব। গতিকে ইয়াৰে যিকোনো এটা হোৱাৰ মুঠ সম্ভাৱিতা ১, বা শতাংশৰ হিচাপত ১০০%। ইয়াক আমি এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ-

অন্ততঃ দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা + সকলোৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা = ১৷

গতিকে একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিয়াবলৈ প্ৰথমে কোনোৰে জন্মদিন একে নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিয়াই ১ ৰ পৰা বিয়োগ কৰিলেই হ’ল। প্ৰথমে আমি কাৰো জন্মদিন একে নোহোৱা, বা আন কথাত সকলোৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতাটোকে উলিয়াই ল’ম।

প্ৰথমে দুজনৰ উদাহৰণেৰেই সমস্যাটো আৰম্ভ কৰোঁ। যদু আৰু মধু দুই বন্ধু। যদুৰ জন্মদিন কিবা এটা নিৰ্দিষ্ট তাৰিখ বুলি ধৰি ল’লোঁ। যিহেতু যদুৰ জন্মদিনটো প্ৰথমেই বাছি ল’বলৈ ওলাইছোঁ, আমি স্বইচ্ছাৰে বছৰটোৰ যিকোনো এটা দিন নিৰ্বাচন কৰাত কোনো হকা-বাধা নাই। অৰ্থাৎ বছৰটোৰ ৩৬৫টা দিনৰ যিকোনো এটা দিনেই যদুৰ জন্মদিন বুলি ধৰি ল’ব পাৰি। গতিকে যদুৰ জন্মদিনটো বাছি লোৱাৰ ক্ষেত্ৰত সম্ভাৱিতাৰ মানটো হ’ব ৩৬৫/৩৬৫ = ১। সদ্যহতে আমি যদুৰ জন্মদিনটো ২৫ আগষ্ট বুলি ধৰি ল’লোঁ। গতিকে মধুৰ জন্মদিন যদি যদুৰ সৈতে একে হ’ব নালাগে, মধুৰ জন্মদিনটো ২৫ আগষ্টক বাদ দি বছৰৰ বাকী ৩৬৪টা দিনৰ যিকোনো এটাহে হ’ব পাৰে। আন কথাত দুয়োৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা (৩৬৫/৩৬৫).(৩৬৪/৩৬৫) = ৩৬৪/৩৬৫। মুঠ সম্ভাৱিতা উলিয়াবলৈ কিয় দুয়োটা মান পূৰণ কৰিছোঁ, সেইটো বুজিবলৈ ওপৰত কৈ অহা দুবাৰকৈ টছ কৰা মুদ্ৰাৰ উদাহৰণটো মনত পেলাওক।

এইবাৰ যদু-মধুৰ লগত দুয়োৰে লগৰ হৰিকো যোগ দিলোঁ। তিনিওৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হ’বলৈ হৰিৰ জন্মদিনটো, যদু আৰু মধুৰ জন্মদিন দুটাক বাদ দি বছৰৰ বাকী ৩৬৩টা দিনৰ কিবা এটাহে হ’ব পাৰিব। অৰ্থাৎ তিনিওৰে জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’বগৈ (৩৬৫/৩৬৫).(৩৬৪/৩৬৫).(৩৬৩/৩৬৫)। দুজন আৰু তিনিজনৰ উদাহৰণৰ পৰা আমি ক’ব পাৰোঁ যে পাঁচজন মানুহৰ জন্মদিন বেলেগ বেলেগ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’বগৈ (৩৬৫/৩৬৫).(৩৬৪/৩৬৫).(৩৬৩/৩৬৫).(৩৬২/৩৬৫).(৩৬১/৩৬৫)। এনেদৰে বঢ়াই গৈ থাকিলে ২৩জন মানুহৰ ক্ষেত্ৰত এই মানটো হ’ব (৩৬৫/৩৬৫).(৩৬৪/৩৬৫).(৩৬৩/৩৬৫).(৩৬২/৩৬৫)…… (৩৪৪/৩৬৫).(৩৪৩/৩৬৫) = ০.৪৯২৭। গতিকে ২৩ জন মানুহৰ ভিতৰত অন্ততঃ যিকোনো দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’ব ১- ০.৪৯২৭ = ০.৫০৭৩ বা ৫০.৭৩%। অৰ্থাৎ মাত্ৰ ২৩জন মানুহৰ ক্ষেত্ৰতে যিকোনো দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা ৫০ শতাংতকৈও বেছি!

একেটা অংককে ৭০ জন মানুহৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰয়োগ কৰি চাওক। ৭০ জন মানুহৰ একেবাৰে শেষৰজনৰ জন্মদিনটো আনবোৰৰ পৰা বেলেগ হ’বলৈ অৱশিষ্ট জন্মদিনৰ সংখ্যা = (৩৬৫-৬৯) দিন = ২৯৬ দিন। সেয়েহে, ৭০জন মানুহৰ সকলোৰে বেলেগ বেলেগ জন্মদিন হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’ব (৩৬৫/৩৬৫).(৩৬৪/৩৬৫).(৩৬৩/৩৬৫).(৩৬২/৩৬৫)……… (২৯৭/৩৬৫).(২৯৬/৩৬৫) = ০.০০০৯ অৰ্থাৎ ০.০৯%। গতিকে ৭০জন মানুহৰ কাৰোবাৰ হ’লেও জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা ৯৯.৯১%! কথাটো এতিয়া গাণিতিকভাৱেও প্ৰমাণিত হ’ল। গতিকে আপোনাৰ ফে’ইচবুক প’ষ্ট এটা যদি মাত্ৰ ৭০ জন মানুহেও লাইক কৰিছে, সেই ৭০ জন মানুহৰ অন্ততঃ দুজনৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা অতি বেছি (প্ৰায় নিশ্চিত)। ৯৯.৯১% সম্ভাৱিতাই ইংগিত দিয়ে যে আপুনি ৭০ জন মানুহৰ গোট এটাত যিকোনো দুজন মানুহৰ জন্মদিন একে হ’ব বুলি দ্বিধাহীনভাৱে বাজি মাৰিব পাৰে। আপুনি বাজিত জিকিব বুলি প্ৰায় নিশ্চিত থাকক। যদি দুৰ্ভাগ্যবশতঃ হাৰিও যায়, আপোনাক সেই ০.০৯% সম্ভাৱিতাত সোমাই পৰা বিৰল দুকৰ্পলীয়া বুলি ক’ব লাগিব।

শেষত আহোঁ আমাৰ মনৰ খোকোজাটোৰ বিষয়ে। এনে এটা সিদ্ধান্ত অনুমান কৰাত আমাৰ মগজুৰ চিন্তাই কিয়নো বৰ বেয়াকৈ উজুটি খায়? ইয়াৰ কাৰণ মূলতঃ দুটা। প্ৰথমে ২৩ জনীয়া দলটোৰ কথাই ভাবি চাওকচোন। সেই ২৩ জনীয়া দলটোৰ মাজতে যেনিবা আপুনিও সোমাই আছে। যেতিয়া আপোনাক সোধা হ’ব যে সেই দলটোৰ যিকোনো দুজন লোকৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান, আপুনি হয়তো পোনছাটেই আপোনাৰ জন্মদিনটোৰ লগত বাকী ২২ জনৰ জন্মদিনটো একে হয়নে নহয়, সেইটো ভাবিবলৈ ল’ব। কিন্তু জন্মদিন তুলনাৰ বাবে কেৱল সেই ২২টাই একমাত্ৰ পথ নহয়। যিহেতু আপোনাৰ ওচৰত থকা প্ৰত্যেকেই প্ৰত্যেকৰ লগত জন্মদিনটো তুলনা কৰি চাব পাৰে, দুজন দুজনকৈ জন্মদিন তুলনা কৰিবৰ বাবে আচলতে ঢেৰ বিকল্প ওলাই পৰে। আৰম্ভণিতে প্ৰত্যক্ষভাৱে দুজনৰ জন্মদিন একে হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিয়াবলৈ চেষ্টা কৰোতে এইখিনি কথা ইতিমধ্যে উল্লেখ কৰা হৈছিল। এইটো ঠিক ইজনে-সিজনক কৰমৰ্দন কৰাৰ নিচিনা কথা। ধৰি ল’লোঁ, ২৩ জনীয়া দলটোত প্ৰথমে আপুনিয়েই সকলোকে কৰমৰ্দন কৰি ল’লে। গতিকে আপুনি সৰ্বমুঠ ২২টা কৰমৰ্দন কৰিবলগীয়া হ’ব। এইবাৰ দ্বিতীয় লোকজনে আপোনাক বাদ দি বাকী ২১ জনক কৰমৰ্দন কৰিলেই হ’ব। কাৰণ আপুনি তেওঁক পূৰ্বে কৰমৰ্দন কৰি থৈছেই। ইয়াৰ পিছত তৃতীয়জনে বাকী ২০ জনক, চতুৰ্থজনে বাকী ১৯ জনক – এনেকৈ গৈ গৈ শেষৰ আগৰজনে মাত্ৰ এজনক কৰমৰ্দন কৰিবলৈহে বাকী থাকিব। অৰ্থাৎ ২৩ জনীয়া দলটোত ইজনে-সিজনক কৰমৰ্দন কৰিলে মুঠ কৰমৰ্দনৰ সংখ্যা হ’ব ২২+২১+২০+………+৩+২+১ = ২৫৩ টা।

কৰমৰ্দনৰ সংখ্যাৰ নিচিনাকৈয়ে দুজন দুজনকৈ জন্মদিন তুলনা কৰি চাবৰ বাবে মাত্ৰ ২৩ জনীয়া দলটোতে ২৫৩ টা যোৰ আছে। এইটো কাৰণতে দুজনৰ জন্মদিন মিল থকাৰ সম্ভাৱিতাও ৫০% অতিক্ৰম কৰি গৈছে। অথচ ওপৰে ওপৰে চালে ইমানবোৰ সম্ভাৱ্য পথৰ কথা আমাৰ মনলৈকে নাহে। ২৩ জনীয়া গোটটোৰ নিচিনাকৈ ৭০ জনীয়া গোটটোৰ ক্ষেত্ৰত দুজন দুজনকৈ তুলনা কৰিবৰ বাবে এনেকুৱা মুঠ যোৰৰ সংখ্যা ২৪১৫। তুলনাৰ বাবে ইমানবোৰ যোৰ থকা বাবেই ৭০ জনীয়া দলটোতে সম্ভাৱিতাৰ মানটোৱে ৯৯ শতাংশৰ ঘৰ চুব পাৰিছে।

এইবাৰ আহোঁ দ্বিতীয় তথা মূল কাৰণটোলৈ। আমাৰ সাধাৰণ বিচাৰ-বুদ্ধিৰে আমি ৰৈখিক পৰিৱৰ্তনসমূহ অনুমান কৰাতহে সিদ্ধহস্ত। সূচকীয় বা ঘাতাংকীয় হাৰত হোৱা বৃদ্ধি/হ্ৰাস অনুমান কৰাত আমাৰ মগজুটো একেবাৰে কেঁচা। আমাৰ স্বজ্ঞাই আমাক সদায় সমানুপাতিক হাৰত বৃদ্ধি/হ্ৰাস (অৰ্থাৎ ৰৈখিক) অনুমান কৰিবলৈহে প্ৰৰোচিত কৰে। সেইবাবে বাস্তৱক্ষেত্ৰত তাৰ অন্যথা হ’লেই আমাৰ মনটোৱে সেয়া মানি ল’বলৈ টান পায়। উদাহৰণস্বৰূপে, আপোনাক যেনিবা কাগজ এখিলা ভাঁজ কৰাৰ প্ৰশ্নটোকে কৰা গৈছে। কাগজ এখিলা আপুনি সোঁমাজেৰে ভাঁজ কৰি এটা জাপ দিলে, তাৰ পিছত ইয়াক আকৌ মাজেৰে ভাঁজ কৰি আন জাপ এটা দিলে, এনেকৈ কৰি থাকিলে ৫০ বাৰ ভাঁজ খোৱাৰ পিছত কাগজখিলাৰ উচ্চতা কিমান হ’ব বাৰু? কাগজখিলা দুবাৰমান ভাঁজ কৰি পৰীক্ষা কৰি চালে বিশেষ একো উচ্চতা বৃদ্ধিয়েই নহয়, গতিকে অধিকাংশই অনুমান কৰিব যে ৫০ বাৰ ভাঁজ দিলে হয়তো খুব বেছি এদম কাগজৰ সমান উচ্চতা হ’ব। বা বহুত বেছি বুলি ধৰিলেও দুহাত মেলি আমি যিমান উচ্চতা আগুৰি ল’ব পাৰোঁ; সিমানখিনিলৈ ভাবিব পাৰে। কিন্তু আচল উত্তৰটো হৈছে যে আপুনি যদি ০.১ মিলিমিটাৰ ডাঠ কাগজ এখন ৫০ বাৰ ভাঁজ কৰিবলৈ সক্ষম হয়, তাৰ উচ্চতা হ’ব পৃথিৱীৰ পৰা সূৰ্য্যলৈ দূৰত্বৰ আধাতকৈও বেছি! প্ৰকৃততে এখিলা কাগজ ৫০ বাৰ ভাঁজ দি চোৱাটো সম্ভৱো নহয়। প্ৰশ্নটো আপুনি যদি আজিয়েই প্ৰথম দেখিছে, নিশ্চয় উত্তৰটো মানি ল’বলৈ টান লাগিছে। আৰু এই প্ৰশ্নটো সম্পৰ্কে যদি পূৰ্বৰপৰা জানেও, প্ৰথমবাৰ উত্তৰটো জনাৰ পিছত আপুনিও নিশ্চয় বৰ আচৰিত হৈছিল।

কাগজ ভাঁজ কৰাৰ প্ৰশ্নটোৱে আমাক আশ্চৰ্য্যচকিত কৰাৰ কাৰণো একেটাই। ৫০ বাৰ ভাঁজ কৰাৰ কথা কোৱাৰ লগে লগে আমাৰ ৰৈখিকভাৱে চিন্তা কৰাত অভ্যস্ত মনটোৱে এখিলা কাগজ যিমান ডাঠ, গোটেই জাপটোৰ উচ্চতা ইয়াৰ ৫০ গুণৰ আশে-পাশে বুলিহে ভাবিবলৈ ল’ব। ইমান পাতল কাগজ এখন যে ৫০ টা জাপ দিলেই সাংঘাটিক অবিশ্বাস্য উচ্চতা চুবগৈ পাৰিব, সেয়া আমাৰ স্বজ্ঞাবিৰোধী। কিন্তু অংকটো কৰি চালে আপুনি সহজেই মানি ল’বলৈ বাধ্য হ’ব যে কথাটো অবিশ্বাস্য যেন লাগিলেও মিছা নহয়। প্ৰতিটো জাপতে কাগজখনৰ উচ্চতা দুগুণ হৈ গৈ আছে। গতিকে ৫০টা জাপৰ পিছত মুঠ উচ্চতা পাবলৈ কাগজখনৰ বেধৰ লগত ৫০ বাৰ ২ পূৰণ কৰিব লাগিব, যিটো এটা সাংঘাটিক ডাঙৰ সংখ্যা। অনুৰূপভাৱে, জন্মদিনৰ সমস্যাটোত সম্ভাৱিতাও সূচকীয় হাৰত বৃদ্ধি পাইছে আৰু মাত্ৰ ৭০ জন লোকৰ পিছতে ৯৯ শতাংশও অতিক্ৰম কৰি গৈছে। আচলতে সম্ভাৱিতাৰ ক্ষেত্ৰখনো গণিতৰ এনে এখন ক্ষেত্ৰ যিয়ে আমাৰ বহুতো স্বজ্ঞাবিৰোধী সমস্যাও যুক্তি আৰু অংকৰ সহায়ত সঠিক উত্তৰ দাঙি ধৰিছে। জন্মদিনৰ সমস্যাটো তাৰেই এটা ডাঙৰ তথা জনপ্ৰিয় উদাহৰণ।

তথ্যসূত্ৰ (দুয়োটা খণ্ডৰ বাবে) :
১) The Big Questions: Mathematics (Tony Crilly)৷
২) ইন্টাৰনেটত উপলব্ধ কেবাটাও প্ৰৱন্ধ আৰু ইউটিউব ভিডিঅ’৷