গণিত পাঠ – ৬ : ঋণাত্মকৰ হৰণ

ঢৌ বুলি ক’লে আমাৰ মনলৈ কি আহে বাৰু? পুখুৰীত শিল এটা পেলাই দিলে পুখুৰীটোৰ পানীৰ পৃষ্ঠভাগত যি অৱস্থা সৃষ্টি হয়, তাতেই আমি ঢৌ দেখা পাওঁ সমান হৈ থকা পৃষ্ঠখনৰ কোনোবা অংশ কিছু ওখ হৈ পুনৰ নামি যোৱা — এই গোটেই অংশটোৱেই এটা ঢৌ। মনলৈ নিশ্চয় এইখিনি কথাই আহিব।

যদি বনভোজলৈ যাওঁতে বা আন ক’ৰবাত তুমি ইতিমধ্যে নদী দেখা পাইছা, তেন্তে নদীৰ সৰু সৰু ঢৌবোৰলৈয়ো মনত পৰিব। বাৰিষাৰ ধুমুহাত ব্ৰহ্মপুত্ৰৰ মাজেৰে যদি কেতিয়াবা হাত-নাৱত যাব লগা হয়, তেন্তে এফুটতকৈ ওখ ওখ ঢৌবোৰৰ মাজত এক অনন্য অভিজ্ঞতা হ’বঢৌৰ ধাৰণাটোৱেই তেতিয়া তোমাৰ সলনি হৈ যাব। অসমৰ কাষত সাগৰ নাই বাবে ইয়াতকৈ অধিক ধাৰণা তোমাৰ মনলৈ কেতিয়াও নাহিবও পাৰে। কিন্তু যদি সাগৰৰ কাষত ফুৰিবলৈ যোৱা বা সাগৰেৰে ভ্ৰমণ কৰা বা দক্ষিণ মেৰুৰ পিনলৈ যোৱা বা সাগৰীয় ঢৌৰ ভিডিঅ’ চাবলৈ পোৱা, তেতিয়া কি হ’ব? সেই বিশাল ঢৌবোৰে জাহাজ পৰ্যন্ত জোকাৰি পেলাব পৰে। সেইবোৰ দেখাৰ পাছত ঢৌৰে সম্পৰ্কে তোমাৰ ধাৰণা আৰু অধিক সলনি হ’ব। আৰু যদি তুমি চকুৰে নমনা ঢৌবিলাকৰ কথা পঢ়া, যেনে: শব্দ তৰংগ, মহাজাগতিক তৰংগ; এই সকলো কথাইহে বিশাল প্ৰকৃতিৰ সম্পৰ্কে তোমাক কিছু ধাৰণা দিব।

এনেদৰেই, স্কুলীয়া পৰ্যায়ত তেনেই সামান্য কথাহে আমি শিকিবলৈ পাওঁ। জগতখন অধ্যয়ন কৰিবলৈ, সৰু কালত আমি পোৱা সংজ্ঞাবোৰ বহল প্ৰেক্ষাপটত বিবেচনা কৰি চাব লগা হয়। প্ৰয়োজন হ’লে নতুন সংজ্ঞা দিয়া হয়, নতুন উপপাদ্য আৱিষ্কাৰ কৰা হয়। যেনে: দ্বিবিমীয় জ্যামিতি আৰু ত্ৰিবিমীয় জ্যামিতিত মাত্ৰা সম্পৰ্কে পাইছা। ইয়াত মাত্ৰা ক্ৰমে দুই আৰু তিনি। সেইদৰেই চতুৰ্থ মাত্ৰাও আছে, n-তম মাত্ৰাও আছে। কিছুমান ক্ষেত্ৰত মাত্ৰা ১/২, ১/৩, ২/৩ আদিও হ’ব পাৰে।

সংখ্যাৰ হৰণৰ ক্ষেত্ৰতো স্কুলীয়া ধাৰণা এনেদৰে পিছত সলনি কৰিব লাগিব। ৭ক যদি ২ৰে হৰণ কৰোঁ, আমি ভাগফল পাম ৩ আৰু বাকী থাকিব ১। ৬ক যদি ২ৰে হৰণ কৰোঁ, ভাগফল পাম ৩ আৰু বাকী ০। এইদৰে হৰণ কৰোঁতে আমি কেৱল পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰহে লৈছিলোঁ। বেলেগ সংখ্যাৰ এনে হৰণ আমি প্ৰথম অৱস্থাত পোৱা নাছিলোঁ। সেই হৰণৰ সংজ্ঞাটো আছিল:

যদি a এটা পূৰ্ণ সংখ্যা আৰু b এটা অশূন্য পূৰ্ণ সংখ্যা (/স্বাভাৱিক সংখ্যা), তেন্তে আন দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা q আৰু r পোৱা যাব, যাৰ বাবে আমি পাম:

a = bq + r, য’ত ০ ≤ r < b,

ইয়াত qক কোৱা হয় ভাগফল, rক কোৱা হয় ভাগশেষ বা বাকী।

যেনে: ৭ = ২×৩ + ১, ০ ≤ ১ < ২

আৰু ৬ = ২×৩ + ০, ০ ≤ ০ < ২

এতিয়া আমি ঋণাত্মকৰ বাবেও জানিব লাগিব। বহুপদ ৰাশিৰ বাবেও জানিব লাগিব। তেনেকুৱা আন বহুতৰ বাবে জানিব লাগিব।

অখণ্ড সংখ্যাৰ হৰণ:

বহল অৰ্থত, সংখ্যাৰ হৰণৰ সংজ্ঞাটো হয় এনেধৰণৰ:

যদি a আৰু b দুটা অখণ্ড সংখ্যা, য’ত b অশূন্য, তেন্তে আন দুটা অখণ্ড সংখ্যা q আৰু r পোৱা যাব যাৰ বাবে আমি পাম:

a = bq + r, য’ত ০ ≤ r < |b|

ইয়াত qক কোৱা হয় ভাগফল, rক কোৱা হয় ভাগশেষ বা বাকী।

|b|, অৰ্থাৎ bৰ পৰম মান লোৱা হৈছে। তাৰমানে, rটো সদায় ধণাত্মক লোৱা হ’ব। এই সংজ্ঞামতে, ভাগশেষ বা বাকী কেতিয়াও ঋণাত্মক নহয়।

[ভাগশেষটো ঋণাত্মক লোৱাৰো এটা সংজ্ঞা আছে। পাছত সেইটো নিজে বিচাৰি শিকিবা।]

► এতিয়া প্ৰশ্ন হ’ল -৭ ক যদি ২ৰে হৰণ কৰিলে কি পাম?

আমি মনত ৰাখিব লাগিব যে বাকীটো সদায় ধণাত্মক হ’ব আৰু ইয়াত ২তকৈ সৰু হ’ব। গতিকে, ইয়াত বাকীটো ০ বা ১ হ’ব লাগিব। তাৰ পাছত ২ৰ লগত কিবা সংখ্যা পূৰণ কৰি নিজে পৰীক্ষা কৰিব লাগিব। তেতিয়া দেখিম যে অকল এইটো ক্ষেত্ৰত ভাগশেষটো ২তকৈ সৰু হৈছে।

-৭ = ২×(-৪) + ১

গতিকে, -৭ ক ২ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল -৪ আৰু বাকী ১।

► আকৌ, ৭ক যদি -২ ৰে হৰণ কৰিলে কি পাম?

ইয়াত ভাগশেষটো |-২| তকৈ সৰু হ’ব লাগিব। অৰ্থাৎ, ইয়াতো বাকীটো ০ বা ১ হ’ব লাগিব। পৰীক্ষা কৰি শেষত আমি পাম:

৭ = (-২)×(-৩) + ১

গতিকে, ৭ ক -২ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল -৩ আৰু বাকী ১।

► ওপৰৰ দুয়ো ক্ষেত্ৰতে বাকী একেটাই হৈছে। কিন্তু তাৰ অৰ্থ এইটো নহয় যে চিনৰ সলনি হ’লেও বাকী সদায় একেটাই হয়।

তলৰ ৮টা উদাহৰণ চোৱা, এই আটাইকেইটা উদাহৰণ ভালকৈ চালেই তোমালোকে এনে অংকবোৰ কৰিব পাৰিবা। ইয়াত চাৰিটা সংখ্যা বাছি লৈছোঁ: ১৯, – ১৯, ৭৫, – ৭৫

 ৭৫ = ১৯ × ৩ + ১৮             [৭৫ ক ১৯ ৰে হৰণ। ভাগফল ৩, বাকী ১৮]

 ৭৫ = (- ১৯) × (- ৩) + ১৮      [৭৫ ক -১৯ ৰে হৰণ। ভাগফল -৩, বাকী ১৮]

– ৭৫ = ১৯ × (- ৪) + ১          [-৭৫ ক ১৯ ৰে হৰণ। ভাগফল -৪, বাকী ১।]

– ৭৫ = (- ১৯) × ৪ + ১          [-৭৫ ক -১৯ ৰে হৰণ। ভাগফল ৪, বাকী ১।]

———————————————

 ১৯ = ৭৫ × ০ + ১৯             [১৯ ক ৭৫ ৰে হৰণ। ভাগফল ০, বাকী ১৯।]

 ১৯ = (- ৭৫) × ০ + ১৯          [১৯ ক -৭৫ ৰে হৰণ। ভাগফল ০, বাকী ১৯।]

– ১৯ = ৭৫ × (- ১) + ৫৬         [-১৯ ক ৭৫ ৰে হৰণ। ভাগফল -১, বাকী ৫৬।]

– ১৯ = (- ৭৫) × ১ + ৫৬         [-১৯ ক -৭৫ ৰে হৰণ। ভাগফল ১, বাকী ৫৬।]

► ধণাত্মক সংখ্যাৰ বাবে সাধাৰণতে ঘৰ সাজি হৰণ কৰা দৰে, ঋণাত্মক সংখ্যাৰ বাবেও কৰিব পাৰা।

৭৫ক ১৯ৰে হৰণ কৰিলে আমি এনেকৈ নকৰো জানো:

 

ইয়াত কামটো কি কৰিলা, এবাৰ দকৈ ভাবি চোৱাচোন। ৫৭টোনো কি?

৫৭টো হ’ল ১৯ৰ গুণিতক। সি এনেকুৱা গুণিতক, যিটো নেকি ৭৫তকৈ সৰু আৰু ৭৫ৰ একেবাৰে কাষতে আছে। তাৰ পাছত আমাৰ কামটো হ’ল বিয়োগ কৰা। আমি ৭৫ৰ পৰা ৫৭ বিয়োগ কৰি দিলোঁ। গতিকে আমি ভাগফলটো আৰু ভাগশেষটো ইয়াৰ পৰা পাই গ’লোঁ।

ঋণাত্মকৰ ক্ষেত্ৰতো একেধৰণৰ কথাই পাবা। তলত দিয়া তিনিটা ঘৰৰ পিনে চোৱা। ইয়াত আমি -৭৫ক ১৯ৰে হৰণ কৰিম। ইয়াৰ প্ৰথম দুটা ঘৰ ভুল, তৃতীয়টো শুদ্ধ।

 

* প্ৰথম ঘৰটোত ১৯ক ৩ৰে পূৰণ কৰিলোঁ। -৭৫ৰ তলত ৫৭ পাতি দিলোঁ। ওপৰত কৰা হৰণটোৰ দৰেই পাতি দিলোঁ।

কিন্তু চোৱাচোন, -৭৫তকৈ ৫৭ ডাঙৰ সংখ্যা। আমি -৭৫ৰ তলত তাতকৈ সৰু সংখ্যা পাতিব লাগিব। গতিকে প্ৰথম ঘৰটোত কৰা দৰে অংকটো কৰিলে নহ’ব।

* এইবাৰ দ্বিতীয় ঘৰটোত দিয়াৰ দৰে অংকটো কৰি চালোঁ। ইয়াত ১৯ক -৩ৰে পূৰণ কৰিলোঁ। আৰু -৭৫ৰ তলত -৫৭ বহুৱালোঁ। কিন্তু, -৭৫তকৈ -৫৭ ডাঙৰ। এইটো কথা নিশ্চয় জানা। (-৩ তকৈ -২ ডাঙৰ। -২ তকৈ -১ ডাঙৰ।) গতিকে, দ্বিতীয় ঘৰটোত কৰা দৰে অংকটো কৰিলেও নহ’ব।

* এইবাৰ, ১৯ক -৪ ৰে পূৰণ কৰিলোঁ। তেতিয়া পালোঁ -৭৬। আৰু সেইটো -৭৫ৰ তলত বহুৱাই দিলোঁ।

-৭৬টো -৭৫তকৈ সৰু; আৰু -৭৬টো ১৯ৰ গুণিতক হিচাপে -৭৫ৰ একেবাৰে কাষতে থকা সংখ্যা। গতিকে এইবাৰ অংকটো শুদ্ধ। সেয়েহে, ভাগফল হ’ব -৪ আৰু ভাগশেষ হ’ব ১।

[তোমালোকে বেলেগ বেলেগ সংখ্যা লৈ হৰণ কৰি চাবা। আৰু ধণাত্মকৰ হৰণটোৰ লগত ফলবোৰ তুলনা কৰি চাবা। তেতিয়া, ঋণাত্মক সংখ্যাৰ হৰণফল পটকৈ নিৰ্ণয় কৰাৰ আৰ্হি কিছুমান নিজেও উলিয়াই ল’ব পাৰিবা।]

পৰিমেয় সংখ্যা সম্পৰ্কীয় কেইটামান কথা:

এইবাৰ আমি ৪টা উদাহৰণ লৈ পৰিমেয় সংখ্যা সম্পৰ্কীয় কেইটামান কথা শিকিম।

ওপৰত দিয়া অখণ্ড সংখ্যাৰ হৰণৰ সংজ্ঞাৰ পৰা আমি পাম:

   ৬ = (-২) × (-৩) + ০,

 – ৬ = ২ × (-৩) + ০,

  ৭৫ = (- ১৯) × (- ৩) + ১৮,

– ৭৫ = ১৯ × (- ৪) + ১

ইয়াৰ প্ৰথম দুটাৰ পৰা ক্ৰমে পাম:

 \frac{\text{৬}}{\text{-২}} = -৩ + ০ = -৩

 \frac{\text{-৬}}{\text{২}} = -৩ + ০ = -৩

তাৰমানে,  \frac{\text{৬}}{\text{-২}}=\frac{\text{-৬}}{\text{২}}

এইবাৰ শেষৰ দুটা ল’লে ক্ৰমে পাম:

\frac{\text{৭৫}}{\text{-১৯}}=-\text{৩}+\frac{\text{১৮}}{\text{-১৯}}

\frac{\text{-৭৫}}{\text{১৯}}=-\text{৪}+\frac{\text{১}}{\text{১৯}}

তাৰমানে, \frac{\text{৭৫}}{\text{-১৯}} আৰু \frac{\text{-৭৫}}{\text{১৯}} সমান নহয় নেকি? আচলতে সমানেই হয়। প্ৰথমটো বা দ্বিতীয়টো আৰু এবাৰ সজালে আমি একেটাই পাম। আমি প্ৰথমটো সজাও:

\frac{\text{৭৫}}{\text{-১৯}}=-\text{৩}+\frac{\text{১৮}}{\text{-১৯}} = -৩-১+১+ \frac{\text{১৮}}{\text{-১৯}} = -৪+ \frac{\text{-১}}{\text{-১৯}}

এতিয়া অলপ মিলা যেন লাগিছে, কিন্তু তলে-ওপৰে – চিন এটা এটা আছে। গতিকে, \frac{\text{-১}}{\text{-১৯}}=\frac{\text{১}}{\text{১৯}} বুলি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব।

প্ৰকৃততে, a আৰু b যদি দুটা অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা হয়, তেন্তে \frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}, \frac{-a}{-b}=\frac{a}{b} এইবোৰ সদায় সত্য বুলি প্ৰমাণ কৰিব পাৰি।

\frac{\text{১}}{\text{২}} এটা পৰিমেয় সংখ্যা। আৰু

 

\frac{\text{১}}{\text{২}} টো ইমানবোৰ সংখ্যাৰ সমান!! আচলতে, এইবোৰ সকলোৱেই \frac{\text{১}}{\text{২}} কে বুজাইছে। একেটা সংখ্যাৰেই এইয়া বেলেগ বেলেগ ৰূপ মাথোঁ।

No Comments

Post A Comment

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.