গণিত অলিম্পিয়াড পৰীক্ষাৰ্থীৰ বাবে সংখ্যাতত্ত্বৰ ১০টা প্ৰশ্নোত্তৰ

১) n ৰ কি কি ধনাত্মক অখণ্ড মানৰ বাবে $$\sqrt{\frac{9n-1}{n+7}}$$ এটা পৰিমেয় সংখ্যা?

সমাধান:-

প্ৰশ্নমতে, আমি n ৰ এনে ধনাত্মক অখণ্ড মানসমূহ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে, যাৰ বাবে দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b পোৱা যায়, য’ত $$gcd(a,b)=1$$ আৰু $$\frac{9n-1}{n+7}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$$।

$$\Rightarrow\frac{63n-7}{n+7}=\frac{7a^{2}}{b^{2}}$$

$$\Rightarrow n=\frac{7a^{2}+b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}$$

$$\Rightarrow n=-7+\frac{64b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}$$।

 

এতিয়া, $$gcd(a,b)=1\Rightarrow gcd(a^{2},b^{2})=1$$

$$\Rightarrow gcd(9b^{2}-a^{2},b^{2})=1$$

গতিকে, n এটা অখণ্ড সংখ্যা হ’ব যদি মাত্ৰ যদিহে $$9b^{2}-a^{2}$$ 64ৰ এটা উৎপাদক। আনহাতে, n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে $$\frac{64b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}$$ ধনাত্মক হ’ব লাগিব। সেইবাবে $$9b^{2}-a^{2}$$ ধনাত্মক হ’ব লাগিব।

এতিয়া, $$9b^{2}-a^{2}=(3b+a)(3b-a).$$

যদি, a=b=1 হয়, তেন্তে $$9b^{2}-a^{2}=8;$$ নহ’লে $$9b^{2}-a^{2}geq 3b+a\geq 5$$।

গতিকে $$9b^{2}-a^{2}\geq 8.$$

সেয়েহে $$9b^{2}-a^{2}$$ ৰ সাম্ভাব্য মানসমূহ হ’ল 8, 16, 32 আৰু 64।

আকৌ, 3b + a আৰু 3b – a যোগফলটো 6 ৰ গুণিতক, আৰু দুয়োটাৰ পাৰ্থক্যটো 2 ৰ গুণিতক। আনহাতে, 3b + a > 3b – a.

গতিকে, (3b+a , 3b-a) ৰ সাম্ভাব্য মানকেইটা হ’ল (4, 2), (16, 2) আৰু (8, 4)।

সেয়েহে (a, b) ৰ সাম্ভাব্য মানকেইটা হ’ল (1, 1), (7, 3) আৰু (2, 2)।

কিন্তু, $$gcd(2,2)=2neq 1,$$ গতিকে বাকী দুটা $$n=\frac{7a^{2}+b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}$$ ত বহুৱাই আমি পাম n=1 নতুবা n=11.

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

২) প্ৰমাণ কৰা যে প্ৰতিটো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা nৰ বাবে 1 তকৈ ডাঙৰ পৰস্পৰ মৌলিক অখণ্ড সংখ্যা $$k_{0},k_{1},l\dots,k_{n}$$ পোৱা যায় যাতে

$$k_{0}k_{1}\cdots k_{n}-1$$ দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল।

সমাধান:-

গণিতীয় আৱেশ তত্ত্বৰ সহায়ত ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়।

n=1 ৰ বাবে আমি $$k_{0}=3$$ আৰু $$k_{1}=7$$ ল’ব পাৰোঁ, কাৰণ 3.7-1=20=4.5।

ধৰাহ’ল, কোনো এটা nৰ বাবে (n>1), 1 তকৈ ডাঙৰ পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা $$k_{0},k_{1},\ldots,k_{n}$$ পোৱা যায় যাতে $$k_{0}k_{1}\cdots k_{n}-1=a_{n}(a_{n}-1),$$ য’ত $$a_{n}$$ এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।

গতিকে, $$k_{0}k_{1}\cdots k_{n}=a_{n}^{2}-a_{n}+1$$।

এতিয়া, $$k_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}+1$$ ল’লে আমি পাওঁ:

$$k_{0}k_{1}\cdots k_{n+1}=(a_{n}^{2}-a_{n}+1)(a_{n}^{2}+a_{n}+1)=a_{n}^{4}+a_{n}^{2}+1$$।

$$\Rightarrow k_{0}k_{1}cdots k_{n+1}-1=a_{n}^{2}(a_{n}^{2}+1)$$।

গতিকে, $$k_{0}k_{1}\cdots k_{n+1}-1$$ হ’ল দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যা $$a_{n}^{2}$$ আৰু $$a_{n}^{2}+1$$ ৰ পূৰণফল।

আকৌ, $$gcd(k_{0}k_{1}\cdots k_{n},k_{n+1})=gcd(a_{n}^{2}-a_{n}+1,a_{n}^{2}+a_{n}+1)=1$$

গতিকে, $$k_{0},k_{1},\cdots,k_{n+1}$$ পৰস্পৰ মৌলিক।

 

৩)

(ক) কি কি স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে $$2^{n}-1$$ 7ৰে বিভাজ্য নিৰ্ণয় কৰা।

(খ) যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবেই $$2^{n}+1$$ 7ৰে বিভাজ্য নহয়। প্ৰমাণ কৰা।

সমাধান:-

(ক) $$2^{3}\equiv8\equiv1(mod 7),$$ য’ত 3 হ’ল এই ধৰ্ম মানি চলা আটাইতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা। আকৌ, $$a\equiv b(mod n), c\equiv d(mod n)\Rightarrow ac\equiv bd(mod n)$$। গতিকে, $$a\equiv 1(mod n), c\equiv 1(mod n)\Rightarrow ac\equiv 1(mod n)$$। সেয়েহে,

যদি n=3k হয়, তেন্তে $$2^{n}-1$$ 7ৰে বিভাজ্য।

এতিয়া আমি তলৰ পৰীক্ষা দুটা কৰি চাওঁ:

১) যদি n=3k+1, তেন্তে $$2^{n}-1\equiv2^{3k+1}-1\equiv 2\times 2^{3k}-1\equiv2-1\equiv1(mod 7)$$।

২) যদি n=3k+2, তেন্তে $$2^{n}-1\equiv 4\times2^{3k}-1\equiv 4-1\equiv 3(mod 7)$$।

অৰ্থাৎ, 3ৰে বিভাজ্য প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যা nৰ বাবে $$2^{n}-1$$ 7ৰে বিভাজ্য।

 

(খ) (পাঠকৰ বাবে)

 

৪) যদি $$24a^{2}+1=b^{2},$$ য’ত a আৰু b দুটা অখণ্ড সংখ্যা, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে a আৰু b ৰ এটা ৫ ৰে হৰণ যায়।

সমাধান:-

যিহেতু $$24a^{2}+1=b^{2},$$ গতিকে $$24a^{2}+1\equiv b^{2}(mod 5).$$

আনহাতে, $$25a^{2}\equiv 0 (mod 5).$$

গতিকে, $$-a^{2}+1\equiv b^{2}(mod 5)$$

$$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 1(mod 5).$$

যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা k ৰ বাবেই, $$k\equiv 0,1,2,3,4(mod 5).$$

$$\Rightarrow k^{2}\equiv 0,1,4(mod 5).$$

গতিকে $$a^{2}+b^{2}\equiv 1(mod 5)$$ হ’বলৈ $$a^{2}$$ আৰু $$b^{2}$$ ৰ যিকোনো এটা $$0(mod 5)$$ আৰু আনটো $$1(mod 5)$$ হ’ব লাগিব।

অৰ্থাৎ, a আৰু b ৰ এটা ৫ ৰে হৰণ যায়।

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

৫) $$x=abcd$$ এটা চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা। যদি $$x^{2}$$ ৰ শেষৰ চাৰিটা অংকও $$abcd$$ হয়, তেন্তে $$x$$ ৰ সকলো সাম্ভাব্য মান নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান:-

প্ৰশ্নমতে, $$10000\mid x^{2}-x=x(x-1).$$

x আৰু x-1 পৰস্পৰ মৌলিক আৰু $$10000=2^{4}5^{4},$$

গতিকে $$16|x$$ আৰু $$625|x-1,$$ নতুবা $$16|x-1$$ আৰু $$625|x.$$

এতিয়া যদি আমি 625 ৰ এটা যুগ্ম গুণিতক k ক ধৰি বিবেচনা কৰোঁ, তেন্তে k-1 আৰু k+1 দুয়োটাই অযুগ্ম সংখ্যা হ’ব আৰু এটা অযুগ্ম সংখ্যা 16ৰে হৰণ নাযায়। গতিকে আমি ইয়াত 625 ৰ অযুগ্ম গুণিতকসমূহ বিবেচনা কৰিলেই হ’ব। 625 ৰ, চাৰিটা অংকৰে গঠিত অযুগ্ম গুণিতকসমূহ হ’ল 1875, 3135, 4375, 5625, 6875, 8125 আৰু 9375।

এইসমূহৰ লগত 1 যোগ কৰিলে কেৱল 9375+1=9376 হে 16 ৰে হৰণ যায়, আৰু 1 বিয়োগ কৰিলে কোনোটোৱেই 16 ই হৰণ নাযায়। গতিকে নিৰ্ণেয় x হ’ল 9376।

 

৬) a আৰু b দুটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, u=a+b আৰু v=lcm(a,b)। প্ৰমাণ কৰা যে gcd(u,v) = gcd(a,b).

সমাধান:-

ধৰাহ’ল, $$d|a$$ আৰু $$d|b.$$

গতিকে a আৰু b ৰ যিকোনো গুণিতকক d ৰে হৰণ যাব। গতিকে, $$d|lcm(a,b)=v.$$

আকৌ, $$d|(a+b)=u.$$

গতিকে, $$d|gcd(u,v).$$

 

পুনৰ ধৰহওক, $$d|u,$$ $$d|v,$$ $$g=gcd(d,a)$$ আৰু $$d=gh.$$

এতিয়া, $$v=lcm(a,b)= a\cdot\frac{b}{gcd(a,b)}.$$

যিহেতু $$d|v,$$ $$h|d$$ আৰু $$gcd(h,a)=1,$$

$$h\mid\frac{b}{gcd(a,b)}.$$

আকৌ, $$g|a+b$$ আৰু $$g|a,$$ গতিকে $$g|(a+b)-a=b.$$

আনহাতে, $$h|(a+b)$$ আৰু $$h|b,$$ গতিকে $$h|a.$$

কিন্তু, $$gcd(h,a)=1\Rightarrow h=1.$$

গতিকে, $$d|a.$$

সেইদৰেই $$d|b.$$

অৰ্থাৎ, a আৰু b ৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহ u আৰু v ৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ সৈতে একেই।

সেয়েহে, $$gcd(u,v) = gcd(a,b).$$

 

৭) $$a^{2},b^{2}$$ আৰু $$ab$$ ৰ এককৰ স্থানৰ অংককেইটা নিৰ্ণয় কৰা, য’ত

$$a=2^{2002}+3^{2002}+4^{2002}+5^{2002}$$

আৰু $$b=3^{1}+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{2002}.$$

সমাধান:-

যিকোনো ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা k ৰ বাবে আমি পাওঁ,

$$5^{k}\equiv 5(mod 10),$$

$$2^{4k}\equiv 6(mod 10),$$

$$6^{k}\equiv 6(mod 10),$$

আৰু $$3^{4k}\equiv 1(mod 10).$$

গতিকে,

$$2^{2002}\equiv 6\cdot 4\equiv 4(mod 10),$$

$$3^{2002}\equiv 1\cdot 9\equiv 9(mod 10),$$

আৰু $$4^{2002}\equiv 6(mod 10).$$

সেয়েহে, $$a\equiv 4+9+6+5\equiv 4(mod 10)$$ আৰু $$a^{2}\equiv 6(mod 10).$$

আকৌ, $$b=\frac{1}{2}(3^{2003}-3).$$

এতিয়া $$3^{2003}-3\equiv 7-3\equiv 4(mod 10).$$

$$\Rightarrow b\equiv 2(mod 10).$$

$$\Rightarrow b^{2}\equiv 4(mod 10).$$

আৰু $$\Rightarrow ab\equiv 4\cdot 2\equiv 8(mod 10).$$

অৰ্থাৎ $$a^{2},b^{2}$$ আৰু $$ab$$ ৰ এককৰ স্থানৰ অংককেইটা ক্ৰমে 6, 4 আৰু 8.

 

৮) p এটা অযুগ্ম মৌলিক সংখ্যা আৰু k এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, যাৰ বাবে $$\sqrt{k^{2}-pk}$$ ও এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। এতিয়া k নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান:-

ধৰাহওক, $$\sqrt{k^{2}-pk}=n,$$ য’ত $$n\in N.$$

$$\Rightarrow k^{2}-pk-n^{2}=0$$

$$\Rightarrow k=\frac{p\pm\sqrt{p^{2}+4n^{2}}}{2}.$$

$$\Rightarrow p^{2}+4n^{2}$$ এটা পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা।

ধৰাহ’ল, $$p^{2}+4n^{2}=m^{2}, m\in N$$

সেয়েহে, $$(m-2n)(m+2n)=p^{2}.$$

এতিয়া, $$p$$ এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু $$p\geq 3.$$ গতিকে আমি পাম—

$$m-2n=1,$$ আৰু $$m+2n=p^{2}.$$

$$\Rightarrow m=\frac{p^{2}+1}{2}, n=\frac{p^{2}-1}{4}.$$

$$\Rightarrow k=\frac{p\pm m}{2}=\frac{2p\pm(p^{2}+1)}{4}.$$

$$\Rightarrow k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^{2}.$$

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

৯) n এটা 1 তকৈ ডাঙৰ এনে এটা অখণ্ড সংখ্যা যাৰ প্ৰতিটো উৎপাদক d ৰ বাবেই d+1 য়ে n+1 ক হৰণ যায়। প্ৰমাণ কৰা যে n এটা মৌলিক সংখ্যা।

সমাধান:-

ধৰাহওক, p হ’ল n ৰ আটাইতকৈ সৰু মৌলিক উৎপাদক আৰু $$d=n/p.$$

এতিয়া, $$\frac{np+p}{n+p}=\frac{p(n+1)}{p(d+1)}=\frac{n+1}{d+1}.$$

প্ৰশ্নমতে, $$\frac{n+1}{d+1}$$ এটা অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে, n+p য়ে np+p ক হৰণ যাব। আকৌ, n+p য়ে $$np+p^{2}$$ ক হৰণ যায়। গতিকে,

$$(n+p)|(np+p^{2})-(np+p)=p^{2}-p.$$

$$\Rightarrow n+p\leq p^{2}-p.$$

$$\Rightarrow n<p^{2}.$$

$$d<p.$$

এতিয়া ধৰাহওক, d ৰ এটা মৌলিক উৎপাদক q।

তেতিয়া, $$q\leq d<p$$

আকৌ, q য়ে n ক হৰণ যাব। গতিকে, ওপৰত আমি p ক n ৰ আটাইতকৈ সৰু মৌলিক উৎপাদক বুলি ধৰা মতে $$q\geq p.$$

$$q<p$$ আৰু $$q\geq p$$ দুয়োটা একেলগে সম্ভৱ নহয়। গতিকে, d ৰ কোনো মৌলিক উৎপাদক নাই, অৰ্থাৎ d=1.

সেয়েহে n=p। অৰ্থাৎ n এটা মৌলিক সংখ্যা।

 

১০) যদি $$N,$$ $$x^{2}+xy+y^{2}\leq 2007$$ অসমতাটো মানি চলা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ক্ৰমিত যোৰ $$(x,y)$$ সমূহৰ সংখ্যা হয়, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে $$N$$ এটা অযুগ্ম সংখ্যা।

সমাধান:-

যদি ক্ৰমিত যোৰ $$(x,y)$$ য়ে অসমতাটো মানি চলে, তেন্তে $$(-x,-y)$$ য়েও মানি চলিব, কাৰণ

$$(-x)^{2}+(-x)(-y)+(-y)^{2}=x^{2}+xy+y^{2}.$$

আকৌ, $$(0,0)$$ য়েও অসমতাটো মানি চলে।

গতিকে, মুঠ অযুগ্ম সংখ্যক ক্ৰমিত যোৰে অসমতাটো মানি চলে।

No Comments

Post A Comment

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.