গণিত অলিম্পিয়াড পৰীক্ষাৰ্থীৰ বাবে সংখ্যাতত্ত্বৰ ১০টা প্ৰশ্নোত্তৰ

১) n ৰ কি কি ধনাত্মক অখণ্ড মানৰ বাবে \sqrt{\frac{9n-1}{n+7}} এটা পৰিমেয় সংখ্যা?

সমাধান:-

প্ৰশ্নমতে, আমি n ৰ এনে ধনাত্মক অখণ্ড মানসমূহ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে, যাৰ বাবে দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b পোৱা যায়, য’ত gcd(a,b)=1 আৰু \frac{9n-1}{n+7}=\frac{a^{2}}{b^{2}}

\Rightarrow\frac{63n-7}{n+7}=\frac{7a^{2}}{b^{2}}

\Rightarrow n=\frac{7a^{2}+b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}

\Rightarrow n=-7+\frac{64b^{2}}{9b^{2}-a^{2}}

 

এতিয়া, gcd(a,b)=1\Rightarrow gcd(a^{2},b^{2})=1

\Rightarrow gcd(9b^{2}-a^{2},b^{2})=1

গতিকে, n এটা অখণ্ড সংখ্যা হ’ব যদি মাত্ৰ যদিহে 9b^{2}-a^{2} 64ৰ এটা উৎপাদক। আনহাতে, n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে \frac{64b^{2}}{9b^{2}-a^{2}} ধনাত্মক হ’ব লাগিব। সেইবাবে 9b^{2}-a^{2} ধনাত্মক হ’ব লাগিব।

এতিয়া, 9b^{2}-a^{2}=(3b+a)(3b-a).

যদি, a=b=1 হয়, তেন্তে 9b^{2}-a^{2}=8; নহ’লে 9b^{2}-a^{2}geq 3b+a\geq 5

গতিকে 9b^{2}-a^{2}\geq 8.

সেয়েহে 9b^{2}-a^{2} ৰ সাম্ভাব্য মানসমূহ হ’ল 8, 16, 32 আৰু 64।

আকৌ, 3b + a আৰু 3b - a যোগফলটো 6 ৰ গুণিতক, আৰু দুয়োটাৰ পাৰ্থক্যটো 2 ৰ গুণিতক। আনহাতে, 3b + a > 3b – a.

গতিকে, (3b+a , 3b-a) ৰ সাম্ভাব্য মানকেইটা হ’ল (4, 2), (16, 2) আৰু (8, 4)।

সেয়েহে (a, b) ৰ সাম্ভাব্য মানকেইটা হ’ল (1, 1), (7, 3) আৰু (2, 2)।

কিন্তু, gcd(2,2)=2neq 1, গতিকে বাকী দুটা n=\frac{7a^{2}+b^{2}}{9b^{2}-a^{2}} ত বহুৱাই আমি পাম n=1 নতুবা n=11.

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

২) প্ৰমাণ কৰা যে প্ৰতিটো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা nৰ বাবে 1 তকৈ ডাঙৰ পৰস্পৰ মৌলিক অখণ্ড সংখ্যা k_{0},k_{1},l\dots,k_{n} পোৱা যায় যাতে

k_{0}k_{1}\cdots k_{n}-1 দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল।

সমাধান:-

গণিতীয় আৱেশ তত্ত্বৰ সহায়ত ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়।

n=1 ৰ বাবে আমি k_{0}=3 আৰু k_{1}=7 ল’ব পাৰোঁ, কাৰণ 3.7-1=20=4.5।

ধৰাহ’ল, কোনো এটা nৰ বাবে (n>1), 1 তকৈ ডাঙৰ পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা k_{0},k_{1},\ldots,k_{n} পোৱা যায় যাতে k_{0}k_{1}\cdots k_{n}-1=a_{n}(a_{n}-1), য’ত a_{n} এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।

গতিকে, k_{0}k_{1}\cdots k_{n}=a_{n}^{2}-a_{n}+1

এতিয়া, k_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}+1 ল’লে আমি পাওঁ:

k_{0}k_{1}\cdots k_{n+1}=(a_{n}^{2}-a_{n}+1)(a_{n}^{2}+a_{n}+1)=a_{n}^{4}+a_{n}^{2}+1

\Rightarrow k_{0}k_{1}cdots k_{n+1}-1=a_{n}^{2}(a_{n}^{2}+1)

গতিকে, k_{0}k_{1}\cdots k_{n+1}-1 হ’ল দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যা a_{n}^{2} আৰু a_{n}^{2}+1 ৰ পূৰণফল।

আকৌ, gcd(k_{0}k_{1}\cdots k_{n},k_{n+1})=gcd(a_{n}^{2}-a_{n}+1,a_{n}^{2}+a_{n}+1)=1

গতিকে, k_{0},k_{1},\cdots,k_{n+1} পৰস্পৰ মৌলিক।

 

৩)

(ক) কি কি স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে 2^{n}-1 7ৰে বিভাজ্য নিৰ্ণয় কৰা।

(খ) যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবেই 2^{n}+1 7ৰে বিভাজ্য নহয়। প্ৰমাণ কৰা।

সমাধান:-

(ক) 2^{3}\equiv8\equiv1(mod 7), য’ত 3 হ’ল এই ধৰ্ম মানি চলা আটাইতকৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা। আকৌ, a\equiv b(mod n), c\equiv d(mod n)\Rightarrow ac\equiv bd(mod n)। গতিকে, a\equiv 1(mod n), c\equiv 1(mod n)\Rightarrow ac\equiv 1(mod n)। সেয়েহে,

যদি n=3k হয়, তেন্তে 2^{n}-1 7ৰে বিভাজ্য।

এতিয়া আমি তলৰ পৰীক্ষা দুটা কৰি চাওঁ:

১) যদি n=3k+1, তেন্তে 2^{n}-1\equiv2^{3k+1}-1\equiv 2\times 2^{3k}-1\equiv2-1\equiv1(mod 7)

২) যদি n=3k+2, তেন্তে 2^{n}-1\equiv 4\times2^{3k}-1\equiv 4-1\equiv 3(mod 7)

অৰ্থাৎ, 3ৰে বিভাজ্য প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যা nৰ বাবে 2^{n}-1 7ৰে বিভাজ্য।

 

(খ) (পাঠকৰ বাবে)

 

৪) যদি 24a^{2}+1=b^{2}, য’ত a আৰু b দুটা অখণ্ড সংখ্যা, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে a আৰু b ৰ এটা ৫ ৰে হৰণ যায়।

সমাধান:-

যিহেতু 24a^{2}+1=b^{2}, গতিকে 24a^{2}+1\equiv b^{2}(mod 5).

আনহাতে, 25a^{2}\equiv 0 (mod 5).

গতিকে, -a^{2}+1\equiv b^{2}(mod 5)

\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 1(mod 5).

যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা k ৰ বাবেই, k\equiv 0,1,2,3,4(mod 5).

\Rightarrow k^{2}\equiv 0,1,4(mod 5).

গতিকে a^{2}+b^{2}\equiv 1(mod 5) হ’বলৈ a^{2} আৰু b^{2} ৰ যিকোনো এটা 0(mod 5) আৰু আনটো 1(mod 5) হ’ব লাগিব।

অৰ্থাৎ, a আৰু b ৰ এটা ৫ ৰে হৰণ যায়।

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

৫) x=abcd এটা চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা। যদি x^{2} ৰ শেষৰ চাৰিটা অংকও abcd হয়, তেন্তে x ৰ সকলো সাম্ভাব্য মান নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান:-

প্ৰশ্নমতে, 10000\mid x^{2}-x=x(x-1).

x আৰু x-1 পৰস্পৰ মৌলিক আৰু 10000=2^{4}5^{4},

গতিকে 16|x আৰু 625|x-1, নতুবা 16|x-1 আৰু 625|x.

এতিয়া যদি আমি 625 ৰ এটা যুগ্ম গুণিতক k ক ধৰি বিবেচনা কৰোঁ, তেন্তে k-1 আৰু k+1 দুয়োটাই অযুগ্ম সংখ্যা হ’ব আৰু এটা অযুগ্ম সংখ্যা 16ৰে হৰণ নাযায়। গতিকে আমি ইয়াত 625 ৰ অযুগ্ম গুণিতকসমূহ বিবেচনা কৰিলেই হ’ব। 625 ৰ, চাৰিটা অংকৰে গঠিত অযুগ্ম গুণিতকসমূহ হ’ল 1875, 3135, 4375, 5625, 6875, 8125 আৰু 9375।

পঠনীয়:  অসম গণিত শিক্ষায়তনৰ সম্পৰ্কে

এইসমূহৰ লগত 1 যোগ কৰিলে কেৱল 9375+1=9376 হে 16 ৰে হৰণ যায়, আৰু 1 বিয়োগ কৰিলে কোনোটোৱেই 16 ই হৰণ নাযায়। গতিকে নিৰ্ণেয় x হ’ল 9376।

 

৬) a আৰু b দুটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, u=a+b আৰু v=lcm(a,b)। প্ৰমাণ কৰা যে gcd(u,v) = gcd(a,b).

সমাধান:-

ধৰাহ’ল, d|a আৰু d|b.

গতিকে a আৰু b ৰ যিকোনো গুণিতকক d ৰে হৰণ যাব। গতিকে, d|lcm(a,b)=v.

আকৌ, d|(a+b)=u.

গতিকে, d|gcd(u,v).

 

পুনৰ ধৰহওক, d|u, d|v, g=gcd(d,a) আৰু d=gh.

এতিয়া, v=lcm(a,b)= a\cdot\frac{b}{gcd(a,b)}.

যিহেতু d|v, h|d আৰু gcd(h,a)=1,

h\mid\frac{b}{gcd(a,b)}.

আকৌ, g|a+b আৰু g|a, গতিকে g|(a+b)-a=b.

আনহাতে, h|(a+b) আৰু h|b, গতিকে h|a.

কিন্তু, gcd(h,a)=1\Rightarrow h=1.

গতিকে, d|a.

সেইদৰেই d|b.

অৰ্থাৎ, a আৰু b ৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহ u আৰু v ৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ সৈতে একেই।

সেয়েহে, gcd(u,v) = gcd(a,b).

 

৭) a^{2},b^{2} আৰু ab ৰ এককৰ স্থানৰ অংককেইটা নিৰ্ণয় কৰা, য’ত

a=2^{2002}+3^{2002}+4^{2002}+5^{2002}

আৰু b=3^{1}+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{2002}.

সমাধান:-

যিকোনো ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা k ৰ বাবে আমি পাওঁ,

5^{k}\equiv 5(mod 10),

2^{4k}\equiv 6(mod 10),

6^{k}\equiv 6(mod 10),

আৰু 3^{4k}\equiv 1(mod 10).

গতিকে,

2^{2002}\equiv 6\cdot 4\equiv 4(mod 10),

3^{2002}\equiv 1\cdot 9\equiv 9(mod 10),

আৰু 4^{2002}\equiv 6(mod 10).

সেয়েহে, a\equiv 4+9+6+5\equiv 4(mod 10) আৰু a^{2}\equiv 6(mod 10).

আকৌ, b=\frac{1}{2}(3^{2003}-3).

এতিয়া 3^{2003}-3\equiv 7-3\equiv 4(mod 10).

\Rightarrow b\equiv 2(mod 10).

\Rightarrow b^{2}\equiv 4(mod 10).

আৰু \Rightarrow ab\equiv 4\cdot 2\equiv 8(mod 10).

অৰ্থাৎ a^{2},b^{2} আৰু ab ৰ এককৰ স্থানৰ অংককেইটা ক্ৰমে 6, 4 আৰু 8.

 

৮) p এটা অযুগ্ম মৌলিক সংখ্যা আৰু k এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, যাৰ বাবে \sqrt{k^{2}-pk} ও এটা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। এতিয়া k নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান:-

ধৰাহওক, \sqrt{k^{2}-pk}=n, য’ত n\in N.

\Rightarrow k^{2}-pk-n^{2}=0

\Rightarrow k=\frac{p\pm\sqrt{p^{2}+4n^{2}}}{2}.

\Rightarrow p^{2}+4n^{2} এটা পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা।

ধৰাহ’ল, p^{2}+4n^{2}=m^{2}, m\in N

সেয়েহে, (m-2n)(m+2n)=p^{2}.

এতিয়া, p এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু p\geq 3. গতিকে আমি পাম—

m-2n=1, আৰু m+2n=p^{2}.

\Rightarrow m=\frac{p^{2}+1}{2}, n=\frac{p^{2}-1}{4}.

\Rightarrow k=\frac{p\pm m}{2}=\frac{2p\pm(p^{2}+1)}{4}.

\Rightarrow k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^{2}.

 

Image Source : Shutterstock

Image Source : Shutterstock

৯) n এটা 1 তকৈ ডাঙৰ এনে এটা অখণ্ড সংখ্যা যাৰ প্ৰতিটো উৎপাদক d ৰ বাবেই d+1 য়ে n+1 ক হৰণ যায়। প্ৰমাণ কৰা যে n এটা মৌলিক সংখ্যা।

সমাধান:-

ধৰাহওক, p হ’ল n ৰ আটাইতকৈ সৰু মৌলিক উৎপাদক আৰু d=n/p.

এতিয়া, \frac{np+p}{n+p}=\frac{p(n+1)}{p(d+1)}=\frac{n+1}{d+1}.

প্ৰশ্নমতে, \frac{n+1}{d+1} এটা অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে, n+p য়ে np+p ক হৰণ যাব। আকৌ, n+p য়ে np+p^{2} ক হৰণ যায়। গতিকে,

(n+p)|(np+p^{2})-(np+p)=p^{2}-p.

\Rightarrow n+p\leq p^{2}-p.

\Rightarrow n<p^{2}.

d<p.

এতিয়া ধৰাহওক, d ৰ এটা মৌলিক উৎপাদক q।

তেতিয়া, q\leq d<p

আকৌ, q য়ে n ক হৰণ যাব। গতিকে, ওপৰত আমি p ক n ৰ আটাইতকৈ সৰু মৌলিক উৎপাদক বুলি ধৰা মতে q\geq p.

q<p আৰু q\geq p দুয়োটা একেলগে সম্ভৱ নহয়। গতিকে, d ৰ কোনো মৌলিক উৎপাদক নাই, অৰ্থাৎ d=1.

সেয়েহে n=p। অৰ্থাৎ n এটা মৌলিক সংখ্যা।

 

১০) যদি N, x^{2}+xy+y^{2}\leq 2007 অসমতাটো মানি চলা ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ক্ৰমিত যোৰ (x,y) সমূহৰ সংখ্যা হয়, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে N এটা অযুগ্ম সংখ্যা।

সমাধান:-

যদি ক্ৰমিত যোৰ (x,y) য়ে অসমতাটো মানি চলে, তেন্তে (-x,-y) য়েও মানি চলিব, কাৰণ

(-x)^{2}+(-x)(-y)+(-y)^{2}=x^{2}+xy+y^{2}.

আকৌ, (0,0) য়েও অসমতাটো মানি চলে।

গতিকে, মুঠ অযুগ্ম সংখ্যক ক্ৰমিত যোৰে অসমতাটো মানি চলে।

Print Friendly, PDF & Email
No Comments

Post A Comment