বিশ্বৰ প্ৰথমটো কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰাম আৰু বাৰ্ণলী সংখ্যা

বিজ্ঞান-লেখক ষ্টিভেন জনছনে এক পৃথক প্ৰসংগত বৰ্ণনা কৰিছিল যে— “কেইবা হাজাৰ বছৰ পূৰ্বে বিশেষ একো নজনা-নুশুনা কোনোবা এটা মানুহে মৃত জীৱ-জন্তুৰ শুকান হাড়েৰে বাঁহীৰ দৰে এটা চুঙা সাজিছিল। সেইটোত ফুঁ মাৰি সুকীয়া মাত এটা উলিয়াই সি আনন্দ পাইছিল। কালক্ৰমত আন কোনোবাই এটা যন্ত্ৰ সাজি উলিয়ালে, যিটোৰ এপিনে আঙুলিৰে হেঁচা দিয়াৰ ফলত আন কোনোবাপিনে কেইবাটাও চুঙাৰে কিছুমান মাত ওলায়। মুখেৰে ফুঁৱাই থকা সলনি আঙুলিৰে হেঁচা দি সেইবোৰৰ পৰা সুৰ সৃষ্টি কৰা হয়। সময়ত সেইটোৰ উন্নতি ঘটাই পিয়ানো আদিৰ সৃষ্টি কৰা হ’ল। আৰু এদিন কাৰোবাৰ মনত খেলালে যে আঙুলিৰে টিপা মৰাৰ ফলত সুকীয়া মধুৰ শব্দ ওলোৱা সলনি যদি কিবা আখৰ ওলাই! তেনেকৈ সৃষ্টি হ’ল টাইপ-ৰাইটাৰৰ। এই পৰিক্ৰমাতে আঙুলিৰ টিপাত গণনা কৰা যন্ত্ৰৰ ধাৰণাও আহিল। চাৰ্লছ বেবেজে তাক ৰূপায়ণ কৰিলে। [মূল লেখকৰ সুকীয়া বক্তব্যৰ অতি চমু বৰ্ণনা]

চাৰ্লছ বেবেজক কম্পিউটাৰৰ জনক বুলি কোৱা হয়। ইফালে ৰোমাণ্টিক কবিতাৰ মহাপ্ৰতিভা আৰু উদ্ভত বাইৰনৰ সন্তান আছিল এডা বাইৰন। এডাৰ এমাহ বয়সত বাইৰন আঁতৰি গৈছিল, আৰু এডাই পুনৰ কোনোদিন দেউতাকক দেখা পোৱা নাছিল। এডাৰ গণিত, বিজ্ঞান, কবিতা, সংগীত, নৃত্য এই সকলোতে ৰাপ আছিল। এডাৰ মাকে পতি বাইৰনৰ ওপৰত পোতক তুলিবলৈ এডাক কবিতাৰ পৰা আঁতৰাই গণিতৰ প্ৰতি ঢাল খুওৱাৰ তীব্ৰ চেষ্টা চলাইছিল। অৱশ্যে এই সকলোতে এডাৰ ৰাপ সদায় থাকি গৈছিল। এডাহঁতৰ আশে-পাশে গণিত-বিজ্ঞানৰ প্ৰতি আগ্ৰহী মানুহ বহুতো আছিল। তেওঁলোকে বৈজ্ঞানিক কাম-কাজ সম্পন্ন কৰাৰ লগতে তেওঁলোকৰ মাজত সঘনে অনানুষ্ঠানিক আলোচনা সভা চলিছিল। তেনে এক অনুষ্ঠানতে এডাই চাৰ্লছ বেবেজকো লগ পালে, ১৭ বছৰ বয়সত।

১৯ বছৰ বয়সত এডা বাইৰনৰ বিবাহ হ’ল এজন বিজ্ঞানীৰ লগত, যি পিছলৈ ‘ৰয়েল ছ’চাইটিৰ সদস্য’ ৰূপে নিৰ্বাচিত হৈছিল। অভিজাত ব্যক্তিজনে ‘আৰ্ল অৱ লভলে’চ’ (Earl of Lovelace) খিতাপ লোৱা বাবে এডা বাইৰন ‘লেডী লভলে’চ’ আৰু এডা লভলে’চ বুলি পৰিচিত হ’ল।

~~*~~

চিত্ৰশিল্পী আলফ্ৰেড এডোৱাৰ্ড শ্যেলোৱে অংকণ কৰা এডা লভলে’চৰ এখনি প্ৰসিদ্ধ পেণ্টিং।

এই সূত্ৰকেইটা জনাজাত:

\text{১}+\text{২}+\text{৩}+\cdots+n=\frac{n(n+\text{১})}{\text{2}}=\frac{n^\text{২}+n}{\text{2}},

\text{১}^\text{২}+\text{২}^\text{২}+\text{৩}^\text{২}+\cdots+n^\text{২}=\frac{n(n+\text{১})(\text{২}n+\text{১})}{\text{৬}}=\frac{\text{২}n^\text{৩}+\text{৩}n^\text{২}+n}{\text{৬}},

\text{১}^\text{৩}+\text{২}^\text{৩}+\text{৩}^\text{৩}+\cdots+n^\text{৩}=\left[ \frac{n(n+\text{১})}{\text{২}}\right] ^\text{২}=\frac{n^\text{৪}+\text{২}n^\text{৩}+n^\text{২}}{\text{৪}}.

এইকেইটা আমাৰ হাইস্কুলত উলিয়াবলৈ শিকোৱা হয়। তাত শিকোৱা পদ্ধতিটো হৈছে— প্ৰথমটো ব্যৱহাৰ কৰি দ্বিতীয়টো উলিওৱা হয়। দ্বিতীয়টো জনাৰ পাছত তৃতীয়টো উলিওৱা হয়। এইদৰে অধিক ঘাতলৈ উলিয়াই যাব পাৰি, অৰ্থাৎ এটা ঘাতৰ বাবে উলিয়াবলৈ হ’লে তাৰ তলৰ ঘাতটোৰ সূত্ৰটো জানিব লাগিব। আমি ধৰি ল’ব পাৰোঁ যে,

S_k(n):=\sum_{i=\text{১}}^{n}i^k=\text{১}^k+\text{২}^k+\text{৩}^k+\cdots+n^k.

আৰু কেইটামান ঘাতৰ সূত্ৰ হ’ল:

\text{১}^\text{৪}+\text{২}^\text{৪}+\text{৩}^\text{৪}+\cdots+n^\text{৪}=\frac{n(n+\text{১})(\text{২}n+\text{১})(\text{৩}n^\text{২}+\text{৩}n-\text{১})}{\text{৩০}}=\frac{\text{৬}n^\text{৫}+\text{১৫}n^\text{৪}+\text{১০}n^\text{৩}-n}{\text{৩০}},

\text{১}^\text{৫}+\text{২}^\text{২}+\text{৩}^\text{৫}+\cdots+n^\text{৫}=\frac{[n(n+\text{১})]^\text{২}(\text{২}n^\text{২}+\text{২}n-\text{১})}{\text{১২}}=\frac{\text{২}n^\text{৬}+\text{৬}n^\text{৫}+\text{৫}n^\text{৪}-n^\text{২}}{\text{১২}},

\text{১}^\text{৬}+\text{২}^\text{৬}+\text{৩}^\text{৬}+\cdots+n^\text{৬}=\frac{n(n+\text{১})(\text{২}n+\text{১})(\text{৩}n^\text{৪}+\text{৬}n^\text{৩}-\text{৩}n+\text{১})}{\text{৪২}}=\frac{\text{৬}n^\text{৭}+\text{২১}n^\text{৬}+\text{২১}n^\text{৫}-\text{৭}n^\text{৩}+n}{\text{৪২}}.

আমাৰ হাইস্কুলীয়া পদ্ধতিটো অনুসৰি: S_{\text{২৯}}(n) ৰ বাবে সূত্ৰটো উলিয়াবলৈ S_{\text{২৮}}(n) ৰ সূত্ৰটো জানিব লাগিব। তাৰমানে, S_{\text{২৯}}(n) ৰ বাবে সূত্ৰটো নিজে নিৰ্ণয় কৰিবলৈ হ’লে তাৰ তলৰ ঘাতৰ গোটেই ২৮ টা সূত্ৰ নিৰ্ণয় কৰি ল’ব লাগিব। এই পদ্ধতিটো শিকোৱা হয়, কিন্তু পদ্ধতিটো কোনে উলিয়ালে সেই কথা কোৱা হোৱা নাই। এইটো উলিয়াইছিল আজিৰ পৰা ৩৫৫ বছৰ আগতে ব্লেইজ পাস্কেলে (Blaise Pascal)। কিন্তু এইটো বৰ ভাল পদ্ধতি নহয়। কাৰণ এটা সূত্ৰ উলিয়াবলৈকে ইমানবোৰ কাম কৰিব লাগিব, আৰু তাৰ পাছতহে কিবা মান নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যাব। ই খৰচী বস্তু– মানুহৰ সময়, কম্পিউটাৰৰ সঁজুলি, বিজুলী, …। ইয়াতকৈ বহুগুণে ভাল পদ্ধতিটো আন এজন মানুহে উলিয়ালে তাৰ পৰা ৪০ বছৰমান পাছত। কিন্তু সেইবোৰ প্ৰকাশ হোৱাৰ আগতেই মানুহজনৰ মৃত্যু হ’ল। অৱশ্যে মৃত্যুৰ পাছত সেইবোৰ প্ৰকাশ পালে। মানুহজন হ’ল জেকব বাৰ্ণলী (Jakob Bernoulli)। বাৰ্ণলীয়ে এই সূত্ৰসমূহত নিহিত বিশেষ আৰ্হি এটা বিচাৰি পালে। সেই আৰ্হিটোৰ এটা সৰল ব্যাখ্যা এনেধৰণৰ:

S_\text{১}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{২}}\left[n^\text{২}-n\right],

S_\text{২}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৩}}\left[n^\text{৩}-\frac{\text{৩}}{\text{২}}n^\text{২}+\frac{\text{১}}{\text{২}}n\right],

S_\text{৩}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৪}}\left[n^\text{৪}-\text{২}n^\text{৩}+n^\text{২}\right],

S_\text{৪}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৫}}\left[n^\text{৫}-\frac{\text{৫}}{\text{২}}n^\text{৪}+\frac{\text{৫}}{\text{৩}}n^\text{৩}-\frac{\text{১}}{\text{৬}}n\right],

S_\text{৫}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৬}}\left[n^\text{৬}-\text{৩}n^\text{৫}+\frac{\text{৫}}{\text{২}}n^\text{৪}-\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{২}\right],

S_\text{৬}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৭}}\left[n^\text{৭}-\frac{\text{৭}}{\text{২}}n^\text{৬}+\frac{\text{৭}}{\text{২}}n^\text{৫}-\frac{\text{৭}}{\text{৬}}n^\text{৩}+\frac{\text{১}}{\text{৬}}n\right].

ইয়াৰ পৰা পোৱা গ’ল যে,

S_\text{১}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{২}}\left[n^\text{২}-\text{২}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n\right],

S_\text{২}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৩}}\left[n^\text{৩}-\text{৩}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n^\text{২}+\text{৩}\left(\frac{\text{১}}{\text{৬}}\right)n\right],

S_\text{৩}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৪}}\left[n^\text{৪}-\text{৪}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n^\text{৩}+\text{৬}\left(\frac{\text{১}}{\text{৬}}\right)n^\text{২}\right],

S_\text{৪}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৫}}\left[n^\text{৫}-\text{৫}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n^\text{৪}+\text{১০}\left(\frac{\text{১}}{\text{৬}}\right)n^\text{৩}-\text{৫}\left(\frac{\text{১}}{\text{৩০}}\right)n\right],

S_\text{৫}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৬}}\left[n^\text{৬}-\text{৬}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n^\text{৫}+\text{১৫}\left(\frac{\text{১}}{\text{৬}}\right)n^\text{৪}-\text{১৫}\left(\frac{\text{১}}{\text{৩০}}\right)n^\text{২}\right],

S_\text{৬}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৭}}\left[n^\text{৭}-\text{৭}\left(\frac{\text{১}}{\text{২}}\right)n^\text{৬}+\text{২১}\left(\frac{\text{১}}{\text{৬}}\right)n^\text{৫}-\text{৩৫}\left(\frac{\text{১}}{\text{৩০}}\right)n^\text{৩}+\text{৭}\left(\frac{\text{১}}{\text{৪২}}\right)n\right].

আৰু ইয়াৰ পাছতে আৰ্হিটো দেখা পোৱা গ’ল,

S_\text{১}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{২}}\left[\binom{\text{২}}{\text{০}}n^\text{২}-\binom{\text{২}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n\right],

S_\text{২}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৩}}\left[\binom{\text{৩}}{\text{০}}n^\text{৩}-\binom{\text{৩}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{২}+\binom{\text{৩}}{\text{২}}\frac{\text{১}}{\text{৬}}n\right],

S_\text{৩}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৪}}\left[\binom{\text{৪}}{\text{০}}n^\text{৪}-\binom{\text{৪}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{৩}+\binom{\text{৪}}{\text{২}}\frac{\text{১}}{\text{৬}}n^\text{২}+\binom{\text{৪}}{\text{৩}}\text{০}n\right],

S_\text{৪}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৫}}\left[\binom{\text{৫}}{\text{০}}n^\text{৫}-\binom{\text{৫}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{৪}+\binom{\text{৫}}{\text{২}}\frac{\text{১}}{\text{৬}}n^\text{৩}+\binom{\text{৫}}{\text{৩}}\text{০}n^২-\binom{\text{৫}}{\text{৪}}\frac{\text{১}}{\text{৩০}}n\right],

S_\text{৫}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৬}}\left[\binom{\text{৬}}{\text{০}}n^\text{৬}-\binom{\text{৬}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{৫}+\binom{\text{৬}}{\text{২}}\frac{\text{১}}{\text{৬}}n^\text{৪}+\binom{\text{৬}}{\text{৩}}\text{০}n^\text{৩}-\binom{\text{৬}}{\text{৪}}\frac{\text{১}}{\text{৩০}}n^\text{২}+\binom{\text{৬}}{\text{৫}}\text{০}n\right],

S_\text{৬}(n-\text{১})=\frac{\text{১}}{\text{৭}}\left[\binom{\text{৭}}{\text{০}}n^\text{৭}-\binom{\text{৭}}{\text{১}}\frac{\text{১}}{\text{২}}n^\text{৬}+\binom{\text{৭}}{\text{২}}\frac{\text{১}}{\text{৬}}n^\text{৫}+\binom{\text{৭}}{\text{৩}}\text{০}n^\text{৪}-\binom{\text{৭}}{\text{৪}}\frac{\text{১}}{\text{৩০}}n^\text{৩}+\binom{\text{৭}}{\text{৫}}\text{০}n^\text{২}+\binom{\text{৭}}{\text{৬}}\frac{\text{১}}{\text{৪২}}n\right].

ইয়াত প্ৰতিটো স্তম্ভত এটা এটা বিশেষ সংখ্যা দেখা গৈছে: \text{১},-\frac{\text{১}}{\text{২}},\frac{\text{১}}{\text{৬}},\text{০},-\frac{\text{১}}{\text{৩০}},\text{০},\frac{\text{১}}{\text{৪২}}। ঘাতৰ পৰিমাণ বঢ়াই গৈ থাকিলে এইদৰে এটা এটা বিশেষ সংখ্যা ওলাই গৈ থাকিব। কালক্ৰমত এই সংখ্যাসমূহে ‘বাৰ্ণলী সংখ্যা’ নাম পালে, আৰু (n+\text{১})-তম বাৰ্ণলী সংখ্যাটো চিহ্নিত হ’ল B_n বুলি। সিহঁতক লৈ এটা সূত্ৰ পোৱা গ’ল:

S_k(n)=\frac{\text{১}}{k+\text{১}}\sum_{j=\text{০}}^{k}(-\text{১})^j\binom{k+\text{১}}{j}B_jn^{k-j+\text{১}}.

ই পূৰ্বৰ সূত্ৰবোৰতকৈ উন্নত এইকাৰণেই যে যিকোনো ঘাতৰ বাবে মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ ই সকলোখিনি একেটা সূত্ৰতে আবদ্ধ কৰি পেলালে। তাৰোপৰি, মাথোঁ কেইটামান বাৰ্ণলী সংখ্যা জানিলেই ইয়াৰ দ্বাৰা পূৰ্বতকৈ বহু অধিক ফলাফল পোৱা যায়। যেনে: প্ৰথম ১০১ টা বাৰ্ণলী সংখ্যা যদি জনা যায় তেন্তে ১০০ ঘাতলৈকে সকলো মান ইয়াৰ সহায়ত উলিয়াব পৰা যাব। আৰু পোৱা গ’ল যে ১ তকৈ ডাঙৰ সকলো অযুগ্ম i ৰ বাবে B_i=\text{০}। গতিকে ৫২ টা সংখ্যা জানিলেই হ’ল। বিভিন্ন জটিল কথা সূত্ৰবদ্ধ কৰাত বাৰ্ণলী সংখ্যাই সহায় কৰিলে। ইয়াৰ নতুন ধৰণৰ সংজ্ঞাও সৃষ্টি হ’ল। এতিয়াও পৃথক পৃথক প্ৰসংগত নতুন নতুন সূত্ৰ নিৰ্ণয়ৰ প্ৰচেষ্টা চলি আছে, য’ত বাৰ্ণলী সংখ্যাই ভুমুকি মাৰে। কিন্তু বাৰ্ণলী সংখ্যাবোৰৰ মানবিলাক পোৱাটো বৰ এটা সহজ কথাও নহয়।

~~*~~

লণ্ডনৰ বিজ্ঞান সংগ্ৰহালয়ত এডা লভলে’চ সম্পৰ্কীয় সংগ্ৰহৰ অংশ।

এডাই যেতিয়া বেবেজক প্ৰথম লগ পাইছিল, তেতিয়া বেবেজে তেওঁৰ নতুন গণক-যন্ত্ৰৰ কথা কৈ আছিল। গণিতত ৰাপ থকা এডাই সেয়া সহজেই বুজি পাইছিল। দুয়োৰে মাজত চিন্তাৰ আদান-প্ৰদান আৰম্ভ হ’ল। কেইবাবছৰৰ পাছত, বেবেজৰ সেই কৰ্মবোৰৰ সম্পৰ্কত এজন গণিতজ্ঞই লিখা এখন গৱেষণা-পত্ৰ ইংৰাজীলৈ অনুবাদ কৰিবলৈ বেবেজে এডাক অনুৰোধ জনালে। গৱেষণা-পত্ৰখনত গণক-যন্ত্ৰই কৰিব পৰা কিছুমান কামৰ কথা কোৱা হৈছিল, যেনে: ডাঙৰ সংখ্যাৰ পূৰণ, সৰল সমীকৰণ সমাধান। সেইবোৰ আছিল পোনপটীয়া প্ৰসংগ, আৰু গৱেষণা-পত্ৰখন অনুবাদ কৰোঁতে এডাই কিছুমান টোকা, চিত্ৰীয় ব্যাখ্যা আদি লিখি যাবলৈ ধৰিলে। যাৰ ফলত অনুবাদটো প্ৰায় তিনিগুণ ডাঙৰ হৈ পৰিল। তাত তেওঁ লিখিলে বাৰ্ণলী সংখ্যা কেনেকৈ নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। একোটা ফলাফল নিৰ্ণয় কৰাৰ যিটো ক্ৰমিক প্ৰণালী, সেই ধৰণৰ কথা তেওঁ লিখি উলিয়ালে। এটা প্ৰক্ৰিয়াৰ অন্তৰ্গত আন এটা প্ৰক্ৰিয়া কেনেকৈ ক্ৰম অনুসাৰে সম্পন্ন হ’ব পাৰে, তাক তেওঁ তালিকা আৰু চিত্ৰৰে নিৰ্দেশ কৰি স্পষ্ট কৰি তুলিলে। ইয়াৰ দ্বাৰা অষ্টমটোলৈকে বাৰ্ণলী সংখ্যাবোৰ নিৰ্ণয়ৰ উপায় পোৱা গ’ল। সেই প্ৰণালীখিনি এনে পদ্ধতিৰে তেওঁ লিখি উলিওৱাটোকেই বিশ্বৰ প্ৰথমটো কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰাম বুলি কোৱা হয়। কিন্তু সেইটো কোনোদিন কম্পিউটাৰত নচলোৱাকৈয়ে থাকি গ’ল, কাৰণ সেইটো স্তৰৰ কম্পিউটাৰৰ তেতিয়া নিৰ্মাণ হোৱা নাছিল।

সেই যুগত মহিলাই গৱেষণা-পত্ৰ প্ৰকাশ কৰাটো বৰ এটা গতানুগতিক কথা নাছিল; সেই অনুবাদটোতো এডাৰ সম্পূৰ্ণ নাম প্ৰকাশ হোৱা নাছিল। বিজ্ঞানৰ ইতিহাসত বহু যুগ ধৰি এডা উপেক্ষিত হৈ ৰৈছিল, তেওঁৰ বিজ্ঞতাৰ প্ৰতি সন্দেহ দেখুওৱা হৈছিল। কিন্তু, আজিৰ মানুহক এডাৰ উদ্ভাৱনী চিন্তাই বিমুগ্ধ কৰাৰ লগতে, এডাৰ কাষৰ মানুহবোৰে সেই যুগতো তেওঁৰ লগত কৰা সহযোগিতা মন কৰিবলগীয়া। ওৱল্টাৰ আইজাকশ্বনে (Walter Isaacson) তেওঁৰ ‘The Innovators: How a Group of Hackers, Geniuses, and Geeks Created the Digital Revolution’ গ্ৰন্থখনত লিখিছে যে এডা আৰু বেবেজৰ মাজত আদান-প্ৰদান হোৱা পত্ৰবোৰৰ পৰা এইটো স্পষ্ট যে এডাই এইবোৰ সম্পন্ন কৰিছিল সম্পূৰ্ণ নিজাকৈ; এটাই মাথোঁ সহায় তেওঁ পাইছিল, যিটো পাইছিল তেওঁৰ গিৰিয়েকৰ পৰা, যিজনে সেই গাণিতিক কথাখিনি সমূলি বুজি নোপোৱা সত্ত্বেও এডাই পেঞ্চিলেৰে প্ৰস্তুত কৰা টোকা আৰু তালিকাবোৰ তেওঁ চিঞাঁহীৰে লিখি তুলিছিল।

~~*~~

শ্ৰীনিবাস ৰামানুজনৰ প্ৰথমখন গৱেষণা-পত্ৰৰ বিষয় আছিল বাৰ্ণলী সংখ্যা, সেইখন প্ৰকাশ পাইছিল ১৯১১ চনত। তাত তেওঁ বাৰ্ণলী সংখ্যা নিৰ্ণয়ৰ নতুন উন্নত সূত্ৰ এটা আগবঢ়াইছিল। তাৰ লগতে, দূৰতম স্থানৰ বাৰ্ণলী সংখ্যাৰ আসন্ন ৰাশি কিছুমান আৰু কেইটামান নতুন অভেদো তেওঁ প্ৰকাশ কৰিছিল। নিজৰ সূত্ৰটো খটুৱাই তেওঁ B_{\text{৪০}} লৈকে বাৰ্ণলী সংখ্যাবোৰ উলিয়াইয়ো দেখুৱালে। এই গৱেষণা-পত্ৰখন ৰয়েল ছ’চাইটিৰ পুথিভঁৰালত ৰামানুজন সম্পৰ্কীয় আন কিছু বস্তুৰ সৈতে প্ৰদৰ্শন কৰি ৰখা হৈছে।

২০০৮ চনত (২০১০ চনত প্ৰকাশিত) এজন গণিতজ্ঞই কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰাম প্ৰস্তুত কৰি n=\text{১০}^\text{৮} ৰ বাবে B_n ৰ মান নিৰ্ণয় কৰি নতুন ৰেক’ৰ্ড গঢ়ে।

Featured image courtesy: Ella Tjader.

No Comments

Post A Comment