এটা বৰ্গৰ অন্তৰ্গত এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ

02 Sep এটা বৰ্গৰ অন্তৰ্গত এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ

Posted at 01:00h in Fun Facts, অলিম্পিয়াড, সমস্যা আৰু সমাধান by পংকজ জ্যোতি মহন্ত 0 Comments

এই লেখাটো গণিত অলিম্পিয়াডত অহা এটি জ্যামিতিক সমস্যা সম্পৰ্কীয়। ইয়াত, সেই এটা সমস্যাকে পৃথক পৃথককৈ কেইবাধৰণে সমাধান কৰি দেখুওৱা হৈছে, যাৰ জৰিয়তে পাঠকে সমস্যাটোৰ লগত জড়িত গাণিতীক সৌন্দৰ্য উপভোগ কৰিব পাৰিব।

সমস্যাটো:

$ABCD$ এটা বৰ্গ। $E$ হ’ল বৰ্গটোৰ ভিতৰৰ এনে এটা বিন্দু যাতে $\angle{ECB}=\angle{EBC}=15^{\circ}$ . প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

question

ত্ৰিকোণমিতিৰ ব্যৱহাৰেৰে সমাধান:

$BC$ আৰু $AD$ ৰ লম্ব দ্বিখণ্ডক $MN$ অংকণ কৰা হ’ল। যিহেতু $\Delta EBC$ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ, গতিকে $MN$ $E$ বিন্দুৱেদি পাৰ হৈ যাব।

ধৰাহওক, বৰ্গটোৰ বাহুবোৰৰ দৈৰ্ঘ $a$ .

এতিয়া, $\Delta EBN$ এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ আৰু $BN=\dfrac{a}{2}.$

গতিকে, $\tan\angle{EBN}=\dfrac{EN}{BN}\Rightarrow\tan15^{\circ}=\dfrac{EN}{\dfrac{a}{2}}.$

$\Rightarrow 2-\sqrt{3}=\dfrac{EN}{\dfrac{a}{2}}.$

$\Rightarrow EN=\dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$

$\Rightarrow EN=a-\dfrac{a}{2}\sqrt{3}.$

এতিয়া, $ME=MN-EN=a-EN=\dfrac{a}{2}\sqrt{3}$ .

আকৌ, $AM=\dfrac{a}{2}$ আৰু $\Delta EAN$ এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ; গতিকে

$\tan\angle{EAM}=\dfrac{EM}{AM}.$

$\Rightarrow\tan\angle{EAM}=\dfrac{\dfrac{a}{2}\sqrt{3}}{\dfrac{a}{2}}.$

$\Rightarrow\tan\angle{EAM}=\sqrt{3}.$

$\Rightarrow\angle{EAM}=60^{\circ}.$

$\Rightarrow\angle{EAD}=60^{\circ}.$

সেইদৰেই আমি পাম $\angle{EDA}=60^{\circ}.$

গতিকে $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

Trigonometry

আন এটি সমাধান:

প্ৰমেয়টো অনুসৰি $AD=AE=AB$ ক $A$ কেন্দ্ৰীয় বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ হিচাপে পোৱা যাব।

কিন্তু, ধৰাহওক, $E$ বিন্দুটো বৃত্তটোৰ পৰিধীত নাথাকে। ধৰাহওক, $BE$ ৰ $E$ বিন্দুত বৃত্তটোৰ পৰিধীয়ে কাটিছে। এতিয়া আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $E=E$ .

এতিয়া, $\Delta AE$ ত $AE$ (একেটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ।)

$\Rightarrow\angle{AE$ .

$\Rightarrow\angle{E$

$\Rightarrow\angle{E$ .

এতিয়া, $\Delta AE$ ত $\angle{E$ আৰু $AE$ (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)।

গতিকে, $\Delta AE$ সমবাহু ত্ৰিভূজ। সেয়েহে, প্ৰথম প্ৰমাণটোৰ ধৰণেৰে আমি পাম $E$ বিন্দুটো $MN$ ৰ ওপৰত থাকিব। কিন্তু $E$ $BE$ ৰ ওপৰতো আছে। গতিকে, $E$ . কিন্তু, $E$ ও $MN$ ৰ ওপৰত আছে আৰু সেয়েহে $E=MN\cap BE$ . কিন্তু, সমতলত দুডাল অসমান্তৰাল সৰল লেখাৰ ছেদবিন্দু কেৱল এটাই। সেয়েহে, $E$ .

গতিকে, $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

Elementary-1

আন এক সমাধান:

বৰ্গটোৰ ভিতৰত $\Delta AE$ সমবাহু ত্ৰিভূজ এটি ধৰি লৈ প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে $E=E$ .

Elementary-2

অসমতা ব্যৱহাৰ কৰি সমাধান:

ধৰাহওক, $AB=BC=CD=DA=a$ আৰু $BE=EC=c$ .

এতিয়া $\Delta ABE$ আৰু $\Delta DCE$ ত

$AB=DC$

$\angle{ABE}=\angle{DCE}$ ( $=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$ )

আৰু $BE=CE$

সেয়েহে $\Delta ABE\cong\Delta DCE$ .

গতিকে, $\angle{AEB}=\angle{DEC}$ আৰু $AE=DE$ .

সেয়েহে, $\Delta AED$ ৰ পৰা $\angle{EAD}=\angle{EDA}$

ধৰাহওক, $\angle{AEB}=\angle{DEC}=\epsilon$ , $AE=DE=b$ , $\angle{EAD}=\angle{EDA}=\beta$ আৰু $\angle{AED}=\alpha$ .

এতিয়া ধৰাহওক, $a>b$

$\Rightarrow\epsilon>75^{\circ}$ . ( $\angle{ABE}=75^{\circ}$ )

$\Rightarrow\alpha<60^{\circ}$ . ( $\alpha+2\epsilon+150^{\circ}=360^{\circ}$ )

$\Rightarrow\beta>60^{\circ}$

$\Rightarrow b>a$ , যিটো অসম্ভৱ।

সেইদৰে $a<b$ ধৰি আগবাঢ়িলে আমি পাম $a>b$ .

গতিকে, $a=b$ .

অৰ্থাৎ $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

Elementary-3

আন এক সমাধান:

$\Delta CDF\cong\Delta BCE$ হোৱাকৈ $\Delta CDF$ ত্ৰিভূজটো অংকণ কৰা হ’ল আৰু $EF$ সংযোগ কৰা হ’ল।

এতিয়া, $\Delta CEF$ ত,

$CE=CF$ আৰু $\angle{ECF}=90^{\circ}-2\times 15^{\circ}=60^{\circ}$ .

সেয়েহে $\Delta CEF$ সমবাহু ত্ৰিভূজ।

এতিয়া, $\angle{CFD}=180^{\circ}-2\times 15^{\circ}=150^{\circ}$

গতিকে, $\angle{EFD}=360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}$

এতিয়া, $\Delta FCD$ আৰু $\Delta FED$ ৰ পৰা,

$FC=FE,$

$\angle{CFD}=\angle{EFD}$

$FD$ সাধাৰণ বাহু।

গতিকে, $\Delta FCD\cong \Delta FED.$

সেয়েহে, $DE=DC$ .

একেদৰেই আমি পাম, $AE=AB.$

গতিকে, $AE=ED=DA.$

অৰ্থাৎ $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

Elementary-4

আন এক সামাধান:

ধৰাহওক, বৰ্গটোৰ বাহুবোৰৰ দৈৰ্ঘ $a$ .

এতিয়া, বৰ্গটোৰ বহিৰ্ভাগত $\Delta BCE$ সমবাহু ত্ৰিভূজটো অংকণ কৰা হ’ল।

সেয়েহে, আমি পাম $\Delta BEE$ ,

আৰু দুয়োটা ত্ৰিভূজেই সমদ্বিবাহু, কাৰণ $\angle{CEE$ আৰু $\angle{ECE$ ইত্যাদি।

গতিকে $EE$ .

আমি পাম, $\Delta BEE$ .

সেয়েহে $AE=EE$ .

সেইদৰেই, $DE=a$ .

অৰ্থাৎ $\Delta AED$ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ।

Elementary-5

টোকা:

Image Source : Shutterstock

শেষৰ চাৰিটা সামাধান তলৰ কিতাপকেইখনত পোৱা যায়। গণিত চ’ৰাৰ সৈতে হোৱা এটা সাক্ষাৎকাৰত প্ৰফেছৰ বি. জে. ভেংকটচালাই এই সমস্যাটো তেখেতৰ এটি প্ৰিয় গাণিতীক সমস্যা বুলি কৈছিল, আৰু তেখেতৰ হাতত এই সমস্যাটোৰ ১১টা পদ্ধতিৰ সামাধান আছে বুলি উল্লেখ কৰিছিল।

কৃতজ্ঞতা স্বীকাৰ:

ডিব্ৰুগড় বিশ্ববিদ্যালয়ৰ অধ্যাপক বি. আৰ. শৰ্মাই এই সুন্দৰ গাণিতীক সমস্যাটিৰ সৈতে মোক পৰিচয় কৰাই দিয়া বাবে তেখেতলৈ অশেষ ধন্যবাদ জনালোঁ।

তথ্যসূত্ৰ:

[১] M R Modak, S A Katre, V V Acharya, An Excursion in Mathematics, 7th edition, Bhaskaracharya Pratishthana, 2007.

[২] H S M Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd edition, John Wiley & Sons, 1969.

[৩] Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, 1999.

[৪] H S M Coxeter and S L Greitzer, Geometry Revisited, New Mathematical Library 19, The Mathematical Association of America, 1967.