30 Apr অপৰিমেয় সংখ্যা আৰু ইউক্লিডৰ দশম কিতাপখন

Posted at 23:51h in গ্ৰন্থ, নিবন্ধ by

দৈৰ্ঘ্য, কালি, আয়তন ওজন বা বৈদ্যুতিক আধান ইত্যাদি সম্পৰ্কীয় জোখ বুজাবলৈ প্ৰয়োজন হোৱা চিহ্নবোৰেই প্ৰকৃততে মানৱ মনক বাস্তৱ সংখ্যাৰ ধাৰণাৰ ফালে লৈ আহিল। এই জোখবোৰক অতি স্বাভাৱিক অৰ্থত সিহঁতক নিজৰ মাজত যোগ কৰিব পৰাটো এটা সাধাৰণ বৈশিষ্ট্য যেনে— এডাল সৰল ৰেখাৰ ওপৰত দুটা খণ্ড মূৰামূৰিকৈ থৈ পোৱা মুঠ দৈৰ্ঘ্যটোৱেই হ’ল দুটা দৈৰ্ঘ্যৰ যোগ। কোনো এটা ৰাশিক তাৰ অংশত ভগাব পাৰি। অসীম অংশত এনে ৰাশিবোৰক ভগোৱা ধাৰণাটো হ’ল এই যে— বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহটো  স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ দৰে বিচ্ছিন্নহে।

যোগৰ ভিন্ন ধৰ্মসমূহো ইয়াৰ ভৌতিক সংজ্ঞাৰ পৰাই সহজতে পোৱা যায়।

(a+b)+c=a+(b+c) and a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c) — ইয়াক সহজতেই কাষৰ চিত্ৰৰ পৰা কোনো ধৰণৰ ব্যাখ্যা নোহোৱাকৈয়ে বুজা যায় যে ই একাদিক্ৰমে লোৱা a, b, c দৈৰ্ঘ্যৰ তিনিটা টুকুৰাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল বুজায় । আকৌ  a+b=b+a যে হয় এয়াও স্পষ্ট, কাৰণ a+b টুকুৰাটো 180circ ঘূৰালেই b+a পোৱা যাব— দৈৰ্ঘ্যৰ একো হেৰফেৰ নোহোৱাকৈ।

দুটা ৰাশিৰ পূৰণফলৰ সহজ সংজ্ঞা সদায় সম্ভৱ নহয়। দুটা দৈৰ্ঘ্য a আৰু b ৰ পূৰণফলেৰে যদি a, b বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি বুজোৱা হয়, তেনেহ’লে এটা আপত্তি উঠিব পাৰে যে ই এটা বেলেগ ধৰণৰ ৰাশি। ঠিক এনে ধৰণৰ খেলিমেলিৰ পৰা হাত সাৰিবলৈ গ্ৰীকসকলে এটা বেলেগ উপায় দিয়ে। এই মত অনুসৰি কোনো এটা সংখ্যা হ’ল উপৰোক্ত ধৰণৰ এটা বিশেষ ৰাশি আৰু একক ৰাশিটোৰ অনুপাত। গতিকে এই অৰ্থত 20 গ্ৰাম ওজন আৰু 1 গ্ৰাম ওজনৰ অনুপাতটো হ’ল সংখ্যা 20 ইত্যাদি। সংখ্যাৰ এনে ধৰণৰ ব্যাখ্যাই পূৰণৰ বহুতো ধৰ্ম ধুনীয়াকৈ বৰ্ণায়। সংখ্যাৰ এনে অৰ্থতেই, atimes (btimes c)= (atimes b)times c এই সম্পৰ্কটোৱে a, b, c কাষ হিচাপে থকা আয়ত আকাৰৰ বাকচৰ আয়তন বুজায়। তেনেদৰে কালি সম্পৰ্কীয় জ্যামিতিক ব্যাখ্যাই atimes b=btimes a আৰু atimes (b+c)= atimes b+atimes c এই সমতাবোৰ বৰ্ণনা কৰে। অৱশ্যে এইবোৰ কোনোপধ্যই ওপৰৰ সমতাবোৰৰ প্ৰমাণ নহয়। মাথোন এনে ধৰণৰ চাক্ষুস ব্যাখ্যাই বাস্তৱ সংখ্যাৰ বিভিন্ন স্বীকাৰ্যসমূহক মূৰ্তৰূপ দিয়াত সহায় কৰে।

পাইথগোৰীয়সকলৰ সময়তেই সাধাৰণ সংখ্যা-পদ্ধতি পৰিমেয় সংখ্যাৰ ওচৰলৈ বুলি আগবাঢ়ে। পূৰ্ণ সংখ্যাৰ হিচাপ-নিকাচ আৰু ইয়াৰ প্ৰদৰ্শন স্বাভাৱিকভাৱেই সহজ। বস্তু গণনা কাৰ্যই এই দুয়োটা সমস্যা সমাধান কৰে। ভগ্নাংশবোৰো এই অৰ্থত চম্ভালিব পৰা বিধৰ। frac{2}{3} সংখ্যাটো বুজোৱা বিশেষ একো টান নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে এক বস্তা বালিক সমানে তিনিভাগ কৰি দুভাগ ল’লেই হ’ল। এনেদৰে অসীম সংখ্যক ভগ্নাংশ পোৱা যাব আৰু ইয়েই সংখ্যাৰ শ্ৰেণীটোৰ অসীমসংখ্যাক সূক্ষ্ম বিভাজন দিব। বেহা-বেপাৰ, মাটিৰ মাপ, জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান আদিত এই পৰিমেয় সংখ্যাবোৰেই আচলতে যথেষ্ট। বাস্তৱ ক্ষেত্ৰত, আধুনিক যুগতো, আনকি সূক্ষ্ম বৈজ্ঞানিক যন্ত্ৰৰেও দহ দশমিক স্থানলৈকেহে জোখা হয়। গতিকে বাস্তৱ ক্ষেত্ৰত বিভিন্ন পৰীক্ষাত হৰৰ স্থান দহ বিলিয়নলৈকে থকা পৰিমেয় সংখ্যা হ’লেই আমাৰ কাম চলি যায়। অৱশ্যে তাত্ত্বিক চাহিদা পূৰাবলৈ ইয়েই যথেষ্ট নহয়।

পৰিমেয় সংখ্যা বা ভগ্নাংশবোৰ খ্ৰী.পূ. 1700 চনৰ আৰম্ভণিৰ পৰাই প্ৰাচীন ইজিপ্তীয়সকলে ব্যৱহাৰ কৰি আহিছিল। পিছে sqrt{2} ৰ লেখীয়া সংখ্যা 530 খ্ৰী.পূ.ত পাইথাগোৰাচে আৱিষ্কাৰ কৰাৰ আগলৈকে ইয়াৰ ব্যৱহাৰ হোৱা নাছিল। এনে ধৰণৰ সংখ্যাৰ প্ৰয়োগ আজি অনুকলন গণিত, ত্ৰিকোণমিতি— অন্য ভাষাত গাণিতিক বিশ্লষণ-তত্ত্বত অতি বেছি। খ্ৰী.পূ. 367 মানত ইউডক্স’চ-এ দেখুৱায় যে sqrt{2} ক দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ অনুপাত হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি যদিও, ভগ্নাংশৰ এটা অনুক্ৰমৰ চৰম মান হিচাপে ইয়াক পাব পাৰি। ঠিক এনেদৰেই  sqrt{2}=1.414dots হয়। ইয়েই বুজায় যে sqrt{2} এটা দশমিক ভগ্নাংশৰ অনুক্ৰমৰ চৰম মান।

পিছে 1871 চনত জৰ্জ কেন্টৰেহে এই ধাৰণাবোৰক আধুনিক গণিতৰ ভাষাত ব্যাখ্যা কৰে। তেওঁ পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সকলো ধৰণৰ বাস্তৱ সংখ্যাকেই x=(x_1,x_2,dots ),y=(y_1,y_2,dots ) এনে ধৰণৰ অসীম অনুক্ৰম হিচাপে সংজ্ঞা দিয়ে। ইয়াত x_n,y_n ইত্যাদিবোৰ হ’ল ভগ্নাংশ। x অনুক্ৰমটো অভিসাৰী হয় যদিহে m আৰু n অসীমভাৱে ডাঙৰ হ’লে x_m-x_nrightarrow 0 হয়। ঠিক তেনেদৰে y ৰ অভিসৰণো ব্যাখ্যা কৰা হয় আৰু তেতিয়া চৰম মানকেইটাই অনুৰূপ সংখ্যাবোৰ বুজায়। এই ক্ষেত্ৰত  x=y ৰ অৰ্থ হ’ব nrightarrowinfty হ’লে x_n-y_nrightarrow 0 হয়। এনেদৰে দুটা বাস্তৱ সংখ্যা x আৰু y যোগ আৰু পূৰণৰ সংজ্ঞা দিয়া হয় তলত উল্লেখ কৰাৰ দৰেঃ

x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,dots)

xtimes y=(x_1times y_1,x_2times y_2,dots)

বাস্তৱ সংখ্যাৰ অন্য এটা ফলপ্ৰসূ সংজ্ঞা দিয়ে ঊনৈছ শতিকাত জাৰ্মান গণিতজ্ঞ ৰিচাৰ্ড ডেডিকেণ্ডে। এই সংজ্ঞানুসৰি R যদি সকলোবোৰ ভগ্নাংশৰ সংহতিটো হয় তেনেহ’লে L আৰু U, Rঅৰ এনে দুটা উপসংহতি যে xin U আৰু yin L হ’লে xle y হয়। প্ৰতিটো পৰিমেয় (অপৰিমেয়) সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰতেই R অৰ এনে ধৰণৰ বিভাজন সম্ভৱ। ডেডিকেণ্ড কাট্ নামে খ্যাত এই ব্যাখ্যা গাণিতিক বিশ্লেষণ তত্ত্বত এটা প্ৰয়োজনীয় হাতিয়াৰ। আচলতে কেণ্টৰ আৰু ডেডিকেণ্ডৰ সংজ্ঞা দুটা পৰস্পৰ সম্পৰ্ক জড়িত।

আমাৰ প্ৰবন্ধটিত ইউক্লিডৰ দশম কিতাপখন আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা সম্পৰ্কে কৰিব খোজা আলোচনাটিৰ ক্ষেত্ৰত ওপৰৰ আলোচনাখিনি আমি প্ৰস্তাৱনা হিচাপেহে লৈছোঁ। ইয়াত আমি সংখ্যা সম্পৰ্কে কোনো প্ৰণালীবদ্ধ অধ্যয়ন কৰিব খোজা নাই।

ইউক্লিডৰ এলিমেন্টচেই হ’ল গণিতৰ বহু ক্ষেত্ৰত খোপনি হিচাপে ল’ব পৰা বহুতো পুথিৰ এখন। প্ৰায় দুহেজাৰ বছৰ ধৰি এই কিতাপখনকেই এখন ধ্ৰুপদী পুথি হিচাপে গণ্য কৰা হৈ আহিছে।

আজি আধুনিক যুগত গণিতজ্ঞসকলে ইউক্লিডৰ যুক্তিত বহুতো ত্ৰুটি-বিচ্যুতি ধৰা পেলাইছে যদিও ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্যভিত্তিক ধাৰণা যে আধুনিক গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ প্ৰথম মাইলৰ খুঁটি সেয়া অনাস্বীকাৰ্য। ইউক্লিডৰ জ্যামিতি প্ৰায় মধ্যযুগৰ পৰা আৰম্ভ কৰি ঊনৈছ শতিকাৰ শেষলৈকে স্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ পাঠৰ এটা এৰাব নোৱাৰা অংগ হৈ আহিছে। পিছে ইউক্লিডৰ বাৰখন কিতাপৰ ভিতৰত এখন (সেয়া হ’ল দশমখন) প্ৰায় ক’তোৱেই শিকোৱা নহয়। এইখন প্ৰায় আচিনাকি পুথি হিচাপে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে কেতিয়াও মন নিদিয়ে। ইউক্লিডৰ বাকীবোৰ কিতাপত থকাৰ দৰে ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাংগসমতা, পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্য, বহুভুজৰ অঙ্কন পদ্ধতি বা সুষম আকৃতিৰ কঠিন পাঁছটা বস্তুৰ বিভাজন সম্পৰ্কীয় ধাৰণাসমূহৰ ঠাইত এই দশম কিতাপখনত আছে কিছুমান খেলি-মেলি যেন লগা হিচাপ-নিকাচৰ এটা সংগ্ৰহ। সাধাৰণতে ভবাৰ দৰে ইউক্লিডৰ কিতাপসমূহত থকা জ্যামিতি-জ্যামিতি গোন্ধ এইখনত যেন নাই। তাৰ ঠাইত আছে পাটীগণিতৰ হিচাপ-নিকাচ। এইখন কিতাপ জানিবা বাস্তৱ সংখ্যাৰ গধুৰ ধৰ্মসমূহৰ সৈতে ঘটা এক দীৰ্ঘ সংগ্ৰামৰ এখন দলিল।

গণিত সম্পূৰ্ণভাৱে আনকি প্ৰধানকৈয়ো, সংখ্যা সৰ্বস্ব নহয়। পিছে সংখ্যাই গণিতত এটা মুখ্য ভূমিকা লয়। স্বাভাৱিক সংখ্যা, পূৰ্ণ সংখ্যা আৰু জটিল সংখ্যা— এনেদৰে বহু ধৰণৰ সংখ্যাৰ ধাৰণা গণিতজ্ঞসকলে দিছে। পিছে এক বিশেষ ধৰণৰ সংখ্যাৰ পৰা অন্য এটা বিশেষ ধৰণৰ সংখ্যালৈ বুলি আগবাঢ়োতে গণিতজ্ঞসকলে এক দীৰ্ঘদিনীয়া দাৰ্শনিক যুদ্ধত ব্যস্ত থাকিবলগীয়া হয় আৰু এনে ধৰণৰ দাৰ্শনিক যুদ্ধৰ ফলশ্ৰুতি হিচাপেহে পৃথিৱীয়ে বা মানৱ সমাজে এটা সংখ্যা পদ্ধতিৰ পৰা আন এটা সংখ্যা পদ্ধতি পাবলৈ সক্ষম হয়। পিছে উচ্চ বৌদ্ধিক যুক্তিৰ ফলশ্ৰুতি হিচাবে এইবোৰ সাধাৰণতে নাহে, এইবোৰ আহে এনেধৰণে পোৱা ফলাফলসমূহ প্ৰচুৰ ব্যৱহাৰৰ ফলশ্ৰুতি হিচাপেহে। সংখ্যাসমূহে প্ৰকৃতিৰ জগতখনৰ লগত বহু ক্ষেত্ৰত এক আচৰিত সাদৃশ্য বহন কৰে। সেয়ে বহু ক্ষেত্ৰত সংখ্যাসমূহকো একক আৰু প্ৰায়েই ভৌতিক ধাৰণা যেন জ্ঞান কৰা হয়। এক গভীৰ বিশ্লেশণৰ মূৰতহে মাথোন এইবোৰ মানৱ মনৰ সৃষ্টি বুলি বোধগম্য হয় আৰু লগতে এয়াও বোধগম্য হয় যে এনে সংখ্যাৰ দ্বাৰাই প্ৰকৃতিৰ আদৰ্শ সজ্জা গঠন কৰিব পৰা যায়। অৰ্থাৎ এই সংখ্যাবোৰেই প্ৰকৃতি নহয়।

জ্যমিতিৰ যৌক্তিক ভেটিৰ অনুসন্ধানত ব্যস্ত থাকোতে পাইথাগোৰীয়সকলে এক বিশেষ আৱিষ্কাৰ কৰিলে। সকলোৱে জনা কথা যে সৰল ৰেখাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ জোখৰ পৰা সাধাৰণতে জ্যামিতিৰ সংখ্যাৰ ধাৰণা আহে। ওপৰত ব্যাখ্যা কৰা মতে গ্ৰীকসকলে জ্যামিতিক চিত্ৰৰ সহায়ত পাটিগণিতৰ যোগ, বিয়োগ প্ৰক্ৰিয়াসমূহৰ ব্যাখ্যা দিবলৈ সমৰ্থ হৈছিল। এয়া স্বাভাৱিক যেন লাগে যে সংখ্যা-ৰেখাৰ প্ৰতিটো দৈৰ্ঘ্যৰ বাবে একোটা পৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যাব আৰু প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যাৰ কাৰণে একোটা দৈৰ্ঘ্য পোৱা যাব। পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ এনে ধুনীয়াকৈ সংখ্যা ৰেখাৰ ওপৰত থাকি যেন ইয়াত খালী ঠাই থাকিব নালাগে। গতিকে অপৰিমেয় দৈৰ্ঘ্য বুজোৱা কোনো ৰেখা থাকিব নালাগে। পিছে পাইথাগোৰীয়সকলে প্ৰথমে দেখুৱায় যে অতি সহজতে সাজি উলিয়াব পৰা এনে কিছুমান ৰেখাখণ্ড আছে যাৰ দৈৰ্ঘ্য কোনো পৰিমেয় সংখ্যাক বুজোৱা দৈৰ্ঘ্যৰ সমান নহয়। এই সংখ্যাক তেওঁলোকে কৈছিল অপৰিমেয় (irrational) সংখ্যা। উদাহৰণস্বৰপে, একক বাহুবিশিষ্ট বৰ্গৰ কৰ্ণ এনেকুৱা এটা ৰেখা। সুষম পঞ্চভুজৰ জ্যামিতিত পোৱা অন্য এটা অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ল— phi =frac{sqrt{5}+1}{2} ( phi ৰ সম্পৰ্কে আমি সবিশেষ আলোচনা এটা বেলেগ অধ্যায়ত কৰিছোঁ)। এনে ধৰণৰ অপৰিমেয় সংখ্যাৰ স্থিতি যদি আমি নাকচ কৰোঁ তেনেহ’লে কেইটামান বৰ আমোদজনক ঘটনা ঘটিব। প্ৰথমতে ওপৰত বৰ্ণোৱা একক বাহুবিশিষ্ট বৰ্গৰ কৰ্ণৰ স্থিতি নাকচ কৰিব লাগিব আৰু ফলস্বৰূপে জ্যামিতিৰ ধাৰণাসমূহ আন্ধাৰত প্ৰক্ষিপ্ত হ’ব। অথবা সৰলৰেখাৰ দৈৰ্ঘ্য নথকা বুলি ধৰিব লাগিব, যাৰ ফলত একে ধৰণৰ ঘটনা ঘটি অথবা দৈৰ্ঘ্যসমূহ সংখ্যাৰ সৈতে জড়িত নোহোৱা বুলি ধৰিব লাগিব। তেতিয়া পিছে পাটিগণিত বা সংখ্যাগণিত আন্ধাৰত প্ৰক্ষিপ্ত হ’ব। কোনো উপপাদ্য, যিবোৰত দৈৰ্ঘ্যৰ ধাৰণা অকল পৰিমেয় হিচাপেহে লোৱা হৈছে, সেইবোৰ গোলমলীয়া। উদাহৰণস্বৰপে, দুটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ কালিৰ অনুপাতটো সিহঁতৰ বাহুৰ বৰ্গৰ অনুপাতৰ সমান।

গ্ৰীক সমাধানত জ্যামিতিয়ে কেনেধৰণে ঠাই লৈছে অলপ চোৱা যাওক। ইয়াত দৈৰ্ঘ্যসমূহৰ স্থান লয় অনুৰূপ ৰেখাখণ্ডই, কালিসমূহ অনুৰূপ বৰ্গক্ষেত্ৰৰ সদৃশ ইত্যাদি। এই ক্ষেত্ৰত অনুপাত এটা হয়, দুযোৰ ৰেখাৰ মাজৰ এটা বিশেষ ধৰণৰ সম্পৰ্ক। এই কায়দাটোৱে ফলপ্ৰসূভাৱে কাম কৰাৰ কাৰণ হ’ল এই যে প্ৰধান মৌলিক উপপাদ্যসমূহ হ’ল অনুপাত সম্পৰ্কীয়। ইয়াত অনুপাত কি জনাৰ দৰকাৰ নাই, মাথোন জানিব লাগে দুটা অনুপাত সমান হয় নে নহয়। যদি নহয় তেনেহ’লে ডাঙৰ কোনটো? ইউক্লিডৰ পঞ্চম কিতাপখনত ইয়াৰ উত্তৰ দিছে ইউডক্সাচে। দুটা অপৰিমেয় সংখ্যাক স্পষ্টকৈ পাবলৈ ইহঁতৰ মাজত এটা পৰিমেয় সংখ্যাক পাব লাগিব phi — এয়া হ’ল ইয়াত থকা ব্যাখ্যা। আধুনিক অৰ্থত ইয়াকেই এনেদৰে কোৱা হয় য— অপৰিমেয় ধাৰণা পৰিমেয়ৰ আসন্নকৰণৰ (approximation) দ্বাৰা কৰা হয়। গ্ৰীকসকলৰ হাতত অৱশ্যে এনে আসন্নকৰণৰ কায়দাই জটিল ৰূপ লয়।

ধৰা হ’ল দুটা ত্ৰিভুজ আছে— একে আকৃতিৰ (সদৃশ আৰু এটাৰ বাহুবোৰ আনটোৰ অনুৰূপ বাহুৰ দুগুণ)। গ্ৰীকসকলে প্ৰমাণ কৰিছিল যে— প্ৰথমটোৰ কালি দ্বিতীয়টোৰ চাৰিগুণ, অৰ্থাৎ কালি এনেদৰে আকৃতিৰ(!) বৰ্গৰ সমানুপাতী। বহুভুজ এটা, এনে ধৰণৰ বহুতো ত্ৰিভুজেৰে গঠিত বুলি ধৰি— একে ধৰণৰ সিদ্ধান্ত পাইছিল। পিছে বৃত্তৰ লেখীয়া চিত্ৰক, এনে ধৰণে ত্ৰিভুজৰদ্বাৰা গঠিত বুলি ধৰিব নোৱাৰি। তথাপি এই ক্ষেত্ৰত এনে প্ৰমাণ আগবঢ়াই নিয়ে বৃত্তক্ষেত্ৰলৈ— বহুভুজৰদ্বাৰা আসন্নকৰণ কৰি।

circle and polygonপ্ৰথম বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰত বৃত্তটো পৰিগত হিচাপে থকা আৰু বৃত্তটোৰ অন্তৰ্গত কৈ থকা দুটা বহুভুজ আছে। দ্বিতীয় বৃত্তটোৰ ক্ষেত্ৰতো তেনেকুৱা অন্য এটা যোৰা আছে। ভিতৰৰ বহুভুজ দুটাৰ কালি সিহঁতৰ বাহুৰ বৰ্গৰ সমানুপাতী। তেনেদৰে বাহিৰৰ ক্ষেত্ৰতো। বাহিৰ আৰু ভিতৰৰ বহুভুজৰ কালিৰ পাৰ্থক্য ক্ৰমাৎ কমাই নিলে মূৰকত বহুভুজৰ কালি আৰু বৃত্তৰ কালি সমান হ’ব। এতিয়া ইউডক্সাচৰ পদ্ধতি অনুসৰি বৃত্ত দুটাৰ কালিৰ অনুপাত ইহঁতৰ আকৃতিৰ অনুপাতৰ বৰ্গৰ সমান বা ডাঙৰ বা সৰু হ’ব। যদি সৰু হয় তেনেহ’লে নিশ্চয় সীমিত পৰিমাণৰ। তেনেক্ষেত্ৰত বহুভুজৰ দ্বাৰা আসন্নকৰণ আৰু আগবাঢ়িব। গতিকে তেতিয়া বহুভুজৰ ক্ষেত্ৰত ভুল দেখা যাব। পিছে ই অসম্ভৱ, কিয়নো বহুভুজৰ ক্ষেত্ৰত ইতিমধ্যে সত্য বুলি প্ৰমাণ কৰা হৈছে। একেই ঘটিব ডাঙৰ হ’লেও। গতিকে নিশ্চয় সমান হ’ব। এই পদ্ধতিৰেই গ্ৰীক নাম হ’ল নিঃশেষকৰণ ( exhaustion)।

প্ৰথম দৃষ্টিত এই পদ্ধতি বৰ খেলি-মেলি যেন লাগে, পিছে তৎসত্ত্বেও কিছু অনুশীলনৰ পাছত ই বেছ সহজ হৈ পৰে। আৰু এইদৰেই গ্ৰীকসকল এটা মূৰ্ত চিন্তাৰ মাজত সোমাই পৰে। ই তেওঁলোকক পাটিগণিত বা বীজগণিতৰ ধুনীয়া গঠন এটা সজোৱাৰপৰা বিৰত ৰাখে। ই আনকি তেওঁলোকৰ জ্যামিতিয়ে চলাবলৈ চেষ্টা কৰা বক্ৰসমূহৰ পৰিসৰ আৰু উপৰিতলক বিকৃত কৰে। আটাইতকৈ লক্ষণীয় কথা হ’ল গ্ৰীকসকলে এনেদৰে নিজেই আৰোপ কৰা খুঁত এটাৰ তলত কিমান ভাল কাম কৰিবলৈ সক্ষম হয়!

ইউক্লিডে দহ নম্বৰ কিতাপখনত ভিন্ন ধৰণৰ অপৰিমেয় সংখ্যাৰ শ্ৰেণী বিভাগ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিছে। মূলতঃ জ্যামিতিকভাৱে ধাৰণা কৰিব পৰা অপৰিমেয় সংখ্যাসমূহ হ’ল— সেইবোৰ সংখ্যা, যিবোৰক বৰ্গমূল আকাৰে লিখিব পাৰি। গতিকে এনে ধৰণৰ সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত সহজটো হ’ল sqrt{7} ধৰণৰ আৰু তুলনামূলকভাৱে জটিলটো হ’ল—

sqrt{3}(sqrt{7}sqrt{31}-19sqrt{2})+11(sqrt{7}sqrt{31}+19sqrt{2})

এই কিতাপখনৰ ফলাফলসমূহ হয়তো আজিৰ এই আধুনিক গণিতৰ যুগত বৰ বেছি দৰকাৰী নহয়। পিছে ভিন্ন ধৰণৰ অপৰিমেয় সংখ্যা আজিও দৰকাৰী। এই ক্ষেত্ৰত এবিধ বিশেষ হাতিয়াৰ, অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণেই দশম কিতাপখনলৈ আঙুলিযায়। এই অবিৰত ভগ্নাংশৰ ঠাঁচ হ’লঃ

1+frac{1}{3+frac{1}{2+frac{1}{4}}}

অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণ কেনেদৰে কৰা হয় তাক জনা বুলিয়েই আমি ধৰি ল’ম। ওপৰৰ এই ভগ্নাংশটোৰ উত্তৰ হ’ল frac{40}{31} । এই ভগ্নাংশটিক [1, 3, 2, 4] এনে ধৰণেও লিখা হয়।

কোনো এটা সংখ্যা দিয়া থাকিলে তাৰ অনুৰূপ অবিৰত ভগ্নাংশটি উলিয়াব পৰা যায়। পৰিমেয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত এই অবিৰত ভগ্নাংশ সীমিত হয়। পিছে অপৰিমেয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত ই শেষ নহয়। ইয়েই এই দুই ধৰণৰ সংখ্যাৰ মাজত এটা স্পষ্ট পাৰ্থক্য। যদিওবা এনে ধৰণৰ বৰ্ণনা সদায় ব্যৱহৃত নহয়। কেইটামান দৰকাৰী অপৰিমেয় সংখ্যা এনেধৰণে দেখা দিয়েঃ

pi=[3,7,15,1,292,1,1,6,1,3,dots ]

e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,dots ]

sqrt{2}=[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,dots ]

sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,dots ]

lambda=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,dots ]

ইয়াত e হ’ল স্বাভাৱিক ঘাতাংকৰ ভূমি আৰু lambda হ’ল স্বৰ্ণ সংখ্যা frac{1+sqrt{5}}{2} । আমি pi সংখ্যাটোত অলপ মন দিওঁ। যদি একেবাৰে আৰম্ভণি স্তৰতেই আমি শেষ কৰোঁ, আমি পাওঁ [3,7], যাৰ মান হ’ব frac{22}{7} । ই আমাৰ প্ৰায় সকলোৰে বাবেই পৰিচিত। যদি আমি আৰু দটা খাপৰ(step) পিছত শেষ কৰো ই হ’ব [3,7,15,1]=frac{355}{113} । ই pi সংখ্যাটিৰ অন্য এক আসন্নকৰণ। সংখ্যাগতভাৱে আমি পাওঁ frac{22}{7}=3.142871dots

frac{355}{113}=3.1415929dots

pi=3.14159265dots

এইটো মন কৰা হয় যে যিমানে অবিৰত ভগ্নাংশটো বেছি খাপ আগুৱাই যাবলৈ দিয়া হ’ব সিমানেই বেছি শুদ্ধ ফল পোৱাৰ ফালে আগবাঢ়ি যাব। এইটো প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায় যে অবিৰত ভগ্নাংই সম্ভৱ আটাইতকৈ ভাল পৰিমেয় আসন্নকৰণ দিয়ে।

ওপৰৰ তালিকাখনৰ কিছুমানত আকৰ্ষণীয় ঠাঁচ লক্ষ্য কৰা হয় বা ক’ৰবাত কোনো ঠাঁচৰেই প্ৰভাৱ পৰিলক্ষিত নহয়। আটাইতকৈ সহজ সংখ্যাটি হ’ল এই ক্ষেত্ৰত lambda । sqrt{2} আৰু sqrt{3} ৰ ক্ষেত্ৰতো পুনৰাবৃত্তি ঘটা পোৱা যায়। এই তিনিটাৰ প্ৰতিটোতে পৰিমেয় সংখ্যাৰ বৰ্গমূলতকৈ একো বেছি বেয়া নাহে। ওঠৰ শতিকাত এয়া প্ৰমাণিত হয় যে ই কোনো কাকতালীয়া সংঘটন নহয়। পুনৰাবৃত্তি ঘটা অবিৰত ভগ্নাংশৰ প্ৰসাৰণসমূহ হ’ল দ্বিঘাত অপৰিমেয়, যিটো a+sqrt{b} ঠাঁচৰ, য’ত a আৰু b পৰিমেয়।

আৰু এটা কথা মন কৰা যায় যে e য়ে এটা বেলেগ ঠাঁচ দেখুৱায়। গতিকে e পুনৰাবৃত্তিৰ ঠাঁচ নহয়। এই ঠাঁচটোৱে ভগ্নাংশটো অনিৰ্দিষ্টভাৱে চলি থকা দেখুৱায়। সেয়ে ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ব লাগিব। যিহেতু অবিৰত ভগ্নাংশটিক পুনৰাবৃত্তি কৰা হোৱা নাই, ই দ্বিঘাত অপৰিমেয় হ’ব নোৱাৰে। 1837 চনত অবিৰত ভগ্নাংশৰ সাধাৰণ অনুসন্ধান কৰোতে অইলাৰে এনেদৰে মন কৰিছিল যে x পৰিমেয় হলে e^x আৰু tanx পৰিমেয় নহয়। এই কথাটো প্ৰমাণ কৰিবলৈ জোহান্স লেম্বাৰ্টে অবিৰত ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰিছিল। ইযেই প্ৰমাণ কৰে যে pi অপৰিমেয়। গণিতজ্ঞসকল অতি সাদৰেৰে এয়া জানিবলৈ ইচ্ছুক যে কেনেকুৱা ঠাঁচৰ অবিৰত ভগ্নাংশই কেনেকুৱা সংখ্যা দিব। উদাহৰণ স্বৰূপে, ঘনমূলৰ দৰেই অপৰিমেয় 3sqrt{2} । এনেকুৱা সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত কিবা ক’ব পৰা যাবনে? কি সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত অবিৰত ভগ্নাংশটোৰ পদসমূহৰ এটা উচ্চ পৰিসীমা থাকিব? অন্য অবিৰত ভগ্নাংশৰ তুলনাত দ্বিঘাত অপৰিমেয়ৰ পদসমূহৰ পুনৰাবৃত্তি ঘটি থাকে। পিছে অপৰিমেয় সংখ্যাসমূহক বেলেগ ধৰণেও শ্ৰেণীবিভাজন কৰিব পৰা যায়। তেনেকুৱা অপৰিমেয়বোৰৰ ভিতৰত বীজীয় সংখ্যাবোৰ প্ৰধান। এনেবোৰ সংখ্যাই পৰিমেয় সহগবিশিষ্ট এটা বহুপদী সমীকৰণ সিদ্ধ কৰে। অবীজীয় সংখ্যাবোৰে সেইটো নকৰে। sqrt{2},sqrt{3},lambda আৰু ^3sqrt{2} এইবোৰ বীজীয়। সাধাৰণ মনত pi বা e ৰ দ্বাৰা এনে ধৰণৰ বহুপদী সমীকৰণ সিদ্ধ হোৱা কথাটো নাহে। আৰু এনে সন্দেহেই ইহঁত অবীজীয় হ’ব বুলি ধাৰণা এটা আনি দিয়ে। আনহাতে অইলাৰৰ লক্ষণীয় e^{pisqrt{-1}}+1=0 সূত্ৰৰ দৰে অনাকাংক্ষিত সূত্ৰও গণিতত আছে। গতিকে সিদ্ধান্ত দিবলৈ বুলি জাঁপ মৰাটো অনুচিত। দেখা যায় যে e আৰু pi অবীজীয়। পিছে ইয়াৰ প্ৰয়োগ পাওঁতে কিছু সময় লৈছিল। প্ৰকৃততে 1844 চন পযৰ্ন্ত কোনেও নাজানিছিল যে অবীজীয় সংখ্যা আচলতে আছেনে নাই। সেই চনতেই লিওফিলে প্ৰমাণ কৰে যে বীজগণিতীয় পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক ভগ্নাংশৰদ্বাৰা যথোপযোগীভাৱে আসন্নকৰণ কৰিব নোৱাৰি। তেতিয়া এইটো এটা সহজ কাম যেনেই আছিল। অসাধাৰণ ভাল পৰিমেয় আসন্নকৰণৰ দ্বাৰা অপৰিমেয় বাহিৰ কৰা হ’ল আৰু ইয়ে এটা অবীজীয় সংখ্যা দিয়ে। পিছে এতিয়াও যিকোনো স্বাভাৱিকভাৱে পাব পৰা সংখ্যাৰ অবীজীয়তা প্ৰমাণ কৰাটো সহজ সম্ভৱ হৈ উঠা নাই। 1873 চনৰ জৰ্জ হাৰ্মাইটে প্ৰমাণ কৰে e এটা অবীজীয় সংখ্যা। pi ৰ অবীজীয়তা প্ৰমাণ সম্পৰ্কত হাৰ্মাইটে লিখিছে যে “মই ‘পাই’ৰ অবীজীয়তা প্ৰমাণ কৰিবলৈ সাহস নকৰোঁ। যদি কোনোবাই কৰেও তেনেহ’লে তেওঁলোকৰ কৃতকাৰ্যতাত, বোধকৰোঁ মোতকৈ আন কোনোৱেই বেছী সুখী নহ’ব। কিন্তু বন্ধুসকল! বিশ্বাস কৰা, তেওঁলোকে পাছে কষ্ট কৰিবলৈ সাজু থাকিবই লাগিব।” পিছে 1882 চনত ফাৰ্ডিনাণ্ড লিণ্ডেনাণ্ড নামৰ এজন এই বিষয়ত সফল হয়। তেওঁ ওপৰত উল্লেখ কৰা অইলাৰৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি হাৰ্মাইটে অনুসৰণ কৰা প্ৰায় একে নিয়মৰেই সমাধান কৰে।

কথা হ’ল গণিতৰ মানুহবোৰ pi ৰ অবীজীয় ধৰ্ম প্ৰতিষ্ঠা কৰিবলৈ বাৰু কিয় ইমান উৎসুক? এইখিনিতে গ্ৰীকসকলে তিনিটা বিশেষ জ্যামিতিক অঙ্কনৰ কথা উল্লেখ কৰি গৈছে। অকল স্কেল আৰু কম্পাছ ব্যৱহাৰ কৰি—

(1) এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ পাব লাগে যাৰ কালি এটা নিৰ্দিষ্ট বৃত্তৰ সমান।

(2) এটা নিৰ্দিষ্ট কোণক সমানে তিনিভাগ কৰিব লাগে।

(3) এটা ঘনক আঁকিব লাগে যাৰ আয়তন এটা নিৰ্দিষ্ট ঘনকৰ আয়তনৰ দুগুণ ।

লিণ্ডমেনৰ ফলাফলে এটা বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ (1নং সমস্যাটো) সমাধান কৰিব নোৱাৰি বুলি প্ৰমাণ কৰে। কাৰণটো এনেধৰণৰ— যিকোনো জ্যামিতিক অঙ্কনক কিছুমান মৌলিক খাপত ভাঙিব পাৰি আৰু এই মৌলিক খাপসমূহক ৰৈখিক বা দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সমাধানৰ শ্ৰেণী এটা হিচাবে ব্যাখ্যা কৰিব পাৰি। গতিকে এটা জ্যামিতিক অঙ্কনৰ পৰা পোৱা কোনো দৈৰ্ঘ্যই এটা বহুপদী সমীকৰণ সিদ্ধ কৰে। আৰু এনেদৰে বৃত্ত এটাৰ বৰ্গকৰণ সমস্যাটো pi দৈৰ্ঘ্যৰ এটা ৰেখাখণ্ডৰ অঙ্কনৰ সমতুল্য হিচাবে দেখা দিয়ে আৰু এনেদৰেই pi ৰ অবীজীয় ধৰ্ম আহি পৰে।

আমি মন কৰোঁ যে বৃত্তৰ বৰ্গকৰণ সমস্যাটো মূলতঃ এটা জ্যামিতিক সমস্যাহে আছিল। গতিকে আমি ইয়াৰ জ্যামিতিক সমাধান এটাহে পাব খোজোঁ। ইয়াক বীজগণিতীয় পদ কেতবোৰলৈ ৰূপান্তৰ কৰি স্থানাংক জ্যামিতিৰ জৰিয়তে পুনঃ সূত্ৰীকৰণ কৰা হয়, যাৰ বীজগণিতীয় সমাধানহে আমি আশা কৰোঁ। পিছে, লিণ্ডাৰমেনৰ প্ৰমাণ আছিল বৈশ্লেষিক, তেওঁ কলন গণিতৰ পদ্ধতিৰে আগবাঢ়িছিল। বিশেষকৈ অসীম শ্ৰেণীৰ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰা e আৰু pi ক জড়িত কৰি থোৱা অইলাৰৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰিছিল। এই সমস্যাটোৰ দীৰ্ঘদিন আশা কৰি থকা পুনঃ প্ৰস্তাৱিত প্ৰমাণ অকল জ্যামিতিক আক্ৰমণৰ পৰা উদ্ভৱ হোৱা নাই।

1737 চনত অইলাৰে এটা কথা লক্ষ্য কৰিলে যে মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ প্ৰতিক্ৰমবোৰৰ যোগফলটো অসীম। এনে ধৰণৰ ফলসমূহ প্ৰমাণ কৰিবলৈ তেওঁ zeta(s)=1+2^{-s}+3^{-s}+dots এই শ্ৰেণীটো ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰিলেহেঁতেন। ইয়াত মৌলিক সংখ্যা অসীম বুলি নেদেখুৱাকৈ এইটো কৰিব পৰা যায়। পিছে ই এটা মাথোন বিশেষত্ব নহয়। আনকি ভেঁটি হিচাপেও ই যথেষ্ট সৰল। 1859 চনত বাৰ্ণহাৰ্ড ৰিমানে অইলাৰৰ কামক গভীৰ প্ৰসাৰণ কৰিবলৈ আগবাঢ়ে। এই বিষয়ত তেওঁ মৌলিক সংখ্যাৰ বিশ্লেষণ তত্ত্বৰ ভেঁটি স্থাপন কৰে। ওপৰৰ zeta(s) ফলনটো এতিয়া ৰিমান zeta ফলন হিচাবে জনা যায়। বহু কষ্টৰ বিনিময়ত sৰ কিছুমান বিশেষ মানৰ বাবে অইলাৰে এই শ্ৰেণীটোৰ মান উলিয়াবলৈ সক্ষম হয়। 1724 চনত তেওঁ zeta(s)=frac{pi^2}{6} প্ৰমাণ কৰে। তাৰ পিছত তেওঁ প্ৰমাণ কৰে যে সকলো যুগ্ম nৰ বাবে zeta(n) ৰ মান pi^n ৰ এটা পৰিমেয় গুণিতক। আমি ইয়াৰ পৰা পাব পাৰোঁ যে, সকলো যুগ্ম nৰ বাবে zeta(n) কেনেকুৱা হ’ব এই বিষয়ে একো ধাৰণা কৰিব পৰা হোৱা নাছিল। 1978 চনৰ জুনত zeta(3) ৰ অপৰিমেয়তাৰ সম্পৰ্কত এটা ঘটনা ঘটিছিল। ঘটনাটো এনে ধৰণৰ— Journel Arithmetiques de Marseille-Luminy ত Caen বিশ্ববিদ্যালয়ৰ R. Aepery নামৰ এজনে zeta(3) ৰ অপৰিমেয়তাৰ ওপৰত দিয়া বক্তৃতা এটাৰ সন্দৰ্ভত Alf Vander Poorten নামৰ তাৰেই এজনে এনেদৰে কয়— “অবিশ্বাসটো সাধাৰণ। বক্তৃতাটোৱে এই বিশ্বাসটোক মাত্ৰা এটা দি, এই দৃষ্টিভংগীটো প্ৰগাঢ় কৰিবলৈ বুলি আগুৱাই দিছে। যিবোৰে হয়তোবা গুৰুত্ব নিদিয়াকৈ শুনি গৈছে অথবা ‘ফৰাচী-বিৰোধ’(Franco-phobe) নোহোৱাকৈ আছে, তেওঁলোকে এইখিনিত কিছুমান অসূয়া-সিদ্ধান্তৰ শাৰী হিচাবে মাথোঁ শুনি গৈছে।” তাৰ পিছত পুৰ্টানে কিছুমান জটিল সূত্ৰ লিখিলে যিয়ে zeta(3) ৰ পৰিমেয় আসন্নকৰণৰ অনুক্ৰম এটালৈ লৈ যায় আৰু ই লিওভেলৰ ফলৰদ্বাৰা এনে ক্ষীপ্ততাৰে অভিসৰণ কৰে যে ই পৰিমেয় হ’ব নোৱাৰে। তেওঁ কয়— “মই কিছু অবিশ্বাসৰ আমেজেৰে শুনিছিলোঁ যে, হেনৰী ক’হেন নামৰ এজনৰ বাবে এয়া যথাৰ্থ আছিল। অতি আশ্চৰ্য মিহলি আমোদেৰে আকৰ্ষিত হৈ মই হেন্দ্ৰিক্-লেনষ্ট্ৰা আৰু ক’হেনৰ স’তে এক সন্ধিয়া আলোচনাত বহিলোঁ। আমি এই আলোচনাত পতিয়ন গৈছিলোঁ যে, ‘প্ৰফেছৰ আপেৰী’ zeta-3 অপৰিমেয়তাৰ সঁচাকৈয়ে এক যাদুকৰী আৰু মহান প্ৰদৰ্শন পাইছে। কিন্তু আমি এটা সংকট-ঘন ঢাপৰ প্ৰমাণ দিবলৈ অপৰাগ হৈ ৰৈছিলোঁ।”

আপেৰিয়ে তেওঁৰ প্ৰমাণৰ মাজত এটা অনুক্ৰম সাজি লয়। আৰু তেওঁ সেই অনুক্ৰমটো লয় অখণ্ড সংখ্যাৰ পৰা। ইয়াত কোনো কাৰণ দেখা নাযায় যে ই কিয় সত্য হ’ব। প্ৰথম দৃষ্টিত আপেৰিয়ে ব্যৱহাৰ কৰা সূত্ৰবোৰ অতি সহজভাৱেই মিছা যেন দেখা গৈছিল। কাৰণ সূত্ৰবোৰ আছিল অঁকোৱা-পকোৱা। তেওঁ অতি আমোদ পাইছিল, যেতিয়া HP-67 কেলকুলেটৰে অখণ্ড সংখ্যা দিব ধৰিছিল। আৰু দেখা গৈছিল আপেৰিয়ে অকল বুজিহে পাইছিল, পিছে তেওঁ প্ৰকাশ কৰা নাছিল। ছমাহ পিছত হেলচিংকিত হোৱা গণিতৰ আন্তৰ্জাতিক সন্মিলন (ICM)ৰ সভাত কোহেন আৰু পুৰ্টানে তেওঁলোকৰ সমস্যাটো জেগিয়াৰক এনেদৰে কৈছিল।

তেওঁলোকৰ যুক্তিৰ মাজত থকা ফাঁকবোৰ জেগিয়াৰে এটা “উজুতি খোৱা বেগত” পূৰ কৰি গৈছিল আৰু ইয়েই সূচাইছিল যে আপেৰি শুদ্ধ আছিল। আৰু লগতে তেওঁৰ সেই অঁকোৱা-পকোৱা সূত্ৰসমূহো শুদ্ধ আছিল। পুৰ্টানে এনেদৰে আশ্চৰ্য প্ৰকাশ কৰিছিল যে ইয়াত— পৃথিৱীখনত কি ঘটিব ধৰিছে? আপেৰিৰ এই প্ৰমাণটো যেন যাদু আৰু ৰহস্যৰ এটা সংমিশ্ৰণ। তেওঁ কয়— “ইয়াত আমি মোটামুটিকৈ যেনিবা আইচবাৰ্গৰ শৃংগটো পাইছোঁ। এনেদৰে সম্পূৰ্ণ বাৰ্গটো এনেধৰণেৰেই। মোৰ ফালে ধৰা পৰা অংশখিনিয়ে যিখিনি উদঙাইছে, সেইখিনিয়ে এক ব্যাখ্যাৰ বিপৰীতে কুহেলিকাৰহে যেন সৃষ্টি কৰিছে। আটাইতকৈ আচৰিত কথা এয়ে যে আপেৰিৰ ব্যাখ্যাত এনে কোনো কথা নাছিল, যিখিনি কথা দুশ বছৰৰ আগৰ গণিতজ্ঞই বুজি নাপালেহেঁতেন।”

আপেৰি, গাণিতিক সমাজখনৰ বিশেষ অংশ কিছুমানৰ জনপ্ৰিয় নহয়। হেলছিংকিত কোহেনৰ প্ৰতিবেদনৰ পাছত শ্ৰোতামণ্ডলীৰ মাজৰ পৰাই এজন সভ্যই কিছু তিতা মন্তব্য কৰিছিলঃ “ফৰাছী খেতিয়ক এজনৰ বিজয়।” আনহাতে অন্য এজনে মুক্ত কণ্ঠে কৈছিল, “নহয়, নহয়! এয়া ‘মাৰ্ভেলাচ’, এয়া এনে এক পৰ্যায়ৰ যে, অইলাৰে কৰিলেহেঁতেন।”

 

লেখক : খনীন চৌধুৰী।

লেখকৰ “গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়!” গ্ৰন্থখনৰ পৰা।

[ad#ad-2]

Tags:
No Comments

Post A Comment