30 Jul গণিত পাঠ – ১৭ : পৰিসীমা, কালি, পৃষ্ঠকালি, পাৰ্শ্বীয় কালি আৰু আয়তন নিৰ্ণয়ৰ কেইটামান ফৰ্মূলা

(১) পৰিসীমা (perimeter) আৰু কালি (area)

ত্ৰিভূজ (triangle):

* কালিৰ সাধাৰণ ফৰ্মুলা: যদি এটা বাহুৰ দীঘ b হয়, আৰু সেই বাহুডাললৈ তাৰ বিপৰীত শীৰ্ষ বিন্দুৰ পৰা টনা লম্বডালৰ দীঘ h হয়, তেন্তে কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}}bh

* ওপৰৰ ফৰ্মূলাটোৰ সহায়ত সমবাহু ত্ৰিভূজৰ কালিৰ ফৰ্মূলা এটা এইদৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি: \frac{\sqrt{\text{৩}}}{\text{৪}}a^{\text{২}}, য’ত a হ’ল বাহুৰ দৈৰ্ঘ।

* ত্ৰিভূজৰ বাহু তিনিটাৰ দীঘ a, b, c হ’লে, কালি = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-b)}, য’ত s = (a+b+c)/২

বৃত্ত (circle):

এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ r হ’লে,

* বৃত্তটোৰ পৰিসীমা = ২πr

* বৃত্তটোৰ কালি = \pi{r}^{\text{২}}

* কেন্দ্ৰত Θ ডিগ্ৰী কোণ উৎপন্ন কৰা বৃত্তাংশৰ কালি = \frac{\theta}{\text{৩৬০}}\pi{r}^{\text{২}}

[চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে আচ্ছাদিত অংশৰ (shaded area) কালি।]

* কেন্দ্ৰত Θ ডিগ্ৰী কোণ উৎপন্ন কৰা বৃত্তাংশৰ পৰিধিৰ দৈৰ্ঘ = \frac{\theta}{\text{৩৬০}}\text{২}\pi r = \frac{\theta}{\text{১৮০}}\pi r

চতুৰ্ভূজ (quadrilateral):

সাধাৰণ চতুৰ্ভুজ একোটাৰ পৰিসীমা আৰু কালি উলিওৱাৰ ফৰ্মুলা নাই, সেইসমূহক ফৰ্মুলাত আবদ্ধ কৰিবলৈ অসুবিধা। কিন্তু কিছুমান বিশেষ আকৃতিৰ চতুৰ্ভুজৰ পৰিসীমা আৰু কালি তলত দিয়া দৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

আয়ত (rectangle):

দীঘ আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে l আৰু w হ’লে,

* পৰিসীমা = ২(l+w)

* কালি = lw

* প্ৰত্যেকডাল কৰ্ণৰ দীঘ: \sqrt{l^{\text{২}}+w^{\text{২}}}

বৰ্গ (square):

বাহুৰ দীঘ L হ’লে,

* পৰিসীমা = ৪L

* কালি = {L}^{\text{২}}

* প্ৰত্যেকডাল কৰ্ণৰ দীঘ: √২L

সামন্তৰিক (parallelogram):

দীঘল আৰু ছুটি বাহুৰ দীঘ ক্ৰমে l আৰু w হ’লে,

* পৰিসীমা = ২(l+w)

* কালি = l × দীঘল বাহু দুডালৰ মাজৰ দূৰত্ব = w × ছুটি বাহু দুডালৰ মাজৰ দূৰত্ব

ৰম্বাছ (rhombus):

বাহুৰ দীঘ l হ’লে,

* পৰিসীমা = ৪l

* কালি = l × দুডাল বিপৰীত বাহুৰ মাজৰ দূৰত্ব

ট্ৰেপিজিয়াম (Trapezoid or trapezium):

* কালি = সমান্তৰাল বাহু দুডালৰ দৈৰ্ঘৰ যোগফলৰ আধা × সমান্তৰাল বাহু দুডালৰ মাজৰ দূৰত্ব

বলয় (annulus):

একে কেন্দ্ৰবিশিষ্ট দুটা বৃত্তৰ মাজৰ অংশ।

কালি = \pi(R^{\text{২}}-r^{\text{২}})

(২) পৃষ্ঠকালি (surface area), পাৰ্শ্বীয় কালি (lateral surface area) আৰু আয়তন (volume)

ইয়াত আমি দীঘ (length) বুজাবলৈ l, বহল বুজাবলৈ (breadth) b, উচ্চতা (height) বুজাবলৈ h, তিৰ্যক উচ্চতা (slant height) বুজাবলৈ s, ব্যাসাৰ্ধ (radius) বুজাবলৈ r ব্যৱহাৰ কৰিম।

[পাৰ্শ্বীয় কালি মানে চাৰিওবেৰৰ মুঠ কালি।]

আয়তীয় ঘনক (cuboid):

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = ২(lb + bh + hl)

* আয়তন = lbh

* পাৰ্শ্বীয় কালি = ২(l + b)h

* কৰ্ণৰ দীঘ = \sqrt{l^{\text{২}}+b^{\text{২}}+h^{\text{২}}}

ঘনক (cube):

এটা আয়তীয় ঘনকৰ দীঘ, বহল আৰু উচ্চতা সমান হ’লে তাক ঘনক বোলে। ধৰোঁ l = b = h = a।

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = ৬{a}^{\text{২}}

* আয়তন = {a}^{\text{৩}}

* পাৰ্শ্বীয় কালি = ৪{a}^{\text{২}}

* কৰ্ণৰ দীঘ = √৩a

চৌপল (parallelepiped):

* আয়তন = ভূমিৰ কালি × চৌপলটোৰ উচ্চতা ,  [ইয়াত উচ্চতাটো s বুলি ভুল নকৰিবা। ইয়াত s তিৰ্যক উচ্চতাহে। উচ্চতা sতকৈ কম হ’ব]

নতুবা এইদৰেও উলিয়াব পাৰোঁ:

আয়তন = যিকোনো এখন পৃষ্ঠৰ কালি × সেই পৃষ্ঠখনৰ পৰা বিপৰীত পৃষ্ঠখনৰ দূৰত্ব।

* পাৰ্শ্বীয় কালি = ভূমিৰ পৰিসীমা × চৌপলটোৰ উচ্চতা

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = পাৰ্শ্বীয় কালি + ২ × ভূমিৰ কালি

গোলক (sphere):

* পৃষ্ঠকালি = ৪\pi{r}^{\text{২}}

* আয়তন = \frac{\text{৪}}{\text{৩}}\pi{r}^{\text{৩}}

অৰ্ধগোলক বা গোলাৰ্ধ (hemisphere):

এটা গোলকক সমানে দুভাগ কৰিলে যি দুটা খণ্ড পোৱা যায় দুয়োটাকে এটা এটা অৰ্ধগোলক বা গোলাৰ্ধ (hemisphere) বোলে।

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = ৩\pi{r}^{\text{২}}

* বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = ২\pi{r}^{\text{২}}

* আয়তন = \frac{\text{২}}{\text{৩}}\pi{r}^{\text{৩}}

শংকু (cone):

* তিৰ্যক উচ্চতা = \sqrt{h^{\text{২}}+r^{\text{২}}}

* আয়তন = \frac{\text{১}}{\text{৩}}\pi{r}^{\text{২}}h

* বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}} × ভূমিৰ পৰিধি × তিৰ্যক উচ্চতা = prs = = pr\sqrt{h^{\text{২}}+r^{\text{২}}}

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = pr(r + s) = pr(r + \sqrt{h^{\text{২}}+r^{\text{২}}})

আয়তাকাৰ পিৰামিদ (rectangular pyramid):

* আয়তন = \frac{\text{১}}{\text{৩}} × ভূমিৰ কালি × উচ্চতা = \frac{\text{১}}{\text{৩}}lbh

* পাৰ্শ্বীয় কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}} × ভূমিৰ পৰিধি × তিৰ্যক উচ্চতা = (l+b)s

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = lb + bs + sl   [sটো মন কৰিবা।]

ত্ৰিভূজাকাৰ পিৰামিড (Triangular pyramid):

* আয়তন = \frac{\text{১}}{\text{৩}} × ভূমিৰ কালি × উচ্চতা

* পাৰ্শ্বীয় কালি = \frac{\text{১}}{\text{২}} × ভূমিৰ পৰিধি × তিৰ্যক উচ্চতা

প্ৰিজম (prism):

প্ৰিজম বিবিধ আকৃতিৰ আছে। আমি ইয়াত উল্লেখ কৰা প্ৰিজমটো হ’ল ত্ৰিভূজাকাৰ প্ৰিজম (triangular prism)। সাধাৰণতে এইবিধ প্ৰিজমেই ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ পাই বাবে ত্ৰিভূজাকাৰ প্ৰিজমকে কেৱল প্ৰিজম বুলি কোৱা হয়। একেদৰেই ইয়াতো “প্ৰিজম” বুলি কৈছোঁ যদিও কথাটো মনত ৰাখিবা।

* আয়তন = \frac{\text{১}}{\text{২}} × ভূমিৰ কালি × উচ্চতা = \frac{\text{১}}{\text{২}} lbh

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = bh + lb + ২ls   = bh + lb + l\sqrt{b^{\text{২}}+\text{৪}h^{\text{২}}}

[প্ৰিজমটো ঠিয়কৈ ৰাখিও ফৰ্মূলাবোৰ নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিবা। তেতিয়া l টো উচ্চতা (h) বুলি ধৰিব লাগিব। গতিকে তেতিয়া ফৰ্মূলাবোৰত চিহ্নবোৰ সলনি হ’ব।]

চিলিণ্ডাৰ বা বেলন (cylinder):

চিলিণ্ডাৰ বুলি ক’লে ইয়াত সাধাৰণতে ভিতৰটো পূৰ হৈ থকা বন্ধ চুঙা বুজা যায়। ৰদ এটুকুৰাৰ নিচিনা, পাইপৰ নিচিনা নহয়।

* বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = ভূমিৰ পৰিধি × উচ্চতা = ২πrh

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = ২πr(r + h)

* আয়তন = \pi{r}^{\text{২}}h

ফোপোলা চুঙা বা খোলা বেলন বা ফোপোলা চিলিণ্ডাৰ (hollow cylinder):

* বহিৰ্ভাগৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = ২πRh

* অন্তঃভাগৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = ২πrh

* মুঠ পৃষ্ঠকালি = ২π(R+r)h + ২π(R^{\text{২}}-r^{\text{২}}) = ২π(R+r)(R-r+h)

* আয়তন = π(R^{\text{২}}-r^{\text{২}})h